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文檔簡介
四川省瀘縣二中2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.2.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.3.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.4.設(shè)過拋物線上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線與拋物線交于兩點(diǎn),直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.5.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.6.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時,檢測結(jié)束,則第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.7.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.18.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個坐位的寬度(),每個座位寬度為,估計彎管的長度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,且與點(diǎn)相鄰的一個最低點(diǎn)為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.11.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.412.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對邊分別是,若,,則____.14.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點(diǎn)Q,已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,且動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,則當(dāng)二面角平面角的大小為時,k的值為______.15.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,則__________.16.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,直線過點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最大值.18.(12分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動:具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)估計1位會員至少消費(fèi)兩次的概率(2)某會員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤;(3)假設(shè)每個會員每星期最多消費(fèi)4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會員中隨機(jī)抽取兩位,記從這兩位會員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望19.(12分)已知橢圓過點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點(diǎn)為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.20.(12分)在如圖所示的多面體中,四邊形是矩形,梯形為直角梯形,平面平面,且,,.(1)求證:平面.(2)求二面角的大小.21.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈次隨機(jī)話費(fèi);②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:贈送話費(fèi)的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,22.(10分)[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,且,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.3、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.4、C【解析】
畫出圖形,將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比,進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程,再聯(lián)立方程組,求得交點(diǎn)坐標(biāo),最后代入坐標(biāo),求得三角形面積比.【詳解】作圖,設(shè)與的夾角為,則中邊上的高與中邊上的高之比為,,設(shè),則直線,即,與聯(lián)立,解得,從而得到面積比為.故選:【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系,進(jìn)而聯(lián)立方程組求解,是一道不錯的綜合題.5、B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)?,所以,所以,?dāng)時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.8、B【解析】
為彎管,為6個座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對的圓心角,再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷ΨQ中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當(dāng)時,,所以與有6個交點(diǎn),設(shè)各個交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.10、A【解析】
,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.11、B【解析】
解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時,,此時不成立.當(dāng)時,,此時成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.12、B【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應(yīng)圖形如下:可知點(diǎn),,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,根據(jù)正弦定理“邊化角”,可得,根據(jù)余弦定理,結(jié)合已知聯(lián)立方程組,即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理:可得根據(jù)余弦定理:由已知可得:故可聯(lián)立方程:解得:.由故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14、【解析】
二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線得距離為d,則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線的距離為d,則,即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.15、【解析】
由題意知,繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解:由題意知,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,屬于中檔題.16、40【解析】
根據(jù)二項(xiàng)定理展開式,求得r的值,進(jìn)而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開式的通項(xiàng)式得所以,解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點(diǎn)P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是y2+4my﹣4=0的兩個不同實(shí)根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴當(dāng)m時,取最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法,考查向量的數(shù)量積的最大值的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.18、(1)(2)22.5(3)見解析,【解析】
(1)根據(jù)頻數(shù)計算頻率,得出概率;(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤;(3)求出各種情況對應(yīng)的的值和概率,得出分布列,從而計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)估計1位會員至少消費(fèi)兩次的概率;(2)第1次消費(fèi)利潤;第2次消費(fèi)利潤;第3次消費(fèi)利潤;第4次消費(fèi)利潤;這4次消費(fèi)獲得的平均利潤:(3)1次消費(fèi)利潤是27,概率是;2次消費(fèi)利潤是,概率是;3次消費(fèi)利潤是,概率是;4次消費(fèi)利潤是,概率是;由題意:故分布列為:0期望為:【點(diǎn)睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、(1);(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①設(shè)直線,,,將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示,證明即可;②分別用表示,,的面積即可.【詳解】(1)解之得:的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)①,,設(shè)直線代入橢圓方程:設(shè),,,直線,直線,,,,,.②,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì),可證明;由所給線段關(guān)系,結(jié)合勾股定理逆定理,可證明,進(jìn)而由線面垂直
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