構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系數(shù)學(xué)教育專業(yè)《構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用》廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院畢業(yè)論文41-構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用【摘要】構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，在解題中被廣泛應(yīng)用。構(gòu)造法是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，特別是有些問題，用構(gòu)造法更簡(jiǎn)捷明了。本文簡(jiǎn)單闡述了構(gòu)造法的概念，重點(diǎn)論述了構(gòu)造在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法數(shù)學(xué)解題應(yīng)用波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。”解數(shù)學(xué)問題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。本文將對(duì)構(gòu)造法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單探討，通過示例，不斷加深對(duì)構(gòu)造法的理解。一、對(duì)“構(gòu)造法”的概述與基本特征構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關(guān)系式為“支架”，通過觀察、聯(lián)想，采用新的設(shè)計(jì)，構(gòu)造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法。在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.構(gòu)造法的基本特征如下：1.對(duì)所要討論的問題給出了較為直觀的描述；2.不但回答了提出的問題，而且構(gòu)造出具體的結(jié)果。二、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用1．構(gòu)造函數(shù)在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。例1：（八年下課本習(xí)題變式）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤(rùn)1200元。（1）按要求安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來；（2）設(shè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為（元），生產(chǎn)種產(chǎn)品件，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）設(shè)需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件，那么需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件，由題意得：解得：，是正整數(shù)，或31或32，有三種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)種產(chǎn)品20件；②生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)種產(chǎn)品19件；③生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)種產(chǎn)品18件；（2）由題意得：，隨的增大而減小，∴當(dāng)=30時(shí)，有最大值，最大值為：=45000（元），答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，（1）中的方案①獲利最大，最大利潤(rùn)為45000元。例2：求函數(shù)的最大值.解：由根號(hào)下的式子看出且，故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造，所以，當(dāng)即時(shí)，.2.構(gòu)造方程方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法.構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點(diǎn)，運(yùn)用方程觀點(diǎn)解題可歸結(jié)為3個(gè)步驟：.將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；.解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判別式與韋達(dá)定理），得出相應(yīng)結(jié)論；.將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論。（1）某些題目根據(jù)條件、仔細(xì)觀察其特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)“一元一次方程”求解，從而獲得問題解決.例3：設(shè)且，，求的范圍.解：由得（1）將（1）的兩邊平方并將代入得（2）由（1）（2）可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根于是解得：即：（2）有些問題，直接求解比較困難，但如果根據(jù)問題的特征，通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造“一元二次方程”，再用根與系數(shù)的關(guān)系求解，使問題得到解決。此方法簡(jiǎn)明、功能獨(dú)特，應(yīng)用比較廣泛，特別在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用。例4：已知實(shí)數(shù)、、滿足求的值。思考與分析：根據(jù)本題的題設(shè)可能使我們聯(lián)想到韋達(dá)定理，但仍需進(jìn)行合理的變形，才能構(gòu)造出方程組去求解。解：由已知可得：以、為兩實(shí)數(shù)根，構(gòu)造方程方程有實(shí)數(shù)根由此得到，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根于是，，3.構(gòu)造幾何圖形（1）對(duì)于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來，從而構(gòu)造出幾何圖形，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決。增強(qiáng)問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。例5：已知：，,求證：.分析：在求證條件不等式時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件作出對(duì)應(yīng)的圖形，然后運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證。證明：如圖1:作邊長(zhǎng)為1的正方形,在上取點(diǎn)，使=；在上取點(diǎn)，使=，過//交于；作//交于.設(shè)與交于點(diǎn)，連接，所以且，，因此.即命題成立。命題（3）不成立：令，，此時(shí)，且滿足條件，但結(jié)論不成立。例8：證明以下命題為假命題：若兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和三條邊六個(gè)元素中有五個(gè)元素分別相等，則這兩個(gè)三角形全等。思考與分析：只要構(gòu)造的一個(gè)符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論的例子即可。證明：如圖3，和中，使，，，.∽∠=∠∠=∠∠=∠即和滿足五個(gè)元素分別相等，但它們不全等。故該命題是假命題。從以上各例不難看出，構(gòu)造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”,通過仔細(xì)地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。因此，在解題時(shí)，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，就會(huì)得到許多構(gòu)思巧妙，新穎獨(dú)特，簡(jiǎn)捷有效的解題方法，而且還能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。運(yùn)用構(gòu)造法解題能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題的創(chuàng)新能力，也可從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂趣。參考文獻(xiàn)[1]李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究（第二版）[M].上?？萍冀逃霭嫔纾?002年.339至