對(duì)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案高中數(shù)學(xué)新北師大版必修第一冊(cè)2

4.1對(duì)數(shù)的概念

（一）

（1分鐘）

1.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)計(jì)算.

2.理解指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的等價(jià)關(guān)系，會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.

3.理解常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念及記法.

（1分鐘）

對(duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算.但有趣的是，在數(shù)學(xué)史上，對(duì)數(shù)卻是先于指數(shù)被發(fā)現(xiàn)的.1614

年，納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)表.1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)明了指數(shù)，比對(duì)數(shù)晚了20

多年，當(dāng)時(shí)人們并沒有發(fā)現(xiàn)指數(shù)和對(duì)數(shù)之間的關(guān)系.后來，數(shù)學(xué)家歐拉才提出“對(duì)數(shù)源于指

數(shù)”，這一說法得到了數(shù)學(xué)家們的廣泛認(rèn)可.至此，對(duì)數(shù)逐漸得到完善，成為我們今天所用

的對(duì)數(shù).

（24分鐘）

精講1：對(duì)數(shù)的概念

【問題1】對(duì)于函數(shù)y=13xl.0-,給定任意一個(gè)x,我們可通過幕的運(yùn)算計(jì)算出任意一

個(gè)y的值.反之，如果知道y的值，能否計(jì)算出x的值呢？

【答案】能.

【問題2】若2三16,0"=9,則x的值分別是多少？

【答案】滿足2工=16的x的值為4,滿足@"=9的x的值為2

【抽象概括】

⑴定義：

一般地，如果爐=N（a>0,且存1）,那么數(shù)x叫作以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log〃N.

其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

（2）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：

通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，并把logiW記作IgN；以無理數(shù)e=2.71828…

為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并且把logH記為InN.

特別提醒：對(duì)數(shù)的概念中規(guī)定“a>0,且時(shí)1”的原因

⑴若a<0,則當(dāng)N為某些值時(shí)，x的值不存在.如戶1。&28不存在.

(2)若a=0,

①當(dāng)附0時(shí)，x的值不存在.如logo3(可理解為0的多少次累是3)不存在.

②當(dāng)N=0時(shí)，尤可以是任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即logo。有無數(shù)個(gè)值.

(3)若a-l,

①當(dāng)*1時(shí)，x的值不存在.如logi3不存在.

②當(dāng)N=1時(shí)，尤可以為任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即logil有無數(shù)個(gè)值.

因此規(guī)定。>0,且存1.

【學(xué)以致用】

【例1】求下列各式中x的取值范圍.

(l)log2(x-10)；(2)log(x-i)(x+2).

【方法指導(dǎo)】對(duì)于(2)表達(dá)式中的真數(shù)含有x,底數(shù)也含有無，結(jié)合對(duì)數(shù)的概念，列出

不等式組，求得x的取值范圍.

【解析】⑴由題意有x-10>0,...QlO,

即x的取值范圍是{4x>10}.

X+2>0,

x-1>0,

{x-1*1,

(x>-2,

得卜>1,

(工-2,

.'.x>yJ=LX^I,

：.x的取值范圍是{xlx>l且x#2}.

【方法小結(jié)】在求解對(duì)數(shù)形式表達(dá)式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)中的底數(shù)和真

數(shù)滿足的要求列出不等式組，進(jìn)而求解即可.

【針對(duì)訓(xùn)練】求下列各式中X的取值范圍.

(l)10g(2.r-l)(X+2);

⑵log(/+i)(-3x+8).

X+2>0,

2%-1>0,解得x>|且

{2x-l。1,

/1.

故X的取值范圍是［卜>之且X41}.

(2)因?yàn)榈讛?shù)x2+l大于0且不等于1,

所以中0.

又因?yàn)?3x+8>0,所以

綜上可知，xg且#0.

故x的取值范圍是{%卜〈稱且無不0).

精講2：對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

【問題1】若2三3,g)X=2,則x的值分別是多少？

【答案】用log23表示滿足2工=3的x,用log±2表示滿足(§*=2的x,因此2*=3的解

為X=log23,G)=2的解為x=log￡

【問題2】怎樣理解對(duì)數(shù)式的意義？

【答案】“三角度”理解對(duì)數(shù)式的意義.

角度一：對(duì)數(shù)式logaN可看作一種記號(hào)，只有在位0,且中1,N>0時(shí)才有意義.

角度二：對(duì)數(shù)式log“N也可以看作一種運(yùn)算，是在已知d=N求6的前提下提出的.

角度三：log“N是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開書寫，也

不可認(rèn)為是log“與N的乘積.

【抽象概括】

當(dāng)a>0,且存1時(shí)，〃=N=x=logaN.前者叫指數(shù)式，后者叫對(duì)數(shù)式.

(1)對(duì)數(shù)的概念中出現(xiàn)了兩個(gè)等式：指數(shù)式爐="和對(duì)數(shù)式AlogJV.這兩個(gè)等式是等價(jià)

的，它們之間的關(guān)系如下：

根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，也可以將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式.

(2)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式中各個(gè)字母的名稱變化如下表：

名稱

式子

aXN

指數(shù)式d=N底數(shù)指數(shù)幕

對(duì)數(shù)式X=10gqN底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)

【學(xué)以致用】

【例2】將下列對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式或指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式.

-2

(1)53=125；(2)g)=16；(3)log|8=-3；(4)log3^=-3.

【方法指導(dǎo)】根據(jù)*=Nu>logaN=0(〃>0,且中1,N>0)求解.

3

【解析】(1)V5=125,.,.log5125=3.

(2)VQ)2=16,；.logn6=-2.

(3)Vlog|8=-3,

1-1

⑷??Tog3/-3,.?.3-3吟.

【方法小結(jié)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法

(1)將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將募作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對(duì)

數(shù)式；

(2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為募，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.

【針對(duì)訓(xùn)練】將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.

(1)3智

(2)logi27=-3；

3

(3)log近64=6.

【解析】(l)log3》2.

⑵(J..

(3)(Vx)-6=64.

精講3：對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

【問題1】若3工=o,0“=-1,則這樣的》存在嗎？

【答案】..PX),(丁>0,.?.滿足3工=0,QZ-1的x都不存在，因此我們說0和負(fù)數(shù)

沒有對(duì)數(shù).

【問題2】為什么零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)？

【答案】由對(duì)數(shù)的定義，〃=N(a>0,且存1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式

X=logaN時(shí)，不存在N40的情況.

【問題3］你能推出對(duì)數(shù)恒等式小gaN=N(〃>0,且中1,N>0)嗎?

【答案】因?yàn)闋t=N,所以x=log〃N,代入戶=N可得ai°gaN=N.

【抽象概括】

1.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)

性質(zhì)21的對(duì)數(shù)是0,即logj=0（a>0,且存1）

性質(zhì)3底數(shù)的對(duì)數(shù)是L即loga〃=l（a>0,且好1）

2.性質(zhì)的拓展

lSaNr>

對(duì)數(shù)恒等式：a°=N,logfla=x（?0>且

【學(xué)以致用】

［例3］求下列各式中x的值.

（l）log2（logu）=0；

1

⑵log（叵1）藥=x；

⑶210g25=尤

【方法指導(dǎo)】合理運(yùn)用題中提供的信息，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系求解.

【解析】⑴?.」Og2（log4X）=0，

/.log4X=20=L.*.x=41=4.

（2）；log（g）忌1r，，4-1廣焉=V2-1,

（3）'."2log25=x,Iog25=log2x,；.x=5.

【方法小結(jié)】此類題型應(yīng)利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)從整體入手，由外到內(nèi)逐層深入來解決

問題.“l(fā)og〃N=0=N=l；log〃N=l今N=a”使用頻繁，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上牢記.

【針對(duì)訓(xùn)練】（1）若log3（lgx）=0,則x的值等于.

（2）方程21嗝*=；的解是.

【解析】（1）由log3（lg%）=0得lgx=30=l,.??x=10.

（2）*.*2log3X=2-2,log3X=-2,.\x=3'2=^.

【答案】（1）10;（2）昌

（10分鐘）

探究：利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求值

【例4】求下列各式中x的值:

2

(l)log64X=--;(2)logx8=6；(3)lg100=x；

⑷如e2=x；(5)log(&)卷=x.

【方法指導(dǎo)】要求對(duì)數(shù)的值，設(shè)對(duì)數(shù)為某一未知數(shù)，先將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用

指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求解.

(l)x=64-3=(43)-3=4-2=—.

16

1111

(2)因?yàn)閤6=8,所以X=(X6)6=8e=(23)6=25=V2.

(3)因?yàn)?8=100=102,所以廣2.

(4)由-Ine2=x,得-x=lne2,即e-x=e2,

所以x=-2.

(5)因?yàn)閘og(.)焉=x,

所以(&)三

所以x=l.

【探究小結(jié)】指數(shù)式*=N(a＞。，且時(shí)1)與對(duì)數(shù)式b=logaN(a＞。，且存1，N＞0)之間是

一種等價(jià)關(guān)系.已知對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化成指數(shù)式，指數(shù)式同樣可以轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)式.

【針對(duì)訓(xùn)練】求下列各式中x的值.

⑴log%27吟3⑵2logkg

(3)x=log27^;(4)x=logil6.

97

【解析】(1)由log%27=|,可得％5=27,

.??二275=(33)5=32=9.

.2

(2)由log2X=-7-,可得

-1_1

⑶由X=log27-，可得27^=-,

???331=3-2,???信-:

(4)由x=logK6,可得(J=16,

：.2-r=24,：.x=-4.

(1分鐘)

1.知識(shí)圖譜：

2.數(shù)學(xué)思想、學(xué)科素養(yǎng)：轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象；

3.常見誤區(qū)：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化時(shí)混淆各字母分別在指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中的位置;

易忽視對(duì)數(shù)式中底數(shù)與真數(shù)的范圍.

(5分鐘)

1.在6=l