構(gòu)建力學(xué)知識(shí)體系

構(gòu)建力學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建力學(xué)知識(shí)體系——淺談高一力學(xué)復(fù)習(xí)談起高中物理，不管是在讀學(xué)生，還是從高中時(shí)代過來的成人們，普遍反映：物理難學(xué)，高一的力學(xué)尤其難學(xué)。翻開高一課本，新的概念、規(guī)律接踵而至。剛開始幾個(gè)如力、位移、速度是比較直觀的概念，加速度稍難理解點(diǎn)，但物體速度可以變化是事實(shí)，這個(gè)描述速度變化快慢的加速度還是可以接受的，所以運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律相對來講還是比較容易接受和掌握的，這個(gè)階段學(xué)生感覺困難的是把物體所受的全部力不多不少正確無誤地分析出來。接著是曲線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，由直線運(yùn)動(dòng)到曲線運(yùn)動(dòng)，這個(gè)彎轉(zhuǎn)得比較大，其中向心力、向心加速度這些概念尤其難以理解，學(xué)生極易有向心力是物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)專門受到的、大小為mrω2的特殊類型的力的錯(cuò)覺，而與物體實(shí)際的受力相脫離，所以有的學(xué)生在遇到求某個(gè)具體的什么力時(shí)，動(dòng)不動(dòng)就將算出來的向心力當(dāng)作這個(gè)力，實(shí)在是他們弄不清向心力和這些具體受力間的關(guān)系，究其實(shí)質(zhì)還是他們沒深刻理解牛頓第二定律。此后迎來的是一系列深藏在表象里面的、極其抽象的概念和規(guī)律，如沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、功、功率、動(dòng)能定理、勢能、機(jī)械能、機(jī)械能守恒定律等等。這些經(jīng)數(shù)代科學(xué)家在經(jīng)過不斷地觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、邏輯推理、爭論、去偽存真、抽象、概括的高度濃縮的更本質(zhì)的智慧結(jié)晶，對學(xué)生而言就象壓縮餅干一樣難于咀嚼。有的學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)為這無非是把公式變來變?nèi)?，在玩?shù)學(xué)游戲，是物理學(xué)家們好事；而有的則感嘆這些規(guī)律真?zhèn)ゴ?、真奇妙，但遇到問題時(shí)卻一如既往地以牛頓定律為武器，他們怕這些規(guī)律，懷疑自己有駕馭的能力；多數(shù)同學(xué)已迎難而上了，然而上新課時(shí)，所做的練習(xí)是經(jīng)專門挑選的，用來操練新規(guī)律的，所以學(xué)生往往不必去細(xì)究更多，有時(shí)依樣畫個(gè)葫蘆，有時(shí)套套公式，也能應(yīng)付過來。經(jīng)過一個(gè)階段的集中訓(xùn)練，公式是熟悉多了，然而這時(shí)如果問起這些規(guī)律是怎么來的，與以前的內(nèi)容間有何聯(lián)系，如何根據(jù)具體問題來選擇規(guī)律時(shí)，能回答一、二的學(xué)生卻不多。當(dāng)然上新課時(shí)，經(jīng)精心設(shè)計(jì)，以舊引新，這些規(guī)律的來龍去脈都講過，平時(shí)訓(xùn)練有時(shí)也彼此作比較，但學(xué)生在面對這些本身極其抽象，自己又沒在其中“摸爬滾打”過的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)時(shí)，印象往往是不深刻的。這樣，一章一章學(xué)下來，學(xué)到后來，在學(xué)生腦海中的物理只是一塊塊的、獨(dú)立的、隔章如隔山的、不成體系的、零亂的知識(shí)堆砌。那么這些規(guī)律間到底是什么關(guān)系呢？是互相獨(dú)立的，互不相干的？還是相互間有聯(lián)系的，但又是獨(dú)立的？還是完全一樣，可以互相取代的？只有弄清了相互間的關(guān)系，才能進(jìn)行融會(huì)貫通、綜合分析、靈活應(yīng)用。那么教師怎樣才能在有限幾節(jié)復(fù)習(xí)課上讓學(xué)生明白得盡可能多點(diǎn)，而達(dá)到良好的復(fù)習(xí)效果呢？在學(xué)生方面，經(jīng)過近一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有了一定的認(rèn)識(shí)和理解，有了自己的體會(huì)，有些學(xué)生學(xué)得還真不錯(cuò)了，這時(shí)的他們已有了進(jìn)一步理解的基礎(chǔ)，同時(shí)他們自身也有了欲從高處俯瞰力學(xué)“迷宮”，想更進(jìn)一步深入的要求，可以說在這時(shí)候進(jìn)行一次較全面的分析，共同構(gòu)建力學(xué)知識(shí)體系的時(shí)機(jī)成熟了。于是我想通過一個(gè)簡單的、常見的情景題，讓這些規(guī)律一個(gè)牽著一個(gè)地走出來，一溜齊全地站在學(xué)生面前，給學(xué)生以強(qiáng)烈的視覺和思想沖擊，這些在學(xué)生印象中該在不同階段出現(xiàn)，應(yīng)用于不同題目的規(guī)律，聚在一起，向?qū)W生展示各自的風(fēng)采。[題1]如圖（1），一質(zhì)量為m的小球在人所施加的豎直向上的恒定拉力F作用下勻加速上升，加速度為a，空氣阻力不能忽略，設(shè)為恒力Ff，在t時(shí)間內(nèi)，小球速度由V變?yōu)閂ˊ，上升高度為h，那么這些物理量間的相互關(guān)系怎樣？對小球，據(jù)牛頓第二定律（F合=ma，力的瞬時(shí)作用效應(yīng)），有F－mg－Ff=ma，①據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有Vˊ－V=at，②Vˊ2－V2=2ah，③討論：若a=0，則小球有F－mg－Ff=0，即處于力平衡狀態(tài)，Vˊ=V，而F合=0，是物體的平衡條件。將①②聯(lián)立，消去a得（F－mg－Ff）t=mVˊ－mV，④此式表明小球所受合外力的沖量等于小球在此過程中的動(dòng)量的變化，這就是動(dòng)量定理，是反映力對時(shí)間的積累效應(yīng)。將①③聯(lián)立，得（F－mg－Ff）h=mVˊ2－mV2，⑤此式表明小球所受合外力的功（或各外力的功的和）等于小球在此過程中動(dòng)能的變化，這就是動(dòng)能定理，是反映力對空間的積累效應(yīng)。又WG=－mgh=－ΔEp⑥或ΔEp=mgh，⑥ˊ重力對物體做多少功，物體的重力勢能（嚴(yán)格講重力勢能是物體與地球組成的系統(tǒng)所共有的，其存在以兩者間的引力作用為前提，故重力對物體的功的實(shí)質(zhì)是物體受到的重力和地球所受反作用力的功的和，其值取決于重力和兩者的相對距離的改變，故我們常以其中之一的地球?yàn)閰⒖挤治鰄，求得重力功。）減少多少；物體克服重力做多少功，物體的重力勢能增加多少。重力功等于重力勢能增量的負(fù)值。凡跟重力做功具有相同特點(diǎn)的力，即其功與物體運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)，只與初、未位置有關(guān)，都以下的比較便說明問題了。動(dòng)量是矢量，有大小、方向，合成時(shí)遵循平行四邊形定則；動(dòng)能是標(biāo)量，只有大小而沒有方向。動(dòng)量所反映的是只有物體間互相傳遞、轉(zhuǎn)移的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量，這一規(guī)律由動(dòng)量守恒定律所表述；動(dòng)能則反映的是可以轉(zhuǎn)化為內(nèi)能、電能、光能等其它形式運(yùn)動(dòng)量的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量，這一特點(diǎn)由能量守恒定律所反映。動(dòng)量的變化（傳遞、轉(zhuǎn)移）是通過沖量而實(shí)現(xiàn)而量度；動(dòng)能的變化（傳遞或轉(zhuǎn)化）是通過做功而達(dá)到而量度。所以動(dòng)量和動(dòng)能是反映機(jī)械運(yùn)動(dòng)不同側(cè)面的、客觀存在的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量。當(dāng)兩個(gè)物體發(fā)生非彈性碰撞時(shí)，其動(dòng)量是守恒的，而動(dòng)能是不守恒的。所以力和運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)、功能觀點(diǎn)是動(dòng)力學(xué)問題在不同視角下的體現(xiàn)。上題我們進(jìn)行了全面的剖析、全方位地把問題的不同側(cè)面都展現(xiàn)出來，讓我們?nèi)娴?、透徹地感受了該運(yùn)動(dòng)過程。既然觀察問題的角度有多個(gè)，所以一般問題的解法往往也有多種，我們從不同觀點(diǎn)出發(fā)，可以得到同樣的結(jié)果。[題2]如圖（2）甲所示，質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）以水平初速V0滑上原來靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的小車上，物體與小車上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小車足夠長，求從物體滑上小車到與小車相對靜止這段時(shí)間內(nèi)，小車通過的位移。分析：對m、M進(jìn)行受力分析如圖（2）乙所示，各力的大小為：因m豎直方向力平衡，有FN1=mg；而滑動(dòng)摩擦力Ff=μFN=μmg；又由牛頓第三定律得Ffˊ=Ff=μmg，兩力方向相反。[解一]力和運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)以向右為正方向，對m據(jù)牛頓第二定律有－μmg=mam，（1'）對M據(jù)牛頓第二定律有μmg=MaM，（2'）m、M相對靜止時(shí)有V0+amt=aMt，（3'）而SM=aMt2，（4'）由（1'）（2'）（3'）（4'）解得SM=。[解二]動(dòng)量觀點(diǎn)以向右為正方向，對m據(jù)動(dòng)量定理得－μmgt=mV共－mV0，（1''）對M據(jù)動(dòng)量定理得μmgt=MV共－0，（2''）而SM=t，（3''）或因m、M系統(tǒng)水平方向不受外力，所以水平方向動(dòng)量守恒，有mV0=（M+m）V共，（4''）（此式實(shí)際由牛頓第三定律和m、M各自的動(dòng)量定理公式即（1''）、（2''）推導(dǎo)而得。）由（1''）（2''）（3''）或（1''）（3''）（4''）或（2''）（3''）（4''）均可解得SM。[解三]功能觀點(diǎn)對m據(jù)動(dòng)能定理得－μmgSm=mV共2－mV02，（1'''）對M據(jù)動(dòng)能定理得μmgSM=MV共2－0，（2'''）SM=t，（3'''）Sm=t，（4'''）由（1'''）（2'''）（3'''）（4'''）解得SM。由此可見，針對一個(gè)力學(xué)問題，我們從不同角度切入，用不同規(guī)律求解都能得到同樣的結(jié)果。那么就以上問題，有沒有更便捷的方法呢？如何選擇？由于該題是涉及到兩個(gè)相互作用的物體，所以選擇關(guān)于系統(tǒng)的規(guī)律往往較對每個(gè)物體單獨(dú)分析列式更直接、更簡單。另外，已知量、所求量分別是什么，哪些規(guī)律是反映這些物理量間的關(guān)系，而不涉及其它或在不得不涉及其它未知量時(shí)涉及得較少。如果能做到綜合各觀點(diǎn)，有選擇地去應(yīng)用規(guī)律，則可以少繞彎子，少走冤枉路。上題如下列式便特別簡單。[解四]綜合mV0=（M+m）V共，（1）μmgSM=MV共2－0，（2）由（1）（2）解得SM。若求m、M間的相對位移S相對，將動(dòng)量守恒（上（1）式）和能量守恒mV02－（M+m）V共2=μmgS相對聯(lián)立便得。由于題2兩物體所受的力均是恒力（或分段后各段中是恒力），所以在用不同觀點(diǎn)求解的具體過程中沒有障礙。若題目稍微改動(dòng)一下，比如在此運(yùn)動(dòng)過程中物體m還受到一個(gè)外界施給的豎直向下、大小不斷變化且已知其變化規(guī)律的力，其余不變。則m、M間的彈力是變力，滑動(dòng)摩擦力是變力，此時(shí)牛頓第二定律依然成立，加速度隨摩擦力變化而變化，其變化規(guī)律可求出，m、M都做變加速直線運(yùn)動(dòng)，所以解一中的（3'）（4'）式、解二中的（3''）式、解三中的（3'''）（4'''）式都不成立（它們只對勻變速直線運(yùn)動(dòng)成立），而實(shí)際的速度、位移規(guī)律往往因中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的局限無法求出，只有當(dāng)加速度與時(shí)間成線性關(guān)系，即at=a0+kt，a0、k已知時(shí)，我們用與課本求勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移類似的方法求速度，因a隨時(shí)間均勻變化，=，ΔV=，或畫a—t圖象，用無限分割逐漸逼近的方法（高等數(shù)學(xué)的基本思想之一）得ΔV即圖線與橫軸t所包“面積”，從而求得速度（凡這種一個(gè)量是另一量的線性函數(shù)，由它們的乘積所決定的量均可如此求出），但位移依然無法求出。所以用力和運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)無法求出SM。這時(shí)m、M的動(dòng)量定理可表達(dá)為－Fft=mV共－mV0、Fft=MV共，其中Ff應(yīng)是摩擦力對時(shí)間t的平均值。動(dòng)量依然守恒，方程如（1）式不變，但單純用動(dòng)量觀點(diǎn)無法求出SM。動(dòng)能定理方程表達(dá)為Wfm=mV共2－mV02、WfM=MV共2，若摩擦力的功要表達(dá)為FfS，則Ff應(yīng)是摩擦力對相應(yīng)S的平均值，此時(shí)兩物的摩擦力的平均值往往并不相等。單純用功能觀點(diǎn)也無法求出SM。那么走結(jié)合的道路，象前述解四那樣，但小車所受摩擦力的功如何用SM表達(dá)出，若摩擦力與M的位移成線性關(guān)系，即Ff=F0+SM，而F0、已知，則利用Ff—SM圖象得功為F0SM+SM2，再結(jié)合動(dòng)量觀點(diǎn)，則能解出SM，若摩擦力變化著但不具有上述特點(diǎn)，那受數(shù)學(xué)限制就無能為力了。需要明確的是，此時(shí)這些描述運(yùn)動(dòng)不同側(cè)面的規(guī)律依然客觀存在著，只是在具體求解時(shí)由于數(shù)學(xué)原因而不得不放棄某些規(guī)律。實(shí)際我們遇到的問題是如此紛繁復(fù)雜，有單個(gè)物體，有涉及相互作用著的多個(gè)物體；有的物體所受外力是恒定的，有的物體所受外力是在不斷變化（或大小變或方向變或大小、方向都變）著的；有的物體做直線運(yùn)動(dòng)，有的則做曲線運(yùn)動(dòng)；有的求速度，有的求力，有的求能量等等；有的速度是對地的，有的則是相對運(yùn)動(dòng)著的物體（其速度還可能在變化）而言的。我們知道速度、位移、加速度等運(yùn)動(dòng)量會(huì)隨參考系的不同而不同，那么規(guī)律中出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)量該以誰為參考呢？如果我們能充分領(lǐng)悟以下幾點(diǎn)，那么中學(xué)階段遇到的動(dòng)力問題都能迎刃而解了。當(dāng)然這些是應(yīng)中學(xué)階段要求的、淺層次的、對學(xué)生較實(shí)用的規(guī)則經(jīng)驗(yàn)。一、各觀點(diǎn)并非孤立，而有密切的內(nèi)在聯(lián)系，它們客觀存在著，從不同角度描述動(dòng)力問題，互相加強(qiáng)、互相補(bǔ)充。解題時(shí)注意結(jié)合使用。有了這樣的認(rèn)識(shí)，你就有足夠的信心去面對各種各樣的力學(xué)問題，就能防止只知道用某一觀點(diǎn)、某一規(guī)律解決問題而死鉆牛角尖，當(dāng)遭遇此路不通時(shí)，應(yīng)及時(shí)更換其它規(guī)律來解決，總可以“柳暗花明又一村”。二、無論選什么定理（律）解題，關(guān)鍵是確定研究對象，進(jìn)行受力分析。牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理中的力均指物體所受的合外力。動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律都有成立條件，判斷守恒與否同樣要進(jìn)行受力分析。應(yīng)用功能原理時(shí)也得受力分析，得出系統(tǒng)所受外力和內(nèi)力中除重力、彈簧彈力以外的力的功。即使用能量守恒時(shí)，也不妨借助受力特點(diǎn)分析出所有參與轉(zhuǎn)化的能量。三、涉及單體，用牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理分析。涉及加速度a，一般用牛頓第二定律求解；涉及時(shí)間t，而不涉及a、S，一般用動(dòng)量定理求解；涉及位移S，而不涉及a、t，一般用動(dòng)能定理求解。涉及多體，一般選用關(guān)于系統(tǒng)的規(guī)律，如動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律等求解往往較簡單。這些建立廣泛的物體間運(yùn)動(dòng)量聯(lián)系的規(guī)律，反映問題往往更直接。四、恒力問題，一般三種觀點(diǎn)均可解之；變力問題，一般選動(dòng)量、功能觀點(diǎn)求解。應(yīng)用這些規(guī)律時(shí)，都得先明確過程始末。用動(dòng)量定理時(shí)，僅需研究過程始末動(dòng)量變化和平均力的沖量。對于系統(tǒng)，只要符合所受外力之和為零或內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力的條件，內(nèi)力作用不管是什么形式：碰撞、分裂、爆炸、化學(xué)反應(yīng)等，大小不管如何變化，動(dòng)量守恒或近似守恒，從而僅需研究系統(tǒng)在過程始末的總動(dòng)量即可。用動(dòng)能定理時(shí)，僅需研究過程始末動(dòng)能變化和各力功的情況，由于功的計(jì)算特點(diǎn)，有不少變力功我們能直接求出，如力與運(yùn)動(dòng)方向時(shí)時(shí)垂直，功為零；力大小恒定，與運(yùn)動(dòng)方向總同向或反向，功為FS或-FS（S為路程）；如F與S成線性關(guān)系，能求出功；如力的功率P恒定，功為Pt；如P與t成線性關(guān)系，功亦能求出；等等。功能原理與動(dòng)能定理并無本質(zhì)區(qū)別，區(qū)別僅在于功能原理中引入了重力勢能而無需