第9章 統(tǒng)計 章末綜合教學設(shè)計-2021-2022學年高一數(shù)學同步備課 (人教A版2019 必修第二冊)

《第九章統(tǒng)計》章末綜合教學設(shè)計一、知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心知識歸納1.簡單隨機抽樣包括放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.2.抽簽法先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌.最后從盒中不放回地抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進入樣本，直到抽足樣本所需要的個體數(shù).3.隨機數(shù)法先把總體中的個體編號，用隨機數(shù)工具產(chǎn)生與總體中個體數(shù)量相等的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，并剔除重復的編號，直到抽足樣本所需要的個體數(shù).4.分層隨機抽樣一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.5.獲取數(shù)據(jù)的基本途徑(1)通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；(2)通過觀察獲取數(shù)據(jù)；(3)通過試驗獲取數(shù)據(jù)；(4)通過查詢獲取數(shù)據(jù).6.常用的統(tǒng)計圖表扇形圖、條形圖、頻數(shù)分布直方圖、折線圖、頻率分布直方圖.7.畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖.8.第p百分位數(shù)(1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).9.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù).如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).10.一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標準差數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，標準差為eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2).三、典型例題1.抽樣方法的應(yīng)用【例1】某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中，如下表所示：(1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？(2)若要開一個25人的討論單位發(fā)展和薪金調(diào)整方面的座談會，則應(yīng)怎樣抽選出席人？(3)若要抽20人調(diào)查對廣州亞運會舉辦情況的了解，則應(yīng)怎樣抽樣？人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)共計老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小計16032048010402000解：(1)按老年、中年、青年分層，用比例分配的分層抽樣法抽取，分配比例為eq\f(40,2000)＝eq\f(1,50).故老年人、中年人、青年人分別抽取4人、12人、24人．(2)按管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)分層，用比例分配的分層抽樣法抽?。峙浔壤秊閑q\f(25,2000)＝eq\f(1,80)，故管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)分別抽取2人、4人、6人、13人．(3)用隨機數(shù)法：對全部2000人隨機編號，號碼是1,2,3，…，2000.利用信息技術(shù)生成20個不同的隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，與編號對應(yīng)的20人就是要抽取的樣本．【類題通法】1.抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣.2.兩種抽樣方法比較【鞏固訓練1】某網(wǎng)站就觀眾對春晚小品類節(jié)目的喜愛程度進行網(wǎng)上調(diào)查，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表：喜歡程度喜歡一般不喜歡人數(shù)560240200現(xiàn)用樣本量比例分配的分層隨機抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上調(diào)查的觀眾中抽取了一個容量為n的樣本．若從不喜歡小品的觀眾中抽取的人數(shù)為5，求n的值．解：由題可知，樣本容量與總體容量之比為eq\f(n,1000)，則應(yīng)從不喜歡小品的觀眾中抽取的人數(shù)為eq\f(n,1000)×200＝5，得n＝25.∴n的值為25.2.用樣本的取值規(guī)律估計總體【例2】下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高資料(單位：cm)：(1)列出樣本的頻率分布表(頻率保留兩位小數(shù))；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計身高低于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.區(qū)間界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人數(shù)201165解：(1)列出樣本頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28[142，146)200.17[146，150)110.09[150，154)60.05[154，158]50.04合計1201.00(2)畫出頻率分布直方圖，如圖所示.(3)因為樣本中身高低于134cm的人數(shù)的頻率為eq\f(5＋8＋10,120)＝eq\f(23,120)≈0.19.所以估計身高低于134cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的19%.【類題通法】與頻率分布直方圖有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)，可利用頻率和等于1求解.(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.【鞏固訓練2】如圖所示的是某學校抽取的學生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學生人數(shù)為()A.20 B.30 C.40 D.50【答案】C【解析】前3組的頻率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小組的頻率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，設(shè)樣本容量為n，則eq\f(10,n)＝0.25，則n＝40.故選C.3.用樣本的百分位數(shù)估計總體【例3】（2022·安徽淮北一中）某次數(shù)學考試后，抽取了20名同學的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖如下：估計樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)和第80百分位數(shù)（保留三位有效數(shù)字）．解：由圖可知，，，，，對應(yīng)頻率分別為：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前兩組頻率之和恰為0.25，故第一四分位數(shù)為70.0．前三組頻率之和為0.6，前四組頻率之和為0.9，所以第80分位數(shù)在第四組．設(shè)第80分位數(shù)為，則，解得．【類題通法】1.四分位數(shù)：第25分位數(shù)，第50分位數(shù)，第75分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).2.由頻率分布直方圖求百分位數(shù)時，一般采用方程的思想，設(shè)出第p百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程求解.【鞏固訓練3】（2022河北石家莊市高一月考）高一（1）班30名學生的一次數(shù)學考試成績按從小到大排序結(jié)果如下：5154596064686870717272747576798080818283858788909192939598100則估計這次數(shù)學考試成績的第75百分位數(shù)為（）A．87 B．88 C．90 D．87.5【答案】B【解析】由，可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項數(shù)據(jù)，據(jù)此估計這次數(shù)學考試成績的第75百分位數(shù)為88.故選B.4.用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體【例4】根據(jù)某市所在地區(qū)的收入水平、消費水平等情況，擬將家庭年收入低于1.5萬元的家庭確定為“貧困戶”，家庭年收入在[6.5，7.5)萬元的家庭確定為“小康戶”，家庭年收入在[7.5，8.5]萬元的家庭確定為“富裕戶”，該市扶貧辦為了打好精準脫貧攻堅戰(zhàn)，在所轄某縣的100萬戶家庭中隨機抽取200戶家庭，對其2018年的全年收入進行調(diào)查，抽查結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這200戶家庭的全年收入的樣本均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2；(2)用樣本的頻率分布估計總體分布，估計該縣100萬戶家庭中“貧困戶”的數(shù)量.解：(1)這200戶家庭的全年收入的樣本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4，方差s2＝(－3)2×0.06＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96.(2)由頻率分布直方圖可知，樣本中“貧困戶”的頻率為0.06，所以估計該縣100萬戶家庭中“貧困戶”的數(shù)量為100×0.06＝6(萬戶).【類題通法】為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的集中趨勢，通過樣本數(shù)據(jù)的方差或標準差估計總體的離散程度.眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，中位數(shù)為處于中間位置的數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，中位數(shù)為中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\o(x,\s\up6(－))表示；標準差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計量，其計算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).有時也用標準差的平方(方差)來代替標準差.【鞏固訓練4】某市有210名初中生參加數(shù)學競賽預(yù)賽，隨機調(diào)閱了60名學生的答卷，成績?nèi)缦卤恚?1)求樣本的平均成績和標準差(精確到0.01分)；(2)若規(guī)定預(yù)賽成績在7分或7分以上的學生參加復賽，試估計有多少名學生可以進入復賽？成績1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)0006152112330解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,60)×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s2＝eq\f(1,60)×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，所以s≈1.22，故樣本的平均成績?yōu)?分，標準差約為1.22分.(2)在60名選手中，有12＋3＋3＝18(名)學生預(yù)賽成績在7分或7分以上，所以估計210人中有eq\f(18,60)×210＝63(名)學生的預(yù)賽成績在7分或7分以上，故大約有63名學生可以進入復賽.操作演練素養(yǎng)提升1.在某時段由輛車通過一個雷達測速點，工作人員將測得的車速繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這輛車的車速的眾數(shù)（單位：）為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條形圖知：個數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為，所以眾數(shù)為.故選C.2.（2022·廣東·仲元中學高一期末）已知10個數(shù)據(jù)：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)是（）A．8 B．7 C．8.5 D．7.5【答案】D【解析】因為從小到大排列為4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10個數(shù)據(jù)，，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項與第5項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故選D.3.（多選題）（2022·江蘇如皋市高一月考）為了提升小學生的運算能力，某市舉辦了“小學生計算大賽”，并從中選出“計算小達人”.現(xiàn)從全市參加比賽的學生中隨機抽取人的成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績的分組區(qū)間為、、、.規(guī)定得分在分及以上的被評為“計算小達人”.下列說法正確的是（）A．的值為B．該市每個小學生被評為“計算小達人”的頻率為C．被抽取的名小學生的均分大約是分D．現(xiàn)準備在這名學生中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則須抽取成績?yōu)榈膶W生人【答案】AD【解析】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，解得，A對；對于B選項，該市每個小學生被評為“計算小達人”的概率為，B錯；對于C選項，被抽取的名小學生的均分大約是分，C錯；對于D選項，現(xiàn)準備在這名學生中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則須抽取成績?yōu)榈膶W生人數(shù)為，D對.故選AD.4.（多選題）（2022·湖南婁底市婁星區(qū)高一期中）已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】設(shè)除記錯以外的數(shù)據(jù)為，，因為所以所以所以.故選AC.答案：1.C2.D3.AD4.AC五、課堂小結(jié)，反思感悟1.知識總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？六、作業(yè)布置完成教材：第222頁復習參考題9第1，2，3,4,5,6,7,8,9,10,11題七、課堂記錄