第06講 平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿(mǎn)分全攻略（滬教版）（解析版）

第06講平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）一．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．二．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類(lèi)角．三．平行線之間的距離（1）平行線之間的距離從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離．（2）平行線間的距離處處相等．一．平行線的性質(zhì)（共10小題）1．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，由AB∥CD可以得到（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACB C．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答．2．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，AB∥EG∥DC，AC∥EF，則圖中與∠1相等的角（不含∠1）有（）個(gè)．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】運(yùn)用兩直線平行，同位角相等和兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠1的等角，由對(duì)頂角相等可得∠1的等角，利用等量代換也可得到∠1的等角，綜上，結(jié)論可得．【解答】解：∵AB∥EG，∴∠1＝∠BAC．∵EG∥CD，∴∠1＝∠ACD．∵AC∥EF，∴∠1＝∠FEH，∠FEH＝∠EFD．∴∠1＝∠EFD．∵對(duì)頂角相等，∴∠1＝∠GHC．綜上，與∠1相等的角有：∠BAC，∠ACD，∠FEH，∠EFD，∠GHC．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，準(zhǔn)確找出與∠1相等的同位角，內(nèi)錯(cuò)角是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?松江區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，DA＝DB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交邊BC于點(diǎn)E，請(qǐng)說(shuō)明∠BDE＝∠CDE的理由．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠DBA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，等量代換證明結(jié)論．【解答】證明：∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，∴∠BDE＝∠CDE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等和兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?奉賢區(qū)期中）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的的個(gè)數(shù)有（）①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短③如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)④經(jīng)過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的定義以及垂線段最短進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤；②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，說(shuō)法正確；③如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁?xún)?nèi)角不一定互補(bǔ)，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的概念以及垂線段的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同位角相等；對(duì)頂角相等．5．（2021春?普陀區(qū)期中）下列說(shuō)法中，正確的有（）①如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；②在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；③聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，平行線的定義，平行公理和垂線的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可求出答案．【解答】解：①如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，應(yīng)強(qiáng)調(diào)是兩直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)正確；③聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，故本選項(xiàng)正確；④如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，還要看這兩個(gè)角的位置關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以正確的有2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行公理及推論，用到的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)頂角的定義，平行線的定義，平行公理和垂線的性質(zhì)，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．6．（2021春?上海期中）已知AB∥CD，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)是（）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝95°，∴∠2＝180°﹣95°＝85°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的知識(shí)點(diǎn)．7．（2021秋?普陀區(qū)期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求證：（1）AE⊥BE；（2）E是線段CD的中點(diǎn)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ABC+∠BAD＝180°，再利用角平分線的定義可得：∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，從而可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，由平行線的性質(zhì)可得EF∥BC，∠DAE＝∠AEF，結(jié)合角平分線的定義得∠DAE＝∠BAE，從而有∠BAE＝∠AEF，則有AF＝EF，同理可求得BF＝EF，故有AF＝BF，可得點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，即可得解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，∴AE⊥BE；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，如圖所示：∴∠DAE＝∠AEF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∵AD∥BC，∴EF∥BC，同理可證得：BF＝EF，∴AF＝BF，∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出適應(yīng)的輔助線，并熟記平行線的性質(zhì)．8．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖a所示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請(qǐng)說(shuō)明∠AEC＝∠A+∠C的理由；（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，請(qǐng)嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）如圖a，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；（2）如圖b，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【解答】解：（1）如圖a，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB；∴∠A＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行的傳遞性），∴∠FEC＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（圖上可知），∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換）；（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，理由如下：如圖b，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行的傳遞性），∴∠FEC＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠CEA+∠AEF＝∠2，∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性質(zhì)），∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代換），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?玉門(mén)市期末）如圖1，直線AC∥BD，直線AC、BD及直線AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個(gè)部分．點(diǎn)P是其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，觀察∠APB、∠PAC、∠PBD三個(gè)角．規(guī)定：直線AC、BD、AB上的各點(diǎn)不屬于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個(gè)部分中的任何一個(gè)部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第（1）部分時(shí)，可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD，請(qǐng)閱讀下面的解答過(guò)程，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填注理由解：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖2因?yàn)锳C∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD（平行線的傳遞性）．所以∠BPE＝∠PBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．同理∠APE＝∠PAC．因此∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD（等量代換），即∠APB＝∠PAC+∠PBD．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第（2）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APB、∠PAC、∠PBD之間滿(mǎn)足的關(guān)系式，不必說(shuō)明理由．（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第（3）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第（4）部分時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．【分析】根據(jù)平行線的傳遞性、平行線的性質(zhì)填空；（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)、傳遞性和等式的基本性質(zhì)可得出∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°；（2）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)、傳遞性可得出∠PAC＝∠APB+∠PBD；（3）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖5，根據(jù)平行線的性質(zhì)、傳遞性可得出∠PAC+∠APB＝∠PBD．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖2因?yàn)锳C∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD（平行線的傳遞性）．所以∠BPE＝∠PBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．同理∠APE＝∠PAC．因此∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD（等式性質(zhì)），即∠APB＝∠PAC+∠PBD．（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖3，因?yàn)锳C∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD（平行線的傳遞性）．所以∠BPF+∠PBD＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．同理∠APF+∠PAC＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD＝360°（等式的基本性質(zhì)），即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°．（2）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖4，∠PAC＝∠APB+∠PBD；（3）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，如圖5，∠PAC+∠APB＝∠PBD．故答案為：平行線的傳遞性，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．10．（2021春?青浦區(qū)期中）已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【解答】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，因?yàn)锳B∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椤螦＝140°，所以∠AGE＝40°，因?yàn)锳B∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的傳遞性），所以∠C+∠CGE＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螩＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，因?yàn)锳B∥GF，所以∠A＝AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)锳B∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的傳遞性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因?yàn)椤螦＝x°，∠C＝y(tǒng)°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的傳遞性），∴∠BAE＝∠AEM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠MEF＝∠EFN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠NFG＝∠FGQ（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠QGC＝∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．平行線之間的距離（共3小題）11．（2018春?虹口區(qū)期中）兩條平行線間的距離是指（）A．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線 B．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線的長(zhǎng) C．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線段 D．其中一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長(zhǎng)【分析】根據(jù)平行線之間的距離的定義，即可得出結(jié)論．【解答】解：平行線之間的距離：從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線之間的距離，牢記平行線之間的距離的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2011春?松江區(qū)期中）如圖：直線a∥b，則圖中與△BAD面積相等的三角形是△CAD．【分析】分別過(guò)點(diǎn)B、C作c⊥a、d⊥a．根據(jù)平行線間的距離相等的性質(zhì)知c＝d，所以與△BAD面積相等的三角形是與△BAD是同底AD的三角形△ACD．【解答】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)B、C作c⊥a、d⊥a．∵a∥b，∴c＝d（平行線間的距離相等）；∴△BAD與△ACD是同底等高，∴S△BAD＝S△CAD．故答案是：△CAD．【點(diǎn)評(píng)】考查的是兩平行線之間的距離．即兩直線平行，則夾在兩條平行線間的垂線段的長(zhǎng)叫兩平行線間的距離，兩平行線間的距離都相等．13．（2007春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E、F分別在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB、CD上，且AF∥CE，AB＝3，AD＝5，那么AE與CF的距離是5．【分析】先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)平行線間的距離的定義，以及長(zhǎng)方形的性質(zhì)，AE與CF的距離等于點(diǎn)A到CD的距離，也就是AD的長(zhǎng)度．【解答】解：長(zhǎng)方形ABCD中，AB∥CD，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE與CF的距離為AD的長(zhǎng)度，∵AD＝5，∴AE與CF的距離是5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線間的距離的定義，平行線間的距離等于一條平行線上任意一點(diǎn)到另一條平行線的垂線段的長(zhǎng)度．三．平行線的判定與性質(zhì)（共8小題）14．（2021春?閔行區(qū)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行 B．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 C．兩條直線被第三條直線所截，截得的同位角相等 D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【分析】A：應(yīng)用平行公理進(jìn)行判定即可得出答案；B：根據(jù)平行公理的推論進(jìn)行判定即可得出答案；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案；D：根據(jù)平行線的判定進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：C項(xiàng)中應(yīng)只有平行直線被第三條直線所載，同位角才相等，A、B、D項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及推論，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)及平行公理及推論進(jìn)行判定是解決本題的關(guān)鍵．15．（2021春?青浦區(qū)期中）下列說(shuō)法不正確的是（）A．如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對(duì)同旁?xún)?nèi)角的角平分線互相垂直 B．同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線不平行就相交 C．兩條直線的夾角α滿(mǎn)足0°＜α＜90° D．兩直線相交所形成的角中，若有三個(gè)角相等，則兩條直線垂直【分析】利用平行線的判定與定理及有關(guān)定義、定理逐一判斷即可．【解答】解：A，如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對(duì)同旁?xún)?nèi)角的角平分線互相垂直，此說(shuō)法正確；B，同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線不平行就相交，此說(shuō)法正確；C，兩條直線的夾角α滿(mǎn)足0°＜α＜90°，應(yīng)該是0°＜α≤90°，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；D，兩直線相交所形成的角中，若有三個(gè)角相等，則兩條直線垂直，此說(shuō)法正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記有關(guān)定義、定理是解題的關(guān)鍵．16．（2021春?楊浦區(qū)期中）下列說(shuō)法中，正確的有（）①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；③兩平行線間距離處處相等；④平行于同一直線的兩直線互相平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定、點(diǎn)到直線的距離、平行線公理及推論逐一判定．【解答】解：①過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；②從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，原說(shuō)法錯(cuò)誤；③兩平行線間距離處處相等，原說(shuō)法正確；④平行于同一直線的兩直線互相平行，原說(shuō)法正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定、點(diǎn)到直線的距離、平行線公理及推論．17．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知∠ABC與∠DCB互補(bǔ)，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度數(shù)是50°．【分析】由平行線的判定與性質(zhì)可求得∠ACD＝40°，結(jié)合垂線的定義可求解．【解答】解：∵∠ABC與∠DCB互補(bǔ)，∴AB∥CD，∵∠A＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠D＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，垂線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD嗎？為什么？解：AB∥CD．理由如下：因?yàn)椤螦HF+∠AHE＝180°（鄰補(bǔ)角的意義），又因?yàn)椤螦HF＝130°（已知），所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性質(zhì)）．因?yàn)椤螩GE＝50°（已知），得∠CGE＝∠AHE（等量代換）．所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．【分析】第一空∠AHF與∠AHE互為鄰補(bǔ)角，這里利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，所以填““鄰補(bǔ)角的意義““，第二空∠CGE與∠AHE都等于50°，所以填““等量代換““，第三空∠CGE與∠AHE為相等的同位角，由此得AB//CD，所以填“同位角相等，兩直線平行“．【解答】解：AB∥CD．理由如下：因?yàn)椤螦HF+∠AHE＝180°（鄰補(bǔ)角的意義），又因?yàn)椤螦HF＝130°（已知），所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性質(zhì)）．因?yàn)椤螩GE＝50°（已知），得∠CGE＝∠AHE（等量代換）．所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：鄰補(bǔ)角的意義；等量代換，同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．19．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)理由，說(shuō)明GF⊥AB．解：因?yàn)椤螦DE＝∠B（已知），所以DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）．得∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又因?yàn)椤?+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（等量代換）．所以CD∥FG（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．所以∠FGB＝∠CDB（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)镃D⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意義）．得∠FGB＝90°，所以GF⊥AB（垂直的意義）．【分析】利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：∵∠ADE＝∠B（已知），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠2+∠3＝180°（等量代換），∴CD∥FG（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠FGB＝∠CDB（兩直線平行，同位角相等），∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°（垂直的定義），∴∠FGB＝90°，∴GF⊥AB（垂直的定義）．故答案為：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；CD；FG；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直定義和平行線的判定的應(yīng)用，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．20．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，AF、BD、CE是直線，點(diǎn)B在直線AC上，點(diǎn)E在直線DF上．∠A＝∠F，∠C＝∠D．說(shuō)明∠1與∠2互補(bǔ)的理由．解：因?yàn)椤螦＝∠F（已知），所以AC∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠D＝∠DBA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)椤螩＝∠D（已知），所以∠C＝∠DBA（等量代換），所以DB∥CE（同位角相等，兩直線平行），所以∠2+∠3＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椤?＝∠3（對(duì)頂角相等），所以∠2+∠1＝180°（等量代換）．【分析】利用平行線的性質(zhì)和判定，填上推理依據(jù)即可．【解答】解：因?yàn)椤螦＝∠F（已知），所以AC∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠D＝∠DBA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)椤螩＝∠D（已知），所以∠C＝∠DBA（等量代換），所以DB∥CE（同位角相等，兩直線平行），所以∠2+∠3＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），因?yàn)椤?＝∠3（對(duì)頂角相等），所以∠2+∠1＝180°（等量代換）．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠D＝∠DBA，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；對(duì)頂角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，記住并熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．21．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°，請(qǐng)補(bǔ)充完成∠CGD＝∠CAB的推理過(guò)程．證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．∴∠ADC＝∠EFC．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出AD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°，∴∠ADC＝∠EFC，∴AD∥EF，∴∠3+∠2＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3，∴DG∥AB，∴∠CGD＝∠CAB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．

分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共7小題）1．（2021春?松江區(qū)期中）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行 B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 C．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，平行公理定理逐一判斷即可．【解答】解：A，平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，A說(shuō)法正確；B，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，這一點(diǎn)必須在直線外，故B說(shuō)法不正確；C，平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，C說(shuō)法正確；D，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離，D說(shuō)法正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，平行公理，熟練掌握有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2020春?金山區(qū)期末）如圖，若l1∥l2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠2 C．∠1+∠3＝180° D．∠5+∠3＝180°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解判斷即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠4＝∠2，正確，故B不符合題意；∵l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°，正確，故C不符合題意；∵∠3和∠5是鄰補(bǔ)角，∴∠5+∠3＝180°，正確，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2020?鄒城市一模）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1＝32°，那么∠2的度數(shù)是（）A．32° B．68° C．60° D．58°【分析】本題主要利用兩直線平行，同位角相等及余角的定義作答．【解答】解：根據(jù)題意可知，∠2＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了平行線的性質(zhì)和互余的兩個(gè)角的性質(zhì)．互為余角的兩角的和為90°．解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從圖中找出這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果．4．（2020?周村區(qū)二模）若將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，則圖中∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1＝3∠2 C．∠1+∠2＝180° D．∠1+2∠2＝180°【分析】由折疊可得，∠2＝∠ABC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．【解答】解：如圖，由折疊可得，∠2＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABD＝2∠2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?嘉定區(qū)期末）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1＝70°，那么∠2的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】利用平行線的性質(zhì)可得∠3的度數(shù)，再利用平角定義可得∠2的度數(shù)．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．6．（2020春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，∠1＝110°，∠2＝120°，那么∠3的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】先利用平行線的性質(zhì)求出∠4，再利用三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系求出∠3．【解答】解：如圖所示：∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°．∵∠1＝110°，∴∠4＝70°．∵∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝120°﹣70°＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理的推論．解決本題亦可在∠3的頂點(diǎn)處作直線l1的平行線l，利用平行線的性質(zhì)和平角求出∠3．7．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知直線a、b被直線c所截，a∥b，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2+∠3＝180° D．∠1+∠4＝180°【分析】利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等求解判斷即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2，故A正確，不符合題意；∵∠1和∠3是對(duì)頂角，∴∠1＝∠3，故，B正確，不符合題意；∵a∥b，∴∠1+∠4＝180°，故D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．二．填空題（共9小題）8．（2021?嘉定區(qū)三模）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，如果被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝37°，那么∠2的度數(shù)為74°．【分析】根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1＝∠4＝37°，再利用平角的定義得∠3＝106°，然后利用兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)計(jì)算出∠2＝74°．【解答】解：∵∠1＝∠4＝37°，∴∠3＝180°﹣37°﹣37°＝106°，∵m∥n，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝74°，故答案為：74°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．9．（2021春?松江區(qū)期中）如圖，如果AD∥BC，下列結(jié)論正確的是②．（將正確的編號(hào)填寫(xiě)在橫線上）①∠B＝∠D；②∠DAC＝∠ACB；③∠BAC＝∠ACD；④∠B+∠DCB＝180°．【分析】根據(jù)AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)逐一推理即可找出答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故②正確，①、③、④由AD∥BC無(wú)法求證，故①、③、④錯(cuò)誤，故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線形成角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（2021春?西吉縣期末）如圖，∠ABC與∠DEF的邊BC與DE相交于點(diǎn)G，且BA∥DE，BC∥EF，如果∠B＝54°，那么∠E＝126°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠CGE＝54°，∠CGE+∠E＝180°，即可求解．【解答】解：∵BA∥DE，∠B＝54°，∴∠B＝∠CGE＝54°．∵BC∥EF，∴∠CGE+∠E＝180°，∴∠E＝126°，故答案為：126°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．（2021春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝75度．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1的度數(shù)得到∠4，再利用平角的性質(zhì)可得∠3的度數(shù)．【解答】解：如圖：∵a∥b，∠1＝70°，∴∠4＝∠1＝70°．∵∠2＝35°，∴∠3＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故答案為：75．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．12．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則∠BCE＝93°．【分析】由AB∥CD得∠DCB＝∠ABC，∠1＝27°，求出∠BCE．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABC＝120°，又∵∠1＝27°，∴∠BCE＝93°，故答案為93．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出∠DCB．13．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，如果∠1＝100°，∠2＝120°，那么∠3＝40度．【分析】過(guò)F作FG平行于AB，由AB與CD平行，得到FG與CD平行，利用兩直線平行同位角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，得到∠1＝∠EFG＝100°，∠2+∠GFC＝180°，即可確定出∠3的度數(shù)．【解答】解：如圖：過(guò)F作FG平行于AB，解：過(guò)F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1＝∠EFG＝100°，∠2+∠GFC＝180°，即∠GFC＝60°，∴∠3＝∠EFG﹣∠GFC＝100°﹣60°＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，∠DEF＝52°，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，則下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是①③④．①∠BFE＝52°；②∠BMG＝52°；③∠AEG＝76°；④∠BFH＝76°．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可判斷①，根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，利用角的和差判斷④，根據(jù)平角定義及折疊性質(zhì)可判斷②，根據(jù)平角定義可判斷③．【解答】解：四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，∵∠DEF＝52°，∴∠BFE＝∠DEF＝52°，①正確；∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝128°，由折疊得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFH，∠G＝∠D＝90°，∠C＝∠H＝90°，∴∠BFH＝∠EFH﹣∠EFB＝128°﹣52°＝76°，④正確；∵∠H+∠BFH+∠HBC＝180°，∴∠HMC＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∵∠BMG＝∠HMC，∴∠BMG＝14°，②錯(cuò)誤；∵∠AEG+∠GEF+∠DEF＝180°，∴∠AEG＝180°﹣52°﹣52°＝76°，③正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了折疊的性質(zhì)．15．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，直線a、b被直線c、d所截，如果∠1＝∠2，∠3＝105°，那么∠4度數(shù)為75°．【分析】求出∠5，根據(jù)平行線的判定得出直線a∥直線b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：∵∠3＝105°，∴∠5＝180°﹣∠3＝75°，∵∠1＝∠2，∴直線a∥直線b，∴∠4＝∠5＝75°，故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，能求出直線a∥直線b是解此題的關(guān)鍵．16．（2021春?青浦區(qū)期中）已知∠A＝30°，∠A的兩邊與∠B的兩邊分別平行，∠B＝30°或150°．【分析】根據(jù)當(dāng)兩角的兩邊分別平行時(shí)，兩角的關(guān)系可能可能相等也可能互補(bǔ)，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)∠A的兩邊與∠B的兩邊如圖1所示時(shí)，∠B＝∠A＝30°；當(dāng)∠A的兩邊與∠B的兩邊如圖1所示時(shí)，∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．故答案為：30°或150°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．三．解答題（共11小題）17．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)說(shuō)明AD∥BC的理由．解：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠4＝∠BAE（兩直線平行，同位角相等），因?yàn)椤?＝∠4（已知），所以∠3＝∠BAE（等量代換），因?yàn)椤?＝∠2（已知），所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，即∠BAE＝∠DAC．所以∠3＝∠DAC．（等量代換）因此AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【分析】首先由平行線的性質(zhì)可得∠4＝∠BAE，然后結(jié)合已知，通過(guò)等量代換推出∠3＝∠DAC，最后由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥BC．【解答】證明：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠4＝∠BAE（兩直線平行，同位角相等），因?yàn)椤?＝∠4（已知）所以∠3＝∠BAE（等量代換），因?yàn)椤?＝∠2（已知），所以∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，即∠BAE＝∠DAC，所以∠3＝∠DAC，因此AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；等量代換；∠DAC；∠DAC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．18．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分線，且BF∥CD，求∠C的度數(shù)．【分析】根據(jù)∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分線，可以得到∠ABF＝∠FBE＝40°，再根據(jù)BF∥CD，可以得到∠ABF＝∠C，從而可以求得∠C的度數(shù)．【解答】解：∵BF是∠ABE的平分線，∴∠ABF＝∠ABE，∵∠ABE＝80°，∴∠ABF＝40°，∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF，∴∠C＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟記角平分線的定義及“兩直線平行，同位角相等”是解答本題的關(guān)鍵．19．（2021春?松江區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°．請(qǐng)說(shuō)明∠GDB＝∠C的理由．解：因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC（已知），所以∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定義）．所以EF∥AD（同位角相等，兩直線平行）．所以∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．又因?yàn)椤?+∠3＝180°（已知），所以∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）．所以AC∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠GDB＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，同角的補(bǔ)角相等知識(shí)一一解答即可．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等），∴AC∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠GDC＝∠BC（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；AC；DG；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“同位角相等，兩直線平行”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”、“兩直線平行，同位角相等”．20．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠DAE＝∠CAB，∠ACB＝∠EFC，請(qǐng)說(shuō)明AD∥BC．【分析】由已知和平行線的性質(zhì)可得到∠ACD＝∠DAE，再有三角形的外角定理得到∠ACD＝∠E，最后等量代換即可求解．【解答】解：∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB，又∵∠BCD＝∠E+∠EFC，∴∠ACD+∠ACB＝∠E+∠EFC，∵∠ACB＝∠EFC，∴∠ACD＝∠E，∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD，∵∠CAB＝∠DAE，∴∠E＝∠DAE，∴AD∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握有關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．21．（2021春?金山區(qū)期末）已知：如圖，AB∥CD，AD和BC交于點(diǎn)O，E為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且∠CEF+∠BOD＝180°．求證：∠EFC＝∠A．【分析】由AB∥DC可得到∠A與∠D的關(guān)系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根據(jù)平行線的判定定理可得EF∥AD，可得∠D與∠EFC的關(guān)系，等量代換可得結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，∴∠CEF＝∠DOC．∴EF∥AD．∴∠EFC＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠EFC＝∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定方法是解決本題的關(guān)鍵．22．（2021春?上海期中）如圖，已知直線AB∥EF，AB∥CD，∠ABE＝50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度數(shù)．【分析】根據(jù)AB||EF可求∠BEF，根據(jù)EC平分∠BEF可求∠CEF，根據(jù)平行公理的推論可知CD||EF，從而∠DCE可求．【解答】解：∵AB∥EF，∠ABE＝50°，∴∠ABE＝∠BEF＝50°，∵EC平分∠BEF，∴∠CEF＝∠BEF＝25°，∵AB∥EF，AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠CEF+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣25°＝155°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義，根據(jù)題目條件推出CD||EF是解決本題的關(guān)鍵．23．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，試說(shuō)明FG與BC的位置關(guān)系．【分析】易得DE∥CF，推出∠1＝∠2＝∠BCF，根據(jù)平行線的判定推出即可．【解答】解：FG∥BC，理由是：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF，∴FG∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)是①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．24．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，則∠A＝∠F嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．答：解：【分析】由已知可得BD∥CE，從而可得∠C＝∠ABD，可推出DF∥AC，即可得到∠A＝∠F．【解答】解：∠A＝∠F，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC，∴∠1+∠AGC＝180°，∴BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠D＝∠ABD，∴DF∥AC，∴∠A＝∠F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知推導(dǎo)BD∥CE和DF∥AC．25．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，AB∥CD，∠B＝55°，∠D＝125°，試說(shuō)明：BC∥DE．請(qǐng)補(bǔ)充說(shuō)明過(guò)程，并在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠C＝∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠B＝55°（已知），∴∠C＝55°（等量代換），∵∠D＝125°（已知），∴∠C+∠D＝180°，∴BC∥DE（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可補(bǔ)充說(shuō)理過(guò)程．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠C＝∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠B＝55°（已知），∴∠C＝55°（等量代換），∵∠D＝125°（已知），∴∠C+∠D＝180°，∴BC∥DE（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；55；等量代換；已知；∠C+∠D＝180°；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．26．（2021春?奉賢區(qū)期中）已知，如圖，已知AB∥CD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？為什么？解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，得∠B+∠BEF＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)锳B∥CD（已知），EF∥AB（已作），所以EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線平行）．得∠D+∠DEF＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式的性質(zhì)）．即∠B+∠BED+∠D＝360°．因?yàn)锽E⊥DE，所以∠BED＝90°（垂直的定義）．所以∠B+∠D＝270°°（等式性質(zhì)）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理、判定定理等即可得到答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，得∠B+∠BEF＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)锳B∥CD（已知），EF∥AB（已作），所以EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線平行）．得∠D+∠DEF＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式的性質(zhì)）．即∠B+∠BED+∠D＝360°．因?yàn)锽E⊥DE，所以∠BED＝90°（垂直的定義）．所以∠B+∠D＝270°°（等式性質(zhì)）．故答案為：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，平行于同一直線的兩條直線平行，∠D+∠DEF＝180°，等式的性質(zhì)，垂直的定義，270°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)定理、判定定理是解題的關(guān)鍵．27．（2021春?松江區(qū)期中）如圖所示，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°．請(qǐng)?zhí)顚?xiě)∠CGD＝∠CAB的理由．解：因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC（已知）所以∠ADC＝90°，∠EFD＝90°（垂直定義）得∠ADC＝∠EFD（等量代換），所以AD∥EF（同位角相等，兩直線平行）得∠2+∠3＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）由∠1+∠2＝180°（已知）得∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）所以DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）所以∠CGD＝∠CAB（兩直線平行，同位角相等）【分析】求出AD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2+∠3＝180°，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定義），∴∠ADC＝∠EFD，∴AD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠2+∠3＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等），∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠CGD＝∠CAB（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：已知，垂直定義，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，已知，同角的補(bǔ)角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，則圖中與∠CBD相等的角除了∠CDB外還有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】如圖，設(shè)MN交BD于點(diǎn)O．首先證明四邊形ABCD是菱形，利用菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：如圖，設(shè)MN交BD于點(diǎn)O．∵AD∥BC，CD∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠CBD，∠CDB＝∠ADB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB，∵CD∥MN，∴∠CDB＝∠MOD，∵∠MOD＝∠BON，∴∠MOD＝∠BON＝∠CDB，∴與∠CDB相等的角有4個(gè)（除了∠CDB外）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度數(shù)是（）A．65o B．95o C．105o D．115o【分析】根據(jù)平行線的判定得出a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4+∠5＝180°，求出∠5即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4+∠5＝180°，∵∠3＝65°，∴∠5＝∠3＝65°，∴∠4＝180°﹣65°＝115°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）3．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，直線a、b被直線l所截，且a∥b，∠1＝（5x﹣20）°，∠2＝（3x+20）°，那么∠1＝80°．【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可知∠1＝∠2，求出x即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2（兩直線相等，同位角相等），∴（5x﹣20）°＝（3x+20）°，∴x＝20°，∴∠1＝80°，故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點(diǎn)F，若∠AFC的余角等于2∠B的補(bǔ)角，則∠BAH的度數(shù)是60°．【分析】首先設(shè)∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的補(bǔ)角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），繼而求得答案．【解答】解：設(shè)∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°，∵∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點(diǎn)F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥FN∥BM∥CE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y(tǒng)°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠B的補(bǔ)角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°，故答案為：60°【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補(bǔ)角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．5．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b∥c，△ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線b、c上，如果∠ABC＝60°，邊BC與直線b的夾角∠1＝25°，那么邊AB與直線a的夾角∠2＝35度．【分析】證明∠ABC＝∠1+∠2即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，∵a∥b∥c，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠ABC＝∠2+∠1．∵ABC＝60°，∠1＝25°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°，故答案為35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．6．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，直線a∥b且直線c與a、b相交，若∠1＝70°，則∠2＝110°．【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠3即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，故答案為110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共9小題）7．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，試說(shuō)明DE∥AC的理由．解：因?yàn)镈F∥AB（已知），所以∠1+∠DEA＝180°（兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)椤?＝∠A（已知），所以∠A+∠DEA＝180°（等量代換）．所以DE∥AC（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線平行）．【分析】根據(jù)平行線的判定、等量代換及平行線的判定逐一求解即可．【解答】解：因?yàn)镈F∥AB（已知），所以∠1+∠DEA＝180°（兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)椤?＝∠A（已知），所以∠A+∠DEA＝180°（等量代換）．所以DE∥AC（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線平行）．故答案為：已知，∠DEA，兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，∠DEA，等量代換，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)及平行線的判定、等量代換．8．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，直線MN分別交直線AB、CD于點(diǎn)E、F，射線EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE，試說(shuō)明EG∥FH的理由．解：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠AEF＝∠DFE（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)樯渚€EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE（已知），所以∠GEF＝∠AEF，∠EFH＝∠EFD（角平分線的定義）．所以∠GEF＝∠EFH（等式性質(zhì)）．所以EG∥FH（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及平行線的判定逐一求解即可．【解答】解：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠AEF＝∠DFE（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)樯渚€EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE（已知），所以∠GEF＝∠AEF，∠EFH＝∠EFD（角平分線的定義）．所以∠GEF＝∠EFH（等式性質(zhì)）．所以EG∥FH（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．故答案為：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；GEF；EFH；角平分線的定義；∠GEF＝∠EFH；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及平行線的判定．9．（2021春?楊浦區(qū)期中）已知：AB∥CD，截線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．（1）如圖①，點(diǎn)E在線段MN上，設(shè)∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿(mǎn)足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數(shù)；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；請(qǐng)寫(xiě)出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線NT上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DCP與∠BMT的平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫(xiě)出答案）．【分析】（1）由非負(fù)性可求α，β的值，由平行線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作直線EH∥AB，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的數(shù)量可求解；（3）由平行線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【解答】解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，∴α＝30，β＝60，∵AB∥CD，∴∠AMN＝∠MND＝60°，∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．理由如下：過(guò)點(diǎn)E作直線EH∥AB，∵DF平分∠CDE，∴設(shè)∠CDF＝∠EDF＝x°；∵EH∥AB，∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，即∠DEF+2∠CDF＝150°；（3）如圖3，設(shè)MQ與CD交于點(diǎn)E，∵M(jìn)Q平分∠BMT，QC平分∠DCP，∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，∴∠CPM＝2∠Q，∴∠Q與∠CPM的比值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．10．（2021春?普陀區(qū)期中）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)M在如圖①的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系．解：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB．（根據(jù)如圖填射線MN的畫(huà)法）因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．所以∠D＝∠NMD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（請(qǐng)繼續(xù)完成接下去的說(shuō)理過(guò)程）（2）當(dāng)點(diǎn)M在如圖②的位置時(shí)，∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是∠MAB﹣∠D＝90°（直接寫(xiě)出答案）；（3）在（2）的條件下，如圖③，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為點(diǎn)E，∠EMA與∠EMD的平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問(wèn)題（直接寫(xiě)出答案）；圖中與∠MAB相等的角是∠EMD，∠FMG＝45度．【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過(guò)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMB+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°．故答案為：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB；MN，AB，CD；如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行．（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）如圖③，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．故答案為：∠MAB＝∠EMD．∵M(jìn)F平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵M(jìn)G平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．11．（2021春?上海期中）如圖，已知∠A＝∠C，EF∥DB．說(shuō)明∠AEF＝∠D的理由．解：因?yàn)椤螦＝∠C（已知），所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠D＝∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又因?yàn)镋F∥DB（已知），所以∠AEF＝∠B（兩直線平行，同位角相等）．又因?yàn)椤螪＝∠B（已證），所以∠AEF＝∠D（等量代換）．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可說(shuō)明理由．【解答】解：因?yàn)椤螦＝∠C（已知），所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．所以∠D＝∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又因?yàn)镋F∥DB（已知），所以∠AEF＝∠B（兩直線平行，同位角相等）．又因?yàn)椤螪＝∠B（已證），所以∠AEF＝∠D（等量代換）．故答案為：CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；等量代換．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．12．（2021春?濟(jì)寧期末）如圖，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°．請(qǐng)?zhí)顚?xiě)∠CGD＝∠CAB的理由．∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定義），∴∠ADC＝∠EFC，∴AD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠3+∠2＝180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等），∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠CGD＝∠CAB．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出AD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：∵AD⊥BC