第1章 解直角三角形（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練（解析版）

第1章解直角三角形（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江·金華市南苑中學九年級階段練習）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦定義解答，正弦定義是在中，，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦．【詳解】解：∵中，，，，∴,故選A．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)中的正弦，解決問題的關鍵是熟練掌握正弦的定義．2．（2022·浙江湖州·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則tanB的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據勾股定理求出BC的長，再根據tanB＝即可解答．【詳解】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝．∴tanB＝．故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，即在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．（2022·浙江麗水·一模）如圖，點A為邊上的任意一點，作于點C，于點D，下列用線段比表示的值，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，，可得∠A+=90°∠ACD+∠A=90°，從而得∠ACD=，再根據正切的定義，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，∴∠A+=90°∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=，∴，，，∴選項A、B、D正確，不符合題意；選項C錯誤，符合題意．故選：C【點睛】本題主要考查了求正切值，余角的性質，熟練掌握直角三角形中，銳角的正切值等于它的對邊與鄰邊的比值是解題的關鍵．4．（2022·浙江寧波·二模）如圖，在Rt中，為上一點且于，連結，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設,根據求出FC、BC的長，由此得解.【詳解】解：設，，則AB=5x，∵,∴∠AFE=∵,∴，∴x，在Rt△BCF中，∠C=90，∴.故選：D.【點睛】此題考察三角函數(shù)，角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，此題根據設未知數(shù)是解題的關鍵.5．（2022·浙江溫州·一模）如圖，小羽利用儀器測量一電線桿AB的拉線AC的長度，測得拉線AC與水平地面BC的夾角為，并測得C點到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在直角△ABC中，利用余弦函數(shù)即可求解．【詳解】解：在直角△ABC中，BC=5，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題．6．（2022·浙江·溫州市第十四中學三模）“兒童放學歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為（如圖所示，假設拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點A作AC⊥BC于C，根據正弦的定義解答即可．【詳解】解：如圖，過點A作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，sinB=，則AC=AB?sinB=100sin65°（米），故選：A．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．7．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，小慧的眼睛離地面的距離為，她用三角尺測量廣場上的旗桿高度，仰角恰與三角板角的邊重合，量得小慧與旗桿之間的距離為，則旗桿的高度（單位：）為（

）A．6.6 B．11.6 C． D．【答案】D【分析】根據題意可知米，．再利用特殊角的三角函數(shù)解直角三角形即可求出AC長，從而求出AD長．【詳解】根據題意可知米，．∵，∴在中，米．∴米．故選D．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用．掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵．二、填空題8．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：sin30°＝____．【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值化簡即可．【詳解】解：sin30°＝．故答案為：．【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記各值是解答此題的關鍵．9．（2022·浙江寧波·九年級專題練習）比較與的大小，結果為：______．【答案】【分析】根據特殊角的三角函數(shù)值直接比較即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和實數(shù)的大小比較，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．10．（2022·浙江湖州·模擬預測）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，則cosB=___．【答案】【分析】根據銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：由勾股定理可知：BC==，∴cosB==，故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關鍵是正確理解銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎題型．三、解答題11．（2022·浙江金華·三模）計算：【答案】5【分析】按照0指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的正弦，二次根式的化簡，絕對值的定義將每一項進行化簡，再進行實數(shù)的運算即可．【詳解】解：==1+2-1+3=5【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，以及0指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的化簡，絕對值的定義，熟悉以上運算法則是解題的關鍵．12．（2022·浙江金華·九年級期中）計算：．【答案】【分析】根據零指數(shù)冪，負指數(shù)冪，特殊角度的三角函數(shù)值以及算數(shù)平方根運算法則計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及到了零指數(shù)冪，負指數(shù)冪，特殊角度的三角函數(shù)值以及算數(shù)平方根運算法則，熟練掌握這些法則是解題關鍵．13．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：【答案】1【分析】根據特殊三角函數(shù)值，零次冪及二次根式的化簡運算求解即可．【詳解】解：原式=－+1=1【點睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值、零次冪及二次根式化簡，熟練掌握特殊三角函數(shù)值、零次冪及二次根式的化簡是解題的關鍵．14．（2022·浙江金華·一模）計算：【答案】【分析】原式利用負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結果．【詳解】．【點睛】此題考查了實數(shù)的運算以及絕對值、特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．15．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，2小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內有暗礁．（參考數(shù)據：）(1)求處距離小島的距離（精確到海里）；(2)為安全起見，漁船在處向東偏南轉了繼續(xù)航行，通過計算說明船是否安全？【答案】(1)22.6海里(2)能安全通過．【分析】（1）根據方向角的定義得出∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，在兩個直角三角形中，由直角三角形的邊角關系可求出CM，進而求出BC；（2）求出點C到BE的距離CN的值，比較得出答案．（1）解：如圖，過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由題意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6（海里），答：B處距離小島C的距離約為22.6海里；（2）解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC?sin∠CBN≈16×0.94≈21.2（海里），∵21.2＞20，∴能安全通過，答：能安全通過．【點睛】本題考查直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，作垂線構造直角三角形是解決問題的關鍵．【典型】一、單選題1．（2022·浙江紹興·一模）如圖，A，B，C，三點在正方形網格線的交點處，若將繞著點A逆時針旋轉得到，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據旋轉性質可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉化為在Rt△BCD中求tanB．【詳解】過C點作，垂足為D則根據旋轉性質可知，在中，所以故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，旋轉后對應角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．二、填空題2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角板的直角頂點C落在x軸的負半軸上，點A，B分別落在反比例函數(shù)y＝的兩個分支上，∠CAB＝30°，若AC邊與y軸相交于AC的中點D，點A的縱坐標為2，則k的值為_____．【答案】【分析】過點C作EF⊥x軸，過A點作AM⊥y軸交EF于E，過B點作BN⊥y軸交EF于F，根據題意得出A（，2），E（﹣，2），通過三角形相似，求得，得出，即可得出，根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標圖像k＝xy，得出，解得k＝【詳解】解：過點C作EF⊥x軸，過A點作AM⊥y軸交EF于E，過B點作BN⊥y軸交EF于F，∵點A，B分別落在反比例函數(shù)y＝的兩個分支上，點A的縱坐標為2，∴A（，2），∴EC＝2，AM＝，∵AC邊與y軸相交于AC的中點D，∴EM＝AM＝，∴AE＝k，∴E（﹣，2），∴F點的橫坐標為﹣，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴tan30°=，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∵∠ACM+∠CAE＝90°，∴∠BCF＝∠CAE，∵∠CFB＝∠AEC＝90°，∴△BCF∽△CAE，∴，∴，∴F（﹣，﹣k），∴，∴，解得k1＝，k2＝0（舍去），∴k＝，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解直角三角形以及三角形相似的判定和性質，表示出點B的坐標是解題的關鍵．三、解答題3．（2022·浙江衢州·模擬預測）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點M作MN⊥AC于點N，∠EMF=135°．將∠EMF繞點M旋轉，使∠EMF的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答下列問題：（1）當∠EMF繞點M旋轉到如圖①的位置時，求證：BE+CF=BM；（2）當∠EMF繞點M旋轉到如圖②，圖③的位置時，請分別寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tan∠BEM=，AN=+1，則BM=，CF=．【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）1，1+或1﹣【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點M作MN⊥AC于點N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可證明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM進而得出結論；（2）①如圖②時，同（1）可證△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，②如圖③時，同（1）可證△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中，，可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分別求出AB、AC、CN、BM、BE的長，結合（1）（2）的結論對圖①②③進行討論可得CF的長.【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠C=45°，∵AM是∠BAC的平分線，MN⊥AC，∴BM=MN，在四邊形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，∴∠BME=∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）針對圖2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；針對圖3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如圖1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如圖2，由tan∠BEM=，∴此種情況不成立；③由（2）知，如圖3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案為1，1+或1﹣．【點睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運用所學知識求解.4．（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，在中，，垂足為D，．（1）求的值；（2）過點B作，若，求的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據，求出CD，再根據勾股定理求出AB的長，即可求得的值；（2）作AF⊥BE，易得四邊形ADBF是矩形，即可求得AF和EF，然后根據勾股定理即可求得AE的長．【詳解】（1）在Rt△ADC中∵∴CD=4∴BD=12－4=8在Rt△ABD中，根據勾股定理可得∴（2）作AF⊥BE于點F∵，∴四邊形ADBF是矩形∴AF=BD=8，AD=BF=6∴EF=10－6=4在Rt△AEF中，根據勾股定理可得【點睛】本題考查三角函數(shù)和勾股定理，掌握解直角三角形的方法是解題的關鍵．5．（2020·浙江臺州·二模）某校組織數(shù)學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是的中線，于點，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．【特例探究】（1）如圖1，當，時，_____，______；如圖2，當，時，_____，______；【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想、、三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論；【拓展證明】（3）如圖4，在中，，，、、分別是邊、的中點，連結并延長至，使得，連結，當于點時，求的長．【答案】（1），，，；（2），證明見解析；（3）．【分析】(1)由三角函數(shù)的性質得到根據三角形中位線的性質,得到EF//AB．,由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長，再由勾股定理得到結果;由三角函數(shù)的性質得到根據三角形中位線的性質,得到EF//AB．，由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長再由勾股定理得到結果;(2)設，，則，，利用勾股定理用x、y、z分別表示出：、、，再用x、y、z分別表示出，，由即可得出答案；（3）連結，過點作交于點，交于點，可得四邊形是平行四邊形，可得是中垂三角形，即可知：，代入（2）中結論可求得【詳解】(1)解:如圖，連接EF∵，，∴∵、是的中線，是交點∴∴∴∵∴由勾股定理可得：∴如圖連接EF∵，，∴，∵、是的中線，是交點∴∴∴，∵∴由勾股定理可得：，∴，故答案為：，，，．（2）,理由如下：設，，則，∵∴∴，∴即（3）連結，過點作交于點，交于點，∵，∴∵是的中點∴是的中點∵，是，的中點∴，∵∴，∴四邊形是平行四邊形∴是的中點∴是中垂三角形∵，，∴，有（2）中結論可知：∴【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定、勾股定理、三角形的中位線定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．6．（2021·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐標系中，點，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點，連接.（1）求證：直線是的切線；（2）點為軸上任意一動點，連接交于點，連接：①當時，求所有點的坐標（直接寫出）；②求的最大值.【答案】（1）見解析；（2）①，；②的最大值為.【分析】（1）連接，證明∠EDO=90°即可；（2）①分“位于上”和“位于的延長線上”結合相似三角形進行求解即可；②作于點，證明，得，從而得解.【詳解】（1）證明：連接，則：∵為直徑∴∴∵∴∴∵∴∴即：∵軸∴∴∴直線為的切線.（2）①如圖1，當位于上時：∵∴∴設，則∴∴，解得：∴即如圖2，當位于的延長線上時：∵∴設，則∴∴解得：∴即②如圖，作于點，∵是直徑∴∴∴∵半徑∴∴的最大值為.【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性質和相似比計算線段的長；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．【易錯】一．選擇題（共6小題）1．（2022春?鄞州區(qū)校級月考）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．【解答】解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查學生對坡度、坡角的理解及運用．2．（2022春?蘭溪市月考）若∠A是銳角，且sinA＝，則（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【分析】正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。瑩丝傻媒Y論．【解答】解：∵∠A是銳角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故選：A．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．3．（2022?鹿城區(qū)校級三模）鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長為3米，當欄桿末端從水平位置上升到點C處時，欄桿前端從水平位置下降到點A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細忽略不計），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米【分析】過點A作AF∥DE，交CE的延長線于點F，根據銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖：過點A作AF∥DE，交CE的延長線于點F，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∵AF∥DE，∴∠CFA＝∠CED＝90°，∠CAF＝∠CBE＝α，由題意可知：EF＝AD＝0.5米，AC＝3米，∵sin∠CAF＝，∴CF＝3sinα（米），∴CE＝CF﹣EF＝（3sinα﹣0.5）（米），即欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（3sinα﹣0.5）米．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義．4．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．【分析】連接OD，證明點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上，把求∠AED的正切值轉化為求∠ABC的正切值．【解答】解：連接OD，∵AD⊥BC，O是AB中點，∴OD＝AB＝1，∴OD＝OA＝OE＝OD，∴點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上，∴∠ABC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握四點共圓的證明及三角函數(shù)的應用是解題關鍵，其中連接OD，證明點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上是本題的難點．5．（2022?瑞安市二模）某村計劃挖一條引水渠，渠道的橫斷面ABCD是一個軸對稱圖形（如圖所示）．若渠底寬BC為2m，渠道深BH為3m，渠壁CD的傾角為α，則渠口寬AD為（）A．（2+3?tanα）m B．（2+6?tanα）m C．（2+）m D．（2+）m【分析】過點C作CE⊥AD，垂足為E，根據題意可得BH＝CE＝3m，BC＝HE＝2m，AH＝DE，∠ADC＝α，然后在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，從而求出AH的長，然后進行計算即可解答．【解答】解：過點C作CE⊥AD，垂足為E，則BH＝CE＝3m，BC＝HE＝2m，∵四邊形ABCD是一個軸對稱圖形，∴AH＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝α，在Rt△DEC中，DE＝＝（m），∴AH＝DE＝m，∴AD＝AH+DE+HE＝2+×2＝（2+）m，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，軸對稱圖形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．6．（2022春?杭州月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交邊BC于點D．設BD＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)，則x與y滿足關系式為（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12【分析】過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE，根據線段垂直平分線求出DE＝BD＝x，根據等腰三角形求出BQ＝CQ＝4，求出CM＝QM＝2，解直角三角形求出EM＝2y，AQ＝4y，在Rt△DEM中，根據勾股定理求出即可．【解答】解：如圖，過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE，∵BE的垂直平分線交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y(tǒng)，∴＝＝y(tǒng)，BQ＝CQ＝4，∴AQ＝4y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E為AC中點，∴MC＝QM＝CQ＝2，∴EM＝2y，∴DM＝8﹣2﹣x＝6﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（2y）2+（6﹣x）2，即3x﹣y2＝9，故選：C．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解直角三角形等知識點，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．二．填空題（共7小題）7．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝．【分析】根據三角函數(shù)的定義即可得到cosB＝sinA＝．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的定義，由定義可推出互余兩角的三角函數(shù)的關系：若∠A+∠B＝90°，則sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相關定義是解題關鍵．8．（2022?長興縣開學）計算tan45°的正確結果是1．【分析】根據特殊角的三角函數(shù)值判斷即可．【解答】解：tan45°＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．9．（2022春?定海區(qū)期末）公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當館長的埃拉托色尼通過測得有關數(shù)據，求得了地球圓周的長度，他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，太陽射來的光線可以看作平行線，在同時刻，光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為∠1，光線與B城和地心的連線OQ重合，通過測量A，B兩城間的路程（即弧AB）和∠1的度數(shù)，利用圓的有關知識，地球圓周的長度就可以大致算出來了．已知弧AB的長度約為800km，若∠1≈7.2°，則地球的周長約為40000km．【分析】首先根據弧長公式求出地球的半徑，再利用圓的周長公式即可求解．【解答】解：∵太陽射來的光線可以看作平行線，∴∠AOB＝∠1≈7.2°．設地球的半徑為R千米，由題意得＝800，解得R＝，∴地球的周長約為2π×＝40000（千米）．故答案為：40000．【點評】本題考查了弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．也考查了圓的周長公式．10．（2022?麗水一模）如圖1的一湯碗，其截面為軸對稱圖形，碗體ECDF呈半圓形狀（碗體厚度不計），直徑EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如圖1，當湯碗平放在桌面MN上時，碗的高度是15cm．（2）如圖2，將碗放在桌面MN上，繞點B緩緩傾斜倒出部分湯，當碗內湯的深度最小時，tan∠ABM的值是．【分析】（1）由垂徑定理和勾股定理可求PO的長，即可求解；（2）由旋轉的性質可得OB＝O'B＝5cm，∠ABM＝∠OBO'，由勾股定理可求RB的長，由面積關系可求OK的長，由銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：（1）如圖，設半圓的圓心為O，連接OC，OB，過點O作直線OP⊥CD于P，交AB于Q，∴四邊形ACPQ是矩形，四邊形BDPQ是矩形，∴AC＝PQ＝3cm，PD＝QB，∵OP⊥CD，∴CP＝DP＝QB＝5cm，∵OP＝＝＝12（cm），∴OQ＝OP+PQ＝15cm．∴碗的高度為15cm；（2）如圖1，OB＝＝＝5cm，∵將碗放在桌面MN上，繞點B緩緩傾斜倒出部分湯，∴當半圓O與直線MN相切時，碗內湯的深度最小，如圖2，設半圓O與直線MN相切于點R，連接O'R，連接OO'，O'B，過點O作OK⊥O'B于K，∵旋轉，∴OB＝O'B＝5cm，∠ABM＝∠OBO'，∵半圓O與直線MN相切于點R，∴O'R⊥MN，∴O'R＝13cm，∴BR＝＝＝9cm，∵S△OO'B＝S梯形OQO'R﹣S△OBQ﹣S△BRO'，∴S△OO'B＝×（5+9）×（15+13）﹣×15×5﹣×13×9＝100（cm2），∴×O'B×OK＝100，∴×5×OK＝100，∴OK＝4cm，∴BK＝＝＝3cm，∴tan∠OBO'＝＝＝，∴tan∠MBA＝，故答案為：．【點評】本題考查了圓的有關知識，銳角三角函數(shù)，勾股定理，旋轉的等知識，添加恰當輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．11．（2022?蕭山區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，則AC的長為．【分析】過點A作AD⊥BC，垂足為D，先在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，然后根據勾股定理求出AC的長即可解答．【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝4，∴AD＝AB?sinB＝4×＝1，在Rt△ADC中，tanC＝，∴DC＝＝＝2，∴AC＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．12．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）在△ABC中，如果∠A、∠B滿足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝75°．【分析】先根據△ABC中，tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度數(shù)，進而可得出結論．【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0∴tanA＝1，cosB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°．故答案為：75°．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．13．（2022?富陽區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．點P從B點出發(fā)沿著BD方向運動，到達點O停止運動．連接AP，點B關于直線AP的對稱點為Q．當點Q落在AC上時，則OQ＝2+2﹣2，在運動過程中，點Q到直線BD的距離的最大值為2．【分析】過點O作OH⊥AB，垂足為H，根據題意可得AQ＝AB，利用平行四邊形的性質可得OB＝4，然后在Rt△OBH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OH，BH的長，再在Rt△AHO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長，AO的長，從而求出AB，AQ的長，進行計算即可求出OQ的長；根據題意可得點Q的軌跡為：以點A為圓心，AB長為半徑的圓弧上，當點P運動到點O，則點Q在圓弧終點的位置，連接BQ，過點Q作QG⊥BD，垂足為G，連接OQ，根據軸對稱的性質可得OQ＝OB，AQ＝AB，∠QAB＝2∠OAB＝90°，從而可得QB＝AB＝2+2，∠QBA＝∠AQB＝45°，進而求出∠OBQ＝15°，然后利用等腰三角形的性質以及三角形的外角性質可得∠QOG＝30°，最后設QG＝x，則OQ＝OB＝2x，OG＝x，再在Rt△QGB中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：過點O作OH⊥AB，垂足為H，由題意得：AQ＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝BD＝4，在Rt△OBH中，∠ABO＝60°，∴OH＝OB?sin60°＝4×＝2，BH＝OB?cos60°＝4×＝2，在Rt△AHO中，∠OAB＝45°，∴AH＝＝＝2，OA＝＝＝2，∴AQ＝AB＝AH+BH＝2+2，∴OQ＝AQ﹣OA＝2+2﹣2，∴當點Q落在AC上時，則OQ＝2+2﹣2，∵AQ＝AB，∴點Q的軌跡為：以點A為圓心，AB長為半徑的圓弧上，當點P運動到點O，則點Q在圓弧終點的位置，連接BQ，過點Q作QG⊥BD，垂足為G，連接OQ，∵點B關于直線AP的對稱點為Q，∴OQ＝OB，AQ＝AB，∠QAB＝2∠OAB＝90°，∴QB＝AB＝2+2，∠QBA＝∠AQB＝45°，∵∠OBA＝60°，∴∠OBQ＝∠OBA﹣∠QBA＝15°，∵OQ＝OB，∴∠OQB＝∠OBQ＝15°，∴∠QOG＝∠OQB+∠OBQ＝30°，設QG＝x，則OQ＝OB＝2x，∴OG＝QG＝x，∴BG＝OB+OG＝（2+）x，在Rt△QGB中，QG2+GB2＝BQ2，∴x2+[（2+）x]2＝（2+2）2，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴QG＝2，∴在運動過程中，點Q到直線BD的距離的最大值為2．故答案為：2+2﹣2，2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理，軸對稱的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．三．解答題（共8小題）14．（2022?嘉興一模）倡導“低碳環(huán)?！弊尅熬G色出行”成為一種生活常態(tài)．嘉嘉買了一輛自行車作為代步工具，各部件的名稱如圖1所示，該自行車的車輪半徑為30cm，圖2是該自行車的車架示意圖，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它們互相垂直，座管AE可以伸縮，點A，B，E在同一條直線上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的長；（2）若后下叉BD與地面平行，座管AE伸長到18cm，求座墊E離地面的距離．（結果精確到1cm，參考數(shù)據sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算即可解答；（2）過點E作EF⊥BD，垂足為F，根據已知可求出BE的長，然后在Rt△BEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝27cm，AC＝36cm，∴BC＝＝＝45（cm），∴下管BC的長為45cm；（2）過點E作EF⊥BD，垂足為F，∵AE＝18cm，AB＝27cm，∴BE＝AE+AB＝45cm，在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，∴EF＝BE?sin75°≈45×0.97＝43.65（cm），∴座墊E離地面的距離＝43.65+30≈74（cm），∴座墊E離地面的距離約為74cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．15．（2022春?磐安縣期中）某數(shù)學興趣小組通過調查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：E、C、B三點在同一水平線上請你根據表中信息結合示意圖幫助該數(shù)學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）【分析】延長FD交AB于點G，根據題意可得FG⊥AB，CD＝GB＝1.3米，DF＝CE＝22米，設AG＝x米，然后在Rt△AGD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出GD的長，從而求出FG的長，最后在Rt△AGF中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：延長FD交AB于點G，則FG⊥AB，CD＝GB＝1.3米，DF＝CE＝22米，設AG＝x米，在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，∴GD＝＝x（米），∴GF＝GD+DF＝（x+22）米，在Rt△AGF中，∠AFG＝32°，∴tan32°＝＝≈0.62，∴x≈35.89，經檢驗，x≈35.89是原方程的根，∴AG≈35.89米，∴AB＝AG+BG＝35.89+1.3≈37.2（米），∴嵩岳寺塔AB的高度約為37.2米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．16．（2022?溫嶺市一模）如圖所示是國際標準的籃球架，某興趣小組想知道籃筐中心A到地面的高度，現(xiàn)測得如下數(shù)據：CD垂直于地面，CD＝255cm，BC＝90cm，AB平行于地面，∠ABC＝145°，請你利用學過的知識幫他們求出該高度．（結果精確到1cm，參考數(shù)據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【分析】過點A作AM⊥EF，垂足為M，過點C作CN⊥AM，垂足為N，過點B作BQ⊥CN，垂足為Q，根據題意可得CD＝MN＝255cm，BQ＝AN，CN∥AB，從而求出∠BCN的度數(shù)，然后在Rt△BCQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BQ的長，從而求出AN的長，進行計算即可解答．【解答】解：過點A作AM⊥EF，垂足為M，過點C作CN⊥AM，垂足為N，過點B作BQ⊥CN，垂足為Q，則CD＝MN＝255cm，BQ＝AN，CN∥AB，∵∠ABC＝145°，∴∠BCN＝180°﹣∠ABC＝35°，在Rt△BCQ中，BC＝90cm，∴BQ＝BC?sin35°≈90×0.57＝51.3（cm），∴AN＝BQ＝51.3cm，∴AM＝AN+MN＝51.3+255≈306（cm），∴籃筐中心A到地面的高度約為306cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．17．（2022?金東區(qū)三模）如圖，一個書架上放著8個完全一樣的長方體檔案盒，其中左邊7個檔案盒緊貼書架內側豎放，右邊一個檔案盒自然向左斜放，檔案盒的頂點D在書架底部，頂點F靠在書架右側，頂點C靠在檔案盒上，若書架內側長為60cm，∠CDE＝53°，檔案盒長度AB＝35cm．（參考數(shù)據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求點C到書架底部距離CE的長度；（2）求ED的長度；（3）求出該書架中最多能放幾個這樣的檔案盒．【分析】（1）根據題意可得AB＝CD＝35cm，然后在Rt△CDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答；（2）在Rt△CDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答；（3）根據題意可得：∠DGF＝∠CDF＝90°，先利用平角定義求出∠FDG＝27°，從而求出∠DFG＝53°，設每一個檔案盒的厚度為xcm，然后在Rt△DFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，最后根據書架內側長為60cm，列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AB＝CD＝35cm，在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，∴CE＝CD?sin53°≈35×0.8＝28（cm），∴點C到書架底部距離CE的長度約為28cm；（2）在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，CD＝35cm，∴DE＝CD?cos53°≈35×0.6＝21（cm），∴ED長度約為21cm；（3）如圖：由題意得：∠DGF＝∠CDF＝90°，∵∠CDE＝53°，∴∠FDG＝180°﹣∠CDE﹣∠CDF＝37°，∴∠DFG＝90°﹣∠FDG＝53°，設每一個檔案盒的厚度為xcm，在Rt△DFG中，DF＝xcm，∴DG＝DF?sin53°≈0.8x（cm），由題意得：7x+0.8x+21＝60，∴x＝5，∴60÷5＝12（個），∴該書架中最多能放12個這樣的檔案盒．【點評】本題考查了解直角三角形的應用．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．18．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖1是某路燈，圖2是此路燈在鉛垂面內的示意圖，燈芯A在地面上的照射區(qū)域BC長為7米，從B，C兩處測得燈芯A的仰角分別為α和β，且tanα＝6，tanβ＝1．（1）求燈芯A到地面的高度．（2）立柱DE的高為6米，燈桿DF與立柱DE的夾角∠D＝120°，燈芯A到頂部F的距離為1米，且DF⊥AF，求燈桿DF的長度．【分析】（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H，設BH＝x米，在Rt△ABH中利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長，再在Rt△ACH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長，從而根據BC＝7列出關于x的方程，進行計算即可解答；（2）連接AD，根據已知易證四邊形DEHA是矩形，可得∠EDA＝90°，從而求出∠ADF＝30°，然后在Rt△DFA中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H，設BH＝x米，在Rt△ABH中，tanα＝6，∴AH＝BH?tanα＝6x（米），在Rt△ACH中，tanβ＝1，∴CH＝＝6x（米），∵BC＝7米，∴BH+CH＝7，∴x+6x＝7，∴x＝1，∴AH＝6米，∴燈芯A到地面的高度為6米；（2）連接AD，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴DE∥AH，∵DE＝AH＝6米，∴四邊形DEHA是平行四邊形，∵∠DEH＝90°，∴四邊形DEHA是矩形，∴∠EDA＝90°，∵∠EDF＝120°，∴∠ADF＝∠EDF﹣∠EDA＝30°，∵DF⊥AF，∴∠F＝90°，∴在Rt△DFA中，AF＝1米，∴DF＝＝＝（米），∴燈桿DF的長度為米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．19．（2022?諸暨市模擬）圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點B，E，D均為可轉動點，現(xiàn)測得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，經多次調試發(fā)現(xiàn)當點B，E都在CD的垂直平分線上時（如圖3所示）放置最平穩(wěn)．（1）求放置最平穩(wěn)時燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）當A點到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm﹣43cm時，臺燈光線最佳，能更好的保護視力．若臺燈放置最平穩(wěn)時，將∠ABE調節(jié)到105°，試通過計算說明此時光線是否為最佳．（參考數(shù)據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）【分析】（1）延長BE交DC于點F，根據題意可得EF⊥CD，F(xiàn)D＝CD＝CD＝10cm，然后在Rt△DEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答；（2）過點A作AM⊥DC，交DC的延長線于點M，過點B作BG⊥AM，垂足為G，則GM＝BF，∠GBF＝90°，先在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF的長，從而求出BF，GM的長，然后根據∠ABE＝105°，求出∠ABG的度數(shù)，最后在Rt△ABG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）延長BE交DC于點F，由題意得：EF⊥CD，F(xiàn)D＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cosD＝＝＝，∴∠D＝60°，∴燈座DC與燈桿DE的夾角為60°；（2）過點A作AM⊥DC，交DC的延長線于點M，過點B作BG⊥AM，垂足為G，則GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），則GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB?sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A點到水平桌面（CD所在直線）的距離約為42.5cm，∴此時光線最佳．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，線段垂直平分線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．20．（2022?北侖區(qū)一模）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋．如圖，該河旁有一座小山，山高BC＝100m，坡面AB的坡比為1：0.7（注：坡比是指坡面的鉛垂高度與水平寬度的比），點C、A與河岸E，F(xiàn)在同一水平線上，從山頂B處測得河岸E和對岸F的俯角∠DBE，∠DBF分別為45°，28°．（1）求山腳A到河岸E的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長度．（結果精確到0.1m）（參考數(shù)據：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】（1）根據題意可求出AC的長，然后在Rt△BCE中，求出CE，進行計算即可解答；（2）在Rt△BCF中，求出CF的長，然后再減去CE，進行計算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：＝，BC＝100m，∴AC＝0.7BC＝70（m），在Rt△BCE中，∠BEC＝45°，∴CE＝＝100（m），∴AE＝CE﹣AC＝30（m），∴山腳A到河岸E的距離為30m；（2）在Rt△BCF中，∠BFC＝28°，∴CF＝＝≈188.68（m），∴EF＝CF﹣CE＝188.68﹣100≈88.7（m），∴河寬EF的長度為88.7m．【點評】本題考查了解答直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．21．（2022?柯城區(qū)二模）圖①是某小區(qū)折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內轉動，張角為∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同時桿EF始終與地面BD保持平行．（參考數(shù)據：≈1.414，≈1.732）（1）當張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離（結果精確到0.01m）；（2）試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？【分析】（1）要求桿EF與地面BD之間的距離，所以過點E作EM⊥BD，垂足為M，交AC于點N，在Rt△AEN中進行計算即可解答；（2）當張角為∠BAE為150°時，按照（1）的思路求出EM的長，再計算當QD＝1.8米時，GQ的長度，然后與車的寬度進行比較即可解答．【解答】解：（1）過點E作EM⊥BD，垂足為M，交AC于點N，則EN⊥AC，∵AB⊥BD，∴四邊形ABMN是矩形，∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°，∵∠BAE＝135°，∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°，在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米），∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米），答：桿EF與地面BD之間的距離為2.26米；（2）由（1）得：∠BAN＝90°，當∠BAE＝150°時，∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°，在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米），∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米），當QD＝PC＝1.8m，∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m，當∠BAE＝150°時，∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°，在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米，∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米，∵2.412＜2.45，∴寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車不能正常通過此道閘．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【壓軸】一、單選題1．（2021·浙江·溫州市第二中學三模）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內放一個Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點D在半徑OB上，OD＝2DB，點E在半徑OA上，點F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】看到點想位置，用角度刻畫F在上的位置，再利用建立等量關系解得半徑【詳解】解：連接OF，作FG⊥OB于點G，過F作于H，設半徑為r，，在中，，∵，，∴，又，∴，∴，由，∴，∴，，∴，，在中，因為解方程復雜，代入檢驗得：故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，首先要明確的一點是：△EDF的形狀是確定的．D點在OB上的位置也是確定的，所以點F在弧AB上的位置以及點E在OA上的位置也是確定的，應當思考利用什么樣的數(shù)量關系去刻畫這兩點的位置關系，而這恰恰是解題的關鍵．二、填空題2．（2022·浙江·溫州市第二實驗中學二模）飛機導航系統(tǒng)的正常工作離不開人造衛(wèi)星的信號傳輸（如圖1）．五顆同軌道同步衛(wèi)星，其位置A，B，C，D，E如圖2所示，是它們的運行軌道，弧AC度數(shù)為120°，點B到點C和點A的距離相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，連結CD，AE．已知一架飛機從M飛到N的直線距離為8千公里，則軌道的半徑為______千公里．當時，則線段AE，CD的長度之和為______千公里．【答案】

【分析】如圖，連接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC與OB的交點記為點P，證明都為等邊三角形，四邊形OCBA為菱形，再證明可得再利用三角函數(shù)可得圓的半徑，過作于設由可得再利用勾股定理列方程即可．【詳解】解：如圖，連接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC與OB的交點記為點P，弧AC度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為而都為等邊三角形，∴四邊形OCBA為菱形，弧AC度數(shù)為120°，為等邊三角形，同理：則過作于設即同理即解得：（負根舍去）故答案為：【點睛】本題考查的是弧與圓心角，圓周角的關系，等邊三角形的判定與性質，三角形的中位線的性質，菱形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，勾股定理的應用，本題綜合程度較高，屬于中考壓軸題．三、解答題3．（2022·浙江·寧波外國語學校九年級階段練習）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；(2)若，折疊后點的對應點為點（如圖，連結．①若點恰好在邊上（如圖，求的長．②求的最小值．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）由折疊的性質得出，，得出，由已知得出，證明，得出，即可求出的長；（2）①如圖3中，漏解交于點．證明四邊形是菱形，求出菱形的邊長，再利用相似三角形的性質求解即可；②由①可知，四邊形是菱形，推出，推出點的運動軌跡是的角平分線，推出當時，的值最小．【詳解】（1）如圖1中，的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，，，，，，在中，，，，，，，，即，；（2）①如圖3中，連接交于點．，，，，四邊形是菱形，，，，，設，，，，

，則，，，，，，，，，，，，

，，，；②如圖，由①中圖形可知，四邊形是菱形，，，點的運動軌跡是的角平分線，當時，的值最小，此時．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、菱形的判定和性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型．4．（2022·浙江·義烏市賓王中學九年級階段練習）如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得，．在進行如下操作時遇到了下列幾個問題，請你幫助解決．(1)如圖2，將的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在邊上，此時EF恰好經過點A，請證明：；(2)如圖3，在（1）的條件下，小明先將的邊和矩形的邊重合，然后將△EFG沿直線向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個過程中，y與x的函數(shù)關系式．(3)如圖，在（1）的條件下，小明把該圖形放在直角坐標系中，使B（G）為坐標原點為x軸，在x軸和y上分別找P，Q兩點使與相似，直接寫出P點的坐標．【答案】(1)見解析(2)(3)，，，【分析】（1）先證明，然后根據兩角相等的兩個三角形相似解答即可；（2）先由（1）求出BF的長，然后分當時和當時兩種情況求解；（3）當時，由相似三角形的判定和性質可證此種情況不符合題意；然后分和兩種情況求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵∴．由（1）知，，∴，∴．分兩種情況：①當時，如圖1，與相交于P，過P作于Q點，∵的直角邊，∴，∵，∴，四邊形是矩形，∴．∵，∴，，∴重疊部分，②當時，如圖2，EF與AB相交于P，與CD相交于R，∴．綜上可知，．（3）解：∵與相似，∴或．當時，∵，，∴．∵，∴，∴，這與或矛盾，∴．當時，當時，則．∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．當時，則．同理可求，∴．當時，當時，則．∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴∴，∴．當時，則，同理可求，∴．綜上可知，，，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，列函數(shù)解析式，以及銳角三角函數(shù)的知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質、分類討論是解答本題的關鍵．5．（2022·浙江寧波·一模）如圖1，在中，，于D，E為邊上的點，過A、D、E三點的交于F，連接，．(1)求證：．(2)若，求的面積．(3)如圖2，點P為上一動點，連接，，．①若P為的中點，設為x，的面積為S，求S關于x的函數(shù)表達式；②在點P運動過程中，試探索，，之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)①S＝；②PF＝PE＋PD，證明見解析．【分析】（1）求出∠C＝∠DAB，∠CFD＝∠AED，利用AAS證明，根據全等三角形的性質解答即可；（2）連接EF，先求出∠EDF＝90°，可得EF為直徑，再利用tan∠AEF＝tan∠ADF＝3，求出AF＝3AE，可得AF＝3CF，求出AF和AE，利用勾股定理求得EF的值，則的面積可求；（3）①連接EF，OP，OD，利用勾股定理求得直徑EF，利用平行線之間的距離相等和同底等高的三角形的面積相等，得到，證明∠FOD＝2∠CAD＝90°，通過計算的面積即可得出結論；②連接EF，過點D作DN⊥DP，交PF于點N，通過證明，得到EP＝FN，DN＝DP，利用等腰直角三角形的性質和線段的和差即可得出結論．（1）證明：∵在Rt中，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝45°，∠BAD＝45°，AD＝CD＝BD＝BC，∴∠C＝∠DAB，∵四邊形FAED是圓的內接四邊形，∴∠CFD＝∠AED，在和中，∴（AAS）．∴AE＝CF；（2）解：連接EF，如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠FDC＝90°．∵，∴∠CDF＝∠ADE，∴∠ADF＋∠ADE＝90°，∴∠FDE＝90°，∴EF為⊙O的直徑，∵∠ADF＝∠AEF，∴tan∠AEF＝tan∠ADF＝3，∵tan∠AEF＝，∴AF＝3AE，∵AE＝CF，∴AF＝3CF，∵AC＝4，∴CF＝1，AF＝3，∴AE＝1，∴EF＝，∴⊙O的面積為：；（3）解：①連接EF，OP，OD，如圖，∵AE為x，AE＝CF，∴CF＝x，AF＝AC?CF＝4?x，∴EF＝，∴OF＝OD＝，∵P為的中點，∴∠EOP＝∠DOP＝∠EOD，∵∠EFD＝∠EOD，∴∠EOP＝∠EFD，∴OPFD，∴，∵∠FOD＝2∠CAD＝90°，∴OD⊥OF，∴＝，∴S＝；②PD，PE，PF之間的數(shù)量關系為：PF＝PE＋PD，證明：連接EF，過點D作DN⊥DP，交PF于點N，如圖，∵DN⊥DP，∴∠NDE＋∠EDP＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠NDE＋∠NDF＝90°，∴∠EDP＝∠FDN，∵∠DEF＝∠DAC＝45°，∴為等腰直角三角形，∴DE＝DF，在和中，，∴（ASA），∴EP＝FN，DN＝DP，∴為等腰直角三角形，∴NP＝PD，∴PF＝NF＋NP＝PE＋PD．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，圓的面積，圓內接四邊形的性質，三角形的面積，平行線的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，依據題意添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．6．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點E在邊上，，點P是邊上一個動點，連結，將沿翻折得到．(1)當時，求的度數(shù)；(2)若點F落在對角線上，求證：；(3)若點P在射線上運動，設直線與直線交于點H，問當為何值時，為直角三角形．【答案】(1)60°；(2)見解析；(3)或或或．【分析】（1）由平行線的性質得，求得，由翻折的性質可得，即可求解；（2）易證是等邊三角形，由翻折可得，證得，即可證明相似；（3）如圖2，當點P在線段AB上，∠PHB=90°，延長EF交AB的延長線于點K，由翻折的性質可得：AP=FP，，，設AP=x，則FP=x，求得，，，在中，，求解即可得；如圖3，當點P在線段AB上，∠HPB=90°，過點E作EQ⊥AB于點Q，由折疊的性質可得：，求得，，，即可得AP的長度；如圖4，當點P在BA的延長線上，∠HPB=90°，過點E作EM⊥AB于點M，設AP=a，易得，，在中，，∴，求解即可；如圖5，當點P在BA延長線上，∠PHB=90°，延長EF交AB于點N，由翻折的性質可得：AP=FP，，，證得，，，即可求得AP的長度．（1）解：∵，∴，∵∴∵是由翻折得到，∴，∴；（2）證明：當點F在BD上時，如圖1所示，∵菱形ABCD中，，∴AD=AB，是等邊三角形，∴∵是由翻折得到，∴，∴∵∴∴在和中，∴；（3）解：如圖2，當點P在線段AB上，∠PHB=90°，延長EF交AB的延長線于點K，由翻折的性質可得：AP=FP，，設AP=x，則FP=x，∵∠PHB=90°，∴，∴，，∴∵，∴，∴，在中，，即，解得：，即；如圖3，當點P在線段AB上，∠HPB=90°，過點E作EQ⊥AB于點Q，由折疊的性質可得：，∵EQ⊥AB，∴，，∴，，∴，∴；如圖4，當點P在BA的延長線上，∠HPB=90°，過點E作EM⊥AB于點M，設AP=a，∵EM⊥AB，，∴，由折疊的性質可得：，∵EM⊥AB，∴，在中，，∴，解得：，即；如圖5，當點P在BA延長線上，∠PHB=90°，延長EF交AB于點N，由翻折的性質可得：AP=FP，，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，∴，∵∴∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．綜上，AP的長度為或或或．【點睛】本題考查菱形的性質，相似三角形的判定，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，平行線的性質和等腰三角形的性質等，第（3）問要注意分情況討論，做到不重不漏．7．（2022·浙江·溫州市第二實驗中學二模）如圖1，中，，，，延長BC至D，使，E為AC邊上一點，連結DE并延長交AB于點F．作的外接圓，EH為的直徑，射線AC交于點G，連結GH．(1)求證：．(2)①如圖2，當時，求GH的長及的值．②如圖3，隨著E點在CA邊上從下向上移動，的值是否發(fā)生變化，若不變，請你求出的值，若變化，求出的范圍．(3)若要使圓心O落在的內部（不包括邊上），求CE的長度范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①6，；②，不變，理由見解析(3)【分析】（1）先證明再證明從而可得結論；（2）①當時，則此時重合，重合，從而可得答案；②過作于延長交HG的延長線于證明可得結論；（3）當O在BC上時，由（2）可得：證明可得設則再建立方程求解即可，當O在AB上時，可得從而可得答案．（1）解：，，（2）①當時，則為外接圓的直徑，此時重合，重合，②值不變，理由如下：過作于延長交HG的延長線于則為的直徑，而而同理可得；（3）如圖，當O在BC上時，由（2）可得：∵∴設則解得：經檢驗符合題意；如圖，當O在AB上時，為的直徑，∴要使圓心O落在的內部（不包括邊上），CE的長度范圍為：【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，圓周角定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，是動態(tài)幾何體，準確的畫出圖形是解本題的關鍵．8．（2022·浙江金華·三模）在四邊形中，，，．(1)如圖1，①求證：；②求的正切值；(2)如圖2，動點從點出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿折線運動，同時，動點從點出發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點到達點時，點，同時停止運動，設運動時間為秒，以為斜邊作，使點落在線段或上，在整個運動過程中，當不再連接其他線段，且圖中存在與相似的三角形時，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)或或或【分析】（1）①連接AC，根據“SSS”證明，即可得出結論；②過點A作，交CD于點E，過點E作EF⊥BC于點F，先證明四邊形為矩形，得出，∠AEF=90°，再根據“ASA”證明，得出，設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，即可得出結果；（2）按照點M、N、P的位置，或，以及當三角形全等也是特殊的相似，進行分類討論，求出t的值即可．（1）證明：①連接AC，如圖所示：∵在△ABC和△ADC中，，∴，∴；②過點A作，交CD于點E，過點E作EF⊥BC于點F，如圖所示：，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵∠EFC=90°，∴四邊形為矩形，∴，∠AEF=90°，∴，，，∴，，∴，∴，設，則，∵，，解得：，，，，，．（2）當點M在AD上，時，過點M作交CD于點E，延長BA，交EM于點G，如圖所示：∵，∴，，∵，∴，即，，∴，，∴四邊形BNMG為矩形，同理可得四邊形GBFE為矩形，∴GM=BN=2t，，，，，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：；②當點M在AD上，時，過點M作交CD于點E，延長BA，交EM于點G，過點P作PH⊥MN于點H，如圖所示：∵，∴，∴，∴四邊形GEFB為矩形，∴，，，∴，∴，∵DM=t，∴，∴，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∵，∴PH=PB，，∴（HL），∴，NH=NB=2t，，，，∵，PM=PM，∴（AAS），∴PH=PG，MH=GM，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，，∴，∵，，∴，即，解得：；③當M與A點重合，N與C點重合時，P在B點或在D點時，，此時相似比為1，符合要求，此時；④當點M在AB上，N在BC的延長線上時，，∵MN=MN，∴此時，∴NP=NB=2t，PM=MB=10-t，過點D作，過點N作，DE與NF交于點E，延長AD，交NF于點F，過點M作MH⊥DH，交DA的延長線于點H，延長BA交ED于點G，如圖所示：，，四邊形DCNE為平行四邊形，，，，∴，，，∴，，，，∵，∴，∴，∵，，，∵，∴，，，∵，，∴，，，∴，即，解得：，，∴，解得：或（舍去）；綜上分析可知，或或或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，解直角三角形，矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握相關的三角形判定的性質和判定，作出輔助線，進行分類討論是解題的關鍵．9．（2022·浙江溫州·九年級專題練習）如圖，在矩形中，于點，交邊于點．平分交于點，并經過邊的中點．(1)求證：．(2)求的值．(3)若，試在上找一點（不與，重合），使直線經過四邊形一邊的中點，求所有滿足條件的的值．【答案】(1)見解析(2)(3)，，【分析】（1）四邊形為矩形，得，得∠AGE＋∠FAH＝90°，平分，得到∠DAH＝∠FAH，進一步證得結論；（2）延長，交于點，先證明△AFQ是等腰三角形，再證明（AAS），進一步得，再證DG＝DH，設，則，，則BD＝DG＋BG＝3a，由勾股定理求得AD，得到答案；（3）先求出BE的長，再分三種情況分別求解即可．（1）證明∵四邊形為矩形，

∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：延長，交于點，∵，∴，∴△AFQ是等腰三角形，∵點是中點，∴，∵∠AHD＝∠QHC，∴（AAS）∴，，∴，

∴∠FHC＋∠QHC＝90°，∵∠FHC＋∠HFC＝90°，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠DHG，∵∠BGA＝∠DGH，，∴∠DHG＝∠DGH，∴DG＝DH，

設，則，，∴BD＝DG＋BG＝3a，∴，∴＝（3）：∵，，∴HC＝CF＝2，∴，，，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BFE，∵∠AED＝∠FEB，∴△AED∽△FEB，∴∴，①當點經過的中點N時，作交CM的延長線于點Q，EF交QC于點N，如圖2，則∠Q＝∠NCF，EN＝FN，∵∠QNE＝∠CNF，∴△QNE≌△CNF（AAS），∴設，則∵，∴△QME∽△CMB，∴∴∴∴；②當點經過的中點時，即M是DE的中點，如圖3，∵，∴ME＝DE＝，∴BM＝BE＋ME＝；③當點經過的中點P時，作MN交BC于點N，如圖4，∵△CFH是直角三角形，∴PC＝PF，∴設，則，，∵MN，∴，∴∴，∴BN＝2＝，MN＝，∴；∴綜上所述的值為：，，【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，添加適當?shù)妮o助線是解決問題的關鍵．10．（2021·浙江·紹興市第一初級中學九年級階段練習）定義：如果一個四邊形能被一條直線分割成一個平行四邊形和一個等腰三角形，那么稱這個四邊形為平等四邊形，這條分割線為平等線．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，AD＝AB＝2，∠B＝30°，若四邊形ABCD為平等四邊形，直接寫出BC邊可能的長；(2)如圖2，AD為四邊形EBCD的平等線，且BC＝ED，求證：BD2﹣BC2＝AB?BE；(3)如圖3，在（2）的條件下，作平等四邊形EBCD的外接圓，連接AC，若∠BAC＝∠BDE，那么BD與BC有何數(shù)量關系？并說明理由．【答案】(1)+2或2+2或4(2)見解析(3)BD＝BC，見解析【分析】（1）分AB＝BE、AB＝AE、AE＝BE三種情況，通過數(shù)形結合的方法，分別求解即可；（2）在Rt△BFD中，BD2＝DF2+（AF+AB）2，在Rt△AFD中，AD2＝DF2+AF2，則BD2﹣AD2＝2AB?AF+AB2＝AB（2AF+AB）＝AB（AE+AB）＝AB?BE，進而求解；（3）證明△ABC∽△DEB，則AB?BE＝DE?BC＝BC2，而BD2﹣BC2＝AB?BE，即可求解．（1）解：①如圖，當AB＝BE＝2，則EC＝AD＝2，所以BC＝BE+EC＝4；②如圖，AB＝AE＝2，EC＝AD＝2，過點A作AF⊥BE于F，則BF＝EF，在Rt△ABF中，∵∠B＝30°，∴BF＝ABcos30°＝，∴EF＝BF＝．∴BC＝BE+EC＝2+2；③如圖，AE＝BE，AD＝EC＝2，過點E作EF⊥AB于F，則AF＝BF＝1，在Rt△BEF中，∵∠B＝30°，∴設EF＝x，則BE＝2x，由BF2+EF2＝BE2，即1+x2＝4x2，解得x＝，即EF＝，∴BE＝2x＝，∴BC＝BE+EC＝+2；綜上，BC＝+2或2+2或4；（2）解：如圖4，過點D作DF⊥AE于F，由題意知，BC＝AD，又BC＝ED，∴AD＝DE，∵DF⊥AE，∴EF＝AF，在Rt△BFD中，BD2＝DF2+（AF+AB）2，在Rt△AFD中，AD2＝DF2+AF2，∴BD2﹣AD2＝2AB?AF+AB2＝AB（2AF+AB）＝AB（AE+AB）＝AB?BE，∵BC＝AD，∴BD2﹣BC2＝AB?BE；（3）解：如（2）圖，∵AD∥BC，∴∠ABC＝∠DAE，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠E，∴∠ABC＝∠E，∵∠BAC＝∠BDE，∠ABC＝∠E，∴△ABC∽△DEB，∴，∴AB?BE＝DE?BC＝BC2．由（2）知，BD2﹣BC2＝AB?BE；∴BD2﹣BC2＝BC2；∴BD＝BC．【點睛】本題主要考查了新定義、平行四邊形的性質、三角形相似、等腰三角形的性質、三角函數(shù)、勾股定理的運用等，其中（1），通過畫圖，利用數(shù)形結合的方法分類求解，避免遺漏．11．（2021·浙江·溫州市第二中學二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，∠A的平分線AF交BC邊于點E，交DC的廷長線于點F．取EF的中點G，連結DG(1)求證：BC＝DF．(2)當△ADE≌△FDG時，求tan∠DEC的值．(3)連結BD，BG，若S△ADE＝2S△DEG．①求S△DBG：S△DGF的值．②記BD與AE的交點為M，P是線段AM上一個動點．將△ABP沿BP翻折得到△A′BP，A′B與AG交于點Q，當與△BDG的一邊平行時，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)①；②或【分析】（1）先證明BC=AD，再證明∠DAF=∠AFD，從而可得答案；（2）設AB=x，則AE=，AF=3AE=，BC=AD=DF=3x，所以EC=2x，從而得到結果；（3）①可推出AE=AF，所以AD=2AB，推出△DGC≌△BGE得△BDG是等腰直角三角形，進而求得比值；②分為分別與BD、BG、DG平行，當時，設AB=a，可得AQ=，進而求得結果，當時，點Q與M重合，當時，這種情形不成立，（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF平分BAD，∴∠DAF=∠BAE=∠BAD=45°，∴∠F=90°-∠DAF