2020屆山東濟(jì)寧兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析）

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2020屆山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合4={丁}=2，，*61^,8={x"=lg(2_x)}則AC|8=()

A.(0,2)B.(F,2]C.(F，2)D.(0,2]

【答案】A

【解析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求出集合力，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)有意義求出集合B,最

后根據(jù)交集的定義求出所求即可.

【詳解】

,**/!={y\y=2X,xRR}=[y]y>0},lg(2-x)}={M2-x<0}={A|X<2}=(-

8,2),

.??/n8={M0<x<2}=(0,2),

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合Z,8是解決本題的關(guān)鍵，比

較基礎(chǔ).

I

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2.若復(fù)數(shù)二」(aeR層純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a+2/在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位丑)

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】化簡復(fù)數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得。，從而確定2a+2i對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

1+z

【詳解】

2a+2/2(tz+Q(l-z),Ia+1=0

=a+l+(一)，是純虛數(shù)，則一,0,a=-1,

1+z(1+0(1-/)

2a+2i=-2+2i,對應(yīng)點(diǎn)為(々2),在第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考有復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.

3.AQI即空氣質(zhì)量指數(shù)，AQI越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)AQI不大于AQI時稱空

氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日AQI的統(tǒng)計數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是

()

八AQ1

250

QLAII11I11II1II

e科怏齡'齡心徐京術(shù)24日向

A.這12天的AQI的中位數(shù)是9()

2

"千里之行始于足下

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B.12天中超過7天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”

C.從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好

D.這12天的AQI的平均值為10（）

【答案】C

95+92

【解析】這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是二y—=93.5,故A不正確；這12天

中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95,85,77,67,72,92共6天，故B不正確；；

從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好，，故C正確；這12天的AQI指數(shù)值的平均值為

110,故D不正確.

故選C.

4.直線/：2x-y+e=0的傾斜角為a，則sin（兀-a）sin]+aj的值為（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】先由傾斜角和斜率的關(guān)系得到tana=2，再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本

tqnzy

關(guān)系將原式變形為一s一7，代入tana=2計算即可.

tan-?+l

【詳解】

解：由已知得lane=2,

.,、.，兀、.sinacosatana22

'7<2）sin2a+cos2atan2a+l22+l5

3

?*

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故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題.

5.已知正數(shù)機(jī)，〃滿足加(〃-1)=8〃，則m+2〃的最小值是().

A.18B.16C.8D.10

【答案】A

Q1

【解析】根據(jù)正數(shù)加,“滿足，”(〃-1)=8〃，可得一+―=1,然后由

mn

〃?+2〃=W+2〃)(5+￡],利用基本不等式求出〃2+2〃的最小值.

【詳解】

Q1

解：???正數(shù)"2,〃滿足以〃-1)=8〃,.-.-+-^1.

mn

1677m

當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即根=12,〃=3時取等號，

tnn

.?.，”+2〃的最小值為18.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

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71

6.等腰直角三角形ABC中，ZACB=e,AC=6C=2,點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，

且8P=2PA,那么守不+守麗=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【解析】將通用也與而進(jìn)行表示，代入可得答案.

【詳解】

.__1_____1____2___1___

解:由題意彳導(dǎo):CP^CA+AP^CA+-AB^CA+-（AC+CB）^-CA+-CB

3333

CPCA+CPCB^-CA+-CB2^+-^4,

3333

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的基本定理及平面向量的數(shù)量積，相對不難.

7.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)A卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、

艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（—表示一根陽線,-------表示一根陰線），

從，桂卜中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為（）

5

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1155

A.—B.-C.—D.—

1472814

【答案】D

【解析】直接根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】

從八卦中任取兩卦，基本事件有=28種，

其中這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線，基本事件共有10中，

"25

???這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為p=-=—

n14

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)g(x)=e'-e-』，/(%)=煙0),若4=/(-3)/=/；),c=/(3),

則a,6,c的大小關(guān)系為()

k.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】由題意可得g(x)=e'-e-'為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而判斷出/(x)為

偶函數(shù)，且在(0,+8)上遞增，即可比較大小.

【詳解】

..6

?*

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解：依題意，有g(shù)(T)=-g(x),則g(x)=e'-e-'為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，

所以/'(x)為偶函數(shù).

當(dāng)X＞0時，有g(shù)(x)＞g(O),

任取N＞々＞。，貝！1g(玉)＞g(9)＞。，由不等式的性質(zhì)可得不g(%)＞工28(々)＞0，

即/(%)＞/(%)＞。，所以，函數(shù)/(X)在(0,+8)上遞增，

因此,/圖＜(|卜/圖＜八3),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)值大小的比較，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化能力，

屬于中檔題.

二、多選題

9.下列判斷正確的是()

人.命題〃："古＞0，使得d+x+ko，則P的否定：“Vx?O，都有V+x+i^o”

JT

B.AABC中，角A5,。成等差數(shù)列的充要條件是8=］；

C.線性回歸直線$=%+?必經(jīng)過點(diǎn)(石,)，1),(%2，書，…(工,2,,)的中心點(diǎn)(元歹)

D.若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(l,b2),p(jw4)=0.79,則尸(弊-2)=021；

7

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【答案】BCD

【解析】A.通過特稱命題的否定的為全稱命題來判斷；

B.利用等差數(shù)列的概率及三角形的內(nèi)角和來判斷；

C.通過線性回歸直線y=bx+a必過樣本點(diǎn)中心來判斷；

D.根據(jù)隨機(jī)變量J的對稱性來判斷.

【詳解】

A.命題p：'弓尤>0,使得f+x+ivo，則。的否定為:KVx>0，都有/+尤+120”，

故錯誤；

2B=A+C7i

B.角成等差數(shù)列o.0尸。8=丁，故正確；

A+B+C=7T3

C.線性回歸直線y=bx+a必經(jīng)過點(diǎn)（%,y）,（天,必），…（七,X,）的中心點(diǎn)（只了），故正

確；

D.若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（l,4）,<4）=0.79,

則P^<-2）=P（^>4）=1-P信<4）=1-0.79=0.21,故正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查特稱命題的否定，考查等差中項的應(yīng)用，考查回歸直線的性質(zhì)，考查正態(tài)分布

的對稱性，是基礎(chǔ)題.

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,ZDAB=60°,側(cè)面PAD為

二?：8

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正三角形，且平面PAD_L平面ABCD,則下列說法正確的是（）

A.在棱上存在點(diǎn)例，使AD_L平面PMB

B.異面直線與//所成的角為90°

C.二面角P-3C—A的大小為45°

D.50,平面PAC

【答案】ABC

【解析】根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理一一驗(yàn)證可得.

【詳解】

解：如圖，對于A，取AD的中點(diǎn)M,連接,??,側(cè)面PA。為正三角形，

：.PM±AD,又底面ABC。是菱形，ND4B=60°,是等邊三角形，

AD±BM,又PMcBM=M,PM,8Wu平面PMB,

9

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A￡)_L平面P8M，故A正確.

對于B,?.?4。，平面依“,：.AD±PB,即異面直線A￡)與P6所成的角為90。，

故3正確.

對于C,，?平面BBCn平面ABCD=BC,BC//AD,平面,

:.BCLPBBC1BM,

.?./?8加是二面角?！?。一4的平面角，設(shè)AB=1,則8M=正，PM=—,

22

PM

在RtAPBM中，tanNPBM=——=1,即ZPBM=45,故二面角P-BC-A的

BM

大小為45。，故C正確.

對于。，因?yàn)锽O與Q4不垂直，所以與平面PAC不垂直，故。錯誤.

故選/ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定及異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知向量碗.=卜足工,一J5),5=(cosx,cos2x),函數(shù)/(x)=2而不+有+1,下

列命題，說法正確的選項是()

A.f^-x^=2-f(x)

TC

H的圖像關(guān)于'=I對稱

x

C.若0<X|<x2<y，則/（X|）</（2）

10

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兀71

D.若和々，/6，則/（芭）+/（%2）＞/（%3）

【答案】BD

【解析】首先根據(jù)條件可得/（x）=2sin（2x-51+l,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，通過

代入驗(yàn)證，整體運(yùn)算，逐一判斷即可.

【詳解】

函數(shù)/（x）=2sin（2x-1J+l,

A:當(dāng)x=0時，/仁一,=/閨=1,2二〃力=2-〃0）=1+6，故A錯；

B:/仁-x）=2sin（-2%）+1,當(dāng)x=?時，對應(yīng)的函數(shù)值取得最小值為T,所以B

正確；

所以函數(shù)/(%)=2sin(2x—?1+1在

C:時,

不單調(diào)，故C錯；

D：因?yàn)閤e，所以.等，二/（X）€[6+1,31,

又2（肉1）＞3，即

兀兀

2/（力神＞/（%）3和尤2,尤3€]，、（%）+/（々）＞/（七）恒成立,故D對;

故選：BD.

11

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【點(diǎn)睛】

本題考查以向量為背景的三角函數(shù)性質(zhì)的問題，熟練掌握性質(zhì)的求解和判斷是關(guān)鍵，是

中檔題.

12.設(shè)橢圓的方程為［+1=1,斜率4為的直線不經(jīng)過原點(diǎn)。，而且與橢圓相交于

A,B兩氨，M為線段AB的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是()

A.直線AB與垂直；

B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1/)，則直線方程為2x+y-3=0；

(13、

C.若直線方程為y=x+i,則點(diǎn)M坐標(biāo)為l疊

134yz

D.若直線方程為＞=x+2，則

【答案】BD

【解析】根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)心酸左加=-4■判斷ABC;將直線方程為y=x+2,

ar

與橢圓方程］+q=1聯(lián)立，求出交點(diǎn)，進(jìn)而可求出弦長.

【詳解】

4

對于A項，因?yàn)樵跈E圓中，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)=--=-2*-1,

所以A項不正確；

對于B項，根據(jù)kAB?kOM=-2,所以kAR=-2,

12

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所以直線方程為y_l=_2(x—l),即2x+y-3=0,

所以B項正確；

14

對于C項，若直線方程為y=x+l,點(diǎn)，則原屋％=卜4=4?2,

所以C項不正確；

對于D項，若直線方程為y=x+2,與橢圓方程!+[=1聯(lián)立，

24

彳導(dǎo)至U2/+(x+2)2—4=0,整理彳導(dǎo):3X2+4%=0,

4

解得玉=。,％2=一1，

所以卜g—o=半,

所以D正確；

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中點(diǎn)線問題，熟記關(guān)系式心/生”=-4■可減少計算，是基礎(chǔ)題.

三、填空題

13

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13.。犬+9］的展開式中，X、項的系數(shù)是_________.

【答案】240

【解析】利用二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于3,計算展開式中含有/項的

系數(shù)即可.

【詳解】

由題意得：乙=C；（2x）6-r（?,只需6-,可得廠=2,

代回原式可得［=240無3,

故答案：240.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項式展開式的通項公式及簡單應(yīng)用，相對不難.

22

14.以雙曲線3r=1（。＞0為＞0）的右焦點(diǎn)F（c,0）為圓心，a為半徑的圓與

Q-b"

。的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=gc,則雙曲線C的離心率為.

【答案】矩

5

【解析】根據(jù)直線和圓相交時的弦長公式結(jié)合雙曲線離心率的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】

解：???雙曲線的一個焦點(diǎn)為尸（c,0）,雙曲線的一條漸近線為y=2*,即/-孫=0,

a

A-14

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\bc\be,

焦點(diǎn)到漸近線的距離d==—=b

j>Ja'2+'b2c

'：\Af\=\Bf\=a,

I，4=VAF2—DF2—yJa2—b2

則同=2\AC\=2V?2-b2=|c,

4

平方得4（浜-3）=gd,

即岸-c2+a2=—c2,

9

則2浜=當(dāng)c2,

9

則,

則c=^-a,

5

即離心率&=之叵,

5

故答案為：述.

5

15

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【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式建立方程關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

15.已知函數(shù)“龍)滿足/(x—3)=/(x+3),若在區(qū)間

［Y，4］內(nèi)關(guān)于x的方程3/(x)=Z(x-5)恰有4個不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)Z的取值范

【答案】-半，-!U{o}

I7引

【解析】由題意，把在區(qū)間［Y,4］內(nèi)關(guān)于X的方程3/(x)=5)恰有4個不同的

實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù))'=/")與y=g(x-5)的圖象在區(qū)間［-4,4］內(nèi)有4個不同的交

點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，分類討論，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)滿足/(x-3)=/(x+3)，即/(x)可舉+6)，即函數(shù)/(x)是

以6為周期的周期函數(shù)，

「.16

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又由在區(qū)間［T4］內(nèi)關(guān)于x的方程3/(x)=攵(％-5)恰有4個不同的實(shí)數(shù)解，

即在區(qū)間4］內(nèi)關(guān)于x的方程/(%)=g(x-5)恰有4個不同的實(shí)數(shù)解，

即函數(shù)y="X)與y=g(X-5)的圖象在區(qū)間［-4,4］內(nèi)有4個不同的交點(diǎn)，

又由函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

［l-|x-3|,xe(2,4］

k

由直線y=§(x-5)，可知直線恒過點(diǎn)P(5,0),

當(dāng)攵=0時，此時直線＞=0與函數(shù)V=/(X)的圖象恰有4個交點(diǎn)，

當(dāng)直線過點(diǎn)A(—3,3)時，此時］=與之=-：,即％=-=,此時函數(shù)y=〃x)與直

3—3—5oo

k

線y=y(x-5)有5個同的交點(diǎn),

當(dāng)直線y=-|(x-5)與半圓y=y/4-x2相切時，此時圓心到直線米-3y-5左=0的

距離等于圓的半徑，即j［［［SA=2，解得攵=-冬"或左=馬答(舍去)，此

時函數(shù)V=/(%)與直線y=g(x-5)有3個同的交點(diǎn)，

此時函數(shù)＞=與直線)，=g(x—5)恰有4個同的交點(diǎn)，則-2叵＜k＜--

綜上可知，實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-各答，-|)U{0}-

17

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本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式和周期作出

函數(shù)/（X）的圖象，把方程的解答的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，利用數(shù)

形結(jié)合法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題和解答問題的能力，

試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題.

16.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽彩，俗稱“粽子”，古

稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國

主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將

它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為一；若

該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為一.

【解析】（1）先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的2倍，即可得出

該六面體的體積；（2）由圖形的對稱性得，小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切

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時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.

【詳解】

(1)每個三角形面積是S=7xlx2j=T,由對稱性可知該六面是由兩個正四面合

成的，

可求出該四面體的高為立］=如，故四面體體積為k立、，5=立,

\3334312

因此該六面體體積是正四面體的2倍,所以六面體體積是在；

6

(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的

對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個面相切，

連接球心和五個頂點(diǎn)，把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為R,

所以當(dāng)'=6*JxfxRnR=^~,所以球的體積

6I34J9

V=±￡R3=也(四］］述..

3319J729

故答案為：e；嗓.

6729

【點(diǎn)睛】

本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏

輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，

考查運(yùn)算求解能力.

19

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四、解答題

17.如圖，在四邊形ABC。中，

ZADB=45°,ZBAD=105°,AD=—,BC=2,AC=3

2

(1)求cosNABC的值；

（2）若記ZABC=a，求sin|^2a-yj的值.

【答案】（1）-且；（2）也MI.

612

ARAn「

【解析】（1）通過正弦定理.-2=.八求出AB=g,再在口45c中由余

smZADBsinZABD

弦定理可得cos/ABC;

（2）由（1）可得cosa=-且，sina=R^，再利用兩角和的正弦公式及倍角公式

66

可求sin（2a-今）的值.

【詳解】

(1)由題意，因?yàn)閆AD8=45°,2840=105°,.?.NAB￡)=30。，

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*/AD=,BC-2,

2

>/6

中，由正弦定理可得，A8=3,A8=百，

sin45°sin30°

vAC=3.

□AHC中由余弦定理可得'……降I親=子；

(2)由⑴可得cosa=一^~,sina=

66

sin2a=2sinacosa=-MZcos2a-2cos2a-1-—f

66

，sin(2a」〕」sin2a-里。s2a=56-加

(312212

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查倍角公式與和角公式的靈活應(yīng)用，是中檔題.

18.在①。3=5，％+。5=64；②=2,。3+“4=3&；③S3=9,%+。5=8b2,

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d>l)，前〃項和為S“，等比數(shù)列他』的公比為q,

且q=",d=q,.

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式.

(2)記?！?彳，求數(shù)列｛%｝，的前"項和注：如果選擇多個條件分別解答，按

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第一個解答計分.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】三個條件都可以填入求解，總體思想就是代入通過基本公式求出首項，公差，

公比即可,(2)數(shù)列｛c,｝是一個等差乘以等比的式子求和，用錯位相減法即可解決。

【詳解】

方案一：選條件①

(1)a3—5,a2+a5=6%ax—b19d=q,d>\

4+2d=5

2。1+5d=6%d

25

ciu,=—

解得4=1?；?6(舍去)

d=2.3

ia=—

I12

.4=i

4=2

an

=2〃-1

bn=b、q2=萬

(2)?““=名

??￡=翌=(2〃-1?弓尸

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、2n-271—1

]_d----F(2n-3)x(j+(2n-l)xg

/.T=1+3x-+5x

〃227

、

?d+3x]?+5xi+…+(2…出廠

127

???

/=l+2一(2"l)x,)

ZJ-1

fl

-1-

2J

l+2x—,-NT小

=3_(2〃+3)x(g)

zi-1

二7；=6-(2〃+3)x(；)

方案二：選條件②

(1),:b2=2M3+4=3b3,%=bvd=q,d>1

a"=2

2

2%+5d-3a}d

:.<%d=2

[2。]+5d=6d

a,=ICl,=-1

解得1或4d=-2(舍去)

d=2

b=1

<1

a=2

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/.an-ax+(n-\)d

=2n-l

b“=b、q2=22

(2):%*

a

%=翌=（2"1）嗎嚴(yán)

、2zi-1

.-,7；;=l+3xl+5xf|+…+(2〃-3)x(g)+(2H-1)x

275.

+(2n-l)xfl

亨=；+3X]￡|+5X]￡|+...+(2〃-3)X[￡|

7

8

=3—(2〃+3)x(；)

:.Tn=6-(2n+3)x|^l

方案三：選條件③

/.S3=9,4+%=8b2,%-b、,d-q,d>1

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q+d=3

2%+7d=8qd

21

解得，4=1或8

（舍去）

3

d

8

4=1

g=2

an=%+(n-l)d

=2n-l

=2"~l

(2),??c〃

b”

=(2n-l)x

+3x；+5x[g)+...+(2〃一3)x[；)+(2n-l)x^

riY<IY_,

+5x—+???+(2〃-3)x—4-(2H-1)X—

<\2y

申=1+2尹({)+…+[)-(2"1咱

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W-I

;1-出

-(2〃-1”出

l+2x

二3-(2〃+3)x[g、

7

.?.7；=6—(2〃+3)x(g)

【點(diǎn)睛】

此題考查等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用，掌握乘公比錯位相減求和的題型特點(diǎn)，屬于較易題目。

19.已知平行四邊形A5CD中，AB=1,AD=2,ABLBD.E是線段AO的中

點(diǎn)，沿BQ將ABC。翻折到ABC'。，使得平面平面BCD.

(1)求證：，平面BCD;

(2)求二面角E—3C'—。的余弦值.

【答案】(】)見解析；(2)早

【解析】(1)首先證出C'OJ_BO,再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證出.

(2)以。為原點(diǎn),DB,CD,。。所在直線分別為x，匕二軸建立如圖所示的空

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間直角坐標(biāo)系。一盯Z,求出平面BEC,的一個法向量，平面BDC'的一個法向量，利

用空間向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】

（1）由題意可知CD=B4=C'O=1,BC,=BC=AD=2,ABA.BD,

即+,故CD人BD.

因?yàn)槠矫?co_L平面A3。，平面BC'Ofl平面4RD=8D,C'Ou平面,

所以C'。，平面BCD

(2)由(1)知。。，平面,且CD_LB。,

以。為原點(diǎn),DB,CD，OC'所在直線分別為x,》，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則。（0,0,0）,A（石,1,0）,B（瓜0,0）,0（0,0,1）.

>/31八］

由于E是線段A￡>的中點(diǎn)，所以E石子0在平面中,

7

BE,陽=卜6,0,1）.

22J

由1n

BEM=0

設(shè)平面BEC'的法向量為n=(x,y,z),則,即22

-6x4-2=0

令x=l,得y=z=百,

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所以平面BE。的一個法向量為5=（1,G,G）,

而平面BOC'的一個法向量為DC=（0,-1,0）.

故cosG，反）=百箴「一母,易知二面角E-BC-O的平面角為銳角,

故二面角E-BC-D的余弦值為衛(wèi)~.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理以及空間向量法求二面角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖?/p>

標(biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知拋物線E：y=/,的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/的斜率為Z，與拋物線E交

于A,B兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)A,3處的切線分別為4,4,兩條切線的交點(diǎn)為。.

（1）證明：ZADB=90。;

（2）若MBD的外接圓「與拋物線C有四個不同的交點(diǎn)，求直線/的斜率的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析（2）左＞6或左＜-6

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【解析】（1）聯(lián)立直線/與拋物線的方程，利用根于系數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率表達(dá)式求得

桃2=T即可；

（2）由（1）可知，圓「是以A3為直徑的圓且圓「的方程可化簡為

/+/_丘_（公+3方_2=0,聯(lián)立圓與拋物線的方程得到

,--%2+履+/。，圓/與拋物線E有四個不同的交點(diǎn)荊介于

F+1>O,

ok>#或k<-p

二一3〉0

【詳解】

解：（1）證明：依題意有尸（0,；）,直線/：＞=履+；,

設(shè)，y,）,B（X2,%），直線/與拋物線E相交,

.y=x2，

聯(lián)立方程1消去）'，化簡得x2-kx--^0,

y^kx+—,

I4