高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題匯編及歷年高考真題

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典試題匯編

的計(jì)算公式；(3)證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)

之積.講解學(xué)會(huì)按步思維，從圖表中一步一步的翻譯推理出所要計(jì)算的值.

(1)按第一行依次可讀出：為3=1°，％4=13,《5=16;按第一行依次可讀出：的3=17,=22,

a25=27；最后，按第5列就可讀出：%5=38,=49.

(2)因?yàn)樵摰炔顢?shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列，所以它的通項(xiàng)公式是：

%)=4+3(/-1)而第二行是首項(xiàng)為7,公差為5的等差數(shù)列，于是它的通項(xiàng)公式為：

a2J=7+5(j-l)……通過遞推易知，第，行是首項(xiàng)為4+3(i—1),公差為2i+l的等差數(shù)

列，故有附=4+3(i-l)+(2f+l)(j-l)=z(2j+l)+j.

(3)先證必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i,j使得N=i(2j+1)+J.從而

2N+1=2i(2/+1)+2/+l=(2i+1)(2j+1),這說明正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之

積.再證充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1

的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k,1,使得2N+1=(2女+1)(2/+1),從而

N=Z(2/+1)+/=%,，由此可見N在該等差數(shù)陣中.綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是

2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.

2.求卜卜=lg(4__4)}c{y|y=2/-3}=[-3,-1)U(l,+oo)。

3.“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在二位的“漸升數(shù)”中任取?數(shù)比

37大的概率是一。

36

4.函數(shù)y=a，(a>l)及其反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=，的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若[4邳=2痣，貝帙數(shù)。

的值等于，(”=(0+1廣’)

5.從裝有〃+1個(gè)球(其中〃個(gè)白球，1個(gè)黑球)的口袋中取出機(jī)個(gè)球(0〈機(jī)4機(jī),〃eN),共有d

種取法。在這c禽種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，共有種取法;

另一類是取出的機(jī)個(gè)球有機(jī)-1個(gè)白球和1個(gè)黑球，共有C：.C；i種取法。顯然

G°-C;+c：=a、,即有等式：c：+c;「=c;;+l成立。試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子：

c：+C；.C；T+C>C,2+…+c；?c：*=(l<k<m<n,k,m,ncN).

6.某企業(yè)購(gòu)置了一批設(shè)備投入生產(chǎn)，據(jù)分析每臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的總利潤(rùn)y(單位：萬元)與年數(shù)x(xeN)滿

足如圖的二次函數(shù)關(guān)系。要使生產(chǎn)的年平均利潤(rùn)最大，則每臺(tái)設(shè)備應(yīng)使用(C)

(A)3年(B)4年(C)5年(D)6年0145

7.(14分)已知函數(shù)/(x)=xfF+2keZ),且/(2)</(3)(1)求％的值；⑵試判斷是否存在正

數(shù)P，使函數(shù)83=1-夕/3+(20-1卜在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)椤?,一。若存在，求出這個(gè)

8

p的值；若不存在，說明理由。

解(1)???/(2)</(3),.?.—左2+&+2>0,即％2一左一2<0,?.?氏eZ,.?.女=0或1(2)f(x}^x2,

g{x}-p-x2+[lp-\)x-~+4；+1；當(dāng)^~~[-1,2],B|Jpe；,+oo)時(shí)，

竺一里=U,p=2,g(—l)=—4,g(2)=—l；當(dāng)女匚w(2,+8)時(shí)，；p>0,...這樣的p不存在。當(dāng)

4P82P

――-G(-oo,-l),即時(shí)，g(-l)=—,g(2)=-4,這樣的〃不存在。綜上得，p=2o

2PV4；8

8.(14分)如圖，設(shè)圓(x—2)?+丁2=3的圓心為c,此圓和

拋物線y2=px(p>0)有四個(gè)交點(diǎn)，若在X軸上方的兩個(gè)交

點(diǎn)為A、B,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,A4O8的面積為S。

(1)求P的取值范圍；

(2)求S關(guān)于P的函數(shù)/(p)的表達(dá)式及S的取值范圍；

(3)求當(dāng)S取最大值時(shí)，向量點(diǎn),無的夾角。

解(1)把y2=px代入(x—2)2+/=3得/+(p—4卜+1=0

A>0p2-8/7+12>0

由得<〉

<X,+x2>0,4—p0即pe(O,2)

尤］?工2>0p>0

/U|

⑵設(shè)4卜1，)48的方程：y-yjpxt=-~~J，*-(x-X1)

X\~X2

即+dgP=0，即后.x_j6_〃?y+77=0

點(diǎn)O到AB的距離d=,又［A,=J"-％2)2+=J12-6”

J6,'

即

...S=1.712-6P-^=17P(2-P)<1,Se(0(

(3)S取最大值時(shí)，P=l,解方程——3x+l=0,得A］匕5,避二11小三婦,苴上

I22八22

［-(6+1)V5-11—JV5-1V5+11TTT-.n

CA=<-51-----乙,------->,CB=<------,--------->,CA?C8=+1=0

2222

向量C8的夾角的大小為90°。

9.(16分)前段時(shí)期美國(guó)為了推翻薩達(dá)姆政權(quán)，進(jìn)行了第二次海灣戰(zhàn)爭(zhēng)。據(jù)美軍估計(jì)，這場(chǎng)以推翻薩達(dá)

姆政權(quán)為目的的戰(zhàn)爭(zhēng)的花費(fèi)約為540億美元。同時(shí)美國(guó)戰(zhàn)后每月還要投入約4億美元進(jìn)行戰(zhàn)后重建。

但是山于伊拉克擁有豐富的石油資源，這使得美國(guó)戰(zhàn)后可以在伊獲利。戰(zhàn)后第一個(gè)月美國(guó)大概便可賺

取約10億美元，只是為此美國(guó)每月還需另向伊交納約1億美元的工廠設(shè)備維護(hù)費(fèi)。此后隨著生產(chǎn)的恢

復(fù)及高速建設(shè)，美國(guó)每月的石油總收入以50%的速度遞增，直至第四個(gè)月方才穩(wěn)定下來，但維護(hù)費(fèi)

還在繳納。問多少個(gè)月后，美國(guó)才能收回在伊的“投資”？

解:設(shè)〃個(gè)月后，美國(guó)才能收回在伊的“投資"，則10R+1.5+1.52+1S(〃—3)]-〃2540+4〃

即28.75〃2593.75,n>20.65,即21個(gè)月后,美國(guó)才能收回在伊的“投資”。

10.數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的第2004項(xiàng)是。63

11.在等比數(shù)列{〃”}中，。［=2010,公比q=-g,若b“=%<12a3an("eN),則b”達(dá)到最大時(shí)，n

的值為。8

12.設(shè)函數(shù)/(x)=alxl+25，b為常數(shù))，且①〃-2)=0；②f(x)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則同時(shí)滿足上

x

述條件的一個(gè)有序數(shù)對(duì)(a,6)為。滿足(，，4,)(Y0)的任一組解均可

13.已知兩條曲線C1+y2=1,C2：ax2+hxy+x=o(a,%不同時(shí)為0).則是“G與

。2有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的A

(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件

14.已知二次函數(shù)f(f)=af2-而+J_QeR)有最大值且最大值為正實(shí)數(shù)，集合

4a

Y—n

A={xl----<0},集合B={xl、2<匕2}.

X

(1)求A和8；

(2)定義A與B的差集：A-B={xlxeA且xe8}。

設(shè)a,b,x均為整數(shù)，且xeA。P(E)為x取自A-8的概率，P(尸)為x取自An8的概

率，寫出。與6的三組值，使P(E)=j2,P(F)=11,并分別寫出所有滿足上述條件的a(從

大到小)、b(從小到大)依次構(gòu)成的數(shù)列{冊(cè)}、{2}的通項(xiàng)公式(不必證明)；

(3)若函數(shù)/⑺中，a=a?,b=h?

(理)設(shè)八%是方程/。)=0的兩個(gè)根，判斷?八-%?是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

(文)寫出/(f)的最大值/(〃)，并判斷了(〃)是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

(1)?.?_/■")=a產(chǎn)-癡+表(feR)有最大值,a<0?配方得了⑴=a(f-/產(chǎn)+號(hào)，由號(hào)>0=占>1。

/?4={xla<x<0},B={x\-b<x<b}o

(2)要使P(E)=1,P(F)=：。可以使①A中有3個(gè)元素，A-B中彳子2個(gè)元素，4nBM有1個(gè)元素。

則a=-4,b=2。②有6個(gè)元素，A-B中有4個(gè)元素，AC|B中有2個(gè)元素。則a=-7,〃=3。

③A中有9個(gè)元素，A-B中有6個(gè)元素，AC1B中有3個(gè)元素。貝I」a=TO,b=4。an=-3n-I,b?=n+1.

2

(3)(理/(0=0,得A=%-l>0。g(n)=I/|-z2I=7(/1+r2)-4f|/2==^9J|2"6rt+I=^9n+i+6)

；9n+空2眄三=6,當(dāng)IL僅當(dāng)”=/時(shí)等號(hào)成立。...gS)作N上單調(diào)遞增。laT2lmax=g(l)=>

又limg(n)=0,故沒有最小值。

〃f8

(文):g(〃)=署二就廠號(hào)7單調(diào)遞增，f(n)=/(1)=-1,又lim/(〃)==，，沒有最大值。

4min

IN"++1Z+—r/J—>QO

15.把數(shù)列I—1—1的所有數(shù)按照從大到小，左大右小的原則寫成如下數(shù)表：1

l2?-lj11

,、35

第％行有個(gè)數(shù)，第f行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(f,s),1111

791713

則A(8,17)=」一?！?------

,728715171929

16.我邊防局接到情報(bào)，在海礁AB所在直線/的一側(cè)點(diǎn)M處有走私團(tuán)伙在進(jìn)行交易活動(dòng)，邊防局迅速派

出快艇前去搜捕。如圖，已知快艇出發(fā)位置在/的另一側(cè)碼頭P處，PA=8公里，P8=10公里，

ZAPB=60°。

(1)(10分)是否存在點(diǎn)M,使快艇沿航線PfM或Pf3-M的路程相等。如存在，則建立適

當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請(qǐng)說明理由。

(2)(4分)問走私船在怎樣的區(qū)域上時(shí)，路線PfAfM比路線PfM的路程短，請(qǐng)說明理由。

解(1)建立直角坐標(biāo)系(如圖)，明山―慳川=2,

點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一部分，

網(wǎng)二164+100-80=2721,

即4=1,‘=9/2=20

2

點(diǎn)M的軌跡方程為——芫=心>1,y>0)

(2)走私船如在直線/的上側(cè)且在(1)中曲線的左側(cè)的區(qū)域時(shí),

路線尸fAfM的路程較短。

理由：設(shè)A〃的延長(zhǎng)線與(1)中曲線交于點(diǎn)N,

則PA+AN=PB+BN

PA+AM=PA+AN-MN^PB+BN-MN

<PB+BM

17.已知函數(shù)/(x)對(duì)任意的整數(shù)x,y均有/(x+y)=/(x)+/(y)+2xy,且/⑴=1。

(1)(3分)當(dāng)teZ,用，的代數(shù)式表示/(f+1)—/Q)；

(2)(理(10分)當(dāng)feZ,求/⑴的解析式；

(文(6分)當(dāng)feN,求/(f)的解析式；

(3)如果xw[—且(/⑴)=+(/(2))t+???+(/(2003))!>(/(2004)):a恒成立,

求。的取值范圍。(理5分；文9分)

解(1)ax=f,y=l,/(f+l)=/(f)+/(l)+2f,/(f+l)—/(f)=l+2f

(2)理)》eZ+u{0}時(shí),/(0)=0,/(I)-/(0)=1,/(2)-/(I)=3,-,/(/)-y(r-1)=2?-1,

上述各式相加，得/⑺="

當(dāng)twZ-時(shí)，y(0)-/(-I)=-1,y(-1)-/(-2)=-3,/(-2)-/(-3)=-5,-??,

/(r+l)-/(0=2f+l=-[2(-0-U

上述各式相加，得即"

綜上，得，￡ZJ(r)=J。

（文）teN,/?）="

+…+（黑）（xe[—1,1]）恒成立

令如）=（嬴|+（嬴|+…+（黑）

g（x）是減函數(shù)

小1+2+…+20032003

“<8⑴=------------------------=--------

20042

X]+AX

x=2

1+A

18.設(shè)A（制，yi）,B（x2,?。┦莾蓚€(gè)互異的點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)由公式?確定，當(dāng)九eR時(shí),

力+加2

y=

1+A

則（C）

A.尸是直線AB上的所有的點(diǎn)B.P是直線A8上除去A的所有的點(diǎn)

C.P是直線A8上除去B的所有點(diǎn)D.P是直線A8上除去A、8的所有點(diǎn)

19.設(shè)（廂+3/川（〃GN）的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別為/“和K，則尸”（尸“+/“）的值為（A）

A.1B.2C.4D.與”有關(guān)的數(shù)

20.將參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名學(xué)生編號(hào)如下0001,0002,0003,-1000,打算從中抽取一個(gè)容量為50的

樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分，如果第一部分編號(hào)為0001,0002,0020,第一部分隨

機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015,則第40個(gè)號(hào)碼為.0795

21.設(shè)x、y、z中有兩條直線和一個(gè)平面，已知命題為真命題，則小y、z中一定為直線

[yiiZ

的是.z

22.秋收要到了，糧食豐收了。某農(nóng)戶準(zhǔn)備用一塊相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a、h的矩形木板，在屋內(nèi)的一個(gè)墻

角搭一個(gè)急需用的糧倉(cāng)，這個(gè)農(nóng)戶在猶豫，是將長(zhǎng)為a的邊放在地上，還是將邊長(zhǎng)為b的邊放在地上，

木板又該放在什么位置的時(shí)候，才能使此糧倉(cāng)所能儲(chǔ)放的糧食最多。請(qǐng)幫該農(nóng)戶設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使糧

倉(cāng)所能儲(chǔ)放的糧食最多（即糧倉(cāng)的容積最大）

設(shè)墻角的兩個(gè)半平面形成的二面角為定值a。將人邊放在地上，如圖所示，則糧倉(cāng)的容積等于以

為底面，|WJ為4的口三棱柱的體積。

由于該三棱柱的高為定值處于是體積取最大值時(shí)必須△A8C的面積S取最大值。

設(shè)AC=y,則由余弦定理有

Z?2=x2+y2-2xycosa22xy-2xycosa,

于是，xy

2（1-cosa）

b2cota

b2sina

從而，S=—xysinaW2

4(1-cosa)4

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，S取最大值。

ab~cot—

故當(dāng)48=AC時(shí)，(%)111ax=-------爰。

4

ba1cota-

同理，當(dāng)a邊放在地上時(shí)，(匕)gx=--------?

4

顯然，當(dāng)a>b時(shí),(匕)1TlM>(%)1raX；當(dāng)aV1時(shí)，(匕)1rax<(%)-；當(dāng)a=b時(shí)，化)max=(%)由。

故當(dāng)時(shí)?，將“邊放地上，且使底面三角形成以。為底邊的等腰三角形；當(dāng)匕>a時(shí)，將人邊放地上，

且使底面三角形成以b為底邊的等腰三角形；當(dāng)a=b時(shí)，無論將a邊還是人邊放在地上均可，只須使底面

三角形構(gòu)成以所放這條邊為底邊的等腰三角形即可。

23.已知一個(gè)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)是1或3.首項(xiàng)為1,且在第k個(gè)1和第k+］個(gè)1之間有2k-1個(gè)3,即1,3,

1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….記數(shù)列的前〃項(xiàng)的和為

(I)試問第2004個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？

(H)求02004；

(III)52004；

(IV)是否存在正整數(shù)根，使得S,“=2004?如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由.

將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的3記為第A對(duì)，即(1,3)為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)(1,3,3,3)為第2

對(duì)，共1+(2X2T)曰項(xiàng)；(1,3,3,3,…,3)為第k對(duì)，共1+(2AT)=2/項(xiàng)；….故前我對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為

\___J

共"一［個(gè)3

2+4+6+,一+2k=k(k+1).

(I)第2004個(gè)1所在的項(xiàng)為前2003對(duì)所在全部項(xiàng)的后1項(xiàng)，即為

2003(2003+1)+1=4014013(項(xiàng)).

(II)因44X45=1980,45X46=2070,故第2004項(xiàng)在第45對(duì)內(nèi)，從而做004=3.

(III)由(II)可知，前2004項(xiàng)中共有45個(gè)1,其余1959個(gè)數(shù)均為3,于是

52O(M=45+3X1959=5922.

(IV)前A對(duì)所在全部項(xiàng)的和為

SM*+I)=A+3伙(《+1)-&］=3*~+A.

易得，I2IX263+26=2054,且自第652項(xiàng)到第702項(xiàng)均為

525(25+)=3X25+25=1900,526(26+)=3565I=1901,

3,而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m,使S,,=2004.

24.(I)設(shè)4為動(dòng)橢圓的中心，8。為過焦點(diǎn)尸的弦，M為B。的中點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C.求

證：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是也為定值且值為I

（其中a為橢圓的半長(zhǎng)軸）.

a

（II）命題（I）的結(jié)論能推廣到雙曲線嗎？為什么？

v2y2

（I）不妨設(shè)橢圓方程為三+=1(4>%>0),F{c,0）為右焦點(diǎn),?(.Vpyi),丫2)，M(x,%),弦

a0

BD的方程為x=my+c.

聯(lián)立兩方程得(m2b2+a2)y2+2b2mcy-b4=0,于是

M+)'2_b2me

先=my（）+c由橢圓第二定義得

2nrb~十/m2b2+cr

22c2a,于是^-=2-2c2

IBDI=-[2---(x,+x)]=2a-

2m2b2+a2m沖

首先，若四邊形ABCD為平行四邊形,則C的坐標(biāo)為（2“，2%）,將其代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得

\BD\3

4c2=m2b2+a2,由此可得

a2

22

其次，若歿abmc把戶,從

—,則4/=nrh~,于是x（）=

2m2b2+a2~4Tc~?%=----m--~TbT3--+--a---~7

2222

(2x0)2?(2y°)a+mb

而,=1，也就是點(diǎn)（劣，2皿）在橢圓上，且用平分AC,故A8CO為平行四邊

a2b2

形.

（II）命題（I）的結(jié)論在雙曲線中不成立，因四邊形48CO不可能為平行四邊形

25.用“斜二測(cè)畫法”作正三角形ABC的水平放置的直觀圖得A4EC,則AABC'與AABC

的面積之比為(B)

AO1

A.----B.-----c,也D.-

8422

26.（理科）設(shè)拋物線/=2px（p>0為常數(shù)）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/.過F任作一條直線與

拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①IABI的最小值為2p；②

2

△AOB的面積為定值？_；?OA1OB；④以線段AB為直徑的圓與/相切，其中正確

2

結(jié)論的序號(hào)是（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）①④

（文科）長(zhǎng)為4的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線/=2x上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)

軸的距離的最小值為_____________-

—2

27.如圖所示的正方體中，E、F分別是AA|、DiG的中點(diǎn)，G是正方形BCQBi的中心，則

空間四邊形AGFE在該正方體面上的射影不可能是

28.設(shè)A、B兩點(diǎn)到平面a的距離分別為2與6,則線段AB的中點(diǎn)到平面a的距離為4或2

29.(理)設(shè)函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，已知/(x)=2x+2,且f(x)=O有兩個(gè)相等實(shí)根，問是否存在一個(gè)常

數(shù)t使得直線*=-t將函數(shù)y=f(x)的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的圖形分成面積相等的兩部分,

若存在，求出此常數(shù)3若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

(文)已知f(x)=x-x+Z：,log2f(a)=2,/(log2a)=無，且a豐1.

(1)求a、k之值；

(2)X為何值時(shí)f(10g2X)有最小值，并求其最小值

解：(理)設(shè)f(x)=ar：:+/zr+C,則/'(x)=2ax+b(1分)山/'(x)=2x+2及f(x)=O可

得a=l,b=2,c=l（2分）即f（x）=f+2x+l（3分）

假設(shè)存在常數(shù)t（OVt<l）滿足條件，則（x2+2x+l）dx=2J2,（x2+2x+l）dx（6分）

即（二+i+x）匕=2（工+/+x）B（8分）化簡(jiǎn)得：2t3—6t~+6t=1（10分）

即2（t—11=—1解得f=l——［（12分）

V2

2

log2（a-a+k）-2①

(文)(1)由題設(shè)知《

（3分）由②得log2a=0或log2a=1（4分）

log2a-log,a+k=@

又aWl,故a=2代入①log?（2+k）=2得k=2（5分）：.a=2,k=2（6分）

（2）/（log2x）-logjx-log2x+2（8分）

1,7

=(log2%--)-+-(10分)

當(dāng)10g2尤=g，即X=A&J(10g2X)min=1⑴分)

30.三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為凹數(shù)，如524、746

等都是凹數(shù).那么，各個(gè)數(shù)位上無重復(fù)數(shù)字的三位凹數(shù)共有個(gè)240

31.在容量為10的一個(gè)樣本中，已知S=9,那么(D)

A、S*的值不可能求出B、S*=10

C、S*=90D、S*=3V10

32.在5張卡片上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5,然后把它們混合，再任意排成一行，則得

到的數(shù)能被5或2整除的概率是(B)

A、0.8B、0.6C、0.4D、0.2

33.有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，現(xiàn)用它稱物體的重量，將物體放在左右托

盤各稱一次，重量分別為。、b,則該物體的真實(shí)重量為(B)

A、a+bB.4abC>"+"D、2

2V211

—十一

ab

34.設(shè)曲線c:y=x2(x>0)上的點(diǎn)為E)(Xo，y()),過P(>作曲線c的切線與x軸交于Q”過Q,作平行于y

軸的直線與曲線c交于6(/，月)，然后再過PI作曲線C的切線交X軸于Q2，過Q2作平行于y軸的

直線與曲線C交于己(》2，力)，依此類推，作出以下各點(diǎn)：Po,QpP”Q2,P2>Q3，…Pn，Qn+I…，

已知Xo=2,設(shè)/

(1)求出過點(diǎn)Po的切線方程；

(2)設(shè)=/(〃),求/(〃)的表達(dá)式；

(3)設(shè)S“=/+X]H---Fx“，求

解⑴?.?即=2%=4,過點(diǎn)Po的切線段為y-4=4(x-2)即4x-y-4=0(4分)

(2)1.?kn=2xn二過點(diǎn)P”的切線方程為y-x；=2x“(x-x”)(6分)

將0M(3。)的坐標(biāo)代入方程得：-x：=2“3-x,,)

=?也="[(8分)

用2X,2

故數(shù)列““｝是首項(xiàng)為v=2,公比為工的等比數(shù)列

2

%=/(〃)=2?夕"即/(”)=(^)"-'(10分)

⑶??“巴亂…?、欧?

1--

2

lim5?=lim4(l--1)=4(14分)

35.已知圖①中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=/(x),則圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

A.y=/(lxl)B.y=1f(x)IC.y=/(—lxl)D.y=-f(\x\)

36.如圖，已知多面體ABC—DEFG中，AB、AC、AD兩兩

互相垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC,

AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為(B)

A.2B.4

C.6D.8

37.(如圖)正方體ABCD—ABGDi中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC|B|

及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP_LBD”則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

是(A)

A.線段BQ

B.線段B。

C.BB1中點(diǎn)與CG中點(diǎn)連成的線段

D.BC中點(diǎn)與B|C|中點(diǎn)連成的線段

38.(理)已知雙曲線片一片=1的離心率6=痣，一條

/b2

準(zhǔn)線方程為工=近，直線/與雙曲線右支及雙曲線的漸

2

近線交于A、B、C、D四點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)的順序如圖所示.

(I)求該雙曲線的方程；

(II)求證：IABITCDI；

(III)如果IABI=IBCI=ICDI,求證:aOBC的面積為定值.

(文)已知函數(shù)、=f(x)=上^(a,b,ce>0,Z?>0)是奇函數(shù)，當(dāng)了>。時(shí)，犬工)后最小值2,

bx-\-c

其中OWN且人1)<3.

2

(I)試求函數(shù)八x)的解析式;

（II）間函數(shù)/（x）圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，說

明理由.

（理）解（I）由己知￡=&,《=且.：.a=\,c=42.

ac2

所求雙曲線的方程/-）,2=1...........................2分

（II）解法一

設(shè)山y(tǒng)=xbb

/:x=nzy+/?,(?7?W±1)〃得仆).

x=my+b1—m1—m

由bb

x=my+h1十m1十m

4。中點(diǎn)坐標(biāo)為（丁二,也）4分

l—m1—m

X

由?)1得a%2-I)/+2機(jī)力+/-1=0'H+%=2用匕

x=my+b1—tn

8c中點(diǎn)坐標(biāo)為6分

；.AD中點(diǎn)與BC中點(diǎn)為同一點(diǎn)，又A、B、C,D四點(diǎn)共線，，IABI=ICDI.……7分

解法二：

當(dāng)/傾斜角為90°時(shí),設(shè)

A(加，m),8("z,y/m2--1)：1AB1=1m-V/n2-1ITCDI.........3分

當(dāng)［傾斜角不是90°時(shí)，設(shè)上廣如+仇（&#±1）.

bb

)?

[y=kx-+-h1—k\—k

f,hkh

咪=+一。（飛舟中點(diǎn)坐標(biāo)為（1中中），4分

)2222：

由*^(1-k)x-2bkx-b-1=0.(1-k^0).x{+x2=

y=kx+b1-k”

中點(diǎn)坐標(biāo)為

8c(4,74T).6分

\—k\—k

???AD中點(diǎn)與BC中點(diǎn)為同一點(diǎn)，又A、B、C、D四點(diǎn)共線，???IABI=ICDI.……7分

(III)設(shè)A(4,a)D(b-b)a>0,b>0VIABI=IBCI=ICDI

、

a+2h1z―匕&■=L(a-2b)

“"KT9"2b)九

1+23

a+2ha-2b

即C()9分

33

.?.點(diǎn)C在雙曲線上.?.（巴產(chǎn)產(chǎn)一（竺3）2=1ab9

11分

8

---\OA\\OD\=Lga_6b=Lb3

又SAOBC13分

32638

AAOBC的面積為定值.

（文）（I）??了U）是奇函數(shù)???/（一外二一段）

ax2+1ax1+1八八

UP------=----------bx+c=bx-c,：.c=0.................2分

bx+c-hx+c

?.,a>0,b>0f（x）=a*+1=—x+—>2々,...............4分

bxbbx\b2

當(dāng)且僅當(dāng)，x=J）時(shí)，等號(hào)成立.于是2后=2:.a=b2..............6分

由得￡11<工即:2&2-5&+2<0

2b+c2b2

解得!<匕<2.又bsN:.b=\a=l

2

/（x）=x+—..........................................................8分

x

(II)設(shè)存在?點(diǎn)(刖,％)在月(x)圖象上，并且關(guān)于(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)

(2—%、%)也在)三危0圖象上，.......................................9分

x(i+1(2—X)"+1

則4-=y0n—=—汽.................................11分

/2-x0

消打得/一2x0—1=0.%=1土收

y=/(x)圖象上存在兩點(diǎn)(1+痣,2啦),(1-后,-2忘)關(guān)于點(diǎn)

(1,0)對(duì)稱..........................................................13分

39.對(duì)于函數(shù)於)=4+公+。Qwo)作代換x=g(t),則不改變函數(shù)yw的值域的代換是

D

A.gCt)=2rB.g(t)=\t\C.g(t)=sintD.g(〃=log2t

&22

40.若將離心率為(的橢圓］+,=1(。>b>0)繞著它的左焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)機(jī)后，所得新橢

圓的一條準(zhǔn)線方程是3)，+14=0,則新橢圓的另一條準(zhǔn)線方程是C

A.3y-14=0B.3y-23=0

C.3y-50=0D.3y—32=0

41.數(shù)列滿足條件：①任意連續(xù)二項(xiàng)的和大于零；②任意連續(xù)三項(xiàng)的和小于零.

則這樣的數(shù)列最多有項(xiàng).3

42.設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)田=1,前n項(xiàng)和5.滿足關(guān)系

3tS,,-(2t+3)S,I=3t(t>Q,n=2,3,4-).

(I)求證：數(shù)列｛6,｝是等比數(shù)列；

（II）設(shè)數(shù)列｛。“｝的公比是/（I）作數(shù)列仍“｝,使仇=1也=/（」一）（〃=2,3,4,…）

%

求勾及l(fā)im她;

71—>00b

un

(III)求和：B20=b0—b2b3+b3b4--+(-1)"-'bnbn+r

⑴證明：由已知得3fsl-⑵+3)S,-2=3①=3,4,…)減去已知式，化得a.2,+3.當(dāng)n=2時(shí),

a,—3t

由已知式及。=/得21+3工=2,+3

3t!.3t

數(shù)列｛斯｝是以1為首項(xiàng)2,+3為公比的等比數(shù)列.（4分）（II）解：

3t

-^-+32

是以1為百項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列

b,=1也,=不-=|?.?阮｝3