練習(xí)題6三重積分練習(xí)題

PAGEPAGE1第九章練習(xí)題6：三重積分王克金三重積分的性質(zhì)1.存在的充分條件是（）A（A）在有界閉區(qū)域上連續(xù)（B）在有界閉區(qū)域上有界（C）在區(qū)域上連續(xù)（D）在區(qū)域上有界答案：（A）解B、D有界不一定可積，C區(qū)域無(wú)界，連續(xù)不一定可積，故只有A2.有界閉區(qū)域由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成，設(shè)，則利用三重積分性質(zhì)知的關(guān)系為（）（A）（B）的大小不具體計(jì)算無(wú)法比較（C）（D）的值計(jì)算不出來(lái)，故無(wú)法比較它們的大小答案：（A）解被積函數(shù)均可視為的函數(shù)，在積分區(qū)域內(nèi)，，，故A成立3.有界閉區(qū)域由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成，設(shè)，則利用三重積分性質(zhì)知的關(guān)系為__________答案：解在內(nèi)，，，故三重積分的奇偶性1.設(shè)為中關(guān)于面的對(duì)稱區(qū)域，為上的連續(xù)函數(shù)，為在面上方部分，則當(dāng)為關(guān)于_____的奇函數(shù)時(shí)，則當(dāng)為關(guān)于_____的偶函數(shù)時(shí)，。答案：解為中關(guān)于面的對(duì)稱區(qū)域，考察關(guān)于變量的奇偶性即可。2.設(shè)空間區(qū)域,則下式（ ）成立C答案：（C）解關(guān)于面及面對(duì)稱，故，A,B不成立，同理D也不成立。而為關(guān)于的偶函數(shù)，故選C65.計(jì)算其中是由球面x2y2z21所圍成的閉區(qū)域解因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于xOy面對(duì)稱而被積函數(shù)為關(guān)于z的奇函數(shù)所以3設(shè)，則=______答案：解為關(guān)于的奇函數(shù)，故得結(jié)果。4.設(shè)，則=______答案：解積分區(qū)域?yàn)橐恢w，該柱體體積為，采用先二后一法，固定，為一關(guān)于軸對(duì)稱的區(qū)域，為一關(guān)于的奇函數(shù)，故=0，余下部分為3倍體積，為5設(shè)，則=______答案：解積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱，為關(guān)于的奇函數(shù)，故=6.設(shè)，則=（）D（A）0（B）（C）-3（D）答案：（D）解積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱，為關(guān)于的奇函數(shù)，積分值為0，余下為-3倍體積，球體體積為，故選D7.設(shè)，則=（）B（A）0（B）（C）（D）3答案：（B）解積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱，為關(guān)于的奇函數(shù)，積分值為0，余下為3倍體積，而積分區(qū)域?yàn)橐惑w積為的圓柱體，結(jié)果為，選B直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分4.如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積,即f(x,y,z)=f1(x)×f2(y)×f3(z),積分區(qū)域W={(x,y,z)|a￡x￡b,c￡y￡d,l￡z￡m},證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積,即.證利用與積分變量無(wú)關(guān)的值對(duì)該定積分為常量.1.設(shè)，是由所圍成的正方體，則I=（）D（A）（B）（C）（D）答案：（D）解積分區(qū)域關(guān)于三坐標(biāo)面對(duì)稱，而被積函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù)，故選D，A,B,C被積函數(shù)錯(cuò)。37.計(jì)算,其中W為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體.解積分區(qū)域可表示為W={(x,y,z)|0￡z￡1-x-y,0￡y￡1-x,0￡x￡1},于是.76.計(jì)算，其中是由及所圍成的立體域。解的聯(lián)立不等式組為所以2.已知是由所圍成區(qū)域，按先后再的積分次序?qū)⒒癁槿畏e分，則答案：解由所給順序，先定的取值范圍，即，在確定的前提下，在面確定的取值范圍，在三角形區(qū)域內(nèi)，，頂在平面上，故，得結(jié)果。14.設(shè)為六個(gè)平面圍成的區(qū)域，在上連續(xù)，則累次積分（）=答案：（D）解積分區(qū)域在面上的投影區(qū)域?yàn)椋e分變量的取值為，故選D158.計(jì)算，其中為六個(gè)頂點(diǎn)組成的三棱錐臺(tái)。解注意到均在面上，故可以以梯形為底，梯形與面垂直，以梯形為的頂。又梯形所在平面為，易得積分區(qū)域表示積分區(qū)域?yàn)椋?168.,：及所圍區(qū)域.解：，，39.計(jì)算,其中W是由平面z=0,z=y,y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為W={(x,y,z)|0￡z￡y,x2￡y￡1,-1￡x￡1},于是.4.設(shè)分別由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域.化三重積分為三次積分。則=_______.答案：解與軸平行，三面構(gòu)成一個(gè)以為頂?shù)那忮F，故積分區(qū)域可表為，得結(jié)果。95.計(jì)算,其中W是由曲面z=xy,與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為W={(x,y,z)|0￡z￡xy,0￡y￡x,0￡x￡1},于是.解曲積分區(qū)域可表示為,于是.34.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域W是:由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域;解積分區(qū)域可表示為W={(x,y,z)|0￡z￡xy,0￡y￡1-x,0￡x￡1},于是.94.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域W是:由曲面cz=xy(c>0),,z=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.93.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域W是:由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;提示:曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1.解曲積分區(qū)域可表示為,于是.3.設(shè)由曲面及所圍成的閉區(qū)域.三重積分為三次積分。則=_______答案：解積分區(qū)域由拋物曲面與拋物柱面圍成，以拋物柱面為頂，拋物曲面為底；二者交線在面的投影曲線為，故積分區(qū)域可表為，得三次積分。63.把積分化為三次積分其中積分區(qū)域是由曲面zx2y2yx2及平面y1z0所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為0zx2y2x2y11x1所以5.設(shè)由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域，把積分表為順序的三次積分______答案：解的底在平面上，頂在曲面上，側(cè)面由及構(gòu)成，因此積分區(qū)域?yàn)?，可得所求?5.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域W是:由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域;解積分區(qū)域可表示為,于是.38.計(jì)算,其中W為球面x2+y2+z2=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為于是.107.求，由所圍成在第一卦限的有界區(qū)域。解積分區(qū)域可表為易化為三次積分。6.將三次積分改換積分順序?yàn)開_____答案：解三次積分對(duì)應(yīng)三重積分區(qū)域?yàn)椋傻糜蓢蓞^(qū)域，故，得結(jié)果。143.計(jì)算積分解直接積分困難，改變積分順序9.設(shè)在上連續(xù)，試證證利用連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，計(jì)算三次積分，求出結(jié)果即證令，于是左邊====11.證明證要證等式成立，注意到左端為三次積分，積分變量t在最先，而右端為一關(guān)于t的定積分，故須交換積分順序處理80.計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域。解，（三角形的面積）故137.計(jì)算解積函數(shù)僅為z的函數(shù)，截面D(z)為圓域，故采用“先二后一”法極為方便7.設(shè)，則=______答案：解被積函數(shù)自變量只含，可考慮先二后一法8.設(shè)由與圍成,則=_______答案：解積分區(qū)域及被積函數(shù)特征，可考慮先二后一或柱坐標(biāo)。如采用先二后一，需積分區(qū)域特征分為兩部分，即==12.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：證由積分區(qū)域及右端定積分形式，易想到采用先二后一法計(jì)算證明。64.計(jì)算下列三重積分其中是兩個(gè)球x2y2z2R2和x2y2z22Rz(R0)的公共部分解兩球面的公共部分在xOy面上的投影在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為所以144.解由被積函數(shù)及積分區(qū)域特征，先利用奇偶性化簡(jiǎn)被積函數(shù)，在利用被積函數(shù)特征及積分區(qū)域情況，采用先二后一法計(jì)算有=164.計(jì)算，其中。解利用對(duì)稱性及三重積分性質(zhì)，采用先二后一法分開計(jì)算同理，故96.計(jì)算,其中W是由錐面與平面z=h(R>0,h>0)所圍成的閉區(qū)域.解當(dāng)0￡z￡h時(shí),過(guò)(0,0,z)作平行于xOy面的平面,截得立體W的截面為圓Dz:,故Dz的半徑為,面積為,于是=.53.一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成,求物體的體積;解由對(duì)稱可知柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1.設(shè)是由曲面及所圍成的閉區(qū)域，利用柱面坐標(biāo)化三重積分為三次積分_______答案：解先求二曲面的交線，得，交線在面的投影曲線為，故柱坐標(biāo)系下積分區(qū)域可表為，可得三次積分。2.計(jì)算三重積分:,其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡r￡1,,于是.3.計(jì)算由曲面及x2+y2=4z所圍成的立體的體積:解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.4.曲面之內(nèi)及曲面之外所圍成的立體的體積=（ ）D答案：（D）解易求得兩曲面的交線為在柱坐標(biāo)下，B積分限錯(cuò)誤。由于旋轉(zhuǎn)拋物面位于上方，的積分上限為，下限為球面，只有D符合。5.用三次積分表示由曲面所圍成立體的體積____答案：解由方程對(duì)應(yīng)的幾何圖形知，是以平面及拋物面為底，柱面為側(cè)面的幾何體，在面的投影區(qū)域?yàn)椋谥鴺?biāo)下該立體范圍可表為6.設(shè)所圍區(qū)域在第一卦限部分，則（）B答案：（B）解A,D在直角坐標(biāo)系下成立，C在柱坐標(biāo)系下成立，B與D矛盾，選B7.計(jì)算三重積分，其中為所圍閉區(qū)域解將投影到面得，即8.計(jì)算三重積分,其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡r￡2,,于是.9.計(jì)算，其中是由所圍成的空間閉區(qū)域。解：；10.設(shè)為由繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與所圍成的區(qū)域，=_______.答案：解曲線旋轉(zhuǎn)得到的曲面方程為，由被積函數(shù)結(jié)構(gòu)及積分區(qū)域看，適用柱坐標(biāo)，==11.計(jì)算三重積分其中是由xOy面上曲線y22x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x5所圍成的閉區(qū)域解曲線y22x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程為y2z22x由曲面y2z22x和平面x5所圍成的閉區(qū)域在yOz面上的投影區(qū)域?yàn)樵谥孀鴺?biāo)下此區(qū)域又可表示為所以12.計(jì)算，其中是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=2,z=8所圍的立體。解一旋轉(zhuǎn)體橫截面為圓，可用柱坐標(biāo)或“先二后一”法可選柱坐標(biāo)系，這時(shí)需將分為兩塊進(jìn)行積分。旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，即，解二若采用“先二后一”法較為簡(jiǎn)便D(z):x2+y2≤2z13.的曲面與平面所圍成的空間區(qū)域，求。解旋轉(zhuǎn)體橫截面為圓，整個(gè)落在一圓柱體內(nèi)，可用柱坐標(biāo)計(jì)算由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為==14.計(jì)算，其中為所圍閉區(qū)域解由被積函數(shù)及積分區(qū)域看，適用柱面坐標(biāo)，上頂為平面，下底為錐面投影區(qū)域?yàn)?15.計(jì)算,其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.16.計(jì)算由曲面z=6-x2-y2及所圍成的立體的體積:解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡r￡2,r￡z￡6-r2,于是.17.計(jì)算，其中為及平面所圍成的立體，則正確的解法為（ ）B答案：（B）解為一園面為底，柱面為側(cè)面，頂為錐面的區(qū)域，在柱坐標(biāo)系下，積分區(qū)域可表為，A，C，D均有積分限錯(cuò)誤，選B18.計(jì)算由曲面及z=x2+y2所圍成的立體的體積:解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡r￡1,r2￡z￡r,于是.19.計(jì)算三重積分:,其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域;解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是解法2:用直角坐標(biāo)計(jì)算.20.計(jì)算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.解選取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方便,所以==.21.計(jì)算，其中是由柱面與平面圍成的閉區(qū)域。解積分區(qū)域?yàn)橹w一部分，被積函數(shù)用柱坐標(biāo)簡(jiǎn)單，采用柱坐標(biāo)計(jì)算22.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，定義，其中，求。解在柱面坐標(biāo)系中所以23設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，，（ ）B（A）0；（B）（C）（D）-答案：（B）解分子用柱坐標(biāo)計(jì)算可化為，利用洛必達(dá)法則，化簡(jiǎn)得結(jié)果為，選B球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1.計(jì)算,其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡j￡p,0￡r￡1,于是.2.設(shè)空間區(qū)域，則=______答案：解，3.設(shè)，則=______答案：解：由對(duì)稱性，4設(shè)，則()（A）（B）（C）（D）答案：（B）解積分區(qū)域?yàn)榍蛐脑谠c(diǎn)的球體，關(guān)于三坐標(biāo)面對(duì)稱，而，二次交叉項(xiàng)積分值為0，利用球坐標(biāo)計(jì)算易得結(jié)果為B5.設(shè)空間區(qū)域則=（ ）A；答案：（A）解由積分區(qū)域是球體，被積函數(shù)是球半徑函數(shù)，故用球坐標(biāo)計(jì)算，即，只有A6.設(shè)，則=()D答案：（D）解積分區(qū)域?yàn)樯习肭?，投影區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)圓面，B,C不符合，A被積函數(shù)錯(cuò)誤，故選D7.設(shè)是由曲面所圍成的閉區(qū)域，利用球面坐標(biāo)化三重積分為三次積分_______答案：解是球體在Ⅰ，Ⅴ象限，積分區(qū)域在球坐標(biāo)下可表為，被積函數(shù)在用球坐標(biāo)表示及體積微元表示即得。8.設(shè)：，則=_______答案：解積分區(qū)域?yàn)榍颦h(huán)域，被積函數(shù)是的函數(shù)，適用球坐標(biāo)計(jì)算。9.計(jì)算三重積分,其中閉區(qū)域W由不等式,z30所確定.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.10.,:由,,及(y0,a>0)所圍成.解積分區(qū)域由球面及錐面圍成，采用球坐標(biāo).令.則.于是===11.計(jì)算，其中。解利用對(duì)稱性計(jì)算三重積分，設(shè)則.12.計(jì)算，其中。解+因?yàn)殛P(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而都（至少）關(guān)于某個(gè)變量為奇函數(shù)，故以這些項(xiàng)為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是：。13.設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，，______。答案：1解分子故該極限為一不定式極限，上下求導(dǎo)得結(jié)果為14.設(shè)為恒大于零的連續(xù)函數(shù)，，，其中，試討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；證明當(dāng)時(shí)，。解分別將函數(shù)表示為關(guān)于的變限函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性分別在球坐標(biāo)及極坐標(biāo)下計(jì)算三重及二重積分。（1）在上，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。（2）因，只需證時(shí)，即，令為左邊函數(shù)，，在處連續(xù)，時(shí)從而時(shí)15.計(jì)算，其中。解錐面與球面為外表面區(qū)域適合采用球坐標(biāo)16.計(jì)算三重積分,其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域;解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.17.計(jì)算，其中為和平面圍成的立體，則以下不正確的解法為（ ）D答案：（D）解A為在柱坐標(biāo)下的三次積分，正確，B為采用先二后一法得到，正確，C為球坐標(biāo)下的三次積分，正確。D的半徑積分限錯(cuò)誤，故選D18.設(shè)是由球面與錐面所圍成區(qū)域，則三重積分在球面坐標(biāo)系下的三次積分表達(dá)式為答案：解積分區(qū)域由錐面與球面圍成，投影區(qū)域包含原點(diǎn)，故，錐面半頂角為，故，球面半徑為，自變量化為球坐標(biāo)下自變量即得。19.計(jì)算，其中由與所圍成。解注意到積分區(qū)域關(guān)于面均對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于的奇函數(shù)部分積分值為0，而錐面與球面圍成區(qū)域采用球坐標(biāo)計(jì)算有，利用球面坐標(biāo)，有20.設(shè)由與圍成，則=_______答案：解由球面及錐面圍成，固定，為一關(guān)于軸對(duì)稱的區(qū)域，故21半徑為1的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍立體的體積為______答案：解由已知，以錐頂為原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸建立坐標(biāo)系，球坐標(biāo)下積分區(qū)域?yàn)椋?22.計(jì)算三重積分,其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a)2￡a2,x2+y2￡z2所確定.解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.23.計(jì)算由曲面x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分);所圍成的立體的體積:解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為,于是.24設(shè)由拋物面與平面所圍區(qū)域，則三重積分在球面坐標(biāo)系下的三次積分表達(dá)式為答案：解積分區(qū)域?yàn)樾D(zhuǎn)拋物面與平面圍成，邊界面在時(shí)為平面，在時(shí)，邊界面為，即，得結(jié)果。26.計(jì)算，其中Ω是由曲面及所圍成的所圍立體解積分區(qū)域由錐面和平面圍成，被積函數(shù)為球半徑函數(shù)，采用球坐標(biāo)計(jì)算在球面坐標(biāo)系下，27.求，由所圍成。解被積函數(shù)是球半徑函數(shù)，邊界曲面為錐面，可以采用球坐標(biāo)計(jì)算，積分區(qū)域在球坐標(biāo)下可表為28.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),若對(duì)任意的恒有其中,是在面上的投影區(qū)域,是的表面,是的邊界曲線,證明滿足,且證明題目涉及曲線曲面積分,二重三重積分,根據(jù)對(duì)應(yīng)的積分范圍,選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)進(jìn)行積分.由已知,于是有即有,,三重積分的應(yīng)用1.設(shè)有一物體,占有空間閉區(qū)域W={(x,y,z)|0￡x￡1,0￡y￡1,0￡z￡1},在點(diǎn)(x,y,z)處的密度為r(x,y,z)=x+y+z,計(jì)算該物體的質(zhì)量.解.2.球心在原點(diǎn)、半徑為的球體在其上任意一點(diǎn)的密度的大小為這點(diǎn)到球心的距離的倍，則該球體的質(zhì)量為_______答案：解球面的方程為，密度函數(shù)為，質(zhì)量.3.球心在原點(diǎn)、半徑為R的球體,在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比,求這球體的質(zhì)量.解密度函數(shù)為.在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為0￡q￡2p,0￡j￡p,0￡r￡R,于是.4.設(shè)有一物體，占有空間區(qū)域，在點(diǎn)處密度為，計(jì)算該物體的質(zhì)量。解有被積函數(shù)特殊性及積分區(qū)域特點(diǎn)，采用不同的先二后一法計(jì)算=5.求均勻半球體的重心解均勻物體重心為幾何中心，利用對(duì)稱性及球坐標(biāo)計(jì)算設(shè)重心為，則，故重心為6.均勻半球體的重心坐標(biāo)為______答案：解均勻由對(duì)稱性知重心橫、縱坐標(biāo)為0，設(shè)豎坐標(biāo)為，密度為，則有公式7.設(shè)球體占有閉區(qū)域={(x,y,z)|x2+y2+z2￡2Rz},它在內(nèi)部各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,試求這球體的質(zhì)心.解球體密度為x2y2z2由對(duì)稱性可知質(zhì)心在z軸上,即在球面坐標(biāo)下可表示為,于是故球體的質(zhì)心為.8.設(shè)有一半徑為R的球體，是此球表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐的距離的平方成正比（比例常數(shù)）,試求這球體的重心位置。.解建立合適坐標(biāo)系，利用對(duì)稱性及重心公式計(jì)算為解題方便，選球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，，則球面為，所圍區(qū)域?yàn)?，重心坐?biāo)為，由對(duì)稱性；而，，故重心坐標(biāo)為9.由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得一曲面面，求該曲面與平面所圍成密度為常數(shù)的均勻立體的重心坐標(biāo)。解求出旋轉(zhuǎn)曲面方程，利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化所求，積分區(qū)域旋轉(zhuǎn)體適用先二后一或柱坐標(biāo)曲面的方程為，設(shè)重心坐標(biāo)為，由對(duì)稱性知。，，，重心為10..利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心(設(shè)密度r=1):,(A>a>0),z=0;解由對(duì)稱性可知,重心在z軸上,故(兩個(gè)半球體體積的差)所求立體的質(zhì)心為11.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心(設(shè)密度r=1):z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解由空間物體質(zhì)心公式，利用直角坐標(biāo)計(jì)算即可所以立體的重心為12.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心(設(shè)密度r=1):z2=x2+y2,z=1;解由對(duì)稱性可知,重心在z軸上,故(圓錐的體積)所求立體的質(zhì)心為.13.一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成,求物體的質(zhì)心;解由對(duì)稱性知14.一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y