2020-2021學(xué)年龍巖市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年龍巖市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知函數(shù)/（%）=含m-er,xG［0,+oo）,現(xiàn)有如下四個結(jié)論:

①函數(shù)/（x）的極大值為2e1-K；

②函數(shù)f（x）的最小值為0;

③函數(shù)/（x）在［0,b一1）上單調(diào)遞減；

④函數(shù)/（x）在（百-1,+8）上單調(diào)遞減.

則上述結(jié)論正確的是（）

A.②③B.①④C.②④D.①②④

頓

2.設(shè)定點M2（0,3）,動點P滿足條件|PMI|+IPM2I=a+三（其中a是正常數(shù)），則點P的

貧

軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.不存在

3.已知向量五=（一1,1?，-1）,b=（2,0,-3）.則五?石等于（）

A.-5B.-4C.2D.1

4.甲，乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是也乙獲勝的概率是右則甲獲勝的概率是（）

A.|B.；C.；D.?

32636

5.“直線ax+3y+l=0與直線2x+（a+l）y+l=0平行”是“a=—3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.如果雙曲線9一5=1的離心率等于2,則實數(shù)m等于（）

A.6B.14C.4D.8

7.已知函數(shù)f（x）=log2X，任取一個右€專2］使/3））＞0的概率為（）

A.iB.；C.；D.；

4243

8.直線。的方向向量編=（1,一1,1）,直線%的方向向量雨=（12-1），設(shè)直線人與％所成的角為巴

則（）

A.sinO=——B.sinO=—C.cos9———D.cos9——

3333

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.如圖，已知ABCO-AiBiGDi為正方體，E,F分別是BC,aC的中點，則（）

A.A^C■—4遇）=0

B.（瓦式+瓦萬+瓦辦2=6CD2

C.向量砧與向量福的夾角是60°

D.異面直線EF與DDi所成的角為45°

10.2020年11月23日，中國脫貧攻堅戰(zhàn)再傳捷報，貴州省宣布紫云縣、納雍縣、威寧縣等9個縣退

出貧困縣序列，至此，貴州全省66個貧困縣全部實現(xiàn)脫貧摘帽，標志著全國832個貧困縣全部

脫貧摘帽.某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查了某脫貧縣的甲、乙兩個家庭、對他們過去7年（2013年至2019

年）的家庭收入情況分別進行統(tǒng)計，得到這兩個家庭的年人均純收入（單位：千元/人）數(shù)據(jù)，繪

制折線圖如圖：

2013年至2019年甲、乙家庭人均純收入（單位：千元/人）

根據(jù)如圖信息，對于甲、乙兩個家庭的年人均純收入（以下分別簡稱"甲”、“乙”）情況的判斷，

正確的是（）

A.過去7年，“甲”的極差小于“乙”的極差

B.過去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值

C.過去7年，“甲”的中位數(shù)小于“乙”的中位數(shù)

D.過去7年，“甲”的年平均增長率小于“乙”的年平均增長率

11.如圖，直三棱柱ABC-aB1C1，△ABC為等腰直角三角形,4B1BC,

且4c=AAr=2,E,F分別是4C,4心的中點，。，M分別是

BBi上的兩個動點，則（）

A.FM與B0一定是異面直線

B.三棱錐D-MEF的體積為定值;

C.直線&G與BD所成角為]

D.若。為的中點，則四棱錐。-BBiFE的外接球表面積為57r

12.已知拋物線E：-=4丫與圓心—+⑶―i）2=16的公共點為A,B,點P為圓C的劣弧卷上不

同于4B的一個動點，過點P作垂直于x軸的直線/交拋物線E于點N,則下列四個命題中正確的

是（）

A.\AB\=2V3

B.點P縱坐標的取值范圍是（3,5]

C.點N到圓心C距離的最小值為1

D.若，不經(jīng)過原點，則ACPN周長的取值范圍是（8,10）

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別為10,6,9,6,6,則該組數(shù)數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

14.已知雙曲線條一q=l（m>0）的一個焦點為&（5,0）（設(shè)另一個為尸2，P是雙曲線上的一點，若

|PFi|=9,則仍尸2|=.（用數(shù)值表示）

15.已知蒼=（1,一2,1）,b=（-1,2,3）.則五.?=.

16.雙曲線方程為M-2y2=1,則它的焦點的坐標為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.下面給出了根據(jù)我國2012年?2018年水果人均占有量y（單位：kg）和年份代碼x繪制的散點圖和

線性回歸方程的殘差圖（2012年?2018年的年份代碼x分別為1?7）.

(8o我國2012年?2018年水果人均占有顯散點圖

受

)7o

e6o

;5o

y4o

-4-3o

2O

xY?

234567

年份代碼x

(我國2012勺:?2()18年水果人均占仃取殘圣圖

富

)

於

塞

23457

年份代碼x

(1)根據(jù)散點圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；

(2)由散點圖數(shù)據(jù)得2屋%=1074,邕=1看%=4517,求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.(精確到0.01)

附：回歸方程夕=a+公x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=鄧%：)對,S=

J乙t=ll陽x)

A

bx-

18.設(shè)命題p：函數(shù)/(%)=lg(%2-%+白。2)的定義域為R,q.\/mG［一1,1］，a2-5a-3>Vm2+8

lo

恒成立，如果命題“pvq”為真命題，且“p/\q"為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.

19.某市醫(yī)院消化內(nèi)科外聘知名專家，建立專家門診.假定前來就診每位患者的專家會診時間是相

互獨立的，且都是整數(shù)分鐘.為了了解會診情況，醫(yī)院對某一天患者被會診所需要的時間進行

了統(tǒng)計，其結(jié)果如下：

會診所需時間

234567

(分鐘)

頻率0.10.20.30.20.10.1

從第一個患者開始被會診時計時(用頻率估計概率).

(1)估計第三個患者恰好等待6分鐘開始被會診的概率；

(2)若用X表示第4分鐘末已被會診完的患者數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.如圖所示，在RtAABC中，Z.CAB=90°,AB=2,4C=返,一曲線E過點C,

2

動點P在曲線E上運動，且保持|P2|+|PB|的值不變，直線/經(jīng)過4與曲線E交于

M,N兩點.

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求曲線E的方程；

(2)設(shè)直線l的斜率為k,若4MBN為鈍角，求k的取值范圍.

21.如圖，在直四棱柱4BCD—4B1GD1中，底面ABCD是平行四邊形=AD=^AB=

1.

(I)求證：ADLBDV

(口)求二面角為一8。-4的大小；

(HI)在線段BD】上是否存在點M,使得DM_L平面&BC?若存在，求瞿的值；若不存在，說明理由.

22.過橢圓5+，=1的右焦點尸作斜率k=—1的直線交橢圓于4B兩點,且市+而與五=(1,§共

線.

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)P為橢圓上任意一點，且加=in瓦？+n萬6R)證明：/^+標為定值.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：易知當x>0時，/(刈=江呼飛-，>0,

所以當x=0時，函數(shù)/Q)取得最小值為/(0)=0,所以②正確.

—(2x+4)(x+l)-(x2+4x)X(X+4)>1、_-(X+2)(X2+2X-2)

囚為/(X)----------------ex+,(一萬)=一”語語「一，

令/'(%)=0,結(jié)合x>0可得x=V3-1，所以當xe[0,g—1)時，[(%)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當1,+8)時，f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

所以當％=遍一1時，函數(shù)/(x)取得極大值為/(遮—l)=2e-6,所以①④正確，③不正確.

故選：D.

研究f(x)的極值，單調(diào)性我們需要求其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系判斷f(x)的性質(zhì).

本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，難度適中.但在本題中求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是本題的難點.

2.答案：C

解析：試題分析：:a是正常數(shù)，.??a+->^=6,當|PMi|+|PM2|=6時，點P的軌跡是線段幅/；

當a+*>6時，點P的軌跡是橢圓，故選C..

考點：橢圓的定義.

3.答案：D

解析：解：???向量五=(一1,1,一1)，b=(2,0,-3).

??CL,b——1x2+1x0+(-1)x(—3)—1?

故選：D.

根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算，進行計算即可.

本題考查了空間向量數(shù)量積的坐標運算問題，是基礎(chǔ)題目.

4.答案:C

解析：解：甲，乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是土

乙獲勝的概率是看

???甲獲勝的概率為：P==

Zoo

故選：C.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：當直線ax+3y+1=0與直線2%+(a+l)y+1=0平行時，

Q(Q4-1)-2x3=0,

解得。=-3或Q=2(兩直線重合，應(yīng)舍去)，充分性成立；

當。=一3時，直線—3%+3y+1=0與直線2%-2y+1=0平行，必要性成立；

???“直線a%+3y+1=0與直線2%+(a+l)y+1=0平行”是“a=一3”的充要條件.

故選：C.

當直線ax+3y+1=0與直線2x+(a+l)y4-1=0平行時，a=-3,判斷充分性成立；

當a=-3時,直線-3%+3y+1=0與直線2%-2y+1=0平行，判斷必要性成立.

本題考查了兩直線平行的應(yīng)用問題，也考查了充分、必要條件的判定問題，是基礎(chǔ)題目.

6.答案：A

22

解析：解：因為雙曲線為——=1,所以2a=2魚，Z?=gii,

2m

所以c=VI不沅，因為雙曲線”一匕=1的離心率等于2,

2m

所以2=罕，所以m=6.

V2

故選A.

直接求出雙曲線的實軸長，焦距的長，然后利用雙曲線的離心率，求出m值.

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查基本運算能力.

7.答案：D

解析：解:由f(Xo)>0得log2%0>0,得1<XOW2,

2—12

則任取一個沏eR1,2］使/(與)>0的概率P=口=》

故選：D.

根據(jù)對數(shù)不等式的解法求出不等式的解，結(jié)合幾何概型的概率公式進行計算即可.

本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)對數(shù)不等式的解法求出不等式的解是解決本題的關(guān)鍵.

8.答案：C

解析：解：因為直線。的方向向量石(=(1,一1,1)，直線0的方向向量詼=(L2,-1)，

所以cos<而,芯>=黑凱=一套忑=

laillailV3V63

所以cos<a^,a^>=

故選：c.

直接由公式計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線k與，2所成角的大小.

本題考查異面直線所成的角的求法，考查計算能力，屬簡單題.

9.答案:ABD

解析：

本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標系，求出所需點

的坐標，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標表示.屬于中檔題.

在正方體ABCD-&B1GD1中，建立合適的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2,根據(jù)空間向量的

坐標運算，以及異面直線所成角的向量求法，逐項判斷即可.

解：在正方體ABC。-&當6。1中，以點4為坐標原點，分別以4B,AD,4人為X軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為2,則4(0,0,0),4(0,0,2),8(2,0,0),8式2,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),0式0,2,2),

所以砧=(2,2,-2),不瓦一審=麗=(2,0,2).

故砧?(不瓦一羽)=不?福=4-4=0，故選項A正確；

又??；+B^B+B^C=B^A+B^C=(-2,0,-2)+(0,2,-2)=(-2,2,-4),

又而=(-2,0,0).

所以+布+成)2=4+4+16=24,6而2=24，

貝I(瓦不<+瓦片+瓦下)2=6Z7而，故選項8正確；

福=(2,0,-2),^=(0,2,2)，

所以cos<初，麗>==-i,

11依1即|皿|V4+4XV4+42

因此彳了與畫的夾角為120。，故選項C錯誤；

因為E,尸分別是BC,&C的中點，

所以E(2,l,0),

則麗=西=(0,0,2).

所以cos<市,>—---,

'1lEFUDDilV1+1X22

又異面直線的夾角大于0°小于等于90。，

所以異面直線EF與。么所成的角為45。，故選項。正確;

故選：ABD.

10.答案：ACD

解析：解：極差是一組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)減去最小的數(shù)，甲的極差為：4.2-3.6=0.6,乙的極差為:

4.1-3.4=0.7；故A正確；

甲的平均值為:3.6+3.7+3.6+3.7+3.8+4.0+4.226.6乙的平均數(shù)為:3.4+3.6+3.8+3.6+3.9+4.0+4.1等；故B

7—77

錯誤;

甲的中位數(shù)為：3.7；乙的中位數(shù)為：3.8,；故C正確;

過去7年甲的平均增長率為:--1;乙的平均增長率為:--1;故。正確;

故選：ACD.

利用統(tǒng)計知識的相關(guān)性質(zhì)可以解決.

本題考查了統(tǒng)計與概率中的相關(guān)基礎(chǔ)概念，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：BCD

解析：解：對于4當M與B重合時，F(xiàn)M與BD是相交直線，故A錯誤;

對于B,由已知可得14修1，又平面ABCL平面C/MiG，

???B/"L平面C441G，

在矩形AE凡打中，△DEF的面積S=：xE尸x&F=gx2xl=l,

乂B]F=~A^C^=1,YD-MEF~KW-DEF=§x1x1=,,故B正確；

對于C,由44]_1_平面ZiBiG，得441J-BiG，

又BIGQIBI，4出0441=4,.?.BQ_L平面得直線與BD所成角為(故C正確;

對于。，由題意可知，四邊形BB/E為矩形，連接BF,則矩形BB/E的外接圓的圓心為BF的中點。「

且。iF=01B=?，

過Oi作O1NJ.EF,垂足為N,連接DN,0m,則OiN=g,DN=1,O^N1DN,故。1。=?，

???。1就是四棱錐D-BB】FE的外接球的球心，外接球的半徑為R=多

則外接球的表面積為S=軌x0)2=5兀，故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)特殊位置法判斷A錯誤；根據(jù)三棱錐的體積公式及等體積法求三棱錐。-MEF的體積判斷8；

證明BiGJ■平面判斷C；求出四棱錐。-BBiFE的外接球的球心，進一步求出半徑，再求出

表面積判斷D.

本題考查空間兩直線位置關(guān)系的判定，考查利用等體積法求多面體的體積，考查多面體外接球表面

積的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題.

12.答案：BCD

解析：解：如圖，

圓C：x2+(y-I)2=16的圓心坐標為C(0,l),半徑r=4,與y正半軸交點為(0,5),

拋物線E：x2=4y的焦點F(0,l)與C重合，準線為y=-1,

聯(lián)北力解得憶產(chǎn)或屋何

即4(一28,3),6(273,3).

則=故選項A錯誤；

???點P為圓C的劣弧卷上不同于4,B的一個動點，P點縱坐標yp€(3,5],故選項B正確；

圓心C即為拋物線的焦點，由拋物線定義知拋物線上的點到焦點距離最小值為]=1,故選項C正確;

直線/不經(jīng)過原點，則APCN的周長為|PC|+|PN|+|NC|=r+yp+l=5+yp€(8,10),故選項。

正確.

故選：BCD.

由題意畫出圖形，聯(lián)立圓和拋物線方程可得4、B的坐標，求得|AB|的長度判斷選項A；由4、B的縱

坐標可得P的縱坐標范圍判斷選項B；由圖象可知點N到圓心C距離的最小值判斷選項C；利用轉(zhuǎn)化

思想可知^PCN的周長為|PC|+\PN\+\NC\=力+5,結(jié)合的范圍判斷選項D.

本題考查圓與拋物線的綜合，考查拋物線的性質(zhì)，著重考查拋物線定義的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.答案：6

解析：解：根據(jù)眾數(shù)的概念知，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，

數(shù)據(jù)10,6,9,6,6的眾數(shù)是6.

故答案為：6.

根據(jù)眾數(shù)的概念知，結(jié)合該組數(shù)據(jù)，得出它的眾數(shù)是什么.

本題考查了眾數(shù)的概念問題，解題時應(yīng)根據(jù)該組數(shù)據(jù)得出眾數(shù)是什么，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：17或1

解析：解：???雙曲線5-苓=l(m>0)的一個焦點為0(5,0),

???c=5,

???a2=c2—Z>2=25—9=16,

???a=4,

???P為雙曲線上一點，且|「&|=9,

^\\PF2\-\PFl\\=2a=8,

???\PF2\=17,或IPF2I=1,

故答案為：17或1

根據(jù)已知條件，直接利用雙曲線的定義進行求解即可.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，運用雙曲線的定義||PFi|-|P6ll=2a,是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

15.答案：-2

解析：解：?：五二(1,—2,1),b=(—1,2,3)，

**?3,h=-1-4+3=—2?

故答案為：-2.

利用向量數(shù)量積的運算求解.

本題考查向量的數(shù)量積的求法，考查向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.答案：(±1,0)

解析：

本題主要考查雙曲線的焦點坐標的求法，做題時注意判斷焦點位置.屬于基礎(chǔ)題.

把雙曲線方程變?yōu)闃藴史匠蹋涂汕蟪鲭p曲線中的a,b的值，再根據(jù)雙曲線中a,b,c的關(guān)系式即

可求出半焦距c的值，判斷焦點位置，就可得到焦點坐標.

解：???雙曲線方程可變形為/一芋=1,

2

???a2=1,b2—c2=1+i=I，c=—>

2222

又???雙曲線焦點在x軸上，二焦點坐標為(土日,0),

故答案為

17.答案：解：(1)由散點圖可以看出，當x由小變大時，y也由小變大，從而y與久之間是正相關(guān)關(guān)系；

(2)由題中數(shù)據(jù)可得元=^(1+2+3+44-5+6+7)=4,y=^x1074?153.43,

從而務(wù)='=廣跖-7三歹=4517-7XA1074X4

-222222222

X]=1Xt-7x—1+2+3+4+S+6+7-7X4

221

=—?7.89

28

a=y-b-x^153.43-7.89x4=121.87,

從而所求y關(guān)于％的線性回歸方程為9=7.89X+121.87.

(3)由殘差圖可以看出，殘差對應(yīng)的點均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好.

解析：本題考查利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)關(guān)系，考查求線性回歸直線方程，考查學(xué)生的運算

能力，是中檔題.

(1)由散點圖，根據(jù)x由小變大時，y也由小變大即可判斷；

(2)由已知數(shù)據(jù)求出完和歹，再根據(jù)公式求出務(wù)，,即可求解；

(3)根據(jù)殘差圖得殘差對應(yīng)的點均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，即可判斷.

18.答案：解：命題p：若函數(shù)f(x)=lg(x2-%+2a2)的定義域為R,

1O

則％2—%>0恒成立，

16

即判別式△=1一;a?<0,

4

即Q2>4,解得Q>2或QV-2.…(1分)

命題q：??,m￡[―1,1],.%Vm2+8G[2V2,3]?

???對m6[-1,1],不等式a2-5a-3N7m2+8恒成立,可得M-5a-3N3,

即/一5。一620,

???a>6或Q<—1.

故命題q為真命題時，Q26或a4-1....(3分)

命題“pvq”為真命題，且“pAq”為假命題，則p,q—真一假…(4分)

(1)若p真q假，則卜<-2或a>l,解得2<”6...(8分)

(-1<a<6

(—2Vav2

(2)若p假q真，則旻N6'解得一2WaW-l.“(IO分)

綜上(1)(2)所述：-24aW-l或2<a<6為所求的取值范圍....(12分)

解析：求出命題p,q成立的等價條件，結(jié)合命題“pVq”為真命題，且“p八q”為假命題，得到p,

q一真一假，然后進行求解即可.

本題主要考查復(fù)合命題的真假的判斷，求出命題為真命題的等價條件是解決本題的關(guān)鍵.

19.答案：解：(1)第三位患者恰好等待6分鐘開始被會診，說明了前兩位患者會診一個用了2分鐘，

另一個用了4分鐘，或前兩位患者會診各用了3分鐘.

故第三個患者恰好等待6分鐘開始被會診的概率=0.1x0.3x2+0.2x0.2=0.1.

(2)用X表示第4分鐘末已被會診完的患者數(shù)X,

則由題意可得X=0,1,2,

X=0對應(yīng)第1位患者會診所需的時間超過4分鐘，故P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4；

X=1對應(yīng)第1位患者會診所需的時間正好為4分鐘，

或第1位患者會診所需的時間正好為2分鐘而第2位患者會診所需的時間超過2分鐘，

或第1位患者會診所需的時間正好為3分鐘而第2位患者會診所需的時間超過1分鐘；

故P(X=1)=0.3+0.1X0.9+0.2X1=0.59；

X=2對應(yīng)第一個患者會診所需的時間為2分鐘，且第二個患者會診所需的時間為2分鐘，

故P(X=2)=0.1x0.1=0.01；

因此X的分布列為

X012

p0.40.590.01

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x0.4+1x0.59+2x0.01=0.61.

解析：本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考

查了數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

(1)第三位患者恰好等待6分鐘開始被會診，說明了前兩位患者會診一個用了2分鐘，另一個用了4分

鐘，或前兩位患者會診各用了3分鐘.利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出第三個患者

恰好等待6分鐘開始被會診的概率.

(2)用X表示第4分鐘末已被會診完的患者數(shù)X,則由題意可得X=0,1,2,即可求出結(jié)果.

20.答案：解：(1)以4B所在直線為%軸，4B的中點。為坐標原點，建立直角坐cV

標系，則4(—1,0)，B(l,0),

-'O?

由題意，可得|P4|+\PB\=\CA\+\CB\=2V2

P的軌跡為橢圓

設(shè)它的方程為m+1=l(a>b>0),則。=&,c=l

a2bL

b=y/a2-c2=1

二橢圓的方程為q+y2=i；

直線的方程為設(shè)

(2)MNy=k(%+l),W(x2,y2)

直線與橢圓方程聯(lián)立，可得(1+2k2)x2+4fc2x+2(fc2-l)=0

,,,△=8k24-8>0

；?方程有兩個不等的實數(shù)根

4fc22(/cz-l)

=Xi%7=

Xi1+%/?l+2k21N1+2上2

BM=(%iBN=(%21,丫2)

.?,而?麗=(%1-l.yj-(%2-1》2)=77^1

???NMBN是鈍角

■■.'BM-BN<0,即片

l+2k2

解得：一"<k<亞

77

又M、8、N三點不共線

???々工0

綜上所述，k的取值范圍是(_9,0)u(0,?

解析：(1)以4B所在直線為%軸，4B的中點。為坐標原點，建立直角坐標系，確定P的軌跡為橢圓，

即可求曲線E的方程；

(2)直線MN的方程為y=k(x+1),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合向量知識，即可得出結(jié)論.

本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬

于中檔題.

21.答案:(1)證明:在直四棱柱4BCD-4BiGDi中，

DDi_L底面4BCD,

因為ADu底面ABCD,

所以1AD.

因為

AD1BD,BDnDDr=D,

所以ZD1平面

因為BD】u平面BDDi，

所以4。1BD「

(□)解：因為1平面ABC。，且4。1所以。4,DB,兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系。一xyz,則。(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),C(-1,6,0)，

01(0,0,1).

設(shè)平面4BC的法向量為記=(x,y,z).福=(1,0,0),兩＞=(2,-百,1)，

兩'.沆=0.“谷岳一屆+z=0.

令y=l,解得z=遮，

所以布=(0,1,遮).

因為叫_L平面4BCD,

所以平面4BCD的一個法向量為元=(0,0,1).

所以cos你網(wǎng)=崗'=尊

由題可知二面角4-BC-A為銳角，

所以二面角4-BC-4的大小為30。.

(m)解：設(shè)印/=4瓦石,4e[0,1].

因為麗=西+^^=9+2胞=(0,0,1)+A(0,V3,-l)=(0,V3A,1-A),

由(〃)知平面&BC的一個法向