西安愛(ài)知初級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》檢測(cè)題(有答案解析)

一、選擇題1．設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．b>c>a2．如圖，由曲線直線和軸圍成的封閉圖形的面積是（

）A． B． C． D．3．曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為()A．(sinx－cosx)dx B．2(sinx－cosx)dxC．(cosx－sinx)dx D．2(cosx－sinx)dx4．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．若正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的角是，則該正四棱錐的體積是（）A． B． C． D．6．曲線與直線以及軸所圍圖形的面積為（）A．2B．C．D．7．的值是（）A． B． C． D．8．使函數(shù)圖象與軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可能的取值為（）A．8 B．6 C．4 D．29．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積是A． B． C． D．10．由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．11．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)f(x)＝cosx＋2xf′，則f與f的大小關(guān)系是()A．f＝f B．f＞f C．f＜f D．不確定二、填空題13．已知函數(shù)則___________14．若，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)__．15．若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_____________.16．由曲線與直線所圍成圖形的面積等于________．17．曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____．18．由，，，四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_________．19．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是__________．20．曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是________．三、解答題21．為了降低能源消耗，某冷庫(kù)內(nèi)部要建造可供使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬(wàn)元，又知該冷庫(kù)每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關(guān)系，若不建隔熱層，每年能源消耗為8萬(wàn)元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.（1）求的值及的表達(dá)式；（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小？并求最小值.22．計(jì)算下列各式的值．（1）；（2）．23．已知函數(shù).（1）若在處有極值，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.；（2）若，設(shè).①求證：當(dāng)時(shí)，；②設(shè)，求證：24．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若二次函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方，求的取值范圍·25．已知.（Ⅰ）寫(xiě)出的最小正周期；（Ⅱ）求由以及圍成的平面圖形的面積．26．已知函數(shù)且在處的切線的斜率為.（1）求的值，并討論在上的單調(diào)性；（2）設(shè)若對(duì)任意,總存在使得成立，求的取值范圍.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【解析】借助定積分的計(jì)算公式可算得，，，所以，應(yīng)選答案A。2．D解析：D【解析】由曲線直線和軸圍成的封閉圖形的面積是3．D解析：D【解析】(-sinx+cosx)dx(sinx-cosx)dx=2(cosx－sinx)dx,選D.點(diǎn)睛：1.求曲邊圖形面積的方法與步驟(1)畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；(2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和．2．利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．4．D解析：D【解析】根據(jù)微積分定理，，，，所以，故選擇D。5．B解析：B【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，依據(jù)題設(shè)可得棱錐的高，底面中心到頂點(diǎn)的距離，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱錐的體積，故應(yīng)選答案B．6．A解析：A【解析】試題分析：在抄紙上畫(huà)出圖像，可根據(jù)圖像列出方程====2考點(diǎn)：區(qū)間函數(shù)的運(yùn)用7．A解析：A【詳解】因?yàn)槎ǚe分，結(jié)合定積分的幾何意義可知,原式等于圓心為（1,1），半徑為1的四分之一個(gè)圓的面積減去得到，即為，選A.8．C解析：C【解析】f′(x)=6x2?18x+12，令f′(x)=0得x2?3x+2=0，解得x=1，或x=2.∴當(dāng)x<1或x>2時(shí),f′(x)>0，當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0，∴f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值f(1)=5?a，當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值f(2)=4?a，∵f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，∴5?a=0或4?a=0，即a=5或a=4.本題選擇C選項(xiàng).9．D解析：D【解析】曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,),(,),則封閉圖形的面積為本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加．(2)根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分．(3)若y＝f(x)為奇函數(shù)，則＝0.10．C解析：C【詳解】由，解得，解得，解得，所圍成的平面圖形的面積為，則，，故選C.11．A解析：A【分析】利用微積分基本定理，可計(jì)算得，又利用賦值法，令，可得解【詳解】由題意令有：令有：故故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)、定積分和二項(xiàng)式定理綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題12．C解析：C【解析】依題意得f′(x)＝－sinx＋2f′，所以f′＝－sin＋2f′，f′＝，f′(x)＝－sinx＋1，因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)＝cosx＋x在上是增函數(shù)，所以f＜f,選C.二、填空題13．【分析】利用定積分的計(jì)算法則可得由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求得原函數(shù)即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義和定積分的計(jì)算法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式;屬于中檔題解析：【分析】利用定積分的計(jì)算法則可得，由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求得原函數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義和定積分的計(jì)算法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式;屬于中檔題.14．【分析】先利用積分基本定理計(jì)算三個(gè)定積分再比較它們的大小即可【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算不等式的大小比較等基礎(chǔ)知識(shí)考查運(yùn)算求解能力屬于中檔題解析：【分析】先利用積分基本定理計(jì)算三個(gè)定積分，再比較它們的大小即可．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算、不等式的大小比較等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．【分析】利用數(shù)列的極限的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：當(dāng)|t|≥2時(shí)可得可得t＝﹣2當(dāng)|t|＜2時(shí)可得：綜上可得：實(shí)數(shù)t的取值范圍是：﹣22）故答案為﹣22）【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的極限的運(yùn)算法則的解析：【分析】利用數(shù)列的極限的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：當(dāng)|t|≥2時(shí)，，可得，可得t＝﹣2．當(dāng)|t|＜2時(shí)，可得：，綜上可得：實(shí)數(shù)t的取值范圍是：[﹣2，2）．故答案為[﹣2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．16．【分析】根據(jù)定積分的幾何意義得到積S＝(ex＋x)dx由牛頓萊布尼茨公式可得到答案【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義得到面積S＝(ex＋x)dx＝故答案為【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了定積分的幾何意義以及常見(jiàn)函數(shù)解析：【分析】根據(jù)定積分的幾何意義得到積S＝(ex＋x)dx，由牛頓萊布尼茨公式可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義得到，面積S＝(ex＋x)dx＝故答案為【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了定積分的幾何意義，以及常見(jiàn)函數(shù)的積分值的求法.17．【分析】首先求得兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)然后利用定積分求得封閉圖形的面積【詳解】根據(jù)解得畫(huà)出圖像如下圖所示封閉圖像的面積為【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用定積分求封閉圖形的面積考查運(yùn)算求解能力屬于基礎(chǔ)題解題過(guò)程解析：【分析】首先求得兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用定積分求得封閉圖形的面積.【詳解】根據(jù)解得.畫(huà)出圖像如下圖所示，封閉圖像的面積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用定積分求封閉圖形的面積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.解題過(guò)程中首先求得兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后畫(huà)出圖像，判斷出所要求面積的區(qū)域，然后利用微積分基本定理求得封閉圖形的面積.18．【解析】【分析】根據(jù)分的幾何意義得到直線y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性可得直線y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解析：【解析】【分析】根據(jù)分的幾何意義得到直線，，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性可得，直線，，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分求面積，解題的關(guān)鍵是確定被積區(qū)間與被積函數(shù)，屬于中檔題.19．【解析】作出兩條曲線所對(duì)應(yīng)的封閉區(qū)域如圖所示由得解得或則根據(jù)定積分的幾何意義可知所示的封閉區(qū)域的面積故答案為解析：【解析】作出兩條曲線所對(duì)應(yīng)的封閉區(qū)域，如圖所示，由，得，解得或，則根據(jù)定積分的幾何意義可知所示的封閉區(qū)域的面積，故答案為．20．【分析】先求出兩個(gè)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)得所求陰影部分應(yīng)該是曲線從0到1的一段投影到x軸的面積減去曲線從0到1的一段投影到x軸的面積最后根據(jù)定積分的幾何意義用積分計(jì)算公式可以算出陰影部分面積【詳解】設(shè)陰影部解析：【分析】先求出兩個(gè)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，得所求陰影部分應(yīng)該是曲線從0到1的一段投影到x軸的面積減去曲線從0到1的一段投影到x軸的面積，最后根據(jù)定積分的幾何意義，用積分計(jì)算公式可以算出陰影部分面積.【詳解】設(shè)陰影部分面積為S，由題意得兩個(gè)圖象的交點(diǎn)為，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題著重考查了定積分的幾何意義和積分的計(jì)算公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題.三、解答題21．（1）；（2）當(dāng)隔熱層修建7.5cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用70萬(wàn)元.【解析】試題分析：（I）根據(jù)c（0）=8計(jì)算k，從而得出f（x）的解析式；（II）利用基本不等式得出f（x）的最小值及等號(hào)成立的條件．試題（1）當(dāng)時(shí)，，∴.由題意知，，即.（2）∵∴，令，即，∴.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值..所以，當(dāng)隔熱層修建7.5cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用70萬(wàn)元.22．（1）；（2）【分析】（1）由題得，計(jì)算即得解；（2）如圖，先求出扇形的面積，再利用定積分的幾何意義求解即可.【詳解】（1）由題得；（2）令，因?yàn)榈扔谳S和曲線所圍成的曲邊梯形的面積，如圖扇形，扇形的面積為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的計(jì)算，考查圓的方程的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.23．（1）存在，；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)微積分基本定理求得，由，求得參數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，結(jié)合一次不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，即可求得參數(shù)的范圍；（2）①求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，即可容易證明；②由①中所求，可得，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可證明.【詳解】由題可知，.（1）由，可得，.又當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故函數(shù)在處取得極值，所以.∵，.∴，當(dāng)時(shí)，由上述討論可知，單調(diào)遞增，故不等式對(duì)任意及恒成立，即：，即：對(duì)恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即為所求.（2）①∵，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即證.②由①可得：令：，得，即：=即證.【點(diǎn)睛】本題考查由極值點(diǎn)求參數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)由恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及數(shù)列問(wèn)題，屬壓軸題.24．（1）；（2）．【解析】【分析】時(shí)，將不等式移項(xiàng)平方分解因式可解得；根據(jù)題意，只需要考慮時(shí)，兩函數(shù)的圖象位置關(guān)系，利用拋物線的切線與拋物線的位置關(guān)系做．【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為：，移項(xiàng)得，平方分解因式得，解得，解集為．化簡(jiǎn)得，根據(jù)題意，只需要考慮時(shí)，兩函數(shù)的圖象位置關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，由得，設(shè)二次函數(shù)與直線的切點(diǎn)為，則，解得，所以，代入，解得，所以a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的求解方法，合理分類是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題．25．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期函數(shù)求得函數(shù)的最小正周期．（2）利用（1）中的解析式，運(yùn)用定積分求得面積．【詳解】（Ⅰ）∵,∴.∴的最小正周期為.（Ⅱ）設(shè)由，，，以及圍成的平面圖形的面積為，∵，∴.∵，∴.∴由，，以及圍成的平面圖形的面積為.【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，定積分在求面積中