中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《圓與四邊形的綜合（圓的綜合問題）》測試卷(附帶答案)

第第頁中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《圓與四邊形的綜合（圓的綜合問題）》測試卷(附帶答案)學(xué)校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________1．如圖，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求的面積．2．如圖，內(nèi)接，點A為的中點，D為邊上一點，，是的切線，，連接．

(1)求證：；(2)當(dāng)點A到弦的距離為1時，求的值．3．如圖1，已知是的直徑，弦于點，點是線段延長線上的一點，連結(jié)交于點，連接交于點，連接和．(1)求證：．(2)若，且，求的長．(3)如圖2，連接，若四邊形為平行四邊形，求的值（直接寫出答案）．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，、，且．以為直徑作交于點D，過點D作直線交線段于點E，且．

(1)求證：是的切線；(2)若線段上存在一點P，使以點P為圓心，為半徑的與y軸相切，求點P的坐標(biāo)．5．如圖，以的邊為直徑作交于且，交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的長度．6．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點F是延長線上的一點，且平分，于點E．

(1)求證：．(2)若，，求的長．7．已知：、、三點不在同一直線上．

(1)若點、、均在半徑為的上，（i）如圖①，當(dāng)，時，求的度數(shù)和的長；（ii）如圖②，當(dāng)為銳角時，求證：；(2)若定長線段的兩個端點分別在的兩邊、（、均與不重合）滑動，如圖③，當(dāng)，時，分別作，，交點為，試探索在整個滑動過程中，、兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．8．已知矩形，，，點O是的中點，以為直徑作圓，點是圓上的點．

(1)如圖1，連接，若是圓O的切線，①求證：；②設(shè)與交于點F，求的長．(2)若動點G從點B向C運動，連接，作四邊形關(guān)于直線對稱圖形四邊形，如圖2．求點G在運動過程中線段掃過的面積．9．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．

(1)如圖1，若四邊形是圓美四邊形．求美角的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若的半徑為4．①求的長；②連接，若平分，如圖2，請判斷、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．如圖，點E為正方形的邊上的一點，是的外接圓，與交于點F，G是上一點，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求半徑的長．11．如圖，在菱形中，點P在對角線上，且，是的外接圓．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的直徑．（請用兩種方法作答）12．已知，為的直徑，弦與交于點E，點A為弧的中點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點F為弧上一點，連接，，，過點C作交于點G，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點L，連接，若，，求線段的長．13．已知為的外接圓，的半徑為6．(1)如圖，是的直徑，點是的中點．①尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）：②求的長度．(2)如圖，是的非直徑弦，點在上運動，，點在運動的過程中，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．14．如圖，以為直徑的與相切于點，點在左側(cè)圓弧上，弦交于點，連接，，點關(guān)于的對稱點為，直線交于點，交于點．(1)求證：；(2)當(dāng)點在上，連接交于點，若，求的值；(3)當(dāng)點在射線上，，四邊形中有一組對邊平行時，求的長．15．圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形．(1)如圖1，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，，則________；(2)如圖2，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，若四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，求的長；(3)如圖3，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，為的直徑，且．設(shè)，四邊形的周長為，試確定與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．參考答案：1．（1）證明：連接，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．

（2）解：連接，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積為：．

2．（1）證明：如圖，連接交于點M，

∵點A為的中點，∴，∵與相切，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）解：如圖，

∵，∴，∴，∵點A到弦的距離為1，即，在中，，∴，∴|，，由（1）可知四邊形為平行四邊形，∴．3．（1）解：∵弦于點∴∵是的直徑，∴即∵四邊形是的內(nèi)接四邊形∴∴；（2）解：如圖：連接與相交于一點H，∵∴∵弦于點∴在中，即解得∴∵∴設(shè)在中，在中，即∴解得∴（3）解：如圖，連接∵四邊形為平行四邊形，且易知∴四邊形為菱形∵四邊形是的內(nèi)接四邊形∴∴∵由（1）知；∴∴∵是的直徑，∴∵四邊形為菱形∴∵∴∴∴∴∴4．（1）證明：連接，，如圖，

∵、，，．∵以為直徑作交于點D，．，，∴四邊形為矩形，，，，，為等邊三角形，，，，，為的半徑，是的切線；（2）解：∵線段上存在一點P，使以點P為圓心，為半徑的與y軸相切，∴點P到y(tǒng)軸的距離等于．過點P作軸于點F，軸于點H，如圖，

則．由（1）知：，，．軸，軸，，∴四邊形為矩形，，，，，，∴點P的坐標(biāo)為．5．（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，，又，，，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，

，∵為直徑，∴，，，由（1），，，∴，∴，∴，由（1）可得，，則，∴，設(shè)，則，，，解得：，∴．6．（1）證明：∵平分，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，．（2）解：過點A作于點G，

，∵平分，，，，在和中，，，，，在和中，，，，又，，，，，．7．（1）（i）證明：∵、、均在上，∴，∵，在中，根據(jù)勾股定理，∴．（ii）證法一：如圖②，連接，作直徑，則，，∴∴；

證法二：如圖③．連接、，作于點，則，，∴．

（2）如圖④，連接，取的中點，連接、，在中，，同理得：，∴，∴點、、、都在上，∴由（1）（ii）可知，∴（定值），故在整個滑動過程中，、兩點間的距離不變．

8．（1）①∵矩形，，點O是的中點，∴，∴是圓O的切線，∵是圓O的切線?！?；②連接，則，∵矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，則在直角三角形中，，根據(jù)勾股定理可得：，解得：，即；

（2）當(dāng)B、G重合時，如圖，∵，∴，

當(dāng)G、C重合時，如圖，∵，∴點旋轉(zhuǎn)的角度是，∵，∴線段掃過的面積是．

9．（1）由題意得：，，，．（2）①如圖1，連接并延長交于點，連接，

的半徑為4，，，．②．理由如下：如圖2，延長到，使得，連接，

，．平分，，．，，，，，為等邊三角形，，，．10．（1）證明：連接，

∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解：連接，

∵為直徑，∴，∵，∴四邊形為矩形，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，即，根據(jù)勾股定理可得：∴半徑的長為．11．（1）證明：連接、，交于E，如圖所示：

，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴直線與相切；（2）解：方法一：連接，交于F，如圖所示：

，菱形中、互相垂直平分，∵，，∴，，∴，∴，在中，，又，∴，，，∴，設(shè)的半徑為r，則，∴在中，，即，解得，即直徑；方法二：連接，交于F，連接并延長交于E，連接，如圖所示：

，∵為直徑，∴，∵，∴，又所對，∴，∴，設(shè)，則，∴，又，即，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，即直徑為．12．（1）證明：如圖1，連接，，∵點A為弧的中點，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，連接，，，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，又，∴；（3）解：如圖3，連接，，，，過G作于M，過O作于K，則，設(shè)，則，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴平行四邊形是菱形，∴,∴，則；∵，∴∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，即，∴，則，∴，則，∴，，則，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．13．（1）解：①如圖1，即為所作圖形；②∵點是的中點，∴．∵是的平分線，∴．∵是的直徑，∴經(jīng)過圓心O，∴．∵的半徑為6，∴，∴；（2）點C在運動過程中，四邊形的面積存在最大值．理由：如圖，連接，過點D作于點E，交于點，過點C作．∵，∴，，∴．∵四邊形為內(nèi)接四邊形，∴，∴為等邊三角形．∵，∴為直徑，是的中點．∵，∴．∵為等邊三角形，∴和邊上的高都為定值，∴當(dāng)最大時，最大，此時點C與點重合，∴當(dāng)點C為中點時，最大，此時為直徑，∴，如圖3．∵的半徑為6，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴點C在運動過程中，四邊形的面積存在最大值，最大值為．14．（1）證明：如圖，設(shè)與相交于點M，∵與相切于點A，∴，∵，∴，∴，∴，，∵點A關(guān)于的對稱點為E，∴，∴．（2）解：過F點作于點K，設(shè)與交于點N，連接，如下圖所示：由同弧所對的圓周角相等可知：，∵為的直徑，且，由垂徑定理得：，∴，∵點A關(guān)于的對稱點為E，∴，∴，即，∴，由同弧所對的圓周角相等得：，且，∴，

∴，∵，與交于點N，∴．∵，，∴，∴，設(shè)，∵點A關(guān)于的對稱點為E，，，，又，∴，

∴．∵，∴，∴；（3）解：分類討論如下：如圖，當(dāng)時，連接，，設(shè)，則，∵，，，，，，，，，，，，∵，，，，；如圖，當(dāng)時，連接，，設(shè)，，∵，，，，