概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案(同名3441)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案(同名3441)PAGE·PAGE3·習(xí)題一1．寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：（1）擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).‘出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)’；（2）將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).‘兩次點(diǎn)數(shù)之和為10’，‘第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2’；（3）一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5；從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，‘球的最小號(hào)碼為1’；（4）將兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，‘甲盒中至少有一球’；（5）記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)某橋的汽車流量，‘通過(guò)汽車不足5臺(tái)’，‘通過(guò)的汽車不少于3臺(tái)’。解（1）其中‘出現(xiàn)點(diǎn)’，。（2）}；；。（3）（4），其中‘’表示空盒；。（5）。2．設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)事件，試用表示下列事件：（1）僅發(fā)生；（2）中至少有兩個(gè)發(fā)生；（3）中不多于兩個(gè)發(fā)生；（4）中恰有兩個(gè)發(fā)生；（5）中至多有一個(gè)發(fā)生。解（1）（2）或；（3）或；（4）；（5）或；3．一個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以表示第件產(chǎn)品是正品，試用表示下列事件：（1）沒(méi)有一件產(chǎn)品是次品；（2）至少有一件產(chǎn)品是次品；（3）恰有一件產(chǎn)品是次品；（4）至少有兩件產(chǎn)品不是次品。解（1）；（2）；（3）；（4）。4．在電話號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。解設(shè)‘任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不相同’，則5．一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有兩只壞的的概率。解（1）設(shè)‘5只全是好的’，則；（2）設(shè)‘5只中有兩只壞的’，則.6．袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求（1）3個(gè)球的最小號(hào)碼為5的概率；（2）3個(gè)球的最大號(hào)碼為5的概率.解（1）設(shè)‘最小號(hào)碼為5’，則；（2）設(shè)‘最大號(hào)碼為5’，則.7．（1）教室里有個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；（2）房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.解（1）設(shè)‘他們的生日都不相同’，則；（2）設(shè)‘至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月’，則；或.8．設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.解設(shè)‘生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天’，則.9．將等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少？解1設(shè)‘恰好排成SCIENCE’將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：字母在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3！種，故基本事件總數(shù)為，而中的基本事件只有一個(gè)，故；解2七個(gè)字母中有兩個(gè)，兩個(gè)，把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有個(gè)元素，其中第一種元素有個(gè)，第二種元素有個(gè)…，第種元素有個(gè)，將這個(gè)元素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為，對(duì)于本題有.10．從等個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：‘三個(gè)數(shù)字中不含0和5’，‘三個(gè)數(shù)字中不含0或5’，‘三個(gè)數(shù)字中含0但不含5’.解.，或，.11．將雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成堆，每堆兩只，求事件‘每堆各成一雙’的概率.解雙鞋子隨機(jī)地分成堆屬分組問(wèn)題，不同的分法共‘每堆各成一雙’共有種情況，故12．設(shè)事件與互不相容，，求與解因?yàn)椴幌嗳?，所以，于?3．若且，求.解由得14．設(shè)事件及的概率分別為，求及解.15．設(shè)，且僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.5，求都發(fā)生的概率。解1由題意有，所以.解2僅發(fā)生一個(gè)可表示為，故所以.16．設(shè)，求與.解，所以，故；.所以17．設(shè)，試證明[證]因?yàn)椋怨?證畢.18．對(duì)任意三事件，試證.[證].證畢.19．設(shè)是三個(gè)事件，且，，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解因?yàn)?，所以，于?0．隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率.解：半圓域如圖0yxyxax設(shè)‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于0yxyxax由幾何概率的定義21．把長(zhǎng)為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.解1設(shè)‘三段可構(gòu)成三角形’，又三段的長(zhǎng)分別為，則，不等式構(gòu)成平面域.aS發(fā)生aSAa/2不等式確定的子域，所以Aa/2aa/20aa/20解2設(shè)三段長(zhǎng)分別為，則且，不等式確定了三維空間上的有界平面域.xzyAxzyA不等式確定的子域，所以.22．隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過(guò)1，試求與之和不超過(guò)1，積不小于0.09的概率.1yy1y0.90.101yy1y0.90.10yASy‘’則發(fā)生的充要條件為不等式確定了的子域，故23．（蒲豐投針問(wèn)題）在平面上畫出等距離的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長(zhǎng)的針，求針與任一平行線相交的概率.解設(shè)‘針與某平行線相交’，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種，設(shè)為針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離。為針與平行線的夾角，則ayay，不等式確定了平面上ayayxy0yAxy0yAS故習(xí)題二1．假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它不是三等品，求它是一等品的概率.解設(shè)‘任取一件是等品’，所求概率為，因?yàn)樗怨?2．設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解設(shè)‘所取兩件中有一件是不合格品’‘所取兩件中恰有件不合格’則，所求概率為.3．袋中有5只白球6只黑球，從袋中一次取出3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)都是同一顏色，求這顏色是黑色的概率.解設(shè)‘發(fā)現(xiàn)是同一顏色’，‘全是白色’，‘全是黑色’，則，所求概率為4．從52張樸克牌中任意抽取5張，求在至少有3張黑桃的條件下，5張都是黑桃的概率.解設(shè)‘至少有3張黑桃’，‘5張中恰有張黑桃’，，則，所求概率為.5．設(shè)求與.解.6．甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，求該球是白球的概率。解設(shè)‘從乙袋中取出的是白球’，‘從甲袋中取出的兩球恰有個(gè)白球’.由全概公式.7．一個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意抽取3只，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時(shí)同樣地任取3只球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率。解設(shè)‘第二次取出的均為新球’，‘第一次取出的3個(gè)球恰有個(gè)新球’由全概公式.8．電報(bào)發(fā)射臺(tái)發(fā)出‘·’和‘–’的比例為5:3，由于干擾，傳送（·）時(shí)失真的概率為2/5，傳送‘–’時(shí)失真的概率為1/3，求接受臺(tái)收到‘·’時(shí)發(fā)出信號(hào)恰是‘·’的概率。解設(shè)‘收到‘·’’，‘發(fā)出‘·’’，由貝葉斯公式.9．在第6題中，已知從乙袋中取得的球是白球，求從甲袋中取出的球是一白一黑的概率.解事件如第6題所設(shè)，所求概率為10．已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05，求在檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率。解設(shè)‘任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品’，‘任取一產(chǎn)品確是合格品’，則，所求概率為.11．假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.解設(shè)‘第次取出的零件是一等品’，.‘取到第箱’，.則（1）.（2）.12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購(gòu)一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看四只，若無(wú)殘次品，則買下該箱，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確無(wú)殘次品的概率.解設(shè)‘顧客買下該箱’，‘箱中恰有件殘次品’，，（1）；（2）.13．設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份、7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份（1）求先取到的一份為女生表的概率；（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解設(shè)‘先取到的是女生表’，‘后取到的是男生表’，‘取到第個(gè)地區(qū)的表’，（1）；（2）因?yàn)橄热〕龅氖桥淼母怕蕿?，所以先取出的是男生表的概率為，按抓鬮問(wèn)題的道理，后取的是男生表的概率.于是（2）.14．一袋中裝有枚正品硬幣，枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）從袋中任取一枚，已知將它投擲次，每次都得到國(guó)徽，問(wèn)這枚硬幣是正品的概率是多少？解設(shè)‘任取一枚硬幣擲次得個(gè)國(guó)徽’，‘任取一枚硬幣是正品’，則，所求概率為.15．甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求甲擊中的概率.解設(shè)‘目標(biāo)被擊中’，‘第個(gè)人擊中’所求概率為.16．三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是，求他們將此密碼譯出的概率.解1設(shè)‘將密碼譯出’，‘第個(gè)人譯出’則.解2事件如上所設(shè)，則.17．甲、乙、丙三人向一架飛機(jī)進(jìn)行射擊，他們的命中率分別為0.4，0.5，0.7。設(shè)飛機(jī)中一彈而被擊落的概率為0.2，中兩彈而被擊落的概率為0.6，中三彈必然被擊落，今三人各射擊一次，求飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)‘飛機(jī)被擊落’，‘飛機(jī)中彈’.則設(shè)‘第個(gè)人命中’，，則，，，所以.18．某考生想借一本書，決定到三個(gè)圖書館去借，對(duì)每一個(gè)圖書館而言，有無(wú)這本書的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假設(shè)這三個(gè)圖書館采購(gòu)、出借圖書相互獨(dú)立，求該生能借到此書的概率.解1設(shè)‘該生能借到此書’，‘從第館借到’則(第館有此書且能借到)，.于是.解2.解3事件如解1所設(shè)，則，故.19．設(shè)，證明、互不相容與、相互獨(dú)立不能同時(shí)成立.證若、互不相容，則，于是所以、不相互獨(dú)立.若、相互獨(dú)立，則，于是，即、不是互不相容的.注：從上面的證明可得到如下結(jié)論：1）若、互不相容，則、又是相互獨(dú)立的或.2）因，所以如果，則，從而可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然事件與任意事件獨(dú)立.如果，則，即概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立。20．證明若三事件相互獨(dú)立，則及都與獨(dú)立。證即與獨(dú)立.即與相互獨(dú)立.21．一個(gè)教室里有4名一年級(jí)男生，6名一年級(jí)女生，6名二年級(jí)男生，若干名二年級(jí)女生，為要我們?cè)陔S機(jī)地選擇一名學(xué)生時(shí)，性別和年級(jí)是相互獨(dú)立的，教