湖南省常德市重點中學2023-2024學年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

湖南省常德市重點中學2023-2024學年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤2．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．3．設a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件4．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．5．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5786．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．8．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．10．已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．11．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個村子里一共有個人，其中一個人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個人，這個人又把謠言告訴了第三個人，如此等等．在每一次謠言傳播時，謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的，當謠言傳播次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是_______．14．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．15．根據(jù)如圖的算法，輸出的結果是_________.16．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）設點，若直線與曲線相交于、兩點，求的值18．（12分）如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，是棱的中點.（1）求證：平面；（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知為坐標原點，單位圓與角終邊的交點為，過作平行于軸的直線，設與終邊所在直線的交點為，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為，射線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點，射線與曲線交于兩點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.3、B【解析】

根據(jù)不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的性質是解決本題的關鍵．4、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象,數(shù)學運算能力,難度一般.5、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.6、D【解析】

先求出的值域，再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性，結合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區(qū)間上單調遞減；當時，，故在區(qū)間上單調遞增；當時，令，解得，故在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.7、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為，故.令，，解得，.因為為偶函數(shù)，故直線為其圖象的對稱軸，令，，故，，因為，故，當時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題．8、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.9、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質求出其最大值為,進而得出結論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結合了概率?二次函數(shù)等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.10、D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設AB的中點為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.11、B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播，謠言一定不會回到最初的人；從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個制造謠言的人被選中的概率都是，沒有被選中的概率是．次傳播是相互獨立的，故為故答案為：【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎題.14、4【解析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為415、55【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得，可得結果【詳解】根據(jù)該For語句的功能，可得則故答案為：55【點睛】本題考查For語句的功能，屬基礎題.16、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當且僅當時取等.方法二：因為，所以，所以，當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標方程化為普通方程；（2）設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設點、所對應的參數(shù)分別為、，利用韋達定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標方程為；（2）設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，則，設、兩點對應參數(shù)分別為、，，，，，.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；（2）以為原點建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算與的夾角的余弦值得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，分別是，的中點，，，又，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中點，是的三等分點，，1，，，，，，，，，0，，，2，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，，，直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查了線面平行的判定，空間向量與直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得，，因而得出，利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數(shù)，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）因為，，所以，，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）因為，所以，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域，運用到向量的坐標運算、降冪公式和二倍角的正弦公式，考查化簡和計算能力.20、（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當時，求得函數(shù)的導函數(shù)以及二階導函數(shù)，由此求得的單調區(qū)間.（2）令求得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的單調區(qū)間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當時，遞減