云南省昭通市鹽津縣一中2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

云南省昭通市鹽津縣一中2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，若F到直線(xiàn)的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．2．已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在滿(mǎn)足，的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．94．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”5．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題6．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．7．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．8．已知我市某居民小區(qū)戶(hù)主人數(shù)和戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶(hù)主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，189．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線(xiàn)AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線(xiàn)AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A． B． C． D．11．一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是上一點(diǎn)，是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)（，）過(guò)圓：的圓心，則的最小值是______.14．若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是______.15．已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_________.16．若存在直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.18．（12分）在直角坐標(biāo)平面中，已知的頂點(diǎn)，，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)過(guò)軸上的定點(diǎn).19．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，并且.（1）已知_______________，計(jì)算的面積；請(qǐng)①，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將問(wèn)題（1）補(bǔ)充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計(jì)分.（2）求的最大值.20．（12分）已知不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線(xiàn)向下平移個(gè)單位，然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線(xiàn)（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)的距離的最小值.22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，∥，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知可得到直線(xiàn)的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線(xiàn)的距離為，得直線(xiàn)的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題，一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式，本題是一道容易題.2、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】

由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)?，，由題可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，滿(mǎn)足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.4、B【解析】

通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．6、D【解析】

設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.8、A【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．9、A【解析】

設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，得到即為直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到即為直線(xiàn)AC與平面ABD所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，則平面，所以即為直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，此時(shí)有平面，過(guò)C作與點(diǎn)F，又，所以，所以平面，從而角即為直線(xiàn)AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線(xiàn)面角的正弦值的求解，在解題的過(guò)程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.10、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng)，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

求出圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程得的關(guān)系，再由基本不等式求得題中最小值．【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，由題意，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題方法是配方法求圓心坐標(biāo)，“1”的代換法求最小值，目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”．14、；【解析】

求出函數(shù)的零點(diǎn)，讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間上，第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間外即可．【詳解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn)，然后題意，把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個(gè)零點(diǎn)，因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上．由此可得的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題．15、【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

設(shè)直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)榇嬖谥本€(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）60；25（2）見(jiàn)解析，2.1（3）可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差；（2）由題意知服從二項(xiàng)分布，分別求出，，，，進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）由第一問(wèn)可知服從正態(tài)分布，繼而可求出的值，從而可判斷.【詳解】解：（1）（2）由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，體重在的概率為0.7.隨機(jī)拍取3人，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)交量服從二項(xiàng)分布，則，，，，所以的分布列為：01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望（3）由題意知服從正態(tài)分布，則，所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)，考查了二項(xiàng)分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題，如果題目中沒(méi)有特殊說(shuō)明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.18、（1）（）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，分別用表示、表示和余弦定理表示，將表示為、的方程，再化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線(xiàn)方程代入的軌跡方程，得，設(shè)點(diǎn)，，，表示出直線(xiàn)，取，得，即可證明直線(xiàn)過(guò)軸上的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，由已知，∴，∴（），化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為：（）；（2）由（1）知，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為0時(shí)與無(wú)交點(diǎn)，不合題意故可設(shè)直線(xiàn)的方程為：（），代入的方程得：.設(shè)，，則，，.∴直線(xiàn)：.令，得.直線(xiàn)過(guò)軸上的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系求定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析（2）1【解析】

（1）選②，③．可得，結(jié)合，求得．即可；若選①，②．由可得由，求得．即可；若選①，③，可得，又，可得，即可；（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)角的范圍求最值即可．【詳解】（1）若選②，③．，，，，又，．的面積．若選①，②．由可得，，，又，．的面積．若選①，③，，又，，可得，的面積．（2），當(dāng)時(shí)，有最大值1．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）4【解析】

（1）分類(lèi)討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對(duì)值不等式的解集，即得解；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為：，利用均值不等式即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為；綜上不等式的解集為.（2）由（1）有，，，，即而當(dāng)且僅當(dāng)：，即，即時(shí)等號(hào)成立∴，綜上實(shí)數(shù)最大值為4.【點(diǎn)睛】