學(xué)透難點人教版八年級下冊期末備考各章節(jié)難點突破題集

學(xué)透難點2024年人教版八年級下冊期末備考各章節(jié)難點突破題集答案與解析:1．已知：等邊中，D為延長線上一點，連接，點E在上，連接，．(1)如圖1，連接，求證：平分；(2)如圖2，點F為線段上一點，連接交于點G，若點G為中點，求證：；(3)如圖3，點F為線段上一動點，作F關(guān)于的對稱點，連接．交于點，點D在的延長線上運動，始終滿足，連接交于點G，當取得最大值時，此時，求整個運動過程中的最小值．【要點分析】（1）在上取一點P，使，利用是等邊三角形，證得，利用全等三角形的性質(zhì)證得是等邊三角形即可證得平分；（2）在上取一點P，使，過點F作交于Q，證明和，即可得出結(jié)論；（3）如圖3，在上取一點P，使，過點F作交于N，證得，得到，當時，最小，則最小，過點C作于H，結(jié)合已知即可求得整個運動過程中的最小值．【解題過程】（1）證明：在上取一點P，使，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴平分；（2）證明：過點F作交于Q，∵，∴，∵點G為中點，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖3，在上取一點P，使，過點F作交于N，∴，∴，由（2）知，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當時，最小，則最小，過點C作于H，∵是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，即整個運動過程中的最小值為6．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵2．先閱讀，再解答:由可以看出，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號：_____．（直接寫結(jié)果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算下列式子的值：【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.【要點分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義求解；（2）利用分母有理化計算；（3）通過比較它們的倒數(shù)大小進行判斷，利用分母有理化得到；

，然后進行大小比較；（4）先根據(jù)規(guī)律化簡第一個括號中的式子，再利用平方差公式計算即可．【解題過程】解：（1）1的有理化因式是+1；（2）；（3），，∵∴>∴<；（4）原式===20181=2017．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．3．若三個實數(shù)x，y，z滿足xyz≠0，且x+y+z＝0，則有：＝|++|．例如：＝＝|++|＝請解決下列問題：（1）求的值．（2）設(shè)S＝++…+，求S的整數(shù)部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，當+|﹣﹣|取得最小值時，求x的取值范圍．【答案】（1）；（2）2019；（3）【要點分析】（1）根據(jù)范例中提供的計算方法進行計算即可；（2）將原式進行化簡，再確定整數(shù)部分；（3）將原式化簡為||+||，再根據(jù)||+||取最小值時，確定x的取值范圍．【解題過程】解：（1）＝＝|++|＝；（2）S＝++…+，＝++…+，＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，＝2019+，故整數(shù)部分為2019；（3）由題意得，+|﹣﹣|，＝|++|+|﹣﹣|，＝||+||，又y+z＝3yz，原式＝||+||，因為||+||取最小值，所以﹣3≤≤3，而x＞0，因此，，答：x的取值范圍為．【點評】本題考查了分式的加減法、實數(shù)的運算、二次根式的運算，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)字間的變化規(guī)律，準確計算．4．在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個二次根式的平方的形式.比如：.善于動腦的小明繼續(xù)探究：當為正整數(shù)時，若，則有，所以，.請模仿小明的方法探索并解決下列問題：（1）當為正整數(shù)時，若，請用含有的式子分別表示，得：，；（2）填空：=；（3）若，且為正整數(shù)，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）或46.【解題過程】試題要點分析：（1）把等式右邊展開，參考范例中的方法即可求得本題答案；（2）由（1）中結(jié)論可得：，結(jié)合都為正整數(shù)可得：m=2，n=1，這樣就可得到：；（3）將右邊展開，整理可得：，結(jié)合為正整數(shù)，即可先求得的值，再求的值即可.試題解析：（1）∵，∴，∴；（2）由（1）中結(jié)論可得：，∵都為正整數(shù)，∴或，∵當m=1，n=2時，，而當m=2，n=1時，，∴m=2，n=1，∴；（3）∵，∴，，又∵為正整數(shù)，∴，或者，∴當時，；當，，即的值為：46或14.5．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當，時，∵，∴，當且僅當時取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當時，求的最小值．（2）當時，求的最大值．（3）當時，求的最小值．【答案】（1）2；（2）2；（3）11【要點分析】（1）根據(jù)閱讀材料計算；（2）把化為，根據(jù)閱讀材料計算；（3）把化為，根據(jù)閱讀材料計算．【解題過程】解：（1）當時，，當時，的最小值是2；（2）當時，，，，當時，的最大值是；（3），，的最小值是8，的最小值是11，當時，的最小值是11．【點評】本題考查的是配方法的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關(guān)鍵．6．【閱讀理解】勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠．她反映了直角三角形的三邊關(guān)系即直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長的平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方．也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為和，斜邊為，那么．迄今為止，全世界發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明方法約有400種．如：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”（如圖1），利用三個直角三角形拼成一個直角梯形，于是直角梯形的面積可以表示為或者是，因此得到，運用乘法公式展開整理得到．

【嘗試探究】（1）其實我國古人早就運用各種方法證明勾股定理，如圖2用四個直角三角形拼成正方形，中間也是一個正方形，其中四個直角三角形直角邊分別為、，斜邊長為，請你根據(jù)古人的拼圖完成證明．（2）如圖3是2002年在中國北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標，利用此圖也能證明勾股定理，其中四個直角三角形直角邊分別為、，斜邊長為，請你幫助完成．【實踐應(yīng)用】（3）已知、、為的三邊，試比較代數(shù)式與的大小關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）代數(shù)式與的大小關(guān)系是相等．【要點分析】嘗試探究（1）根據(jù)圖形面積的不同求法即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖形面積的不同求法即可得到結(jié)論；實踐應(yīng)用（3）分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解題過程】解：嘗試探究（1）圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，；（2）圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，；實踐應(yīng)用]（3），，代數(shù)式與的大小關(guān)系是相等．【點評】本題考查了勾股定理的證明，此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與要點分析【提出問題】已知，求的最小值【要點分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為和的線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題．【解決問題】(1)如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形，P為邊上的動點．設(shè)，則．則______+______的線段和；(2)在（1）的條件下，已知，求的最小值；(3)【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【要點分析】（1）根據(jù)題意將式子轉(zhuǎn)化為線段長度之和即可；（2）作點關(guān)于的對稱點，連接，則的最小值即為的長，利用勾股定理求出的長即可；（3）構(gòu)造圖形，使得則，則當點、、三點共線時，的最大值為，延長，交于，作于，利用勾股定理求出即可．【解題過程】（1）解：由題意可得：的線段和；（2）作點關(guān)于的對稱點，連接，則，則的最小值即為的長，在中，由勾股定理得，，即的最小值為；故答案為：；（3），如圖，，，，，，設(shè)，則，當點、、三點共線時，的最大值為，延長，交于，作于，可得，，由勾股定理得，，的最大值為．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會利用轉(zhuǎn)化思想解決問題．8．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【要點分析】（1）①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【解題過程】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點評】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．9．數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．(1)【思想應(yīng)用】已知m，n均為正實數(shù)，且，求的最小值．通過要點分析，小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，，，，，，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，DE，設(shè)，．①用含m的代數(shù)式表示，用含n的代數(shù)式表示；②據(jù)此寫出的最小值；(2)【類比應(yīng)用】根據(jù)上述的方法，代數(shù)式的最小值是；(3)【拓展應(yīng)用】①已知a，b，c為正數(shù)，且，試運用構(gòu)圖法，畫出圖形，并寫出的最小值；②若a，b為正數(shù)，寫出以，，為邊的三角形的面積．【答案】(1)①，；②(2)20(3)①畫圖見解析，；②【要點分析】（1）①利用勾股定理可得和的長；②利用三角形三邊的關(guān)系得到（當且僅當、、共線時取等號），作交的延長線于，易得四邊形為長方形，利用勾股定理計算出，從而得到結(jié)論；（2）利用（1）中的方法畫出圖形，設(shè)，，，，則，利用勾股定理得到，，；根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到而（當且僅當、、共線時取等號），作交的延長線于，易得四邊形為矩形，利用勾股定理計算出即可得到代數(shù)式的最小值；（3）①利用類比的方法，仿照（1）的方法畫出邊長為1的正方形，再利用兩點之間線段最短即可得出結(jié)論；②利用類比的方法，仿照（1）的方法畫出邊長，的長方形，利用勾股定理構(gòu)圖解答即可．【解題過程】（1）解：①在中，，在中，，故答案為：，；②連接，由①得：，而（當且僅當、、共線時取等號），作交的延長線于，如圖1，可得四邊形為長方形，，，在中，，的最小值為，即的最小值為；故答案為：；（2）如圖，設(shè)，，，，則，在中，，在中，；，而（當且僅當、、共線時取等號），作交的延長線于，易得四邊形為矩形，，，在中，，的最小值為20，即的最小值為20．故答案為：20；（3）畫出邊長為1的正方形，在邊上截取出長為，．的線段，作圖如下：則，，，，，利用兩點之間線段最短可知：（當且僅當、、、共線時取等號），，的最小值為，的最小值為；②分別以，為邊長作出矩形，則，，取的中點為，的中點為，連接，，，如圖，則，，，，，，，以，，為邊的三角形的面積，，以，，為邊的三角形的面積為，故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱最短路線問題：靈活運用兩點之間線段最短或垂線段最短解決此類問題．也考查了勾股定理和類比的方法．10．閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點、的距離記作，如果、是平面上任意兩點，我們可以通過構(gòu)造直角三角形來求間的距離．如下左圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線、和、，垂足分別是、、、，直線交于點Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐標系內(nèi)任意兩點、間的距離公式為：______．(2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點間距離公式計算點，之間的距離為______．利用上面公式解決下列問題：(3)在平面直角坐標系中的兩點，，P為x軸上任一點，求的最小值和此時點P的坐標；(4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點間的距離公式，求代數(shù)式的最小值（直接寫出答案）．【答案】(1)(2)5(3)，(4)【要點分析】（1）根據(jù)題干內(nèi)容回答即可；（2）直接利用兩點之間距離公式直接求出即可；（3）利用軸對稱求最短路線方法得出點位置，進而求出的最小值；（4）根據(jù)原式表示的幾何意義是點到點和的距離之和，當點在以和為端點的線段上時其距離之和最小，進而求出即可．【解題過程】（1）解：閱讀材料可得：；（2）平面直角坐標系內(nèi)任意兩點，，，間的距離公式為：，點，之間的距離為：；故答案為：5；（3）作點關(guān)于軸對稱的點，連接，直線于軸的交點即為所求的點，的最小值就是線段的長度，然后根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結(jié)論．，，，設(shè)直線的一次函數(shù)表達式為，把代入解得，當時，解得，即，，即為的最小值為．故答案為：；（4）原式，故原式表示點到和的距離之和．由兩點之間線段最短，點在以和為端點的線段上時，原式值最?。霉娇傻?，原式．【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點之間距離問題是解題關(guān)鍵．11．在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若點為線段上的動點點不與點重合，連接，過點作交直線于點．①如圖2，當點為線段的中點時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當點在線段上時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【要點分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，再由平行四邊形的判定即可得證；（2）①連接，可知是等腰直角三角形，再證明，利用全等三角形性質(zhì)即可得到；②過點作交于點，首先證明，得，進而再證明是等腰直角三角形即可得到結(jié)論．【解題過程】（1）證明：，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①，理由如下：連接，如圖所示：由（1）知是等腰直角三角形，當點為線段的中點時，，，，，，，，，，，；②證明：過點作交于點，如圖所示：，，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，，在中，，則，，．【點評】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，四邊形為菱形，．，，．(1)點A坐標為，四邊形的面積為；(2)如圖2，點E在線段上運動，為等邊三角形．①求證：，并求的最小值；②點E在線段上運動時，點F的橫坐標是否發(fā)生變化？若不變，請求出點F的橫坐標．若變化，請說明理由．【答案】(1)，(2)①證明見解析；的最小值為；②不變，點F的橫坐標為【要點分析】（1）先求出，，再由菱形的性質(zhì)得到，則，進而由梯形面積公式可得（2）設(shè)交于J，由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意易證，都是等邊三角形，即得出，從而可證．再結(jié)合，即可證，得出，即說明當時，的值最?。詈蠼Y(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；②過點F作于H．由全等的性質(zhì)可得，即易證，得出，即說明點F的橫坐標為，不變．【解題過程】（1）解：∵，，，∴，，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）①證明：如圖，設(shè)交于J．∵四邊形是菱形，∴，，，∴，都是等邊三角形，∴，∴.∵，∴，∴，∴當時，的值最?。?，∴，∴∴AF的最小值為．②點F的橫坐標不變，理由如下：如圖，過點F作于H．∵，∴．∵，∴，∴，∴點F的橫坐標為，不變．【點評】本題主要考查了坐標與圖形，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．13．【綜合與實踐】課本頁安排這樣的數(shù)學(xué)活動：折紙作角：如果我們身旁沒有量角器或者三角尺，又需要做等大小的角，可以采用下面的方法：動手操作：如圖1，（1）對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開；（2）再一次折疊紙片，使點A落在上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折疊，同時得到線段．觀察猜想：圖中等于的角是：（寫出一個角即可）；等于的角是：（寫出一個角即可）．推理驗證：任選以上一個猜想結(jié)論給予證明．拓展延伸：將矩形紙片換成正方形紙片，按以上步驟折疊，并延長交于點Q，連接得到圖2，若正方形邊長為6，，直接寫出的長．【答案】觀察猜想：（答案不唯一）；推理驗證：見解析；拓展延伸：【要點分析】觀察猜想：根據(jù)題意求解即可；推理驗證：如圖1，設(shè)交于點H，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求解即可；拓展延伸∶結(jié)合推理驗證，根據(jù)正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)推出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求解即可．【解題過程】解：觀察猜想：（答案不唯一）；推理驗證：如圖1設(shè)交于點H，連接，由折疊的性質(zhì)得∶，，∵四邊形是矩形，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，即，綜上所述：拓展延伸∶四邊形是正方形，由推理驗證可知，（負值已舍去），（負值已舍去）．【點評】此題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【探究與證明】成語“以不變應(yīng)萬變”中蘊含著某種數(shù)學(xué)原理．【動手操作】如圖1，是正方形的對角線，點E是上的一個動點，過點E和B作等腰直角，其中，，與射線交于點P．請完成：（1）試判斷圖1中的和的數(shù)量關(guān)系；（2）當點P在線段上時，求證：．【類比操作】如圖2，當點P在線段的延長線上時．（3）是否還成立?請判斷并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），證明見解析【要點分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；（2）如圖，過作于，作于，證明四邊形為矩形，，再證明，可得；（3）如圖，過作于，作于，同（2）理可得結(jié)論；【解題過程】解：（1）等腰直角，∴；（2）如圖，過作于，作于，∴，∵正方形，∴，，∴四邊形為矩形，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）成立，理由如下：如圖，過作于，作于，∴∵正方形，∴，，∴四邊形為矩形，，∴，∵，∴，∴，∴；15．如圖①，在矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點E出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度運動．作，交邊或邊于點Q，連接．當點Q與點C重合時，點P停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)當點P和點B重合時，線段的長為______；(2)當點Q和點D重合時，求的值；(3)當點P在邊上運動時，如圖②，求證：為定值，并求這個值；(4)作點E關(guān)于直線的對稱點F，連接、，當四邊形和矩形的重疊部分為軸對稱四邊形時，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)為定值，且這個值為1(4)或或【要點分析】（1）證明四邊形是矩形，進而在中，勾股定理即可求解；（2）利用矩形的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系求出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出結(jié)果；（3）過作于點，利用矩形的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系可證明得出，即可得出結(jié)論；（4）分三種情況討論，①如圖所示，當點在上時，②當點在上時，當，A重合時符合題意，此時如圖，③當點在上，當，重合時，此時與點重合，則是正方形，即可求解．【解題過程】（1）解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是矩形，當點和點重合時，∴，，在中，，即：；故答案為：．（2）解：當點和點重合時，

∵四邊形是矩形，∴，，，則，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴；（3）解：過作于點，則有，，又∵矩形，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；即為定值，且這個值為1；（4）解：①如圖所示，當點在上時，

∵，，在中，，則，∵，∴，，在中，，∴，解得：，當時，點在矩形內(nèi)部，∴符合題意；②當點在上時，當，A重合時符合題意，此時如圖，

則，，在中，，∴，解得：，當且時，點在矩形外部，不符合題意；③當點在上，當，重合時，此時點與點重合，則是正方形，此時；

當時，點在矩形外部，不符合題意；綜上所述，或或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，求正弦值，軸對稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在平面直角坐標系中，頂點，在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，，垂足是D，交于點E，，．請解答下列問題：(1)求點B、點C的坐標；(2)求線段的長；(3)連接．若，在坐標軸上是否存在點F，使？若存在，請直接寫出點F的個數(shù)和其中一個點F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)、；(2)10(3)存在，符合條件的點F有4個，坐標為：或或或．【要點分析】（1）由，得到且，即可求解；（2）證明，得到；（3）取的中點，過點作直線，取，過點作直線，則直線、和坐標軸的交點即為點，故共有4個，為點、以及、和軸的交點，即可求解．【解題過程】（1）解：，則且，解得：且，故點、的坐標分別為：、；（2）解：是的高，，，．軸軸，，，．，．，．，，．在和中，，∴，；（3）解：由（2）知，，則點、的坐標分別為：、，由點、的坐標得，直線的表達式為：，，故取的中點，過點作直線，取，過點作直線，則直線、和坐標軸的交點即為點，故共有4個，為點、以及、和軸的交點，∵，則直線的表達式為：，則直線和坐標軸的交點坐標為：、；同理可得直線和坐標軸的交點坐標為：、；綜上，符合條件的點有4個，坐標為：或或或．【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，難度偏大，解題過程中，注意輔助線的作法，這是解題的突破口．17．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，將直線沿y軸向上平移4個單位與直線l交于點A，與x軸交于點C．

(1)求點A坐標；(2)點，連接AD，BD，求△ABD的面積；(3)點P為線段AB上一點，點Q為線段AC延長線上一點，且，連接PQ交x軸于點E，設(shè)點P的橫坐標為m，四邊形APEC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不需求自變量的取值范圍）．【答案】(1)點A的坐標為(2)18(3)【要點分析】（1）由一次函數(shù)圖象的平移可求得平移后的直線解析式，與直線l的解析式聯(lián)立起來即可求得點A的坐標；（2）設(shè)直線l交y軸于點F，由割補法得，即可求得結(jié)果．（3）過點P作軸于F，過Q作于G，由判定，可得；再由證明，可得；設(shè)點P的坐標，則可得，由即可得到函數(shù)關(guān)系式．【解題過程】（1）解：直線沿y軸向上平移4個單位后的解析式為：，解方程組，得：，∴點A的坐標為；（2）解：設(shè)直線l交y軸于點F，如圖，對于，令，得；令，得；即，，∴，；∵，∴∴，則；

（3）解：如圖，過點P作軸于F，過Q作于G，在中，令，得，∴，∴；∵，，∴，∴；∵，，∴，∴；∴；∵，，∴，∴；設(shè)點P的坐標為，則，；∴．

【點評】本題為一次函數(shù)的綜合，考查一次函數(shù)圖象點的坐標特征，割法求三角形面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．18．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B，將沿直線對折，使點A和點B重合，直線與x軸交于點C，與交于點D．(1)求A，B兩點的坐標：(2)求的長(3)設(shè)P是坐標軸上一動點，若使是直角三角形，直接寫出點P的坐標（不需計算過程）【答案】(1)(2)(3)點P的坐標為或或【要點分析】（1）在中，分別令及，即求得A、B的坐標；（2）設(shè)，由題意得的長，在中，由勾股定理建立方程即可求解；（3）由（2）知得點C的坐標，可求得D的坐標，進而求出直線的解析式；當點P為直角頂點時，則P與O重合；當A為直角頂點時，則點P在y軸上，可求得直線的解析式，從而求得點的坐標；當B為直角頂點時，則點P在x軸上，同理可求得點的坐標，綜合上述情況即可．【解題過程】（1）解：在中，令，得；令，得，∴；（2）解：∵，∴；設(shè)，則；由折疊性質(zhì)得：，在中，由勾股定理得：，解得：，即；（3）解：由（2）知，點C的坐標為，由折疊知，點D為中點，∴D的坐標為；設(shè)直線的解析式為，把C、D坐標代入得：，解得：，即直線的解析式為；當點P為直角頂點時，則P與O重合，此時坐標為；如圖，當A為直角頂點時，則點P在y軸上，∵，∴設(shè)直線的解析式為，把點A坐標代入得，即直線的解析式為，∴點的坐標為；當B為直角頂點時，則點P在x軸上，∵，∴設(shè)直線的解析式為，把點B坐標代入得，即直線的解析式為，當時，，∴點的坐標為；綜上，點P的坐標為或或．【點評】本題是一次函數(shù)的綜合，考查了一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，求一次函數(shù)解析式，直角三角形，折疊的性質(zhì)，勾股定理，兩一次函數(shù)圖象平行的性質(zhì)等知識，涉及分類討論思想．有一定的綜合性與難度．19．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點．(1)直接寫出點，的坐標：（，），（，）(2)點是軸上一點，若的面積為，求點的坐標；(3)如圖，過軸正半軸上的動點作直線軸，點在直線上，若以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，請求出的值．【答案】(1)4，0；；(2)或；(3)或或.【要點分析】（）把代入求點的坐標，把代入求點的坐標；（）過點作軸，垂足為，由的面積為，求的長度，從而得到點的坐標；（）由條件分，；②，；，，再通過全等三角形的判定和性質(zhì)求出邊的長度，從而得到的值；本題考查求一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，通過三角形的面積求坐標，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點的應(yīng)用及分類討論．【解題過程】（1）把代入，解得，∴點的坐標為把代入，解得，∴點的坐標為，故答案為：4，0；；（2）過點作軸，垂足為，∵的面積為，∴，即，解得，∵點，，∴點的坐標為或；（3）當，時，過點作軸，垂足為，交直線于點，∵軸，直線軸,∴，∴，∵，，∴∵，，∴，∴，∵，，∴，∴∴，當，時，過點作軸,垂足為，過點作軸，垂足為同理可證，∵，∵，，∴，∴，當，時，過點C作直線，垂足為，過點作,垂足為，同理可證，∴，設(shè)，∵，，∵，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，若以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，或或.20．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，直線經(jīng)過點，且與軸交于點．(1)求直線的表達式；(2)點為射線上一點，過點作軸交于點，且，設(shè)點的橫坐標為．①求的值；②在軸上取點，在直線上取點，在平面內(nèi)取點，使得點，，，構(gòu)成的四邊形是以為對角線的正方形，直接寫出此正方形的面積．【答案】(1)(2)①；②正方形的面積為或450．【要點分析】本題第一問考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，第二問考查了用點的坐標表示線段長度以及正方形的性質(zhì)，運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題．（1）由點是與軸的交點，可求得其坐標，再由給定的點坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的表達式；（2）①分別表示出，的坐標，再根據(jù)建立方程，可求得的值．②由，兩點在直線上，且點為定點作為突破口，以為對角線分兩類討論，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，可解決問題．【解題過程】（1）解：與軸交于點，．又，且經(jīng)過，兩點，則，解得．直線的表達式：；（2）解：①點為射線上一點，，∵軸交于點，則．，，，又，，解得：；②由①知：．當為正方形的對角線，點在點的右上方時，如圖，分別過點，作軸垂線，垂足為，．，∴，則，令，則，．在中，．即，解得．則．所以．當為正方形的對角線，點在點的左下方時，如圖，方法同上，令，則，又，，則，所以，解得．則．即．綜上所述：正方形的面積為或450．21．某校為了解九年級同學(xué)的體育考試準備情況，隨機抽查該年級若干名學(xué)生進行體育模擬測試，根據(jù)測試成績（單位：分）繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：（1）請補全條形統(tǒng)計圖：（2）所調(diào)查學(xué)生測試成績的平均數(shù)為______，中位數(shù)為______，眾數(shù)為_____；（3）若該校九年級學(xué)生共有1500人，請估計該校九年級學(xué)生在體育模擬測試中不低于8分的學(xué)生約有多少人？【答案】1）詳見解答；（2）8.56，9，10．（3）1140人．【解析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，先算出9分學(xué)生的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；（2）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法，直接求值即可；（3）先計算抽樣學(xué)生中成績不低于8分的百分比，再估計全部九年級學(xué)生的成績情況．【解題過程】解：（1）抽樣學(xué)生中成績?yōu)?分的有10人，占抽樣學(xué)生數(shù)的20%，所以本次抽樣人數(shù)為：10÷20%=50（人），因為成績9分的人數(shù)占抽樣人數(shù)的24%，所以抽樣學(xué)生中成績?yōu)?分的有：50×24%=12（人）．補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）所調(diào)查學(xué)生測試成績的平均數(shù)為：；把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，第24、25個數(shù)都是9，所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：9；該組數(shù)據(jù)中，10分出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為：10．故答案為：8.56，9，10．（3）由扇形圖知，抽樣學(xué)生中成績不少于8分的占：20%+24%+32%=76%，所以該校九年級學(xué)生在體育模擬測試中不低于8分的學(xué)生約有：1500×76%=1140（人）．答：該校九年級學(xué)生在體育模擬測試中不低于8分的學(xué)生約有1140人．【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)及用樣本估計總體等知識點，讀懂條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，并掌握平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的求法是解決本題的關(guān)鍵．22．甲、乙兩名隊員參加射擊訓(xùn)練，成績分別被制成下列兩個統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息，整理要點分析數(shù)據(jù)如下：平均成績/環(huán)中位數(shù)/環(huán)眾數(shù)/環(huán)方差甲乙（1）寫出表格中的值：（2）分別運用表中的四個統(tǒng)計量，簡要要點分析這兩名隊員的射擊訓(xùn)練成績．若選派其中一名參賽，你認為應(yīng)選哪名隊員？【答案】（1），，，；（2）選擇乙，理由見解析【要點分析】（1）利用平均數(shù)的計算公式直接計算平均分即可；將乙的成績從小到大重新排列，用中位數(shù)的定義直接寫出中位數(shù)即可；根據(jù)乙的平均數(shù)利用方差的公式計算即可；（2）結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)、方差三方面的特點進行要點分析．【解題過程】解：（1）甲的平均成績（環(huán)），∵乙射擊的成績從小到大從新排列為：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射擊成績的中位數(shù)（環(huán)），又∵乙射擊的成績從小到大從新排列為：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射擊成績的眾數(shù)：c=8（環(huán)）其方差為：=×（16+9+1+0+3+4+9）==；（2）從平均成績看甲、乙二人的成績相等均為7環(huán)，從中位數(shù)看甲射中7環(huán)以上的次數(shù)小于乙，從眾數(shù)看甲射中7環(huán)的次數(shù)最多而乙射中8環(huán)的次數(shù)最多，從方差看甲的成績比乙的成績穩(wěn)定，綜合以上各因素，若選派一名學(xué)生參加比賽的話，可選擇乙參賽，因為乙獲得高分的可能更大．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和方差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的綜合運用．熟練掌握平均數(shù)的計算，理解方差的概念，能夠根據(jù)計算的數(shù)據(jù)進行綜合要點分析．23．為豐富同學(xué)們的課外生活，某中學(xué)開展了一次知識競賽，校學(xué)生會隨機抽取部分參賽同學(xué)的成績作為樣本，根據(jù)得分（滿分100分）按四個等級進行分類統(tǒng)計：低于60分的為“不合格”，60分以上（含）且低于80分的為“合格”；80分以上（含）且低于90分的為“良好”；90分以上（含）為“優(yōu)秀”．匯總后將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖所提供的信息，解答下列問題：(1)本次抽查的學(xué)生人數(shù)是___________人，圓心角___________．(2)補全條形統(tǒng)計圖，并指出成績的中位數(shù)落在哪個等級；(3)學(xué)校計劃給獲得“優(yōu)秀”、“良好”等級的同學(xué)每人分別獎勵價值30元、20元的學(xué)習(xí)用品，若學(xué)校共有800名學(xué)生參加本次競賽，試估計該校用于本次競賽的獎品費用．【答案】(1)50；72(2)統(tǒng)計圖見解析