高中數(shù)學(xué)必修第一冊期末復(fù)習(xí)基礎(chǔ)過關(guān)練習(xí)六函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

期末復(fù)習(xí)(六)一一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

—.單選題

1.直線y=l與函數(shù)/(x)=f_|x|+a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則。的取值范圍是()

B.(1》C.3D.U,%

A.(-oo,l)

2.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,

其中最接近的一個(gè)是()

X1.993.04.05.16.12

y1.54.047.51218.01

A.y=log,tB.y=logjc-尸2D.y=2t-2

5

3.函數(shù)f(x)=(g)，+x-2的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間()

A.(i1)B.(1,|)C.(|,2)D.(2,1)

4.已知函數(shù)/*)=2"+*一1,g(x)=log2x-i-x-l,/z(x)=sinx+x-1的零點(diǎn)依次為玉，x2,

/，則以下大小關(guān)系正確的是()

A.x{<x2<x3B.xx<x3<x2C.xi<x2<xiD.x2<x3<x]

2—|x—21,X<4

5.設(shè)函數(shù)/(x)=h，則函數(shù)版幻=#(力-4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

-/(x-4),x..4

A.6B.5C.4D.3

6.已知相>0,函數(shù)f(x)=x2+x—nz,實(shí)數(shù)不，w滿足X>0，W>°，若f(Xi)=0,f(a)=0,

則()

A.xl+x2<m

B.玉+占=加

C.xl+x2>m

D.%+%與加的大小關(guān)系不能確定

7.已知函數(shù)f(x)°，則方程/(/(x))—f(x)=O的根個(gè)數(shù)為()

[X--2x+l,x>0

A.1B.2C.3D.4

log(y-x),x<-\

8.已知函數(shù)，(x)=2,若函數(shù)產(chǎn)(x)=/(x)-A恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取

|2'-l|+2,x...-l

值范圍是()

B.(2,3)C.(3,4]D.(2,+co)

二.多選題

9.已知/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，x>0時(shí)，/(x)=x(l-x),若關(guān)于x的方程=〃

有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的可能取值是()

A.—B.—C.-D.-

321684

10.已知函數(shù)/(犬)=:^,則()

|x|+l

A.y=/(x)為偶函數(shù)

B./(x)的值域是(-1,1)

C.方程/(x)+d=0只有一個(gè)實(shí)根

D.對WX|,x2eR,x2,有_"上)<0

玉-x2

，L已知函數(shù)/⑶=*+4x+3,x,0'若函數(shù)g(x)="(x)『一"(x)+〃，+l恰有8個(gè)零點(diǎn),

則()

A.機(jī)的最小值為1B.機(jī)的最小值為2C.，〃的最大值為3D.機(jī)無最大值

12.已知函數(shù)=，若方程f(x)=人有四個(gè)不同的零點(diǎn)4，x,,與，匕，

[-8x+13,x>2

且不<々，則下列結(jié)論正確的是()

A.0<々<1B.千天(鼻+孔)為定值

C.2x,+x,>3D.占+2x?的最小值為2女

三.填空題

J

13.函數(shù)“X)=4|log05x|-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

14.已知函數(shù)-若關(guān)于x的方程f(x)=a|x+l|恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是—.

15.已知玉，尤2是函數(shù)/(x)=/—(2A+l)x+二的兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1,則

實(shí)數(shù)上的取值范圍是—.

16.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+4),/(-x)-/(x)=O且/(0)=0.當(dāng)xe(0,

2]時(shí)，/(x)=—-2.則函數(shù)g(x)=/(x)-—sin(2x)在區(qū)間[-6,2]上所有的零點(diǎn)之和為____.

x34

四.解答題

17.已知函數(shù)f(x)=x+-^-(%eR).

x-l

(1)當(dāng)m=1時(shí),解不等式，(x)+l>/(x+l)；

(2)設(shè)X￡[3,4],且函數(shù)y=/*)+3存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=l+Y—(a為常數(shù))是奇函數(shù).

(1)求〃的值；

(2)函數(shù)g(x)=/(x)-log2A,若函數(shù)g(x)有零點(diǎn),求參數(shù)T的取值范圍.

19.已知aeR,函數(shù)f(x)=log,(2+a).

X

(1)當(dāng)a=5時(shí)，解不等式/(x)>0；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+21og2x只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

20.已知函數(shù)g(x)=x2-2ax+l且函數(shù)y=g(x+l)是偶函數(shù)，設(shè)/(0=史上.

X

(1)求/(X)的解析式；

(2)若不等式”》)-/次.0在區(qū)間［1,2］上有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2

（3）若方程/（|2，-1|）+&-2=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

期末復(fù)習(xí)(六)一一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解答案

1.解：原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)y=l-。有4個(gè)交點(diǎn)，繪制函數(shù)圖象如圖所示,

由于函數(shù)在x處取得最小值丫加=；-3=-；,故一;<1一〃<0,解得：

故選：B.

2.解：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而增大，且不是2倍遞增，故8、D

錯(cuò)誤；

再由增加速度越來越快，可知A錯(cuò)誤，C正確.故選：C.

3.解：函數(shù)/(x)=(g)*+x-2是連續(xù)函數(shù)，

更(八1cc1八d/31V23V2—2

f(2)=—F2—2=—>0,f(一)=-x----12=----------<0,

4422224

可得/<2)/(|)<0,由零點(diǎn)判斷定理可知函數(shù)的零點(diǎn)在§，2).故選：C.

V

4.解：函數(shù)f(x)=2'+工-1,2=l-x9^(x)=log2x+x-l,log2x=l-x,

〃(x)=sinx+x-l,sinx=l—x?

在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出y=2"y=log2x,y=sinx,y=l-x的圖象，如圖：

%2=1,可得$=0,Xye(O,l),所以x1V工3<%2.故選：B.

5.解:函數(shù)〃(工)=#(幻一4的零點(diǎn)，即方程對'(X)-4=0的根,

A

顯然0不是方程對,(X)-4=0的根，即/。)=—的根，

x

2—|x—21,x<4

由/⑺八J得

]/(x-4),x..4

當(dāng)xv2時(shí)，/(x)=x,當(dāng)Z,x<4時(shí)，/(x)=4-x,

作出函數(shù)y=/(x)與y=3的圖象如圖：

X

兩函數(shù)圖象在y軸左側(cè)有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)工￡[0,4)時(shí)，兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)工￡[4,8)時(shí)，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

63

14?

當(dāng)￡[8,12)時(shí)，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

2105

14?

當(dāng)以12,16)時(shí)，兩函數(shù)圖象無交點(diǎn).

4147

二.函數(shù)〃(x)=4(x)-4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.

故選：A.

6.解：tn>0,函數(shù)+x-，〃，

故函數(shù)在(0,MO)上單調(diào)遞增，

實(shí)數(shù)看,々滿足%>0,吃>0,且/a)=o,〃「)=(),

X：+與一〃?=0,x)==x；=x2,xt+x2=x：+再，

：.xi+x2=m成立，故選：B.

7.解:當(dāng)％,0時(shí),f(x)=-2-x<0,

當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=X2-2X+1=(X-1)2..O,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)/(X)=0.

由/(1)=0,/(0)=-1,知x=l不是方程/(7(x))-/(x)=0的根，

.,.當(dāng)x>0且XH1時(shí)，/(X)>0.

①當(dāng)用,0時(shí)，/(/(%))=-2"，由/(/(x))-/(x)=0,

得-2L=-2-、，即2-'=-x,也就是§)'=一》，此方程無解；

當(dāng)x>0且x*l時(shí)，/(/(x))=[(x-l)2-l]2,由/W)f(x)=0,

得[(x-l)2-lf=(x-l)2,

當(dāng)(x-l)2-l=x-l時(shí)，得f_3x+l=0,解得x=滿足x>0且xrl;

2

當(dāng)(X-1)2-1=1-X時(shí)，得X?-X-1=O,得x="G或x=J__近(舍).

22

方程f(/(x))-/(x)=O的根個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

8.解：由題意，函數(shù)/(X)大致圖象如下：

依據(jù)圖象，可知

當(dāng)函數(shù)F(x)=f{x}-%恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

即函數(shù)y=f(x)的圖象與y=k的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，

實(shí)數(shù)氏的取值范圍為2<七,3.故選：A.

2

9.解：因?yàn)椤▁)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

x>0時(shí)，f(x)=x(l_x)=_(x_g)2,貝!!/(；)=(,

畫出函數(shù)〃x)的圖象如下:

令/⑴“耳=1

當(dāng)時(shí)，由圖象可得y=a與y=/⑺有一個(gè)交點(diǎn)，且f<-l,

4

由圖象可得/(x)=f只有一個(gè)根，不滿足題意，

當(dāng)4時(shí)，由圖象可得y=a與y=f(r)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記作4，公貝也<T，，2=；，

則/(x)=L與〃x)=r,共有兩個(gè)根，不滿足題意，

31

當(dāng)

,<時(shí)

4-由圖象可得丁=々與丁=f⑴有三個(gè)不同的交點(diǎn),

16

記作％，t2,t3,不妨令4<G<，3，

由圖象可得，<—1<一,,t<—<八<1,

14223

則/*)=4與/(幻=匕各有一個(gè)根或兩個(gè)根，共三個(gè)或四個(gè)根，不滿足題意,

當(dāng)0,,?！词繒r(shí)，由圖象可得y=a與y=/Q)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

16

記作《,芍，小不妨令乙<，2<4，

由圖象可得，6剜-l<0t2<-<-<z3?1,

則/(%)=乙與/(x)=J以及/(x)=L共有5個(gè)根，滿足題意,

根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，當(dāng)4<0時(shí)，為使關(guān)于X的方程/"(X)]=4有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

只需要一3<4<0，

16

綜上，滿足條件的。的取值范圍是(-』，-).

1616

故選：ABC.

10.解：對于A"(-尤)=―--=----=~/(x),可得f(x)的奇函數(shù)，二A錯(cuò)誤；

|-x|+l|x|+l

—x—(x+1)+11八

----=---------=-1d-----,X..0

對于8"魚)==二=x+lx+ix+]，力”)的值域是(-1,1),正

X+1-x-x+1-11IC

-----=--------=1-------,x<0

T+l-X+l-X+1

確；

對于C：由f(x)+V=0,顯然x=0是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)xr0時(shí)，可得一!一=-x,

|x|+l

即T|X|-X—1=0,x..O時(shí)，顯然方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)x<0時(shí)，即d—x-l=0方程有一個(gè)

實(shí)數(shù)根，，C錯(cuò)誤；

對于。：當(dāng)X..0時(shí)，可得f(x)=—1+—]—是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，可得/*)=1-——

x+11-x

是單調(diào)遞減函數(shù)，所以對x,eR,玉wx,,有小)一八會(huì))<0,二。正確；

故選：BD.

11.解：設(shè)f(x)=t,

因?yàn)間(x)有8個(gè)零點(diǎn)，

所以方程/(x)=f有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

結(jié)合/(x)的圖象

可得『-4f+m+l=0在(0,3]內(nèi)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即機(jī)+1=-產(chǎn)+4/在(0,3]內(nèi)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則3,,/%+1v4,故2,,m<3.

故選：BD.

12.解：函數(shù)”髻.

[X-8x4-13,x>2

作出了（幻的圖象，如圖，

由y=上有四個(gè)不同的零點(diǎn)玉，x2,%3，%，

且王<工2<工3<%4，從圖可知：OvZ<l.「.A正確；

由%%=1，可得玉=2,刃|5么X+2%?.2,2西9=2拒.（當(dāng)且僅當(dāng)玉=2/取等號(hào)），

X1<x2C,。錯(cuò)誤；

由毛+%關(guān)于％=4對稱，那么毛+工4=8，玉工2（4+/）為定值8.「.8正確；

故選：AB.

13.解：函數(shù)的零點(diǎn)滿足|log。：x|=

則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)y=|k>ga5x|與y=(；),交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

繪制函數(shù)圖象如圖所示，

觀察可得，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

14.解：由題意可知顯然x=-1不是方程的實(shí)數(shù)根,

則a=l￡二七」=|(x+l)+」_一3|,

\x+l\x+1

故關(guān)于x的方程f(x)=a|x+l|恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

等價(jià)于y=a與y=|U+l)+———3|的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

x+1

畫出

y=|(x+l)+—!——3|的大致圖象，如圖所示，

由圖象可得實(shí)數(shù)”的取值范圍(1,5){()}.

故答案為：(1,5)(()).

15.解：函數(shù)_/'(幻=/_(24+1?+%2的圖象是開口向上的拋物線，

若函數(shù)/(x)=/-(2A+l)x+42有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1,?—個(gè)小于1,

則/(1)=l-(2k+l)+k2<0,即二2一2氏<0,得0<(v2.

實(shí)數(shù)&的取值范圍是(0,2),

故答案為：(0,2).

16.解：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(-x)-/(x)=0,,/(x+4)=/(x),

.?.函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為4,

又/(0)=0,當(dāng)xe(0,2］時(shí)，/(%)=--2.

X

作出函數(shù)y=/(x)與y=-sin(—x)的圖象如圖：

34

函數(shù)g(?=/(x)--sin(-x)在區(qū)間［-6,2］上的零點(diǎn)，

34

即函數(shù)尸.與尸飆?)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)’

由圖可知，兩函數(shù)在［-6,2］上有6個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線x=-2對稱，

則函數(shù)g(x)=/(x)-2singx)在區(qū)間［-6,2］上所有的零點(diǎn)之和為-2x6=72.

34

故答案為：-12.

17.解：（1）當(dāng)加=1時(shí)，f（x）=x+——,

由f（X）+1>/（X+1）,得（XH----）+1>（X+1）4-->

即」一>上，解得x<0或x>l.

x-1X

??.不等式/(x)+l>/(x+l)的解集為(一8,0)<J(l,+00)；

(2)函數(shù)y=/(x)+3在［3,4］上存在零點(diǎn)o方程/(幻+3=0在［3,4］上有解,

即方程x+*-+3=0在［3,4］上有解，

即加=-(x+l/+4在［3,4］上有解，函數(shù)丫=-*+1尸+4在［3,4］上是減函數(shù)

貝Uyw［-21,-12］,

從而，實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是［-21,-12］.

18.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=l+-^,貝I」有2,-1。0,解可得XHO,

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?TO,0)U(0,+00),

根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于Vx￡(-co,0)U(0,+oo),則有,f(-x)+/'(x)=。，

即1+—+1+-^-=0,化簡得：2—a=0即a=2：

2-，-12'_1

(2)若函數(shù)g(x)有零點(diǎn)，則直線y=logm與曲線y=f(x)有交點(diǎn)，

2

又由2,-1€(-1,小?),那么1一6(^0,-2)(0,一)，則/(x)的值域?yàn)?-00,-1)U(1,+00)；

2'—1

故由log2左,+oo),

解得：kc（2,+oo）,

即人的取值范圍為：(0,-)U(2,+00).

19.解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)。=5時(shí)，/(x)=log,(-+5),

X

若/(x)>0，BPlog(—+5)>0,變形可得>0,

oxx

解可得x>0或x<二，即不等式的解集為｛x|x>0或％<」｝,

44

(2)根據(jù)題意，若函數(shù)g*)=/(x)+21og,x只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程log,d+4)+2k)g)x=0

x

有且只有一個(gè)根，

方程log2d+a)+21og2X=0,變形可得Iog2(oy2+x)=0,即加+x-l=0,

X

則原問題等價(jià)于方程加+X-1=0有且只有一個(gè)正根，

分3種情況討論：

當(dāng)。=0時(shí)，方程為工-1=0,有一個(gè)正根1,符合題意，

當(dāng)a>0時(shí)，△=l+4a>0,故以?+工一1=。有兩解%,當(dāng)