高三數學一輪復習講義等比數列及其前n項和教師

課題：等比數列及其前n項和知識點一、等比數列1．等比數列的通項公式：若等比數列的首項是，公差是q，則2．等比中項：（1）如果成等比數列，那么叫做與的等差中項：即：或（2）數列是等比數列；3.通項之間的性質：對任何，在等比數列中，有特別的，若，則；當時，得；【典型例題】【例1】已知等比數列的公比為2，則值為（）A.B.C.2D.4【答案】D試題分析：，故選D.【例2】在等比數列中，，，，則項數為（）【答案】C試題分析：根據等比數列通項公式有，解得，故選C.【例3】已知是等比數列，且，則（）A．B．C.D．【答案】A試題分析：設數列的首項為，公比為，則依題意，有，解得，所以，故選A．【例4】已知等比數列滿足，則=（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：根據等比數列的性質，，即，故選C.【例5】已知數列{}是遞增等比數列，，則公比（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：【例6】已知等差數列的首項，公差，且是與的等比中項，則（）【答案】B試題分析：由題意得，選B.【例7】已知各項均不為0的等差數列滿足，數列為等比數列，且，則（）A．25B．16C．8D．4【答案】B試題分析：由，得，所以，.【舉一反三】1．已知是等比數列，，則公比（）A．B．2C．2D．【答案】D試題分析：，即，解得，故選D.2．與的等比中項是（）A．B．1C．1D．【答案】A試題分析：由題已知與的等比中項，得；。3．已知數列是等比數列，是1和3的等差中項，則=（）A．B．C．D．【答案】D由是1和3的等差中項，得，則；由數列是等比數列，得.4．在等差數列中，，數列是等比數列，且，則（）A、1B、2C、4D、8【答案】A試題分析：因為為等差數列，所以，又為等比數列，則.QUOTE知識點二、等比數列及其前n項和1．等比數列的前項和公式：等比數列的前項和的公式：（1）當時，（2）當時，2．等比數列的通項公式與前n項的和的關系(數列的前n項的和為).【典型例題】【例1】在等比數列中，若公比，則的值為（）A．56B．【答案】C試題分析：【例2】設等比數列的前n項和為，若，則（）A．2B．C.D．3【答案】B試題分析：，.【例3】已知為等比數列的前項，若，且，則()A.B.C.D.【答案】B試題分析：，故選B.【例4】若等比數列的前項和，則（）A.2B.1C.0D.【答案】D試題分析：因為，所以，時，，所以，．或者用得．故選D．【例5】在等比數列中，已知（1）求數列的通項公式；（2）若分別為等差數列的第3項和第5項，試求數列的通項公式及前項和【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）設的公比為由已知得，解得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，則，設的公差為，則有解得，從而所以數列的前項和【舉一反三】1．設是等比數列的前項和，，則公比（）A.B.C.或D.或【答案】C試題分析：，又解得或，選C.2．在等比數列{an}中，a2=2，a4=8，則a6=(）A.14B.28C.32D.64【答案】C試題分析：由等比數列性質可知3．等比數列的前項和為，則（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：.4．已知單調遞增的等比數列中，，則數列的前項和（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：∵，，∴，，又∵是遞增數列，∴，，∴，∴，故選B.5．在等比數列中，已知前n項和=，則的值為（）A．－1B．1C．5D．5【答案】D試題分析：當=1時，===，當≥2時，===，∵是等比數列，∴公比為5，∴==5，解得=5.【課堂鞏固】1．已知數列{an}是等比數列，且a1=，a4=﹣1，則{an}的公比q為（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．【分析】由已知的題意利用等比數列的通項公式建立關于公比的方程即可．【解答】由，故選C．【點評】此題主要考查了等比數列基本的通項公式及解公比時方程的思想，屬基本量的計算問題．2．已知等比數列{an}的公比為正數，且a5?a7=4a42，a2=1，則a1=（）A． B． C． D．2【分析】由已知及等比數列的性質可得a6=2a4，從而可求公比，然后由可求【解答】解：∵等比數列{an}的公比為正數，且，∴即a6=2a4∴=2∴q=∵=故選B【點評】本題主要考查了等比數列的通項公式及等比數列的性質的簡單應用，屬于基礎試題3．已知﹣1，a1，a2，﹣9成等差數列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比數列，則b2（a2﹣a1）的值為（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【分析】設等差數列的公差為d，由等差數列的前n項和公式能求出公差d的值；設等比數列的公比為q，由等比數列的前n項和公式能求出公比q的值．由此能夠求出b2（a2﹣a1）的值．【解答】解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，則有，解得d=﹣，q=±，∴b2（a2﹣a1）=﹣9××（﹣）=8．故選：A．【點評】本題考查等比數列和等差數列的性質和應用，注意等比數列和等差數列的通項公式的合理運用，是基礎題．4．已知等比數列{an}中，a3a9=2a52，且a3=2，則a5=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】由等比數列項公式推導出，從而a1=1，由等比中項的性質得，由此能求出a5．【解答】解：∵等比數列{an}中，a3a9=2a52，且a3=2，∴．∵，∴a1=1，由等比中項的性質得，∴a5==4．故選：B．【點評】本題考查等比數列的第5項的求法，考查等比數列的通項公式、前n項和公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，函數與方程思想，是基礎題．5．在等比數列{an}中，a1=1，a4=8，則a7=（）A．64 B．32 C．16 D．12【分析】利用等比數列的通項公式求出公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵在等比數列{an}中，a1=1，a4=8，∴，即8=q3，解得q=2，a7==1×26=64．故選：A．【點評】本題考查等比數列的第7項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．6．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若27a3﹣a6=0，則=28．【分析】設出等比數列的首項和公比，由已知求出公比，代入等比數列的前n項和得答案．【解答】解：設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案為：28．【點評】本題考查了等比數列的通項公式，考查了等比數列的前n項和，是基礎的計算題．7．在等比數列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，則a7+a8=135．【分析】等比數列{an}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成等比數列，由此利用a1+a2=40，a3+a4=60，能求出a7+a8．【解答】解：等比數列{an}中，∵a1+a2=40，a3+a4=60，∴a5+a6=60×=90，a7+a8=90×=135．故答案為：135．【點評】本題考查等比數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．8．若等比數列{an}滿足a2a4=a5，a4=8，則公比q=2，前n項和Sn=2n﹣1．【分析】利用等比數列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出首項和前n項和．【解答】解：∵等比數列{an}滿足a2a4=a5，a4=8，∴，解得a1=1，q=2，∴前n項和Sn==2n﹣1．故答案為：2，2n﹣1．【點評】本題考查等比數列的首項和前n項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．9．（1）Sn為等差數列{an}的前n項和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比數列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首項a1和公比q．【分析】（1）設等差數列{an}的公差為d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）設等差數列{an}的公差為d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式，屬基礎題．10．一個等比數列{an}中，a1+a4=28，a2+a3=12，求這個數列的通項公式．【分析】利用a1+a4=28，a2+a3=12，求出公比，再求出首項，即可求這個數列的通項公式．【解答】解：，兩式相除得，代入a1+a4=28，可求得a1=1或27，a1=28，q=時，這個數列的通項公式：an=（）n﹣4．當a1=1，q=3時，這個數列的通項公式：an=3n﹣1．【點評】本題考查求數列的通項公式，考查學生的計算能力，比較基礎．【課后練習】正確率：1．在等比數列{an}中，已知a2=4，a6=16，則a4=（）A．﹣8B．8C．±8D．不確定【答案】B試題分析：由等比數列性質可知2．已知等比數列中，公比,則（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：因為，所以，，故選D.3．已知各項不為0的等差數列滿足，數列是等比數列，且，則等于（）A．1B．2C．4D．8【答案】D試題分析：根據等差數列的性質，可以變形為，因為數列的各項不為零，所以，結合等比數列的性質，可知，故選D．4．在等比數列中,若,則的值為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：5．在公差不為0的等差數列中，，數列是等比數列，且,則=（）A．4B．16C．8D．2【答案】B試題分析：由條件得，所以，所以，所以，故選B．6．設若是與的等比中項，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：若是與的等比中項，所以，當且僅當時等號成立，取得最小值7．在等比數列中，若是方程的兩根，則的值是（）A．B．C．D．【答案】C試題分析：因為，是方程的兩根，所以，所以，又因為數列是正項等比數列，故．8．已知數列滿足：，則的通項公式為()A．B．C．D．【答案】B試題分析：,數列是首相為,公比為3的等比數列．．故B正確．9．已知數列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于()A．－6(1－3－10)B．(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)【答案】C【解析】由3an＋1＋an＝0，得＝－，故數列{an}是公比q＝－的等比數列．又a2＝－，可得a1＝4．所以S10＝＝3(1－3－10)．10．已知數列的前項和為，且滿足，，則數列的通項公式為.【答案】試題分析：，，當時，，相減可得：∴數列從第二項起是以5為首項，以3為公比的等比數列，當時，不滿足.11．已知數列是公差不為零的等差數列，為其前項和，且，又、、成等比數列，則，使最大的序號的值