2015年北京高考模擬試題及答案

2015年北京高考模擬試題及答案《數(shù)學(xué)理》[1]

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數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題（本大題共S小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、復(fù)數(shù)z=J在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

I

A.(0,-1)B.(0,1)C.(-1.0)D.(1.0)

2、sin3的取值所在的范圍是（）

3、在極坐標(biāo)系中，圓夕=2cos8的半徑為（）

A.-B.1C.2D.4

2

4、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的〃的值為(

）

A.1B.2C.3D.4

5、已知直線4：ax+y=l和直線公4x+④=2,則+0”是“/必”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6、已知數(shù)列｛用｝滿足4=1,且4az=2"，則數(shù)列｛4｝的前20項(xiàng)的和為（）

A.3x2”-3B.3x2u-lC.3x2*2D.3x21°-3

7、已知向量占，3是夾角為60,的單位向量.當(dāng)實(shí)數(shù)24-1時(shí),向量占與向量5+笈的夾

角范圍是（）、口

A.[0,,60-）B.[60\12（T）

C.[120*,180*）D.[6（T,18（r）由的

8、某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各面中互相垂直

面的對數(shù)是（）

A.2B.4C.6

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D.8

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.）

9、雙曲線C:-匕=1的離心率為.

3-------------

10、已知（2x+l）$=4+。亡+生/+4丫'+4>?,則/+q=________.

11、如圖，AB是半圓O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)E,且

OE±AC.若BE=3DE=3,貝jlAC的長為________.

12、某門選修課共有9名學(xué)生參加，其中男生3人，教師上課時(shí)想y'、

把9人平均分成三個(gè)小組進(jìn)行討論.若要求每個(gè)<1年同申既有男生也有女生，則符合要求

的分組方案共有種.

13、已知函數(shù)戶="|（其中。>0）經(jīng)過不等式組：“<0,八所表示的平面區(qū)域，則實(shí)

x-y+l>0

數(shù)。的取值范圍是.

14、已知兩個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)表達(dá)式唯愛L（r）=sinr,,?

iw）=sin（f+o）,它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)r--\

I（r）=I1（r）+4（r）的部分圖象如圖所示，則I（r）=,一號匕。=

三、解答題（本大題共6小題，滿分S0分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15、（本小題滿分13分）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)D在BC邊上，且

AD=^6,ZADC=135\A

（I）求高B的大??；

（H）若AC=0,求邊BC的長./

BDC

16、（本小題滿分13分）在某地區(qū)的足球比賽中，記甲、乙、丙、丁為同一力朗的四支

隊(duì)伍，比賽采用單循環(huán)制（每兩個(gè)隊(duì)比賽一場），并規(guī)定且積分前兩名的隊(duì)出線，其中

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勝一場積3分，平一場積】分，負(fù)一場積。分.由于某些特殊原因，在經(jīng)過三場比賽后，

目前的積分狀況如T甲隊(duì)積7分，乙隊(duì)積1分，丙和丁隊(duì)各積0分.根據(jù)以往的比賽情

況統(tǒng)計(jì)，乙隊(duì)勝或平丙隊(duì)的概率均為:，乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)的概率均為1且四個(gè)隊(duì)

43

之間比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求在整個(gè)小組賽中，乙隊(duì)最后積4分的概率；

(II)設(shè)隨機(jī)變量X為整個(gè)小組比賽結(jié)束后乙隊(duì)的積分，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期

望,

(III)在目前的積分情況下，M同學(xué)認(rèn)為：乙隊(duì)至少積4分才能確保出線，N同學(xué)認(rèn)為：

乙隊(duì)至少積5分才能確保出線.你認(rèn)為誰的觀點(diǎn)對？或是兩者都不對？(直接寫結(jié)果，

不需證明)

17、(本小題滿分14分)已知三棱柱ABC-AiB】G中，AABC是以AC為斜邊的等腰直

角三角形，i&B1A=B1C=B1B=AC=2.

(I)求證：平面B】AC，底面ABC；

(II)求81c與平面ABB】A1所成角的正弦值；

(in)若E,F分別是線段AS，GC的中點(diǎn)，間在線段BF上

是否存在點(diǎn)P，使得EP〃平面ABB14.

18、(本小題滿分13分)已知函數(shù)/(x)=(x-a)lnx.

(I)若直線)FX+力與〃x)在x=l處相切，求實(shí)數(shù)a,6的值;

(II)若a>0,求證?/(X)存在唯一極小值.

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19、(本小題滿分14分)已知橢圓Ci過點(diǎn).li,且其右頂點(diǎn)與橢圓c*：/+2/=4的

右焦點(diǎn)重合.

(I)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓G上，點(diǎn)B在橢圓C：上，且OA_OB,試判斷直線AB

與圓1+^=1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

20、(本小題滿分13分)已知無窮整數(shù)數(shù)集A=%…

(q＜生＜用＜…具有性質(zhì)P：對任意互不相等的正整數(shù)i,J,左，總有

丹+,「訃A.

(I)若｛1,21｝墨A且5任A,判斷13是否屬于A,并說明理由；

(II)求證：ax,a2,a3,???,4,…是等差數(shù)列i

(in)已知x,yeNfiy＞x＞0,記M是滿足｛0,xj｝墨A的數(shù)集A中的一個(gè)，且是滿足

｛0,xj｝墨A的所有數(shù)集A的子集，求證：X,3,互質(zhì)是M=N的充要條件.

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數(shù)學(xué)（理科）參考答案

一、送掙■（本大?典8小?.?小?5分.找10分）

I.A2.H3.B4.CS.C6.D7.B8.1）

二、41空?（本大■共6小■.?小■3分，共30分）

9.210.IIII.27312.90*13.?>|14.J37n（，+X）.；“也8-中3分.

明.中2分）

三、解答?（本大?共6小?，我加分）

13.（?小屯13分）人

■：（I>囚為NADT-1W./

WUZADB-4S*...........................................I分/

ill￡fit-IMAi；丁縹........3分?"c

所以............................................5分

。收介UlHiAIU'^H-........................................................................7分

<II>—&4HC叩.曲余依用W

ACM-AB'（2AB*fU'conH.................................................................9分

即7-JUT4?RtcwSO,.

整IfMJ.BC2?*30.............................................................................II分

?fftf?-3.....................................................................................................13分

M.（本小也13分,

?：<I>iQ乙隊(duì)ILLS內(nèi)隊(duì)分期為十件八，.八，.小?乙從W*.OU隊(duì)仆劃為中信8,.

Br.H,.

2

則F（Ai>-P<A,）-*,P<At>-'?P（B,）r<B,>-P<B,）-i...........分

toJ

俄乙隊(duì)機(jī)。分的■件為（’.事

r（n-p（A,）r（ift）ip（At）r（H,>-!x*+*x'--J-......................<分

1J4s4

?，年8童聚IY<A??>

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（II）R（機(jī)交ftX的可力7.6.4.??2?l?................5分

r<x-7）i?<八"（,）■；x；-1

43436

r（x-4）r<Ai）p（n.>4r<A,）r<?（>-]x*4Jx4-l,

434J4

p（x~3）r（A:）p（n.）-j-x1--L

/,（X2）-r（A.）r（B）（『5,〃"〃"《X!+鼻!一!!

*1J4o4

r（x1）-P（.i.）/*（D）-!xJ=J.

/3

..................................................X分

"）7l，5X”4X；T.JX：攀..........I。分

<m>、M學(xué)的總找我?乙隊(duì)至少史小才可以川st...................................................13分

當(dāng)乙隊(duì)松5分時(shí)?內(nèi)亂1J隊(duì)的"J傅—4,3.2「2,乙隊(duì);9小餌第.."J-?

多乙隊(duì)枳?分時(shí),內(nèi)隊(duì)或m均療即6分或?分.不俺蝌保上從血線.

17.（本小也N分）

M:（I）JKHO.IM）.

火為八〃.

WWO/JOA（??.

所以H,O1AC.............................................................................................................1分

ZW^?,BA?I.

所以△B“人RA"Oli,

所以BiOlOB.............................................................................................................2分

M為ACM）"-（）.

高二收單（R外），與**K2ff（AGX）

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iUB,C?j平面ASB.A,所成你，“刃

sine=?co?.（jrr.?>i—|—1C,「FJ=W；................................................9分

<ni）o（*-nr4fTT^-ori.i.〃.即c（.................i（）分

M博可知小i.i.&）......................................................................11分

所以AC中點(diǎn)E《一|,（W3）,（C中點(diǎn)F（T，l,爭，

設(shè)/r?4巾.娟/rP-M-g.i.-#）................................................12分

所以，（一?^?.a.一￥八）,

所以前-（H.A.、g?

ill"?10"ICTA-J..........................................................................................

13分

高三代單（理外）K3直（屬■6百）

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■一與一一是5尸中點(diǎn)時(shí)??旭EF〃吊-A66,A................................一分

18.（本小■13分）

N：（IIlnr.x>0.................................................................................2分

w^r<i>-o.

府敏一線,?。+65■線點(diǎn)力”的九.......................3分

代人切慣方程可科*--1.................................................................................4分

III?-lnIWu-O.........................................................................S分

<11）ZrJAlir（，>—tInJ-I4-Inx-j-.

閾為?AO.所Lt/-（八-U+加，a）r-l?4>0................................7分

J4J

阱以t5）I的巾Mtt，................................................................N分

當(dāng)，￡?O.e.......................................................................9分

r（?'+l）-\,；F+ln<。'?1>>C.....................................................10分

所以，”>?。∣.+8>I/”..................................................................................

乂四力。VrV?r.時(shí).；./（x>>0................................12分

*w/<x）rr<?的微小使?.........................................

力注2,今/（川一物.即！/，，1?,?「.聞/，4|八???。......?………6分

設(shè),（▲）—?+/hi/Yx'vj）-J+lc/,.....................................75t

由『<才）-<>可用人一。'?盟（，>?*'?］）的分化情況?l卜t

jr<0.r*>cJ（c*?

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10分

WlU<<c1“?

3。>0時(shí)?8儲+1）=1+?1?0.

6'（0.e'）A.lnxl1<-I.HJIU?（J）-,Z（1?ln^>11Vo.

所以，1,1"，一"0育唯一攵，點(diǎn)〈左例右正兒...................II分

*三"學(xué)（vf“>A+*童*4K（A&K>

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乂因?yàn)樗?/"+Inx-O/iH-tJVTAC*ftAit）.

所以r（/〃i*變，｝*點(diǎn)（左例后正）.................................12分

所以八上）方咻一的鍛小例...............................................ise

19.（本小|g14分）

?：<I”N為的人做點(diǎn)為（々.6）.

所以郵+............................................2分

WAMNC過點(diǎn)哼

*11；+^-l.*lUWRC.iy+-I..................................................4?

I

<II）的蛇if!”八H%?b+>-I和M.............5外

設(shè)冷點(diǎn)到代像人〃的距離力J.

①I?"人X*不存在.惴4（0.4-5_）.B<±2Z）.

G

電....................................................6分

?3

②匕（M料$〃在.》|1tlM〃41（州?叫段（小y/.……7分

利:：；,-「得“，舟'"、舞'........................，分

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山、可用>■*-*!.5?，/7TT5..............................................9分

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|OAI*-zJ<OH-?v/..........................II分

IIABF"I'OKII.U'?2k'?2

/"KM|'riCW7MMI'N潮'"ICMH1ilJBl*'U'I"E

193l?..........................................................................................................13分

蟀I.?直線AH與*/+/-1和切...................................M分

20.（本小?13分,

M：<IA.I5>

,三?學(xué)（JK“）<<?.<尊S<<A6ff>

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假設(shè)13￡A,則的性質(zhì)?？山?+121-131-9WA.

種由性瞰，可橙科1+1139I-56A.

這與已知5gA矛盾.所以13GA..............................................................3分

<II>>1「任總的HEN'?由性質(zhì)FOTWa.4-|u.4i-0.4,164.

乂IMXfa.<?..

所以a.+a.ra..?SA.fl,<i.<a.4-a.?,—?,.?Va.=.

所12a.ta..ian—a.…即a..,-d..i=a..|a..

所以時(shí)于任意“6N??都%-----?).

所以q.a,.5.a.?…是等不敢舛.....................................8分

(ID)設(shè)數(shù)列a.a：.…的公差為</.由巳19可19dWz.

ft。尸0?a尸)?a.hy.其中</<!.

則有y-3-i)d?r=(ji)d.

苒先修明一?>比質(zhì)足MN的充分樂忤.

?一八3互質(zhì)?所以d-1.

W為M拈所機(jī)播足(0,『?y)uA的故集A的f?.所KM=N.

W次if明M,.v瓦或是M-、的必要條

似世nv不比垢.財(cái)工…疔大I的內(nèi)微/?.

所以滿足條件的象介A(u〃?人?….〃.…卜中的產(chǎn)束所構(gòu)成的數(shù)列a,./.

a,?????明.…的公用d可以取I,也同以取/?.此時(shí).皋合A—40".2/>.3/>.….

(MI)。?…)也滿足條件.』1時(shí).有A?<0.戶?2/>.”?????(”一I"￡N.

，M=N矛晤.所以ny瓦版.........................................13分

高三代學(xué)(理科)A*第*9,6?(A-RK)

2015年北京高考模擬試題及答案《數(shù)學(xué)文》[1]

數(shù)學(xué)（文科）

一、選擇題（本大題共S小愚每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、復(fù)數(shù)i（2-i）=（）

A.1+ZB.-1+2:D.2-i

2、已知集合人=卜611,<1},B=(xeR|x>0},則AUB=()

A.RB.0C.（0,1）D.[0.1]

3、若sina>0,且tana<0,則角a的終邊所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4x2001年至2013年北京市電影放映場次的情況如

右圖所示.下列函數(shù)模型中，最不合適近似描述這

13年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的是（）

A.y=ax2+dx+cB.y=aez+6

C.1y=。二"D.y=atax+Z>

5、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的"的值為

）

A.1B.2C.3D.4

6、已知直線4:y=fcr+1和直線勺：J=七+a，則

j”是“V七”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7、已知等比數(shù)列｛4｝的公比qwl,則下面說法巾不正確的是（）

A?｛。>1+a"｝是等比數(shù)列B.對于左eN",左>1,+ai,l*2at

C.對于〃eN*,都有的3>0D.若%>外,則對于任意

N*,都有a,>an

8、某四棱柱的三視圖如圖所示，該幾何體的各面中互相垂直的

面的對數(shù)是（）

A.2B.4

C.6D.8

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.）

9、拋物線C:/=2x的準(zhǔn)線方程為

10、已知?jiǎng)t〃-2）=_________,函數(shù)〃x）的值域?yàn)開________

x+l.xi0

11、已知向量a,5是夾角為60?的單位向量，則向量a與向量a+5的夾角是.

12、在AABC中，AB=2,AC=&,26=60*,則NA=.

13、假設(shè)某商店只有每盒10支裝的鉛筆和每盒7支裝的鉛筆兩種包裝類型.學(xué)生打算購

買2015支鉛筆，不能拆盒，則滿足學(xué)生要求的方案中，購買的兩種包裝的總盒數(shù)的最小

值是，滿足要求的所有購買方案的總數(shù)為.

14、已知函數(shù)）=6（其申。>0）經(jīng)過不等式組廣<°,c所表示的平面區(qū)域，貝恢

|x-y+l>0

數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題（本大題共6小題，滿分S0分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15、（本小題滿分13分）已知f（x）=AsinCx+‘；（A>0）的部分圖象如圖所示.

⑴寫出/（X）的最小正周期及A,與的值；訃

（口）求/（x）在;；上的取值范圍.

16、（本小題滿分13分）下圖為北京市2001年到2013年人均生活用水量和常住人口的

情況：

1

(I)比較前6年與后7年人均生活用水量的平均值的大?。?不要求計(jì)算過程)

(H)若從這13年中隨機(jī)選擇連續(xù)的三年進(jìn)行觀察，求所選的這三年的人均用水量恰是依

次遞減的概率；

(1口)由圖判斷從哪年開始連續(xù)四年的常住人口的方差最大？并結(jié)合兩幅圖表推斷北京

市在2010至2013四年間的總生活用水量的增堿情況.(結(jié)論不要求證明)

17、(本小題滿分14分)已知三棱柱ABC-A1B1G?

(I)若三棱錐B「ABC的體積為1,寫出三棱柱ABC-A四(^的體積；(不要求過程)

(H)若E,F分別是線段與C,A￡的中點(diǎn),求證：EF，平面ABB】Aj

(III)若ABLBC,且B[A=B1c=%B=AC,求證：平面B】AC_底面ABC.

18、(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=(x-a)lnx.

⑴若直線)-=x+b與/(x)在x=l處相切，求實(shí)數(shù)a,b的值;

(U)若/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19、（本小題滿分14分）已知橢圓C1過點(diǎn),且其右頂點(diǎn)與橢圓C：:/+2y2=4的

右焦點(diǎn)重合.

（I）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）設(shè)。為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C1上，點(diǎn)B在橢圖C：上，且OALOB,求證,

11

而+畫=,

20、（本小題滿分13分）已知整數(shù)數(shù)集A={%%,a”…,a）（qn>3）

具有性質(zhì)P：對任意i,j,kq+a-qeA.

（I）請舉出一個(gè)滿足上述條件且含有5個(gè)元素的數(shù)集A,‘

（n）求證：4,%，生,…，是等差數(shù)列；

（1口）已知q=2,a,=2015,且20eAuN,求數(shù)集A中所有元素的和的最小值.

數(shù)學(xué)（文科）參號答攵

一，選程看（共H小■.福小?5分,共，0分）

I.A2.A3.B4.1）5.C6.B7.P8.D

二、城空超（共$小?.每小?，分,共30分）

9.x~~10.^.（0.+??>11.30*12.75*13.203.29H.0<?<!

（說明：第10眼和第13M的姑?營3分.第二空2分）

三、解答超（共，:小II.我的分）

15.（本小虺港分135>>

||：<I>微小亞周期r-?..............................................................2分

=T..............................................................................6分

<II>M*x€C-J.*）.

fni'JL2,+"€<:....................................................................................8分

n4

所.由—+口）€<一g?1].............................................................................II分

6■

所以/（，）在（：.：）卜的取值也的叢（一掾，3]......................................13分

4.1L

16.（本小題滿分13分）

N：<I”h圖可和前6年的人均，|活用水植的Y均位更人緋....................3分

（II"34中-Mfr11個(gè)if續(xù)的淚.其中只有2005笆2QQ7加2岡8系2。1。網(wǎng)個(gè)ii

依?:年的人均用水必整合依次篷M.所以修機(jī)送界迷緣的年進(jìn)行說案.所選的

這三卬的人均用水用輸是依次ilM的質(zhì)率片.........................7分

（[I）2007至2010連續(xù)四年的京仆人”的方總瓜大：.........................10#

高三髓學(xué)（文科）fS-t革1<（*tfi）

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