高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練28對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

[知識(shí)能否憶起]1．對(duì)數(shù)1．對(duì)數(shù)的定義：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中

叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，

叫作真數(shù)．a(chǎn)Nb＝logaN

2．幾種常見對(duì)數(shù)：10e如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝

；(3)logaMn＝

(n∈R)；logaM－logaN

nlogaMlogaM＋logaN二、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)：N

N

3．對(duì)數(shù)的重要公式：三、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)[動(dòng)漫演示更形象，見配套課件](0，＋∞)(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0)增函數(shù)減函數(shù)

四、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為

，它們的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱．y＝x反函數(shù)[小題能否全取]答案：C1．(教材習(xí)題改編)2log510＋log50.25＝(

)A．0

B．1C．2 D．4

解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝

log525＝2.2．(2012·白鷺洲模擬)若函數(shù)f(x)＝loga(x－1)(a>0，

a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A．(1,0) B．(2,0)C．(1,1) D．(2,1)

解析：由于loga1＝0，∴x＝2時(shí)f(2)＝loga1＝0，

∴圖像過點(diǎn)(2,0)．答案：B3．函數(shù)y＝lg|x| (

)A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增

B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減

C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減

D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增

解析：y＝lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．答案：B5．(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________.解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2lg10＝2.答案：21.在運(yùn)用性質(zhì)logaMn＝nlogaM時(shí)，要特別注意條件，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n為偶數(shù))．2．對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律：當(dāng)a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1時(shí)，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1時(shí)，logab<0.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性：在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}．對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論．[例1]

求解下列各題．對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并．(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算．1．化簡(jiǎn)：

[例2]

(1)(2013·煙臺(tái)調(diào)研)函數(shù)y＝ln(1－x)的圖象大致為 (

)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[自主解答]

(1)由1－x>0，知x<1，排除選項(xiàng)A、B；設(shè)t＝1－x(x<1)，因?yàn)閠＝1－x為減函數(shù)，而y＝lnt為增函數(shù)，所以y＝ln(1－x)為減函數(shù)，可排除D選C.[答案]

(1)C

(2)B1．對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解．2．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題的求解，常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．答案：B[例3]

已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(x)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；(2)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(2)因?yàn)閒(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，這時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函數(shù)定義域?yàn)?－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減．又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)．

研究復(fù)合函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性(最值)時(shí)，應(yīng)先研究其定義域，分析復(fù)合的特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)u＝f(x)及y＝logau的單調(diào)性(最值)情況確定函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性(最值)(其中a>0，且a≠1)．3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．解：(1)由ax－1>0得ax>1，當(dāng)a>1時(shí)，x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0.∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)．(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)0<x1<x2，則1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴l(xiāng)oga(ax1－1)<loga(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．類似地，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．A．x＜y＜z

B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x

本題在比較三個(gè)數(shù)的大小時(shí)利用中間值，進(jìn)行第一次比較時(shí)，中間值常選用的有0,1，由指數(shù)、對(duì)數(shù)式可知x>1,0<y<1，0<z<1，再進(jìn)一步比較y、z的大小，其中對(duì)數(shù)logaN的符號(hào)判定可簡(jiǎn)記為“同正異負(fù)”，即a與N同時(shí)大于1或同時(shí)大于0小于1，則logaN>0；反之，logaN<0.A．a(chǎn)<b<c

B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．b<a<c教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）A．－4 B．4C．－6 D．6答案：A解題訓(xùn)練要高效見“課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十一）”2．函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)

答案：D

3．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b

的取值范圍是(

)答案：B

答案：C

6．(2012·上海徐匯二模)已知函數(shù)f(x