第10講 二次函數(shù)與一元二次方程（3大考點）（解析版）

第10講二次函數(shù)與一元二次方程（3大考點）考點考點考向一、二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系.一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0時，相應(yīng)的自變量的值即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；（2）若拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為()，，那么對應(yīng)方程ax2+bx+c=0的兩個根即為，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可知（3）二次函數(shù)與x軸的交點情況和一元二次方程根的情況的關(guān)系具體見下表：二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點情況a＞0兩個交點一個交點沒有交點a＜0兩個交點一個交點沒有交點的值一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況有兩個不相等的實根有兩個相等的實根沒有實根二、二次函數(shù)與不等式二次函數(shù)與一元二次不等式解集的關(guān)系（1）從“形”的方面看二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標(biāo)，即為ax2+bx+c>0的解集，在x軸下方的圖象上的點的橫坐標(biāo)，即為ax2+bx+c>0的解集；從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于0時，相應(yīng)的自變量的值即為不等式ax2+bx+c>0的解集，當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于0時，相應(yīng)的自變量的值即為不等式ax2+bx+c<0的解集。（2）二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系具體見下表：拋物線的圖象時x的取值范圍或全體實數(shù)時x的取值范圍無解無解拋物線的圖象判別式b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0時x的取值范圍無解無解時x的取值范圍或全體實數(shù)考點考點精講一．拋物線與x軸的交點（共14小題）1．（2022秋?通州區(qū)校級月考）已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）把一般式配成頂點式可得到拋物線的頂點坐標(biāo)．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4）．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．2．（2022?秦淮區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m為常數(shù)），它的圖象與x軸的公共點個數(shù)的情況是（）A．有兩個公共點 B．有一個公共點 C．沒有公共點 D．無法確定【分析】先計算方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0的根的判別式得到Δ＝12＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷拋物線與x軸的公共點的個數(shù)即可．【解答】解：方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)解，∴拋物線與x軸有2個公共點．故選：A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，反過來，通過拋物線與x軸的交點坐標(biāo)確定關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．3．（2022秋?通州區(qū)校級月考）若拋物線y＝ax2﹣x+1與x軸有公共點，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜且a≠0 B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)≤且a≠0 D．a(chǎn)≥【分析】當(dāng)拋物線y＝ax2﹣x+1與x軸有公共點時，二次項系數(shù)不為零，且關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．【解答】解：根據(jù)題意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．解得a≤且a≠0．故選：C．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．4．（2022?姜堰區(qū)二模）如果a是二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2與x軸交點的橫坐標(biāo)，那么代數(shù)式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為（）A．﹣1 B．1 C．7 D．9【分析】令x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，從而可得a的值，進(jìn)而求解．【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，∴a＝2或a＝﹣1，∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為1．故選：B．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．5．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）小淇利用繪圖軟件畫出函數(shù)y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的圖象，下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的四種說法：①圖象與x軸有兩個交點；②圖象關(guān)于原點中心對稱；③最大值是3，最小值是﹣3；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小．其中，所有正確說法的序號是②③④．【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①圖象與x軸有三個交點，故①錯誤；②圖象關(guān)于原點中心對稱，故②正確；③當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，當(dāng)x＝2時，y＝﹣3，∴函數(shù)的最大值是3，最小值是﹣3，故③正確；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，故④正確．故答案為：②③④．【點評】本題考查函數(shù)的圖象，理解函數(shù)圖象的意義以及函數(shù)的對稱性以及增減性是正確判斷的前提．6．（2022?無錫）把二次函數(shù)y＝x2+4x+m的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，那么m應(yīng)滿足條件：m＞3．【分析】先求出平移后的拋物線的解析式，由平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函數(shù)y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，∴平移后的解析式為：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，∴平移后的解析式為：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴對稱軸為直線x＝1，∵平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案為：m＞3．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的幾何變換．7．（2022?宿豫區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．若點P是線段BC上的動點，過點P作直線PM∥y軸，交拋物線于點M．求線段PM的最大值．【分析】先利用對稱性得到點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣1），再把把C點坐標(biāo)代入求得a＝﹣1，則拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），則M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2﹣3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求PM的最大值．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線與x軸的一個交點A的坐標(biāo)（1，0），∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，解得a＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），則M（t，﹣t2﹣2t+3），∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，∵PM＝﹣（t+）2+，∴當(dāng)t＝﹣時，PM有最大值，最大值為．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．8．（2022?邗江區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A、B兩點，點A在點B左側(cè)，頂點在△MNR的邊上移動，MN∥y軸，NR∥x軸，M點坐標(biāo)為（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在拋物線移動過程中，點B橫坐標(biāo)的最大值為3，則a﹣b+c的最大值是（）A．15 B．18 C．23 D．32【分析】當(dāng)a＝﹣1時，y＝a﹣b+c，所以當(dāng)拋物線頂點在M上時滿足題意，拋物線頂點在R上時，由點B坐標(biāo)可得y＝a（x﹣1）2﹣4中a的值，然后可得拋物線頂點在M上時的解析式，將x＝﹣1代入求解．【解答】解：∵M(jìn)點坐標(biāo)為（﹣6，﹣2），MN＝2，∴點N坐標(biāo)為（﹣6，﹣4），∵NR＝7，∴點R坐標(biāo)為（1，﹣4），當(dāng)拋物線頂點在R上時，y＝a（x﹣1）2﹣4，由題意得此時點B坐標(biāo)為（3，0），將（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，解得a＝1，當(dāng)拋物線頂點在M上時，拋物線解析式為y＝（x+6）2﹣2，將x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的頂點式，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．9．（2022?高郵市模擬）若二次函數(shù)y＝a（x+m）2+b（a，m，b均為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸兩個交點的坐標(biāo)是（﹣2，0）和（1，0），則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝﹣1．【分析】由拋物線y＝a（x+m+2）2+b是由拋物線y＝a（x+m）2+b向左平移2個單位所得，從而可得平移后拋物線與x軸交點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：∵拋物線y＝a（x+m+2）2+b是由拋物線y＝a（x+m）2+b向左平移2個單位所得，∴拋物線y＝a（x+m+2）2+b與x軸交點坐標(biāo)為（﹣4，0），（﹣1，0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0的解是：x1＝﹣4，x2＝﹣1．故答案為：x1＝﹣4，x2＝﹣1．【點評】本題考查拋物線與x軸交點問題，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象平移規(guī)律．10．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．過點C作CD⊥y軸，交該圖象于點D．若B（8，0）、D（6，4），則△ABC的面積為20．【分析】由拋物線的對稱性及點D，B的坐標(biāo)可得點A，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：∵CD∥x軸，點A，B為拋物線與x軸交點，∴A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，C，D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∵D（6，4），∴點C坐標(biāo)為（0，4），∴拋物線對稱軸為直線x＝3，由B（8，0）可得點A坐標(biāo)為（﹣2，0），∴S△ABC＝AB?OC＝＝20，故答案為：20．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．11．（2022秋?通州區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）與x軸交于A，B兩點，且點A的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求點B的坐標(biāo)及m的值；（2）求出拋物線的頂點坐標(biāo)，并畫出此函數(shù)的示意圖；（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時x的取值范圍．【分析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B點坐標(biāo)；（2）先把解析式配成頂點式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，則拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），利用描點法畫出二次函數(shù)圖象；（3）利用圖象寫出對應(yīng)的x的范圍．【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B點坐標(biāo)為（﹣1，0）；（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，則拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），列表如下：x..．﹣10123..．y..．0﹣3﹣4﹣30..．描點、連線，（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)y＞0時，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范圍是x＜﹣1或x＞3．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．12．（2022?南京一模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a為常數(shù)，且a≠0）．（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）若點（0，y1），（3，y2）在函數(shù)圖象上，比較y1與y2的大小；（3）當(dāng)0＜x＜3時，y＜2，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）令y＝0，可得出x的兩個解，且兩個解不相等即可得出結(jié)論；（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三種情況討論即可；．（3）先求出拋物線與x軸的交點，對稱軸，頂點坐標(biāo)，然后在0＜x＜3范圍內(nèi)分a＞0和a＜0兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．【解答】（1）證明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，∵a≠0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，∵1≠1+a，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）∵點（0，y1），（3，y2）在函數(shù)圖象上，∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．∴當(dāng)a＜0或a＞1時，y1＞y2，當(dāng)a＝1時，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)0＜a＜1時，y1＜y2；（3）∵二次函數(shù)v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），由（1）可知：當(dāng)y＝0時，解得：x＝1，x＝1+a，∴二次函數(shù)的圖象交軸于（﹣1，0）和（1+a，0）兩點，對稱軸x＝﹣＝，當(dāng)x＝時，y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（，﹣），由（2）可知：當(dāng)x＝0時，y1＝a2+a，當(dāng)t＝3時，y2＝﹣2a2+4a，當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，∵0＜x＜3，∴，解得：﹣2≤a≤1，∴0＜a≤I，當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)圖象開口向下，∵對稱軸x＝，當(dāng)0＜＜3，即_2＜a＜0時，二次函數(shù)圖象在頂點處取得最大值，∴﹣＜2解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，當(dāng)≤0，即a≤﹣2，由題意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，即a＝﹣2，綜上所述，當(dāng)0＜x＜3時，y＜2，a的取值范圍是：﹣2≤a≤1，且a≠0．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與x：軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，作差法比較函數(shù)值的大小，解一元二次方程，解不等式（組）等知識，采用了分情況討論的解題方法，解題的關(guān)鍵是在某一范圍內(nèi)的函數(shù)最大值的確定．13．（2022?鹽城一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）和B（0，3），與x軸負(fù)半軸交于點C，點D是拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點D作DE⊥AB于點E，連接BF，當(dāng)點D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF時，求點D的坐標(biāo)．【分析】（1）將點A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）先確定∠BAO＝45°，再由AE＝，則AF＝2，求出F（1，0），E（2，1），求出直線DF的解析式為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，即可求D（，）．【解答】解：（1）將點A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴設(shè)直線DF的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，解得x＝或x＝，∵點D在第一象限，∴x＝，∴D（，）．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠正確利用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．14．（2022?邗江區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣x2+2x+a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)是（3，0），點D是拋物線的頂點，點P是拋物線對稱軸上的一個動點．（1）求a的值和頂點D的坐標(biāo)；（2）是否存在點P，使得以P、D、B為頂點的三角形中有兩個內(nèi)角的和等于60°？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）將點B代入解析式求得a的值，得到函數(shù)解析式，然后求得頂點的坐標(biāo)；（2）【解答】解：（1）將點B（3，0）代入y＝﹣x2+2x+a，得﹣9+6+a＝0，解得：a＝3，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴函數(shù)的頂點D的坐標(biāo)為（1，4）．（2）記對稱軸與x軸的交點為點H，則DH＝4，BH＝2，∴BD＝2，tan∠BDH＝＜，∴∠BDH＜30°，∴∠D+∠DBP＝60°或∠D+∠DPB＝60°，點P在點D的下方，設(shè)點P（1，p），則DP＝4﹣p，①如圖，當(dāng)∠D+∠DBP1＝90°時，∠BP1H＝60°，∴tan∠BP1H＝，∴p＝，∴點P1的坐標(biāo)為（1，）；②當(dāng)∠D+∠DP2B＝60°時，∠DPB1＝∠DP2B，∴△DBP1∽△DP2B，∴，即，解得：DP2＝，∴P2（1，﹣），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得二次函數(shù)的解析式．二．圖象法求一元二次方程的近似根（共5小題）15．（2021秋?沭陽縣校級月考）根據(jù)以下表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（）x00.511.52y＝ax2+bx+c﹣1﹣0.513.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【分析】利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)．【解答】解：觀察表格可知：當(dāng)x＝0.5時，y＝﹣0.5；當(dāng)x＝1時，y＝1，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1．故選：B．【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時，自變量的取值即可．16．（2021秋?沭陽縣月考）根據(jù)表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（）x00.511.52y＝ax2+bx+c﹣1﹣0.513.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【分析】利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)．【解答】解：觀察表格可知：當(dāng)x＝0.5時，y＝﹣0.5；當(dāng)x＝1時，y＝1，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1．故選：B．【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時，自變量的取值即可．17．（2021?鹽都區(qū)二模）下表是一組二次函數(shù)y＝x2+3x﹣5的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值：x11.21.31.4y﹣10.040.591.16那么方程x2+3x﹣5＝0的一個近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：觀察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一個近似根為1.2，故選：C．【點評】此題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?通州區(qū)校級月考）閱讀下列材料我們通過下列步驟估計方程2x2+x﹣2＝0的根所在的范圍．第一步：畫出函數(shù)y＝2x2+x﹣2的圖象，發(fā)現(xiàn)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．第二步：因為當(dāng)x＝0時，y＝﹣2＜0；當(dāng)x＝1時，y＝1＞0，所以圖象與x軸的一個公共點的橫坐標(biāo)在0，1之間，所以可確定方程2x2+x﹣2＝0的一個根x1所在的范圍是0＜x1＜1．第三步：通過取0和1的平均數(shù)縮小x1所在的范圍；取x＝＝0.5，因為當(dāng)x＝0.5時，y＝﹣1＜0，又因為當(dāng)x＝1時，y＞0，所以0.5＜x1＜1．（1）請仿照第二步，通過運算驗證2x2+x﹣2＝0的另一個根x2所在范圍是﹣2＜x2＜﹣1；（2）小明在﹣2＜x2＜﹣1的基礎(chǔ)上，重復(fù)應(yīng)用第三步中取平均數(shù)的方法，將x2所在范圍縮小，得到的近似值約為﹣1.6，請問小明的這個結(jié)論是否正確，并說明理由．【分析】（1）計算x＝﹣2和x＝﹣1時，y的值，確定其x2所在范圍是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根據(jù)第三步﹣2和﹣1的平均數(shù)確定x＝﹣，計算x＝﹣時y的值，得﹣＜x2＜﹣1，即可判斷小明的這個結(jié)論不正確．【解答】解：（1）因為當(dāng)x＝﹣2時，y＞0；當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，所以方程2x2+x﹣2＝0的另一個根x2所在的范圍是﹣2＜x2＜﹣1．（2）小明的這個結(jié)論不正確，理由如下：取x＝＝﹣，因為當(dāng)x＝﹣時，y＝2×﹣﹣2＝1＞0，又因為當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣1＜0，所以﹣＜x2＜﹣1．故小明的這個結(jié)論不正確．【點評】本題為閱讀理解題，主要考查利用圖象法求一元二次方程的近似值、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)等知識的綜合應(yīng)用．在解題時注意對題目中所給知識的正確理解，考查了閱讀所給材料的理解和運用的能力，運用類比的方法，有一定的難度，注意數(shù)形結(jié)合、19．（2021秋?灌云縣校級月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣10123…y…﹣1﹣﹣2﹣…根據(jù)表格中的信息，完成下列各題（1）當(dāng)x＝3時，y＝﹣1；（2）當(dāng)x＝1時，y有最小值為﹣2；（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數(shù)值的大?。簓1＞y2（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y≤2．【分析】（1）由表中給出的三組數(shù)據(jù)，列方程組求得二次函數(shù)的解析式，再求出x＝3時，y的值；（2）實際上是求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；（3）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；再進(jìn)行判斷即可；（4）根據(jù)拋物線的頂點，當(dāng)x＝5時，y最大，當(dāng)x＝1時，y最小．【解答】解：（1）由表得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣，當(dāng)x＝3時，y＝＝﹣1；（2）將y＝x2﹣x﹣配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，∵a＝＞0，∴函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝1時，最小值為﹣2；（3）令y＝0，則x＝±2+1，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距離大于x2到1的距離，∴y1＞y2（4）∵拋物線的頂點為（1，﹣2），∴當(dāng)x＝5時，y最大，即y＝2；當(dāng)x＝1時，y最小，即y＝﹣2，∴函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y≤2；故答案為﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，是中考壓軸題，難度較大．三．二次函數(shù)與不等式（組）（共11小題）20．（2022?淮陰區(qū)校級一模）已知關(guān)于x的一元二次方程為x2+px+q＝0的根為x1＝﹣2，x2＝4．則關(guān)于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集為（）A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4【分析】把不等式化為（x+2）（x﹣4）＞0，求出解集即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根為x1＝﹣2，x1＝4，∴不等式x2+px+q＞0可化為（x+2）（x﹣4）＞0．解得x＜﹣2或x＞4，∴關(guān)于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集為x＜﹣2或x＞4．故選：A．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，該題利用了“十字相乘法”對所求不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．21．（2021秋?徐州期末）如圖，已知函數(shù)y1＝kx+b與y2＝ax2+bx+c的圖象交于A（0，﹣1）、B（4，3）兩點，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4【分析】根據(jù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：已知兩函數(shù)圖象交于A（0，﹣1）、B（4，3）兩點，∴當(dāng)有y1＞y2時，有0＜x＜4．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．22．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）函數(shù)y＝﹣x3+x的部分圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是x＜﹣1或0＜x＜1．【分析】先解出方程﹣x3+x＝0，根據(jù)函數(shù)圖象解答即可．【解答】解：當(dāng)y＝0時，﹣x3+x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，由圖象可知：當(dāng)x＜﹣1或0＜x＜1時，y＞0，故答案為：x＜﹣1或0＜x＜1．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．23．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．【分析】根據(jù)兩圖象交點橫坐標(biāo)求解．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3時，拋物線在直線下方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，通過圖象求解．24．（2022秋?啟東市校級月考）在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程下面我們嘗試?yán)弥暗膶W(xué)習(xí)經(jīng)驗研究函數(shù)y＝x2的性質(zhì)及其應(yīng)用，請按要求完成下列各題．（1）函數(shù)y＝x2中自變量x的取值范圍是：x取任意實數(shù)．（2）請同學(xué)們通過列表、描點、連線畫出此函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，寫出此函數(shù)的三條性質(zhì)；（4）寫出不等式﹣x+6＜x2的解集．【分析】（1）二次函數(shù)的自變量x的取值范圍是任意實數(shù)；（2）列表、描點、連線畫出此函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合圖象可從函數(shù)的增減性及對稱性等進(jìn)行分析；（4）再畫出一次函數(shù)y＝﹣x+6的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）二次函數(shù)的自變量x的取值范圍是任意實數(shù)，故答案為：x取任意實數(shù)．（2）列表：x…﹣2﹣1012…y…41014…描點、連線：（3）答案不唯一，如：①圖象關(guān)于y軸對稱；②此函數(shù)有最小值0；③當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．（4）如上圖，再畫出一次函數(shù)y＝﹣x+6的圖象，可以看出兩個圖象的交點坐標(biāo)為（﹣3，9）和（2，4），∴不等式﹣x+6＜x2的解集為：x＜﹣3或x＞2．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題，利用描點法畫一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象是解答此題的關(guān)鍵．25．（2022?建鄴區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2+bx+c＝0的兩個根；（2）寫出方程ax2+bx+c＜0時x的取值范圍；（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；（4）若方程ax2+bx+c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)圖象可知x＝1和3是方程的兩根；（2）找出函數(shù)值小于0時x的取值范圍即可；（3）首先找出對稱軸，然后根據(jù)圖象寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；（4）若方程ax2+bx+c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則k必須小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，據(jù)此求出k的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可知，圖象與x軸交于（1，0）和（3，0）點，則方程ax2+bx+c＝0的兩個根為1和3；（2）由圖象可知當(dāng)x＜1或x＞3時，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由圖象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為x＝2，開口向下，即當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減?。唬?）由圖象可知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值為2，若方程ax2+bx+c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則k必須小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，則k＜2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式以及拋物線與x軸的交點的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點，此題難度不大．26．（2022?江都區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣1，交y軸于點（0，﹣1），有如下結(jié)論：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（，y2）在該函數(shù)的圖象上，則y1＞y2；④關(guān)于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集為x＞0或x＜﹣2．其中結(jié)論正確的是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置可判斷①②，根據(jù)點A，B到對稱軸的距離及拋物線開口方向可判斷③，由拋物線與y軸的交點及開口方向可判斷④．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵拋物線與y軸交點為（0，﹣1），∴c＝﹣1∴abc＜0，①正確，∵b＝2a，∴b﹣2a＝0，②正確．∵A（﹣3，y1）到對稱軸的距離小于B（，y2）到對稱軸的距離，拋物線開口向上，∴y1＜y2，③錯誤．∵拋物線與y軸的交點為（0，﹣1），拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸另一交點坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴不等式ax2+bx+c+1＞0的解集為x＞0或x＜﹣2，④正確．故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．27．（2022秋?通州區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與y軸交于點C，則不等式ax2﹣2ax＞0的解集是0＜x＜2．【分析】由圖象可得a＜0，根據(jù)拋物線y＝ax2﹣2ax與x軸的交點坐標(biāo)求解．【解答】解：由拋物線開口向下可得a＜0，設(shè)y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），則x＝0或x＝2時，y＝0，∴拋物線y＝ax2﹣2ax開口向下，與x軸交點坐標(biāo)為（0，0），（2，0），∴0＜x＜2時，y＞0，即不等式ax2﹣2ax＞0的解集是0＜x＜2，故答案為：0＜x＜2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．28．（2022?相城區(qū)校級自主招生）已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于A（﹣2，p），B（1，q）兩點，則關(guān)于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)a＞0時，當(dāng)x＜﹣2或x＞1時，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+c的下方，∴關(guān)于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1；②當(dāng)a＜0時，當(dāng)﹣2＜x＜1時，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+c的下方，∴關(guān)于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．綜上，關(guān)于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．故答案為：x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?啟東市校級月考）如圖，直線y＝﹣2x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A和點B．（1）求拋物線的解析式；（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集；（3）若點C（1，y1），D（m，y2）都在拋物線上，當(dāng)y2＞y1時，求m的取值范圍．【分析】（1）由一次函數(shù)解析式求出點A，B坐標(biāo)，再通過待定系數(shù)法求解．（2）由圖象中拋物線在直線上方時x的取值范圍求解．（3）由拋物線解析式求出拋物線對稱軸，根據(jù)點C坐標(biāo)求出其關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+8得y＝8，∴點B的坐標(biāo)為（0，8），把y＝0代入y＝﹣2x+8得0＝﹣2x+8，解得x＝4，∴點A坐標(biāo)為（4，0），將（0，8），（4，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+8．（2）由圖象可得不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集為x＜0或x＞4．（3）∵y＝x2﹣6x+8，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝3，點C（1，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點C'坐標(biāo)為（5，y1），∵拋物線開口向上，∴當(dāng)y2＞y1時，m＜1或m＞5．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．30．（2022?建鄴區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（p+1）x+q的圖象經(jīng)過（1，0）、（0，﹣5）兩點．（1）求p、q的值；（2）點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數(shù)圖象上兩點，若x1+x2＝2，求證y1+y2＞0．【分析】（1）將（1，0）、（0，﹣5）代入函數(shù)解析式求解．（2）由拋物線解析式及x1+x2＝2，可得y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．【解答】解：（1）將（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，解得．（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數(shù)圖象上兩點，∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，∵x1+x2＝2，∴x2＝2﹣x1，∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，∵點A，B是圖象上兩點，∴x1≠x2≠1，∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇寶應(yīng)·九年級期中）根據(jù)下面表格中的對應(yīng)值判斷關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（）x3.243.253.26ax2＋bx＋c﹣0.020.010.03A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26【答案】B【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.01，則x取2.24到2.25之間的某一個數(shù)時，使ax2+bx+c＝0，于是可判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．【詳解】解：∵x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02<0；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.01>0，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．故選：B．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根，掌握估算一元二次方程的近似解是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇海安·九年級期中）若二次函數(shù)的圖象與x軸相交于(1，0)，(4，0)兩點，則一元二次方程的解為（）A．x1=-1，x2=-4 B．x1=1，x2=4C．x1=-1，x2=4 D．x1=1，x2=-4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點即可直接求得方程的解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于（1，0），（4，0）兩點，∴y=0時，即時，方程的解為：x1=1，x2=4，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2021·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)三模）函數(shù)y＝x2+bx+c與y＝x的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④當(dāng)1＜x＜3時，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①由函數(shù)與x軸無交點，可得＜0．②當(dāng)x=1時，y=1+b+c=1．③當(dāng)x=3時，y=9+3b+c=3．④當(dāng)1＜x＜3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得＜x，即可求出答案．⑤根據(jù)對稱軸方程得到b的值；由拋物線與y軸的交點坐標(biāo)得到c的值，代入數(shù)值進(jìn)行比較即可．【詳解】①∵函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸無交點，∴b2﹣4c＜0；故①錯誤；②當(dāng)x＝1時，y＝1+b+c＝1，故②錯誤；③∵當(dāng)x＝3時，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；故③正確；④∵當(dāng)1＜x＜3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正確．⑤如圖所示，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是，則c＝3．對稱軸x＝＝，則b＝﹣3，所以（1+c）2＝（1+3）2＝16，b2＝（﹣3）2＝9，則（1+c）2＞b2，故⑤錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論有2個．故選：B．【點睛】本題主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點，拋物線與x軸的交點個數(shù)確定．4．（2021·江蘇灌云·九年級期中）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為任意實數(shù)，則有；④若圖象經(jīng)過點，方程的兩根為，，則．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】由圖象可知a＜0，c＞0，由對稱軸得b=2a＜0，則abc＞0，故①錯誤；當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正確；由x=-1時，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③錯誤；由題意得二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的一個交點為（-3，-2），另一個交點為（1，-2），即x1=1，x2=-3，進(jìn)而得出④正確，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖象可知：a＜0，c＞0，，∴b=2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，∴3a＜-c，故②正確；∵x=-1時，y有最大值，∴a-b+c≥am2+bm+c（m為任意實數(shù)），即a-b≥am2+bm，即a-bm≥am2+b，故③錯誤；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點（-3，-2），方程ax2+bx+c+2=0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|），∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的一個交點為（-3，-2），∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的另一個交點為（1，-2），即x1=1，x2=-3，∴2x1-x2=2-（-3）=5，故④正確．所以正確的是②④；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．5．（2021·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)九年級月考）如圖，反比例函數(shù)的圖象和二次函數(shù)圖象交于點，則不等式的解集為（）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)得出，然后分和分別對應(yīng)圖像求解即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時：，由圖得：，當(dāng)時，，有圖得：(舍去)，∴，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合，根據(jù)題意得出然后根據(jù)圖形判斷解集范圍是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級月考）如圖所示是函數(shù)的部分圖象，與軸交于點，對稱軸是直線．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）當(dāng)時，；（4），（為任意實數(shù)）．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先求出拋物線與軸的另一交點（-1，0），確定＞0，b＜0，c＜0符號，由符號法則可判斷（1）正確；利用當(dāng)=-1時的函數(shù)值可判斷（2）正確；由時，拋物線圖像在軸下方可判斷（3）正確；當(dāng)=1時，拋物線取最小值y=，利用函數(shù)圖像上任意一點的函數(shù)值可判斷（4）正確即可．【詳解】解：∵與軸交于點，對稱軸是直線，設(shè)與軸另一交點為（n,0），∴，解得，∴另一交點為（-1，0），拋物線開口向上，＞0；對稱軸在y軸右側(cè)，b＜0，拋物線與y軸交點在軸下方，則c＜0，∴，故（1）正確；當(dāng)=-1時，，故（2）正確；當(dāng)時，拋物線圖象在x軸下方，即當(dāng)時，，故（3）正確；當(dāng)=1時，拋物線取最小值=設(shè)函數(shù)圖像上任意一點的橫坐標(biāo)為m，其函數(shù)值，整理得，故（4）正確其中正確結(jié)論的個數(shù)有4個故選擇D．【點睛】本題考查拋物線的符號，函數(shù)值，不等式問題，掌握拋物線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2021·江蘇工業(yè)園區(qū)·九年級期中）如圖，拋物線y＝2x2﹣8x+6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點B，D．若直線y＝﹣x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（）A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1【答案】B【分析】根據(jù)圖象可以判斷當(dāng)直線y＝﹣x+m在過B和與C2相切之間時與兩個拋物線有三個不同的交點，求出兩個臨界值即可．【詳解】解：y＝2x2﹣8x+6，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0，解得x＝1或3，則A（1，0），B（3，0），由于將C1向右平移兩個單位得到C2，則C2的解析式為y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），由圖象知當(dāng)直線y＝﹣x+m在過B點和與C2相切之間時與兩個拋物線有三個不同的交點，∴①當(dāng)y＝﹣x+m與C2相切時，令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，即2x2﹣15x+30﹣m＝0，∴△＝152-8（30-m）=8m﹣15＝0，解得，②當(dāng)y＝﹣x+m'過點B時，即0＝﹣3+m'，解得m'＝3，綜上，當(dāng)時，直線y＝﹣x+m與C1、C2共有3個不同的交點，故選B．【點睛】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．二、填空題8．（2012·江蘇·九年級期末）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，則使成立的的取值范圍是_______________________．【答案】或【分析】找出二次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的上方時，的取值范圍即可得．【詳解】解：表示的是二次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的上方，，使成立的的取值范圍是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，讀懂函數(shù)圖象，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．9．（2020·江蘇·蘇州市金閶實驗中學(xué)校九年級期中）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是____________．【答案】-1＜x＜5【分析】觀察圖象知拋物線的對稱軸及拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸的另一個交點，再根據(jù)圖象即可求得不等式的解集．【詳解】由題圖可知，該二次函數(shù)的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標(biāo)為(5，0)∴函數(shù)圖象與軸的另一交點坐標(biāo)為(，0)∴不等式的解集是．故條案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的對稱性質(zhì)、借助二次函數(shù)圖象解一元二次不等式，數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇高淳·九年級期中）已知二次函數(shù)y＝（x－1）（x－a）（a為常數(shù)）的圖象的對稱軸是過（2，0）且平行于y軸的直線，則a的值為___．【答案】3【分析】由題意根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的軸對稱性質(zhì)求得a的值即可．【詳解】解：由二次函數(shù)y＝（x－1）（x－a）（a為常數(shù)）可知，該拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0）和（a，0）．

∵對稱軸是過（2，0）且平行于y軸的直線，即x=2，

∴，解得a=3.故答案為：3.【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)，利用拋物線的軸對稱性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021·江蘇高淳·九年級期中）已知點P（－3，m）和Q（1，m）在二次函數(shù)y＝2x2＋bx－1的圖像上．將這個二次函數(shù)圖像向上平移____單位長度后，得到的函數(shù)圖像與x軸只有一個公共點．【答案】3個【分析】根據(jù)點P（－3，m）和Q（1，m）在二次函數(shù)y＝2x2＋bx－1的圖像上，可求出，從而得到二次函數(shù)的解析式，再設(shè)將這個二次函數(shù)圖像向上平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖像與x軸只有一個公共點，然后根據(jù)判別式的意義，即可求解．【詳解】解：∵點P（－3，m）和Q（1，m）在二次函數(shù)y＝2x2＋bx－1的圖像上，∴二次函數(shù)的對稱軸為，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)將這個二次函數(shù)圖像向上平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖像與x軸只有一個公共點，則得到的函數(shù)解析式為，∴，解得：，即將這個二次函數(shù)圖像向上平移3單位長度后，得到的函數(shù)圖像與x軸只有一個公共點．故答案為：3個【點睛】本題主要考查了拋物線與軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇·星海實驗中學(xué)九年級期中）已知（a，0）（b，0）是拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸的兩個交點，則ab＝_____．【答案】-4【分析】利用拋物線與x軸的交點問題，得到a、b為方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】解：∵（a，0）（b，0）是拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸的兩個交點，∴a、b為方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，∴ab＝﹣4．故答案為：﹣4．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．13．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為完美點．已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的圖象上有且只有一個完美點（，），且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是_______．【答案】2≤m≤4【分析】根據(jù)完美點的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根為，從而求得a＝﹣1，c＝，所以函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根為，解得a＝﹣1，c＝，故函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如圖，該函數(shù)圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，﹣3），由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點（4，﹣3）．由于函數(shù)圖象在對稱軸x＝2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，∴2≤m≤4，故答案為：2≤m≤4．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是能利用解一元二次方程求出二次函數(shù)的解析式，能利用二次函數(shù)圖像的增減性求出自變量的取值范圍，本題對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力有一定的要求．14．（2021·江蘇工業(yè)園區(qū)·九年級期中）拋物線y＝﹣x2+bx+3的對稱軸為直線x＝﹣1，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣2＜x＜3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則t的取值范圍是_____．【答案】﹣12＜t≤4【分析】根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，將一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的實數(shù)根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3與函數(shù)y＝t的圖象的交點橫坐標(biāo)，再由﹣2＜x＜3的范圍確定y的取值范圍即可求解．【詳解】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+3的對稱軸為直線x＝﹣1，∴，解得：b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3，∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的實數(shù)根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3與函數(shù)y＝t的圖象的交點橫坐標(biāo)，∵函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，且a＝﹣1＜0，∴當(dāng)x＝﹣1時，y取得最大值為4，又∵當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3；當(dāng)x＝3時，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12；∴當(dāng)﹣2＜x＜3時，y的取值范圍為﹣12＜y≤4，∵方程在﹣2＜x＜3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，∴t的取值范圍是﹣12＜t≤4．故答案為：﹣12＜t≤4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇昆山·九年級期中）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（-2，0），對稱軸為直線x=1，有以下結(jié)論：①abc＜0；②2a+b=0；③若方程a（x+2）（x-4）=2的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜-2＜4＜x2．其中一定正確的是____．（填序號）【答案】②③【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，-＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①錯誤；②∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴-=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正確；③∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（-2，0），對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另外一個交點坐標(biāo)為（4，0），∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4），若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的兩根為x1，x2，則x1、x2為拋物線與直線y=2的兩個交點的橫坐標(biāo)，∵x1＜x2，∴x1＜-2＜4＜x2，故③正確；故答案為：②③．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．三、解答題16．（2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級月考）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(?1，0)和點B(0，3)，對稱軸為直線x=1．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若0≤x≤4求函數(shù)y的取值范圍；（3）點C為點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，直線y=mx+n經(jīng)過A、C兩點，根據(jù)圖像直接寫出滿足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范圍．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-5≤y≤4；（3）-1<x<2．【分析】（1）把A點和B點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得到兩個方程，再加上對稱軸方程即可得到三元方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式，再把解析式配成頂點式即可得到頂點坐標(biāo)；（2）先分別計算出x為0和4時的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對應(yīng)的函數(shù)值的范圍；（3）根據(jù)點C與點B關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，或求得C點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出滿足不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，解得，所以二次函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+3；（2）因為y=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4），當(dāng)x=0時，y=3；x=4時，y=-5；而拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4），且開口向下，所以當(dāng)0≤x≤4時，-5≤y≤4；（3）∵B（0，3），點C與點B關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，∴點C（2，3），由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍：-1<x<2．【點睛】本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17．（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級月考）如圖，直線y=﹣x+2過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax2交于B，C兩點，點B坐標(biāo)為（1，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連結(jié)OC，求出△AOC的面積．（3）當(dāng)-x+2＞ax2時，請觀察圖像直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）y=x2；（2）4；（3）-2＜x＜1【分析】（1）根據(jù)點B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）將直線AB的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解之得出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△AOC的值；（3）觀察圖象求得即可．【詳解】解：（1）∵點B（1，1）在拋物線y=ax2上，∴1=a，∴拋物線的解析式為y=x2；（2）由題可知，直線AB的解析式為y=-x+2．聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，，解得：或，∴點C的坐標(biāo)為（-2，4）．∴S△AOC=×2×4=4；（3）由圖象可知，當(dāng)-x+2＞ax2時，x的取值范圍-2＜x＜1．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇通州·九年級月考）已知二次函數(shù)（k為常數(shù)）．（1）求證：無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）當(dāng)k取什么值時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸上方．【答案】（1）見解析；（2）k＞0【分析】（1）求出方程的判別式的值，利用配方法得出≥0，根據(jù)判別式的意義即可證明；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)，令其大于0即可求出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，∴，∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）解：∵當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，∴該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為3k，∴當(dāng)3k＞0，即k＞0時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）由可得該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)．19．（2021·江蘇高淳·九年級期中）已知二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋3．（1）這個二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)為，它的頂點坐標(biāo)為；（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象，并說明y＝－x2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到該函數(shù)的圖象；（3）x取什么值時，該函數(shù)圖象在x軸上方？（4）x取什么值時，y的值隨x值的增大而減?。俊敬鸢浮浚?）（3，0），（-1，0）；（1，4）；（2）見解析；（3）當(dāng)－1＜x＜3時，函數(shù)圖像在x軸上方；（4）當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減小【分析】（1）令，解出的值，即可得到二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可求解；（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)，即可畫出圖象，再由y＝－x2的頂點坐標(biāo)為，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的頂點坐標(biāo)為（1，4），即可得到平移方式；（3）觀察圖象，即可求解；（4）觀察圖象，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，解得：，∴二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（3，0），（-1，0）；∵，∴二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的頂點坐標(biāo)為（1，4）；（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)，列出如下表格：x-2-1134y-5040-5根據(jù)表格，畫出如下圖象：∵y＝－x2的頂點坐標(biāo)為，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的頂點坐標(biāo)為（1，4），∴由y＝－x2的圖象向右平移1個單位，向上平移4個單位長度可得該函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，得：當(dāng)－1＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸上方；（4）觀察圖象，得：當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減?。军c睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇昆山·九年級期中）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，連接BC．（1）點B的坐標(biāo)是，點C的坐標(biāo)是；（2）點P是BC上方拋物線上的一點，點P的橫坐標(biāo)為2，求四邊形OBPC的面積．【答案】（1），；（2）四邊形OBPC的面積為．【分析】（1）分別將，代入二次函數(shù)解析式求解，然后根據(jù)點在坐標(biāo)系中的位置即可確定點的坐標(biāo)；（2）過點P作PD⊥y軸，將代入函數(shù)解析式確定點P、點D的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象中用梯形的面積減去三角形的面積即可得．【詳解】解：（1）將代入函數(shù)解析式中可得：，解得：，，∴，；當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為；故答案為：，；（2）如圖所示：過點P作PD⊥y軸，交y軸于點D，將代入函數(shù)解析式可得：，點P的坐標(biāo)為，D的坐標(biāo)為，，，，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及與一元二次方程的關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形找準(zhǔn)圖形面積的求法是解題關(guān)鍵．21．（2021·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級月考）已知拋物線與軸有兩個交點和，與軸交于點，頂點為點．（1）求的取值范圍；（2）若，求的值；（3）若，點在拋物線上，且是直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1）m＞-1；（2）；（3）點P的坐標(biāo)為（2，-1）或（3，2）．【分析】（1）由拋物線與軸有兩個交點A和，可得有兩個不等實根，由△=4+4m＞0，解不等式即可；（2）由，可得，，可求點A（），B（）由，可求，解方程即可；（3），拋物線為可得，點D（1，-2）點C（0，-1），設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，點P（，）分別求出CD，DP，CP，分類考慮當(dāng)∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°時，根據(jù)勾股定理，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）拋物線與軸有兩個交點A和，令y=0，即有兩個不等實根，∴△=4+4m＞0，解得m＞-1；（2）∵解得∴，∴點A（），B（）∵∴，∴∴；（3）∵，∴∴點D（1，-2）令=0,y=-1,點C（0，-1）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，點P（，）∴CD=，DP=，CP=當(dāng)∠D=90°時，根據(jù)勾股定理CP2=CD2+DP2，則，解得或（舍去）點P（2，-1）當(dāng)∠C=90°時，根據(jù)勾股定理DP2=CD2+CP2，則解得或（舍去）點P（3，2）當(dāng)∠P=90°時，過點D作DE⊥