第03講 平行線的性質(zhì)（解析版）

第03講平行線的性質(zhì)1.4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；【基礎(chǔ)知識(shí)】一、平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡稱：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角角相等；簡稱：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡稱：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)：（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．二、兩條平行線的距離同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．要點(diǎn)：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．【考點(diǎn)剖析】例1．如圖，已知AB∥CD，∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）A．34° B．56° C．65° D．124°【答案】B【解析】因?yàn)锳B∥CD，所以∠1＝∠2，又∠1＝56°，所以∠2＝56°．例2．如圖，點(diǎn)A、D在射線AE上，直線ABCD，∠CDE=140°，那么∠A的度數(shù)為（

）A．140° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】由ABCD，可知∠A=∠CDA，只要求出∠CDA即可解決問題．【解析】解：∵∠CDE=140°，∴∠CDA=180°-∠CDE=40°，∵ABCD，∴∠A=∠CDA=40°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)，熟練掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．例3．如圖，已知ABCD，∠1＝120°，則∠A的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．60° D．70°【答案】C【分析】由ABCD，∠2＝∠1＝120°，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案．【解析】解：如圖，∵ABCD，∠2＝∠1＝120°，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用．例4．如圖，則下面結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)，即可得出，進(jìn)而得到正確結(jié)論．【解析】解：,∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．如圖，點(diǎn)D在BA的延長線上，AE是∠DAC的平分線且，若，則∠C的大小為（

）A．30° B．60° C．80° D．120°【答案】A【分析】由AE是∠DAC的平分線且易得，由即可得出正確答案．【解析】AE是∠DAC的平分線且，．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到角之間的等量關(guān)系．例6．如圖，，點(diǎn)在直線上，且，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明，再利用求解從而可得答案．【解析】解：，，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平角的含義，垂直的定義，證明是解本題的關(guān)鍵．例7．與是內(nèi)錯(cuò)角，，則（

）A．40 B．140C．40或140 D．的大小不確定【答案】D【分析】兩直線平行時(shí)內(nèi)錯(cuò)角相等，不平行時(shí)無法確定內(nèi)錯(cuò)角的大小關(guān)系．【解析】內(nèi)錯(cuò)角只是一種位置關(guān)系，并沒有一定的大小關(guān)系，只有兩直線平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角才相等．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).特別注意，內(nèi)錯(cuò)角相等的條件是兩直線平行．例8．將一副三角板（）按如圖所示方式擺放，使得，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【解析】解：，．，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì).例9．如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB，若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（

）A．52° B．54° C．64° D．69°【答案】C【分析】先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠AOB=128°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠BOC=64°，繼而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得答案.【解析】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又∵l//OB，∴∠2=∠BOC=64°，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.例10．如圖所示，已知，，，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作BM∥AC，求出∠EBM即可．【解析】過點(diǎn)B作BM∥AC，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)求角．例11．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°【答案】A【分析】求出∠BEG，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【解析】∵∠1＝65°，∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG＝180°，∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．例12．如圖，直線a∥b∥c，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1＝36°，則∠2等于()A．36°B．44°C．54°D．64°【答案】C【解析】如圖，因?yàn)閍∥b，所以∠1＝∠3，因?yàn)椤?＝36°，所以∠3＝36°．因?yàn)閎∥c，所以∠2＝∠4，而直角三角板的直角頂點(diǎn)落在b上，所以∠3＋∠4＝90°，所以∠4＝90°－∠3＝54°，所以∠2＝∠4＝54°．例13．如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角（

）A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【分析】此題要正確畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析．【解析】解：如圖所示，∠1和∠2，∠1和∠3兩對(duì)角符合條件．根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠1＝∠2．結(jié)合鄰補(bǔ)角的定義，得∠1+∠3＝∠2+∠3＝180°．故選：C．【點(diǎn)睛】解決本題時(shí)要聯(lián)想的平行線的性質(zhì)定理，正確認(rèn)識(shí)其基本圖形，就不會(huì)忽視互補(bǔ)的情況．熟記結(jié)論：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．例14．如圖，若，，則：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)得出內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等，得出②正確；再由已知條件證出，得出，①正確；由平行線的性質(zhì)得出⑤正確；即可得出結(jié)果．【解析】解：，，，故②正確；，，，故①正確；，故⑤正確；而不一定平分，不一定等于，故③，④錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證．例15．如圖，中，是的平分線，，則圖中能用字母表示的相等的角的對(duì)數(shù)有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】D【分析】由，可得，，，四對(duì)角相等，由是的平分線，可得，二對(duì)角相等即可得到答案．【解析】解：∵，∴，，，，∵是的平分線，∴，∴，能用字母表示的相等的角的對(duì)數(shù)有6對(duì)．，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．例16．將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答．【解析】解：∵紙條的兩邊平行，∴（1）∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（4）∠4+∠5=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）均正確；又∵直角三角板與紙條下線相交的角為90°，∴（3）∠2+∠4=90°，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．例17．如圖，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于G、F兩點(diǎn)，射線FM平分∠EFD，將射線FM平移，使得端點(diǎn)F與點(diǎn)G重合且得到射線GN．若∠EFC=110°，則∠AGN的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．145°【答案】D【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可求得∠EFD=70°，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EFM=35°，由平移的性質(zhì)可得GN//FM，繼而可得∠EGN=∠EFM=35°，再根據(jù)AB//CD，可得∠AGE=∠EFC=110°，再由∠AGN=∠AGE+∠EGN即可得解.【解析】∵∠EFC=110°，∠EFC+∠EFD=180°，∴∠EFD=70°，∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=35°，∵將射線FM平移，使得端點(diǎn)F與點(diǎn)G重合且得到射線GN，∴GN//FM，∴∠EGN=∠EFM=35°，∵AB//CD，∴∠AGE=∠EFC=110°，∴∠AGN=∠AGE+∠EGN=110°+35°=145°，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、角平分線的定義等，熟練掌握平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.例18．已知，如圖，，則、、之間的關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答，此題在解答過程中，需添加輔助線．【解析】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，∴∠β=∠AEF+∠γ，即∠AEF=∠β-∠γ，∴∠α+∠β-∠γ=180°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例19．如圖，，則下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，在本題中，用這兩條性質(zhì)即可解答．【解析】解：∵ST∥QR，∴∠QRS=∠3，即∠QRP+∠1=∠3；∵OP∥QR，∴∠QRP=180°-∠2，∴180°-∠2+∠1=∠3，即∠2+∠3-∠1=180°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，需要注意平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，比較簡單．例20．如圖，DH//EG//BC，DC//EF，那么與∠EFB相等的角（不包括∠EFB）的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)由EG//BC得∠BFE=∠1，∠2=∠3，由DC//EF得∠BFE=∠2，則∠BFE=∠1=∠2=∠3，再利用DH//EG得∠4=∠5，∠3=∠4，所以∠BFE=∠1=∠2=∠3=∠4=∠5．【解析】解：如圖所示，∵，∴∠BFE=∠1，∠2=∠3，∵，∴∠BFE=∠2，∴∠BFE=∠1=∠2=∠3，∵，∴∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠BFE=∠1=∠2=∠3=∠4=∠5．故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例21．如圖，，A、B為直線上兩點(diǎn)，C、D為直線上兩點(diǎn)，則與的面積大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不能確定【答案】B【分析】首先過A、B兩點(diǎn)作兩條輔助線，根據(jù)平行線之間的距離相等和同底等高的三角形面積相等可得答案.【解析】過A作AM⊥l2，過B作BN⊥l2，∵l1∥l2，∴AM＝BN，∴.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離和三角形的面積，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.例22．如圖，∠AOB的邊OA為平面反光鏡，一束光線從OB上的C點(diǎn)射出，經(jīng)OA上的D點(diǎn)反射后，反射光線DE恰好與OB平行，若∠AOB＝40°，則∠BCD的度數(shù)是(

)A．60° B．80° C．100° D．120°【答案】B【解析】∵DE//OB,∴∠ADE=∠AOB=40°,∵OA為平面反光鏡，∴∠ADE=∠ODC∴∠ODC=∠AOB=40°,∴∠BCD=∠ODC+∠AOB=80°.故選B.例23．一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，前進(jìn)的方向仍與原來相同，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)60°，再左轉(zhuǎn)120° B．先左轉(zhuǎn)120°，再右轉(zhuǎn)120°C．先左轉(zhuǎn)60°，再左轉(zhuǎn)120° D．先右轉(zhuǎn)60°，再右轉(zhuǎn)60°【答案】B【解析】解：A選項(xiàng)畫圖如下：可得不平行；B選項(xiàng)畫圖如下：可得平行且方向相同；C選項(xiàng)畫圖如下：可得平行，但方向相反；D選項(xiàng)畫圖如下：可得不平行；故選B．例24．如圖，則與的數(shù)量關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先設(shè)角，利用平行線的性質(zhì)表示出待求角，再利用整體思想即可求解．【解析】設(shè)則∵∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意整體思想的運(yùn)用．例25．如圖，在三角形中，點(diǎn)D、E分別在上，連接，且，，若，則的度數(shù)為______________．【答案】##度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，再根據(jù)平行線的判定得出，求出即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴；∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行線的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵．例26．如圖，的平分線交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)E，．求證：．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵，∴①____________，（理由：②____________）∵平分，∴③____________．（理由：④____________）∴．（理由：⑤____________）∵，∴⑥____________．（理由：⑦_(dá)___________）∴．∴．【答案】①；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③；④角平分線的定義；⑤等量代換；⑥；⑦同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理推理即可．【解析】證明：∵，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵平分，∴．（角平分線的定義）∴．（等量代換）∵，∴．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴．∴．故答案為：①；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③；④角平分線的定義；⑤等量代換；⑥；⑦同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理，并熟練推理論證是解題的關(guān)鍵．例27．如圖，點(diǎn)E、F分別是上的點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)G、H，若，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解析】證明：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握同位角相等兩直線平行，和內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，是解題的關(guān)鍵．例28．如圖，點(diǎn)D，E，G分別在，，上，連接，點(diǎn)F在上，連接，，已知．(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，證明，，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)可得答案．【解析】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2），，，，，又，，∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．【真題演練】一、單選題1．（2022·西藏·中考真題）如圖，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，則∠3的度數(shù)為（）A．46° B．90° C．96° D．134°【答案】C【分析】由題意易得∠1+∠3+∠2＝180°，然后問題可求解．【解析】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·中考真題）如圖，．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行線，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用兩直線平行線，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠CGE的大小，然后利用對(duì)頂角性質(zhì)即可求解．【解析】解：設(shè)CD與EF交于G，∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵3．（2022·湖北襄陽·中考真題）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．60° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．【解析】解：∵mn，∠1=70°，∴∠1=∠ABD=70°，∵∠ABC=30°，∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．4．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，，直線分別交，于點(diǎn)M，N，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若，則等于（

）A．15° B．25° C．35° D．45°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PND=45°，即可得到結(jié)論．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=80°，∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，則∠C的度數(shù)是（）A．36° B．34° C．32° D．30°【答案】A【分析】過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，由EF∥AB，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠AEF的度數(shù)，結(jié)合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度數(shù)，由EF∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求出∠C的度數(shù)．【解析】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，則∠2的度數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)等量等量代換得，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)即可求解．【解析】解：如圖l1l2，l2l3，，，，∠1＝，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2014·福建南平·中考真題）將直尺和三角板按如圖的樣子疊放在一起，則∠1+∠2的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．90°D．180°【答案】C．【解析】解：如圖，∵a∥b，∴∠1=∠3，∠2=∠4．又∵∠3=∠5，∠4=∠6，∠5+∠6=90°，∴∠1+∠2=90°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)．8．（2011·山東日照·中考真題）兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角是60°，則另一個(gè)角是_____度.【答案】60°或120°【解析】根據(jù)題意分兩種情況畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．解：如圖（1），∵AB∥DE，∴∠A=∠1=60°，∵AC∥EF，∴∠E=∠1，∴∠A=∠E=60°．如圖（2），∵AC∥EF，∴∠A=∠1=60°，∵DE∥AB，∴∠E+∠1=180°，∴∠A+∠E=180°，∴∠E=180°-∠A=180°-60°=120°．故一個(gè)角是60°，則另一個(gè)角是60°或120°．三、解答題9．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，．(1)求的度數(shù)；(2)平分交于點(diǎn)，．求證：．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求解；（2）根據(jù)平分，可得．再由，可得．即可求證．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）證明：∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，直線a、b被直線c所截，，若，則等于（

）A．120 B．130 C．140 D．150【答案】A【分析】利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠3的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即可求出∠1的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵，∴∠3=．又∵∠1+∠3=，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．2．下列圖形中，由，能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解析】解：A、因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)不符合題意；B、如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由，不能得到，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若，，，則的度數(shù)是（

）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】D【分析】由題意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，證出，由平行線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：如圖∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，∴∠5+∠2＝180°，∴，∴∠4＝∠3＝135°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定及性質(zhì)，掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若，則∠EGF的度數(shù)是（

）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【解析】解：∵，∴，∵EG平分∠BEF，∴，∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．5．如圖，，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)可知，根據(jù)，，可知，進(jìn)而可知，可求出，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出．【解析】解：∵，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．6．如圖，∠ACB=90°，直線lmn，BC與直線n所夾角為25°，則∠a等于（

）A．25° B．55° C．65° D．78°【答案】C【分析】先根據(jù)mn得出∠1的度數(shù)，再由余角的定義求出∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】解：如圖，∵mn，邊BC與直線n所夾角為25°，∴∠1=25°，∴∠2=90°-25°=65°．∵lm,∴∠α=∠2=65°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等．7．如圖，，平分，交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和平角的定義進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用平行線的性質(zhì)求角，利用角平分線和平行線的性質(zhì)合理的進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．8．如圖，小明在筆記本的橫格線中畫了兩條線段、，點(diǎn)、、、都在格線上，是上一點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解析】解：由題意得，∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°，∴∠ACE=180°-∠BAD=61°，∴∠3=∠ACE-∠DCE=36°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，直線ABCD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)O、點(diǎn)F在AB上，∠EOF的角平分線OG交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥OE于點(diǎn)H，已知∠OGD＝148°，則∠OFH的度數(shù)為（

）A．26° B．30° C．32° D．36°【答案】A【分析】先由平角定義求得∠CGO，再由平行線的性質(zhì)求得∠BOG，由角平分的定義得∠HOF，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得結(jié)果．【解析】解：∵∠OGD=148°，∴∠CGO=180°-∠OGD=32°，∵ABCD，∴∠BOG=∠CGO=32°，∵OG平分∠EOF，∴∠HOF=2∠BOG=64°，∵FH⊥OE，∴∠OHF=90°，∴∠OFH=180°-∠OHF-∠HOF=26°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在求∠BOG．10．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點(diǎn)F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【解析】解：①過點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，直線，，則的度數(shù)是______．【答案】##80度【分析】如圖，根據(jù)平角的定義（等于的角叫做平角）求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，代入求出即可．【解析】如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．如圖、已知，，則的度數(shù)為___________．【答案】##33度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求得的度數(shù)．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．如圖，直線ab，三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上，若∠1＝40°，則∠2＝_______°．【答案】【分析】先由直線ab，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．【解析】解：已知直線ab，∴∠3＝∠1＝40°，∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線性質(zhì)得出同位角相等求出∠3．14．如圖，AD是△ABC的角平分線，DEAC，DE交AB于點(diǎn)E，DFAB，DF交AC于點(diǎn)F，圖中∠1與∠2的關(guān)系是_________．【答案】∠1=∠2【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，從而得解．【解析】解：∠1=∠2，理由如下：∵DEAC，∴∠1=∠CAD，∵DFAB，∴∠2=∠BAD，又∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠1=∠2，故答案為：∠1=∠2．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠A＝70°，O是AB上一點(diǎn)，直線OD與AB所夾角∠BOD＝83°，要使，直線OD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)________度．【答案】13【分析】反向推理，若OD旋轉(zhuǎn)到時(shí)，則，求，進(jìn)而解決此題．【解析】解：若OD旋轉(zhuǎn)到時(shí)，則，∵，∴，∴，∴要使，直線OD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)13度．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定，是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)B，若，則的度數(shù)是_______度．【答案】30【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3，根據(jù)垂直的定義可得∠HCE＝90°，根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【解析】解：如圖，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．17．如圖所示，已知，∶∶∶∶，則______．【答案】##120度【分析】由條件可得，可表示出，再結(jié)合，∶∶∶∶可得求解的度數(shù)，進(jìn)而可求得的度數(shù)．【解析】解：，，，由，：：：：，可設(shè)，，，，解得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，④，．18．如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點(diǎn)C從點(diǎn)B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動(dòng)，CD∥AB交直線AH于點(diǎn)D，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為_____度．（用n來表示）【答案】n或180﹣n【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上；點(diǎn)在延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【解析】解：過A作AM⊥BC于M，如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在BM延長線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，過A作AM⊥BC于M，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段BM上時(shí)，點(diǎn)F在DA延長線上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，綜上所述，∠BAF的度數(shù)為n°或180°﹣n°，故答案為：n或180﹣n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．三、解答題19．完成下面的證明：已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形的邊，，上的點(diǎn)，且DE∥BA，DF∥CA．求證：．證明：∵DE∥BA∴_______=_______（

）∵DF∥CA∴_______=________（

）∴【答案】，（兩直線平行，同位角相等）；，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，推出即可；【解析】證明：∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴；故答案為：，兩直線平行，同位角相等，，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)．20．如圖，直線MN與直線AB、CD相交于點(diǎn)E、F，已知，．求∠2的度數(shù)．【答案】∠2=115°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD的度數(shù)，進(jìn)而可得∠2的度數(shù)．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠EFD=65°，∴∠2=180°-∠EFD=180°-65°=115°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)．21．已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，DF∥CA，∠FDE＝∠A；(1)求證：DE∥BA．(2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)36°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定方法證明即可；(2)設(shè)∠EDC=x°，由∠BFD=∠BDF=2∠EDC可得∠BFD=∠BDF=2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DFB=∠FDE=2x°，再根據(jù)平角的定義列方程可得x的值，進(jìn)而得出∠B的度數(shù)．（1）證明：∵DF∥CA，∴∠DFB=∠A，又∵∠FDE=∠A，∴∠DFB=∠FDE，∴DE∥AB；（2）解：設(shè)∠EDC=xo，∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，∴∠BFD=∠BDF=2xo，由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xo，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xo+2xo+xo=180o，∴x=36，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=36o．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．22．如圖，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求證：∠E=∠F．證明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴______∥______（______），∴∠BAP＝______（______），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠FPA＝______．∴______∥______（______），∴∠E＝∠F（______）．【答案】AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠APC；兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；∠EAP；AE；PF；內(nèi)錯(cuò)角相等,

兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】根據(jù)∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD，從而可得∠BAP＝∠APC，結(jié)合∠1=∠2根據(jù)角的和差即可得出∠FPA=∠EAP，繼而證明AE//FP后即可得出結(jié)論．【解析】證明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知）；∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；∴∠BAP=∠APC（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠FPA=∠EAP，∴AE∥PF（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）；∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，能正確識(shí)圖，利用定理得出角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．23．如圖，點(diǎn)E、F分別是上的點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)G、H，若，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解析】證明：∵，，∴，∴，∴，∴