2023-2024學(xué)年北京市35中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年北京市35中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中測(cè)試卷試卷說(shuō)明：試卷分值150，考試時(shí)間120分鐘Ⅰ卷一．選擇題（共10個(gè)小題，每題4分，共40分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)選擇正確答案填在答題卡相應(yīng)的題號(hào)處）1．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．4 B．6 C．8 D．103．已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．4．甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)做天氣預(yù)報(bào)，如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別為0.8與0.7，且預(yù)報(bào)準(zhǔn)確與否相互獨(dú)立，那么在一次預(yù)報(bào)中這兩個(gè)氣象臺(tái)恰有一個(gè)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是（

）A．0.06 B．0.38 C．0.56 D．0.945．在曲線上一點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．6．若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)，（

）A．10 B．11 C．12 D．137．某物流公司為了完成一項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，提出了四種運(yùn)輸方案，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．在這四種方案中，運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的是（

）A．

B．

C．

D．

8．在5道試題中有2道社會(huì)學(xué)題目和3道藝術(shù)學(xué)題目，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到社會(huì)學(xué)題目的條件下，第2次抽到藝術(shù)學(xué)題目的概率為（

）A． B． C． D．9．銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方式叫做復(fù)利．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，方案如下：一次性貸款10萬(wàn)元投入生產(chǎn)，貸款期限為10年，銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計(jì)算，到期一次性歸還本息；第一年便可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加40%（參考數(shù)據(jù)：，），則此方案可獲得凈利潤(rùn)為（

）萬(wàn)元A．16.7 B．25.9 C．33.8 D．43.910．如果函數(shù)滿足：對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”．在下列函數(shù)：①

②

③

④中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4Ⅱ卷二、填空題（共5個(gè)小題，每題5分，共25分，請(qǐng)將正確答案填在答題卡相應(yīng)的題號(hào)處.）11．?dāng)S兩顆均勻骰子，已知一顆擲出6點(diǎn)，問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是．12．已知隨機(jī)變量，若，，則．13．?dāng)?shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則.14．天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場(chǎng)所．天壇公園中的圜丘臺(tái)共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石（如圖2所示）．上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是；上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是．15．已知數(shù)列的第n項(xiàng)為最接近的整數(shù)．若數(shù)列的前m項(xiàng)和為10，則．三、解答題（共6個(gè)小題，共85分，請(qǐng)將詳細(xì)解答過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)的位置．）16．根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中的得分情況統(tǒng)計(jì)如下：甲X012P0.10.80.1乙X012P0.40.20.4現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，派哪位運(yùn)動(dòng)員參加比較好？請(qǐng)寫出你的決定，并說(shuō)明理由．17．某大學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位同學(xué)每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）甲同學(xué)9天6天12天3天乙同學(xué)6天6天6天12天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率，乙同學(xué)午餐選擇A餐廳就餐的概率；(2)記X為乙同學(xué)在未來(lái)4天中選擇A餐廳進(jìn)行午餐的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．已知直線為曲線在點(diǎn)處的切線，為該曲線的另一條切線，且．(1)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求直線、的方程．19．已知是公差為d的無(wú)窮等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.又______，且，是否存在大于1的正整數(shù)k，使得？若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．2022年11月，因受疫情的影響，北京高中全都采用網(wǎng)絡(luò)授課的方式進(jìn)行在線教學(xué)．北京35中的某老師在高一任教高一1班和高一2班兩個(gè)班級(jí)，其中1班共有學(xué)生28人，2班共有學(xué)生29人．為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性是否會(huì)受到疫情的影響，該名老師統(tǒng)計(jì)了連續(xù)6天的交作業(yè)人數(shù)情況，數(shù)據(jù)如下表：班級(jí)/天1234561班（人數(shù)）2525202122212班（人數(shù)）272625242522(1)從兩班所有人當(dāng)中，隨機(jī)抽取1人，求該生在第6天作業(yè)統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，沒有交作業(yè)的概率；(2)在高一2班的前3天的作業(yè)統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)只有小明和小華兩位同學(xué)，是連續(xù)3天未交作業(yè)，其他人均只有一天未交作業(yè)．從高一2班前3天所有未交作業(yè)的人中，隨機(jī)抽取3人，記只有一天未交作業(yè)的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；(3)在這6次數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，記高一1班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，記高一2班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，請(qǐng)直接寫出，，，的大小關(guān)系．21．已知數(shù)列滿足，，，且．記集合．(1)若，求集合中元素的個(gè)數(shù)；(2)①求證：，．②若集合中存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，求證：中所有元素都是3的倍數(shù)；求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，及元素個(gè)數(shù)最大時(shí)不同的個(gè)數(shù)．1．A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A2．D【分析】由數(shù)列中與的關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，故選：D.3．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C4．B【分析】根據(jù)題意按一個(gè)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確一個(gè)預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確分兩類計(jì)算即可.【詳解】解：由題可得一次預(yù)報(bào)中這兩個(gè)氣象臺(tái)恰有一個(gè)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是：，故選：B.5．B【分析】設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出，即可求出的坐標(biāo)，最后還需檢驗(yàn).【詳解】設(shè)，由，可得，則，依題意可得，解得或，所以或，當(dāng)時(shí)切線為，符合題意；當(dāng)時(shí)切線為，符合題意.綜上可得或.故選：B6．A【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，，所以，，即等差數(shù)列的前10項(xiàng)為正數(shù)，從11項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，故當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)，，故選：A7．B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意可判斷.【詳解】由運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高，即為逐漸變大，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，結(jié)合圖象可知，故B正確，故選：B.8．D【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)事件“第次抽到社會(huì)學(xué)題目”，事件“第次抽到藝術(shù)學(xué)題目”，所以，，所以．故選：D．9．D【分析】結(jié)合題意由等比數(shù)列的求和公式求出10年獲得的利潤(rùn)，再減去銀行獲得的復(fù)利可得結(jié)果.【詳解】由題意可得10年獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，到期時(shí)銀行的本息和為萬(wàn)元，所以凈利潤(rùn)為.故選：D.10．B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)是否滿足，則可得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，且，對(duì)于①，，，所以與不一定相等，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)于④，，故④錯(cuò)誤；故正確的有②③.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是理解“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)判斷.11．##【分析】根據(jù)題意求得基本事件的總數(shù)和所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，已知第一枚擲出的點(diǎn)數(shù)為6，則基本事件的總數(shù)為個(gè)，分別為，，，，，；其中兩枚骰子擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10包含的基本事件為，，；共有個(gè)，所以兩枚骰子擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為.故答案為：12．【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，，即，所?故答案為：13．6【詳解】試題分析：由題意得，因?yàn)?，即，所以?shù)列構(gòu)成首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，解得．考點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和．14．【分析】由題意可知每環(huán)的扇面形石塊數(shù)是一個(gè)以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，據(jù)此確定第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)和上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)即可.【詳解】第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則依題意得：每環(huán)的扇面形石塊數(shù)是一個(gè)以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27項(xiàng)和為：＝3402.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15．30【分析】由題意可得數(shù)列中，有2個(gè)1，4個(gè)2，,6個(gè)3，進(jìn)而得到在數(shù)列中，，從而得到是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，最后用基本量法求和即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的第n項(xiàng)為最接近的整數(shù)，所以，所以在數(shù)列中，有2個(gè)1，4個(gè)2，,6個(gè)3，所以在數(shù)列中，則，又前m項(xiàng)和為10，所以，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，則，故答案為：30.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)“數(shù)列的第n項(xiàng)為最接近的整數(shù)”發(fā)現(xiàn)規(guī)律為數(shù)列中，有2個(gè)1，4個(gè)2，,6個(gè)3，.16．甲【分析】由期望和方差公式分別求出甲乙運(yùn)動(dòng)員的期望和方差，再做比較即可.【詳解】甲的期望，方差；乙的期望，方差；因?yàn)榧?、乙的期望相等，而方差甲小于乙，所以甲成?jī)比較穩(wěn)定，所以派甲運(yùn)動(dòng)員參加比較好.17．(1)；(2)分布列見解析；【分析】（1）利用古典概率公式求解即可；（2）由題意可得，的可能取值為，再利用二項(xiàng)分布的概率公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，再用期望公式求出期望即可；【詳解】（1）設(shè)事件表示“一天中甲同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”，事件表示“乙同學(xué)午餐選擇A餐廳就餐”，因?yàn)?0天中，甲同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的有3天，乙同學(xué)午餐選擇A餐廳就餐有天，用頻率估計(jì)概率，所以，；（2）由題意可知，，的可能取值為，則；；；；，所以的分布列為：01234所以.18．(1)(2)：；：【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；（2）結(jié)合（1）求出直線的斜率，即可求出直線的方程，設(shè)的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直斜率之積為，求出，從而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）點(diǎn)滿足曲線，即為直線的切點(diǎn)，直線的斜率為，故直線的方程為，即；又為該曲線的另一條切線，設(shè)該切點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，解得，所以，即切點(diǎn)為，切線的斜率為，故的方程為，即．19．存在，【分析】若選①，結(jié)合以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再由即可求出k的值；若選②，同理可求出k的值.【詳解】若選①，則由題，又，所以，，所以，令，即，解得或，故存在大于1的正整數(shù)，使得.若選②，則由題，又，所以，，所以，令，即，解得或，故存在大于1的正整數(shù)，使得.20．(1)(2)分布列見解析，期望為(3)【分析】（1）求出兩個(gè)班級(jí)這6天應(yīng)交作業(yè)的總?cè)舜魏臀唇蛔鳂I(yè)的人次，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得出隨機(jī)變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（3）根據(jù)方差的性質(zhì)和數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：兩個(gè)班級(jí)這6天應(yīng)交作業(yè)的總?cè)舜螢椋唇蛔鳂I(yè)的人次為，所以從兩個(gè)班級(jí)所有人中，隨機(jī)抽取1人，其未交作業(yè)的概率為.（2）解：根據(jù)題意知，2班前三天由2人連續(xù)三天未交作業(yè)，3人只有一天未交作業(yè)，所以隨機(jī)變量的可能取值為，又5人中3人有種抽法，所以，所以的分布列為：123所以，期望為.（3）解：根據(jù)數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得：1班交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，可得；2班每天交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，每天沒交作業(yè)的人數(shù)數(shù)據(jù)的方差為，可得，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得1班數(shù)據(jù)的波動(dòng)性更大一些，所以.21．(1)7(2)證明見解析(3)7；6【分析】（1）利用，，求出集合所有元素，從而得到答案；（2）①根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，即可證明；②因?yàn)榧现写嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨假設(shè)是3的倍數(shù)，由于，可歸納證明對(duì)任意，是3的倍數(shù)；（3）分為3的倍數(shù)和不是3的倍數(shù)討論，即可求得集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】（1）若，由于，，所以，，，，，，故集合的所有元素為：，，10，2，4，8，16，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為7個(gè)；（2）①因?yàn)閿?shù)列滿足，，，且，所以當(dāng)時(shí)，，滿足條件，假設(shè)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由于，得，因?yàn)?，?dāng)，，則，成立，當(dāng)時(shí)，，所以，則也成立，因此當(dāng)時(shí)，也成立，故，；②因?yàn)榧现写嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨假設(shè)是3的倍數(shù)，由于，如果，則集合中所有元素都是3的倍數(shù)；如果，因?yàn)榛?，所以?的倍數(shù)，則是3的倍數(shù)；類似可得，都是3的倍數(shù)；同理都是3的倍數(shù)，從而對(duì)任意，是3的倍數(shù)；綜上，若集合中存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則中所有元素都是3的倍數(shù)；（3）由(2)證明可知，，，因?yàn)闉檎麛?shù)，,所以為的倍數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，為2的倍數(shù)，①如果為的倍數(shù)，由(2)知，對(duì)，為3的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，，，則的元素個(gè)數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，則，，則的元素個(gè)數(shù)為2，當(dāng)時(shí)，則，，則的元素個(gè)數(shù)為2，當(dāng)時(shí)，則，，則的元素個(gè)數(shù)為2，當(dāng)時(shí)，則，，，則的元素個(gè)數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，則，則的元素個(gè)數(shù)為1當(dāng)為的倍數(shù)，集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè)，②如果不的