浙江省9+1聯盟2024屆高三下學期3月高考模擬數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省9+1聯盟2024屆高三下學期3月高考模擬數學試卷一、選擇題1.已知全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，畫出圖，并將條件中的集合標在圖中，如圖，集合．故選：C2.若復數的實部大于0，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，代入，得，解得：，所以.故選：D.3.已知向量是平面上兩個不共線的單位向量，且，則（）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，若三點共線，設，則，無解，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，若三點共線，設，則，無解，所以三點不共線，故B錯誤；對于C，因為，因為有公共點，所以三點共線，故C正確.對于D，因為，，設，則，無解，所以三點不共線，故D錯誤；故選：C.4.已知數列滿足：，且數列為等差數列，則（）A.10 B.40 C.100 D.103〖答案〗D〖解析〗設數列的公差為，則，故，所以．故選：D.5.如圖，已知長方體的體積為是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點，連接，易知，所以平面與交點為.設長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.6.已知橢圓，直線與交于兩點，且．則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，記，設中點為，所以，由題意可知，中點是直線與直線的交點，聯立，解得，另一方面，聯立，得．易知，由韋達定理得，解得，所以，故離心率．故選：B.7.某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（）A.2025種 B.4050種 C.8100種 D.16200種〖答案〗B〖解析〗先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，余下名男選手和名女選手各有種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有．故選：B8.設函數．若實數使得對任意恒成立，則（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數，依題意，對任意的恒成立，即對恒成立，因此對恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：C.二、多項選擇題9.為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗AD〖解析〗把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得函數的圖象，A正確；把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得函數的圖象，B錯誤；把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得函數的圖象，C錯誤；把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得函數的圖象，D正確；故選：AD.10.高考數學試題的第二部分為多選題，共三個題每個題有4個選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對者得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個選項正確的概率是，記為小明隨機選擇1個選項的得分，記為小明隨機選擇2個選項的得分．則A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗為小明隨機選擇1個選項的得分，所以，，，則的分布列為：02由此可得，為小明隨機選擇2個選項的得分，所以，,,,則的分布列026由此可得．所以,，，.故選：BC．11.對于，滿足，且對于，恒有．則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗令代入及，得，所以，，A選項正確；令代入，得；令代入由，得，，，，，對于．恒有，，，B選項正確；，C選項錯誤；，則有，即，D選項正確.故選：ABD.三、填空題12.已知．若，則________．〖答案〗〖解析〗令，則有，即，即有，則.故〖答案〗為：.13.應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡，這種望遠鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚．某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，且，的面積為10，，則拋物線方程為________．〖答案〗〖解析〗以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系，不妨設．由，則有，解得，又，解得，，則有，故拋物線方程為．故〖答案〗為：14.函數的最小值是________．〖答案〗3〖解析〗解法一：，令，則，當時，，所以在上單調遞增,，設，因為在上單調遞增，因為，，存在，使，且，故當時，，即，所以在區(qū)間單調遞減，當時，，即，所以在區(qū)間單調增，所以．解法二（最優(yōu)解）：設，則，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以，即，當且僅當時，等號成立；所以，當且僅當時等號成立，設，可得單調遞增，又，所以有解，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：取中點，由正三棱柱性質得，互相垂直，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，則．證明：，由，得，由，得，因為平面，所以平面．（2）解：由（1）可知為平面的一個法向量，設平面的法向量，則,故，令，得面的一個法向量為，設二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．16.今年的《春節(jié)聯歡晚會》上，魔術師劉謙表演的魔術《守歲共此時》精彩紛呈．節(jié)目的第二部分是互動環(huán)節(jié)，全國觀眾跟著魔術師一起做魔術，將“好運留下來，煩惱丟出去”，把晚會歡樂的氣氛推向高潮．節(jié)目主持人尼格買提手中的兩張牌沒有對上，直接登上熱搜榜．如果我們將4張不同數字的撲克，每張撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）將余下4個半張隨機扔掉2個留下2個，然后從桌上4個半張隨機翻開2張，求翻開的兩個半張的數字與留下的2個半張上的數字恰好有1個相同的概率；（2）將余下來的4個半張隨機放在桌上4個半張上面，再分別翻開，記放在一起的兩個半張數字相同的個數記為，求的分布列及數學期望．解：（1）設翻開的兩個半張的數字與留下的2個半張上的數字恰好有1個相同的事件設為，由已知將余下4個半張隨機扔掉2個留下2個，然后從桌上4個半張隨機翻開2張的方法數為，翻開的兩個半張的數字與留下的2個半張上的數字恰好有1個相同的方法數為，則．所以翻開的兩個半張的數字與留下的2個半張上的數字恰好有1個相同的概率為．（2）由已知隨機變量可能取值有，，，，，所以的分布列0124所以．17.如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成曲線稱為“盆開線”．曲線與軸有兩個交點，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．（1）設過點的直線與相切于點，求點的坐標及直線的方程；（2）過的直線與相交于點三點，求證：．（1）解：由題設可得,，故橢圓方程為：，雙曲線方程為．由圖可知，切點在雙曲線上．設，則，則切線的方程為：，因為直線過點，所以，，將代入，得，所以，，直線的方程為：．（2）證明：由題意可得的斜率存在且不為零，故設方程為：，聯立整理得：，,即且,解得：或，即．聯立整理得：，解得：或，即．所以，所以，所以．18.已知函數．（1）如果1和是的兩個極值點，且的極大值為3，求的極小值；（2）當時，討論的單調性；（3）當時，且函數在區(qū)間上最大值為2，最小值為．求的值．解：（1）因為，所以，因為和是的兩個極值點，所以和是方程的兩根，故，解得，即，所以，因為時，，當時，，所以在區(qū)間上單調增，在區(qū)間上單調減，所以，解得，所以．（2）當時定義域為，又，令，解得或，若，則當時，；當時，．故在區(qū)間單調遞增，在上單調遞減；若，則恒成立，所以在區(qū)間單調遞增；若，則當時，；當時，．故在區(qū)間單調遞增，在上單調遞減．綜上可得：當時在區(qū)間單調遞增，在上單調遞減；當時在區(qū)間單調遞增；當時在區(qū)間單調遞增，在上單調遞減．（3）當時，，由題意得：，即，①，即，②由①、②可知，，．③因為，，，，所以有兩個實數根，且，當時，，當時，，故是的極大值點，是的極小值點．由題意得，，即，兩式同向相加得：，④注意到，，，代入④得，由③可知，，則，，所以，，所以，所以，當且僅當，即，又，所以時成立，所以，從而．19.已知實數，定義數列如下：