解密11 空間幾何體（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專(zhuān)用）

解密13空間幾何體高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率空間幾何體的表面積與體積立體幾何問(wèn)題既是高考的必考點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，保持“一小一大”或“兩小一大”的格局．多以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體三視圖的識(shí)別以及空間內(nèi)點(diǎn)線(xiàn)面的關(guān)系為主，空間幾何體的體積或表面積的計(jì)算.2021年全國(guó)乙卷10★★★★2021年新課標(biāo)一卷122021年全國(guó)乙卷182020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ32019課標(biāo)全國(guó)Ⅰ122019課標(biāo)全國(guó)Ⅲ16★★★空間幾何體與球的切、接問(wèn)題2020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ152020課標(biāo)全國(guó)Ⅱ102020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ102019課標(biāo)全國(guó)Ⅰ122018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ12★★★★★考點(diǎn)一空間內(nèi)點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系例題1．已知矩形ABCD，AB＝2，，將△ABD沿矩形的對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，（）A．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)BD與直線(xiàn)AC垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)BC與直線(xiàn)AD垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線(xiàn)“AC與BD”“CD與AB”“AD與BC”均不垂直【答案】B【分析】矩形在翻折前和翻折后的圖形如圖(1)(2)所示.在圖(1)中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，由邊AB，BC不相等可知點(diǎn)E，F(xiàn)不重合；在圖(2)中，連接CE.對(duì)于選項(xiàng)A，若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合相矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD垂直，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，已知AB＝2，，則BC>AB，所以不存在這樣的直角三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由以上可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B例題2．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線(xiàn)段上，此時(shí)△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，△的周長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線(xiàn)段上，因?yàn)槠矫?，所以直線(xiàn)上的點(diǎn)到平面的距離相等，又△的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取線(xiàn)段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，因?yàn)椋?，所以，則點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，當(dāng)點(diǎn)在處，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn)在線(xiàn)的上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方體形中，，又，，平面，所以平面，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)與定直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)D正確．故選：B．例題3．如圖，已知三棱錐A-BCD的截面MNPQ平行于對(duì)棱AC，BD，且，其中m，n∈（0，+∞）.有下列命題：①對(duì)于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，對(duì)任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形；③當(dāng)m=1時(shí)，截面MNPQ的周長(zhǎng)與n無(wú)關(guān)；④當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD=2時(shí)，截面MNPQ的面積的最大值為1.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】：①因?yàn)榻孛鍹NPQ，平面平面MNPQ平面,所以,同理,所以,同理,所以對(duì)于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形，所以該命題正確；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，則,所以截面MNPQ是矩形，當(dāng)時(shí)，，如果，所以當(dāng)時(shí)，,此時(shí)對(duì)任意的m，都存在，使得截面MNPQ是正方形，所以該命題正確；③當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)所以，所以截面的周長(zhǎng)為，所以截面MNPQ的周長(zhǎng)與n無(wú)關(guān)，所以該命題正確；④當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD=2時(shí)，，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以截面MNPQ的面積的最大值為1，所以該命題正確.故選：A例題4．已知α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m?α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β【答案】D【分析】由，是兩個(gè)平面，，是兩條直線(xiàn)，知：在A中，，，，由面面垂直的判定定理得，故A正確；在B中，，，由面面平行的性質(zhì)定理得，故B正確；在C中，，，，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得，故C正確；在D中，，，，與相交或平行，故D錯(cuò)誤．故選：D．例題5．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則（）A．直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B垂直，直線(xiàn)MN平面ABCDB．直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B平行，直線(xiàn)MN⊥平面BDD1B1C．直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B相交，直線(xiàn)MN平面ABCDD．直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B異面，直線(xiàn)MN⊥平面BDD1B1【答案】A【分析】法一：連接AD1，則易得點(diǎn)M在AD1上，且M為AD1的中點(diǎn)，AD1⊥A1D.因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1?平面ABD1，顯然A1D與BD1異面，所以A1D與BD1異面且垂直.在中，由中位線(xiàn)定理可得，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以平面ABCD.易知直線(xiàn)AB與平面BB1D1D成45°角，所以MN與平面BB1D1D不垂直.所以選項(xiàng)A正確.故選:A.法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝2，則A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，1，0)，所以＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B.又由圖易知直線(xiàn)A1D與D1B是異面直線(xiàn)，所以A1D與D1B異面且垂直.因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為＝(0，0，1)，所以＝0，又MN?平面ABCD，所以平面ABCD.設(shè)直線(xiàn)MN與平面BB1D1D所成的角為θ，因?yàn)槠矫鍮DD1B1的一個(gè)法向量為＝(－1，1，0)，所以所以直線(xiàn)MN與平面BB1D1D不垂直.故選：A.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積☆技巧點(diǎn)撥☆首先，需要對(duì)于常見(jiàn)的錐體，柱體，臺(tái)體的體積基本公式要記住，另外對(duì)于常見(jiàn)的體積問(wèn)題，要學(xué)會(huì)割補(bǔ)法求體積，另外對(duì)于體積有關(guān)的題目亦可以采用等體積法，選擇合適的底面從而進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例題1．已知異面直線(xiàn)m，n相互垂直，點(diǎn)A，B分別是m，n上的點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與m，n均垂直，動(dòng)點(diǎn)C，D分別位于直線(xiàn)m，n上，直線(xiàn)CD與直線(xiàn)AB所成角為45°，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若連接點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成三棱錐，則三棱錐的體積最大值為C．點(diǎn)M為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡為圓D．若連接點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成三棱錐，則其外接球的表面積為【答案】ACD【分析】如圖所示，構(gòu)造一長(zhǎng)方體，過(guò)作，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，所以，由且，所以，，故A正確；設(shè)，則，又，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤；取中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，易證且，所以四邊形為平行四邊形，所以，故在以為圓心，1為半徑的圓上，故C正確；由C可知，平行四邊形的四邊長(zhǎng)為1，故可得四邊形為正方形，，則，又，三棱錐的外接球球心為，半徑為，所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.例題2．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．【答案】，過(guò)O作幾何體的截面如圖所示，過(guò)C作于點(diǎn)，由題意得，，，，，.，，，.又，，，.例題3．益陽(yáng)市“一園兩中心”項(xiàng)目是益陽(yáng)市委市政府推進(jìn)“大益陽(yáng)城市圈”建設(shè)、實(shí)現(xiàn)益陽(yáng)“東接?xùn)|進(jìn)”戰(zhàn)略作出的重大決策.“兩中心”是指益陽(yáng)市文化中心、益陽(yáng)市政務(wù)中心.其中圖書(shū)館是益陽(yáng)市文化中心的重要場(chǎng)館之一，市政府決定在圖書(shū)館頂上安裝太陽(yáng)能板發(fā)電，要測(cè)量頂部的面積，將圖書(shū)館看成一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測(cè)量長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為24m的正方形，且高為10m，當(dāng)正四棱錐的頂點(diǎn)P在陽(yáng)光的照射下的影子恰好落在底面正方形的對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（此時(shí)光線(xiàn)正好經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)），正四棱錐頂點(diǎn)的影子Q到長(zhǎng)方體下底面中心O的距離為m，則圖書(shū)館頂部的面積為（）A．576 B．624 C．688 D．728【答案】B【分析】依題意，正四棱錐頂點(diǎn)P、底面中心與正四棱柱下底面中心O共線(xiàn)，如圖，因，且，則四邊形是平行四邊形，即有，又直線(xiàn)，而，即有，又，由得，取中點(diǎn)E，連接，則PE是正四棱錐的斜高，而，于是得，正四棱錐的側(cè)面積，所以圖書(shū)館頂部的面積為.故選：B例題4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4，BC=2，沿中位線(xiàn)EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，則所得的幾何體的體積為_(kāi)__________.【答案】6【分析】過(guò)C作截面CMN，截面CMN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD，如下圖：由題意易知，，，從而直三棱柱ABE-MCN的體積為，又因?yàn)椋?，所以，從而四棱錐C-MNFD的體積為,所以所求幾何體的體積.故答案為：6.例題5．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為_(kāi)_____.【答案】1【分析】如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2及M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，得，又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，故答案為：1例題6．在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線(xiàn)上.（1）求證：DE∥平面ABC；（2）求三棱錐A－CDE的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）證明：由題意知，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，，又平面平面，平面，作平面，則，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，，由題意得，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面.（2），平面平面，平面，平面平面，平面，即平面，由（1）知，，故．又，．三棱錐體的體積為：．考點(diǎn)三空間幾何體與球的切、接問(wèn)題☆技巧點(diǎn)撥☆外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1．性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2：經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3：過(guò)球心與小圓圓心的直線(xiàn)垂直于小圓所在的平面（類(lèi)比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過(guò)兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線(xiàn)相交，交點(diǎn)是球心（類(lèi)比：在同圓中，兩相交弦的中垂線(xiàn)交點(diǎn)是圓心）.2．結(jié)論：結(jié)論1：長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2：若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同；結(jié)論3：長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線(xiàn)及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線(xiàn)與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線(xiàn)（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線(xiàn)上；結(jié)論8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3．終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線(xiàn)段長(zhǎng)度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1．若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線(xiàn)與切面垂直.（與直線(xiàn)切圓的結(jié)論有一致性）.2．內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類(lèi)比：與多邊形的內(nèi)切圓）.3．正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4．正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線(xiàn)上，但不一定重合.5．基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、類(lèi)型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線(xiàn)段，直接用公式，即，求出類(lèi)型二、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）第一步：畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線(xiàn)的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，，，，列方程組，，補(bǔ)充：圖2-1中，.第三步：根據(jù)墻角模型，，，，求出.類(lèi)型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出類(lèi)型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑——正弦定理求大圓直徑是通法）1．如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線(xiàn)；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出；事實(shí)上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.類(lèi)型五、垂面模型（一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面）．題設(shè)：如圖5，平面，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.2．題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線(xiàn)；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出類(lèi)型六、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題1．題設(shè)：如圖8-1，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2．題設(shè)：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線(xiàn)；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出．記住幾個(gè)常用的結(jié)論：（1）正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.①對(duì)于正方體的外接球，2R＝eq\r(3)a；②對(duì)于正方體的內(nèi)切球，2R＝a；③對(duì)于球與正方體的各棱相切，2R＝eq\r(2)a．（2）在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.例題1正方體的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)分別是P，Q，直線(xiàn)與正方體的外接球O相交于M，N兩點(diǎn)點(diǎn)G是球O上的動(dòng)點(diǎn)則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過(guò)球心O作，垂足為H，易知H為的中點(diǎn)．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，所以，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)G是球O上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)G到的最大距離為，故面積的最大值為．故選：A例題2．如圖，把邊長(zhǎng)為的正方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得二面角為，，分別為，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則（）A．折紙后四面體的體積為B．折紙后C．折紙后D．折紙后四面體外接球與內(nèi)切球的半徑之比為【答案】AB【分析】如圖，連接，，，，過(guò)作的延長(zhǎng)線(xiàn)于．，，，平面，，易證平面．，，，，，，A正確．，，，，．，，，B正確．取的中點(diǎn)，連接，，則．，，，，C錯(cuò)誤．設(shè)四面體外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為．，．，，，D錯(cuò)誤．故選：AB．例題3．半正多面體（semiregularsolid）亦稱(chēng)“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（）A．平面B．AB與PF所成角為45°C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】CD【分析】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體（如圖所示），因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，對(duì)于A：正方體的體對(duì)角線(xiàn)平面，而與是異面直線(xiàn)，所以平面不成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以是AB與PF所成角或其補(bǔ)角，在中，，，因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，所以該二十四等邊體的體積為，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)該二十四等邊體外接球的半徑為，該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心，正方體六個(gè)表面的面積都為1，所以，所以其表面積為，即選項(xiàng)D正確.故選：CD.例題4．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【詳解】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體棱長(zhǎng)為，是底面的中心，是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖1．，，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．圖1對(duì)于A選項(xiàng)，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為a，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖2，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點(diǎn)共線(xiàn)，且，，因此，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體ABCD表面的截面，如圖3，則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，而正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.故選：ABD．圖2圖3例題5．平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為2，設(shè)，則下列結(jié)論中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，B．和BD總垂直C．θ的取值范圍為D．θ=60°時(shí)，三棱錐的外接球的體積是【答案】ABC【分析】平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為2，設(shè)，對(duì)于