第06講 與圓有關(guān)的計(jì)算（3大考點(diǎn)）（解析版）

第06講與圓有關(guān)的計(jì)算（3大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、正多邊形的相關(guān)計(jì)算1.正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心．外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．作相等的圓心角就可以等分圓周，從而得到相應(yīng)正多邊形．2.每個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，正多邊形的邊心距就是內(nèi)切圓的半徑．研究正多邊形往往構(gòu)造等腰三角形，并結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)等解決．二、弧長的計(jì)算在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長l的計(jì)算公式為：l＝eq\f(nπR,180)．三、與扇形有關(guān)的面積計(jì)算在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的扇形(弧長為l)面積的計(jì)算公式為：S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR.考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．正多邊形和圓（共5小題）1．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則下列判斷正確的是（）A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S3【分析】正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，由此即可判斷．【解答】解：正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1，S2，S3，S4，S5，則有S3＝S正六邊形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六邊形ABCDEF，∴S3＝S1+S4＝S2+S5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．2．（2021秋?新昌縣期末）如圖，圓的半徑為4，則圖中陰影部分的周長是（）A． B． C．24 D．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OA，OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，根據(jù)圖形可知：∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圓的半徑OB＝4，∴OC＝2，∴BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴圖中陰影部分的周長＝6×4＝24．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．3．（2022?金東區(qū)三模）如圖，正五邊形ABCDE和正方形AFGH內(nèi)接于圓O，連結(jié)EF交AH于點(diǎn)M，則∠AME的度數(shù)為126°．【分析】根據(jù)正五邊形ABCDE和正方形AFGH內(nèi)接于圓O求出∠AEF＝45°，∠HAE＝9°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵正方形AFGH內(nèi)接于圓O，∴∠AOF＝∠AOH＝90°，∴∠AEF＝45°，∵OA＝OH，∴∠OAH＝45°，∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓O，∴∠AOE＝72°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE＝54°，∴∠HAE＝54°﹣45°＝9°，∴∠AME＝180°﹣∠MEA﹣∠MAE＝126°，故答案為：126°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022?金東區(qū)一模）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為10．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，分AB是直角邊和斜邊兩種情況確定出點(diǎn)C的位置．【解答】解：如圖，AB是直角邊時(shí)，點(diǎn)C共有6個(gè)位置，即，有6個(gè)直角三角形，AB是斜邊時(shí)，點(diǎn)C共有4個(gè)位置，即有4個(gè)直角三角形，綜上所述當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為10個(gè)．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，難點(diǎn)在于分AB是直角邊和斜邊兩種情況討論，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．5．（2020秋?武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明＝．（2）連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵E是的中點(diǎn)，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AE＝DE．（2）解：連接BD，AO，過點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長線于F．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠AED＝∠AOD＝45°，∴∠AED＝∠F＝45°，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形AECD＝S△DEF，∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，∴1+DE＝DE，∴DE＝+1，∴S四邊形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．二．弧長的計(jì)算（共11小題）6．（2022?麗水）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【分析】先作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意和圖形，可以求得優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：連接AC，BD，AC和BD相交于點(diǎn)O，則O為圓心，如圖所示，由題意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴優(yōu)弧ADCB所對(duì)的圓心角為300°，∴改建后門洞的圓弧長是：＝（m），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式、勾股定理、圓周角定理、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑．7．（2022?西湖區(qū)校級(jí)二模）已知扇形的半徑為6，圓心角為120°，則它的弧長是（）A．2π B．4π C．6π D．8π【分析】根據(jù)弧長的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由弧長公式可知，l＝＝4π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長的計(jì)算，掌握弧長的計(jì)算方法是正確計(jì)算的關(guān)鍵．8．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A，B，C，格點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則的長為．【分析】連接AE、AC、AD，由∠ABC＝90°，可知AC是直徑且值為，可知∠AEC＝90°，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出△ACD是等腰直角三角形，求出∠ACE＝∠CAE＝45°，可知的長是圓周長的，利用圓周長公式求解即可．【解答】解：如圖所示：連接AE、AC、AD，∵∠ABC＝90°，∴AC是直徑，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：，，∴AC2+AD2＝CD2＝26，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，∴∠EAC＝45°，∴所對(duì)的圓心角是90°，∴的長為以AC為直徑的圓周長的，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理逆定理、圓周角定理及其推論、弧長的計(jì)算公式、利用網(wǎng)格求線段長等知識(shí)，準(zhǔn)確的作出輔助線構(gòu)造出直角三角形和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022?金華模擬）已知扇形的圓心角為60°，半徑為18cm，則此扇形的弧長為6πcm．【分析】根據(jù)弧長公式代入即可．【解答】解：根據(jù)扇形的弧長公式可得：l＝＝6πcm，故答案為：6π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的弧長公式，熟記弧長公式l＝是解題的關(guān)鍵．10．（2022?柯城區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），是以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓弧；是以點(diǎn)O為圓心，OA1為半徑的圓弧，是以點(diǎn)C為圓心，CA2為半徑的圓弧，是以點(diǎn)A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，那么點(diǎn)A5的坐標(biāo)是（1，9），點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（0，﹣2022）．【分析】根據(jù)題意分別寫出A1…A8的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律解答．【解答】解：觀察，找規(guī)律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n＝（1，4n+1），A4n+1＝（4n+2，0），A4n+2＝（0，﹣（4n+2）），A4n+3＝（﹣（4n+3），1）．∵2022＝505×4+2，∴A2022的坐標(biāo)為（0，﹣2022）．故答案為：（1，9），（0，﹣2022）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意找出“A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）”這一規(guī)律，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合畫弧的方法以及部分點(diǎn)的坐標(biāo)尋找出來點(diǎn)的排布規(guī)律是關(guān)鍵．11．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，CA＝CB，以AB為直徑的⊙O分別交CA，CB于點(diǎn)D，E．（1）求證：＝；（2）若∠C＝50°，半徑OA＝3，求的長．【分析】（1）由CA＝CB，推出∠A＝∠B，推出＝，可得結(jié)論；（2）求出圓心角∠DOE＝80°，再利用弧長公式求解．【解答】（1）證明：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）解：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝65°，∵OA＝OD＝OB＝OE，∴∠ADO＝∠A＝65°，∠B＝∠OEB＝65°．∴∠AOD＝∠EOB＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠DOE＝180°﹣2×50°＝80°，∴的長＝＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，記住弧長公式l＝．12．（2021秋?長興縣月考）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠E＝∠F．（1）求證：AC是直徑；（2）若⊙O的半徑為1，∠E＝40°，求的長度．【分析】（1）連接AC，根據(jù)已知條件得到∠ADC＝∠ABC，推出∠ADC＝∠ABC＝90°，根據(jù)圓周角定理得到AC是直徑；（2）連接OB，OD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠EAB＝50°，求得∠DOB＝2∠EAB＝100°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接AC，∵∠E＝∠F，∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠E，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴AC是直徑；（2）解：連接OB，OD，∵∠E＝40°，∴∠EAB＝50°，∴∠DOB＝2∠EAB＝100°，∵⊙O的半徑為1，∴的長度＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長公式：弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．13．（2021秋?淳安縣期中）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點(diǎn)D、E．（1）求證：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧BE的長．【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接OE，根據(jù)圓周角定理求出∠BOE＝80°，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，∴BD＝CD，（2）解：連接OE，∵∠BAC＝40°，∴∠BOE＝80°，∵AB＝8，∴OB＝4，∴弧BE的長為：＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，注意：在同圓或等圓中，圓周角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半．14．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．（1）求證：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求的長．【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到＝，進(jìn)而得出＝，根據(jù)圓周角定理證明即可；（2）連接OC、OD，根據(jù)圓周角定理求出∠COD，根據(jù)弧長公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵AC＝BD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠D；（2）連接OC、OD，∵AC⊥BD，∠A＝∠D，∴∠A＝45°，由圓周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，∴的長＝＝3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?鄞州區(qū)期中）如圖，已知AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E，∠D＝65°．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB＝4，求的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出∠AOD＝50°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圓周角定理可得答案；（2）根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝65°，∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵OD∥BC，OB＝OC，∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°；（2）由AB＝4可得半徑為2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，因此的長為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確解答的前提．16．（2021秋?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點(diǎn)C，使DC＝BD，連結(jié)AC交⊙O于點(diǎn)F．（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：圖中的長．【分析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD＝∠ACB，進(jìn)而求出答案；（2）根據(jù)弧長的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：如圖，連接OD，∵OA＝OB，BD＝CD，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠ACB＝∠ODB，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，∴∠BOD＝∠BAC＝45°，由AB＝8，可得半徑為4，所以的長為＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長的計(jì)算，圓周角定理，掌握弧長的計(jì)算公式，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)是正確解答的前提．三．扇形面積的計(jì)算（共13小題）17．（2022?臺(tái)州）一個(gè)垃圾填埋場(chǎng)，它在地面上的形狀為長80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積為（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2【分析】直接根據(jù)圖形中外圍面積和可得結(jié)論．【解答】解：如圖，該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積＝80×3×2+60×3×2+32π＝（840+9π）m2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形和扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．18．（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12π，則扇形的弧長為（）A．4 B．2 C．4π D．2π【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可求出答案．【解答】解：設(shè)扇形的弧長為l，由扇形面積公式可得，＝12π，解得l＝4π，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵．19．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑為6，直徑AB垂直平分圓內(nèi)的線段CD，∠CAO＝30°，OC＝3，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑畫扇形，則以下說法正確的是（）A．∠COD是120° B．線段AD的長為6+ C．的長是5π D．陰影部分的面積是7.5π【分析】過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CH＝3，AH＝3，AC＝3+3，可得∠OCH＝45°，∠OCD＝15°，可得出AD＝AC＝3+3，∠OCD＝∠ODC＝15°，即可得∠COD＝150°，再根據(jù)弧長公式和扇形面積公式即可解答．【解答】解：過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，∵∠CAO＝30°，OC＝3，⊙O的半徑為6，∴OH＝AO＝3，∠ACD＝60°，∴CH＝＝＝3，AH＝3，∴OH＝CH，AC＝3+3，∴∠OCH＝45°，∴∠OCD＝15°，∵直徑AB垂直平分圓內(nèi)的線段CD，∴OC＝OD，AD＝AC＝3+3，故B錯(cuò)誤，不合題意；∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠COD＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故A錯(cuò)誤，不合題意；∴的長是：＝π，故C錯(cuò)誤，不合題意；陰影部分的面積是：×π×3＝7.5π，故D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，弧長和扇形的面積計(jì)算，能熟記弧長公式和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．20．（2022?上城區(qū)一模）如圖是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)徽標(biāo)的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）．21．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）已知一個(gè)扇形的半徑為2cm，弧長是，則它的面積為cm2．【分析】根據(jù)扇形的面積公式s＝lr，求解即可．【解答】解：扇形的面積＝××2＝（cm2）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式S＝lr＝．22．（2022?嘉興一模）弧度是表示角度大小的一種單位，我們把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度角，記作1rad．若圓半徑r＝2，圓心角α＝2rad，則圓心角為α的扇形面積是4．【分析】利用扇形的面積公式：S＝lr即可得解．【解答】解：∵圓半徑r＝2，圓心角α＝2rad，∴扇形的弧長為4，∴扇形的面積為S＝lr＝×4×2＝4．故答案為：4，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的弧長公式，面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查，23．（2022?溫州模擬）若扇形的圓心角為100°，半徑為6，則該扇形的面積為10π．【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，n＝100°，r＝6，故可得扇形的面積S＝＝＝10π．故答案為：10π．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，難度一般．24．（2022?瑞安市一模）已知扇形的面積為4π，圓心角為90°，則它的半徑為4．【分析】利用扇形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為R．則有＝4π，∴R＝4（負(fù)根已經(jīng)舍去），故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形面積S＝．25．（2022?衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．（1）求證：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；（2）連結(jié)OD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面積，在Rt△ODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出DE＝cos30°OD的長度，即可算出S△BOD＝的面積，根據(jù)S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入計(jì)算即可得出答案．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA，又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB．（2）如圖，連結(jié)OD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S扇形BOD＝．在Rt△ODE中，∵DE＝cos30°OD＝＝，∴S△BOD＝＝＝，∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．∴S陰影＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．26．（2021秋?開化縣期末）如圖，已知AB是⊙O直徑，且AB＝8．C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度數(shù)．（2）求出CE的長度．（3）求出圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OE＝OA＝OC，即可求得CE＝＝2；（3）根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；（2）∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝OA，∴CE＝OC＝＝2；（3）連接OD，∵∠CBD＝∠OBC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝π﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2021秋?余姚市期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC與半徑OD平行．（1）求證：點(diǎn)D是的中點(diǎn)．（2）若AC＝OD＝6，求陰影部分（弓形AC）的面積．【分析】（1）連接BC交OD于E，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OEB＝∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出即可；（2）連接OC，過O作OF⊥AC于F，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AOC＝60°，解直角三角形求出OF，再分別求出扇形AOC和△AOC的面積即可．【解答】（1）證明：連接BC交OD于E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC∥OD，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，即OD⊥BC，∵OD過圓心O，∴＝，即點(diǎn)D是的中點(diǎn)；（2）解：連接OC，過O作OF⊥AC于F，∵AC＝OD＝6，∴OC＝OA＝AC＝6，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OA，OF⊥AC，∴∠COF＝AOC＝30°，∴CF＝OC＝＝3，由勾股定理得：OF＝＝＝3，∴陰影部分的面積S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣＝6π﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，圓周角定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能熟記垂徑定理和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．28．（2022?南安市一模）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），OC與⊙M相交于點(diǎn)C，且∠OCA＝30°，求圖中陰影部分的面積．【分析】從圖中明確S陰＝S半﹣S△，然后依公式計(jì)算即可．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∴AB是直徑，連接AB，根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，由題意知，OB＝2，∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4即圓的半徑為2，∴陰影部分的面積等于半圓的面積減去△ABO的面積，S陰＝S半﹣S△＝﹣×2×2＝2π﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，利用了：①同弧對(duì)的圓周角相等；②90°的圓周角對(duì)的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④圓、直角三角形的面積分式．29．（2021?婺城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)P，若AB＝4，AC＝2，求：（1）弦CD的長度；（2）弧BC的長；（3）弓形CBD的面積．【分析】（1）連接CB，AC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB＝90°；解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）解直角三角形得到CP＝AC＝，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；（3）連接CO，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠COD＝120°，求得S扇形COD＝＝π，S△COD＝CD?OP＝，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°∴CB2＝AB2﹣AC2＝42﹣（2√3）2＝16﹣12＝4，∴CB＝2＝AB，∴∠A＝30°，∵CD⊥AB，∴CP＝AC＝，∴CD＝2CP＝2；（2）連接OC．∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴的長＝＝；（3）連接CO，OD，∵CO＝AO，∴∠A＝∠ACO＝30°，∠COB＝2∠A＝60°，∴∠COD＝120°，∴S扇形COD＝＝π，∵OP＝OC＝1，∴S△COD＝CD?OP＝，∴弓形CBD的面積＝S扇形COD﹣S△COD＝π﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理、勾股定理以及扇形的面積的計(jì)算，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期中）半徑為6，圓心角為的扇形面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的面積==6π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式．2．（2021·浙江溫州市·九年級(jí)期末）已知一個(gè)扇形的半徑長是，圓心角為，則這個(gè)扇形的面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接求解即可．【詳解】解：由扇形的面積公式可得，這個(gè)扇形的面積為故選B【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．3．（2020·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)C為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′B′C，則圖中陰影部分的面積為（）A．2 B．2π C．4 D．4π【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分的面積是（扇形CBB'的面積?△CA'B'的面積）＋（△ABC的面積?扇形CAA'的面積），代入數(shù)值解答即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴陰影部分的面積＝＝4π，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用，注意：圓心角為n°，半徑為r的扇形的面積為S＝．4．（2020·浙江杭州市·九年級(jí)期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)C．任意三角形都有一個(gè)外接圓 D．正n邊形的中心角等于【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，∴選項(xiàng)A符合題意；B、∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵任意三角形都有一個(gè)外接圓，∴選項(xiàng)C不符合題意；D、∵正n邊形的中心角等于，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟記有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江九年級(jí)期末）一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．由題意=72°，∴n=5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角=．6．（2021·浙江金華市·）將正方形紙片按圖①方式依次對(duì)折得圖②的，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，沿線段剪開，展開后得到一個(gè)正八邊形，則點(diǎn)D應(yīng)滿足（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)易得∠BAC=45°，然后由正多邊形的性質(zhì)可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：由題意得：∠BAC=45°，∴沿線段BD剪開，展開圖即為八邊形，若使展開后得到的是一個(gè)正八邊形，則需滿足以點(diǎn)A為圓心，AD、AB為半徑即可，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江九年級(jí)期末）已知，正六邊形的邊長為2，則的長為（）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，正六邊形的邊長為2，，是等邊三角形，，同理可得：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021·浙江浙江省·九年級(jí)期末）如圖，六邊形是正六邊形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，分別與交于點(diǎn)，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正六邊形的邊長為a，MN是△PCD的中位線，求出△PBM和△PCD的面積即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長為a，連接AC交BE于H點(diǎn)，如下圖所示：正六邊形六邊均相等，且每個(gè)內(nèi)角為120°，∴△ABC為30°，30°，120°等腰三角形，∴BE⊥AC，且，且，∵AF∥CD，P為AF上一點(diǎn)，∴，MN為△PCD的中位線，∴，由正六邊形的對(duì)稱性可知：，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于常考題型．二、填空題9．（2021·浙江）圓心角為120°，半徑為4的扇形的面積是__________________．【答案】π【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，n＝120°，R＝4，故可得扇形的面積S＝＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的面積計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．10．（2021·浙江溫州市·九年級(jí)期末）如圖，在的內(nèi)接正六邊形中，______°．【答案】【分析】首先求出正六邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)正六邊形每個(gè)內(nèi)角都相等即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵多邊形是正六邊形，∴正六邊形的內(nèi)角和為，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形內(nèi)角和公式．多邊形內(nèi)角和=．11．（2021·浙江九年級(jí)）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積為____________cm2．【答案】【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】∵圓錐的底面半徑長為4cm，母線長為5cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×4×5＝20cm2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，掌握相應(yīng)公式是解題的關(guān)鍵．12．（2020·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為150°，AB的長為18cm，則弧BC的長為___cm．【答案】【分析】直接利用弧長公式計(jì)算得出答案．【詳解】解：弧BC的長為故答案為．【點(diǎn)睛】考查了弧長公式計(jì)算，正確應(yīng)用弧長公式是解題關(guān)鍵．13．（2021·浙江九年級(jí)期末）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)F，AE⊥BC于點(diǎn)E，且AE經(jīng)過圓心O．若OA＝3．則圖中陰影部分的面積為___．【答案】【分析】連接、，得到為等邊三角形，求得扇形的面積減去的面積即可．【詳解】解：連接、，如下圖：∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB∴，，∴又∵AE⊥BC，AE經(jīng)過圓心O∴∴∴為等邊三角形∴，∴∴在中，，，∴由勾股定理得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，扇形面積計(jì)算，熟練掌握相關(guān)基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2020·浙江杭州·）請(qǐng)判斷：①任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓：②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；③在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等；④同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；⑤每個(gè)內(nèi)角都是的六邊形是正六邊形，⑥圓內(nèi)接平行四邊形是矩形；以上其中正確的結(jié)論是_______．【答案】④⑤⑥【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、圓的有關(guān)定義及性質(zhì)等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①不在同一直線上的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；③在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧相等，故不符合題意；④同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，正確，符合題意；⑤每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形是正六邊形，正確，符合題意；⑥因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角互補(bǔ)，符合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；故圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形正確，此選項(xiàng)正確，符合題意；正確的有④⑤⑥，故答案為：④⑤⑥．【點(diǎn)睛】此題主要考查了確定圓的性質(zhì)以及圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．（2020·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為________．【答案】12【分析】連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=30°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接OA，OB，∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，∵∠ADB=15°，∴∠AOB=2∠ADB=30°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)==12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．16．（2021·浙江九年級(jí)）如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，長為2的線段CD的兩個(gè)端點(diǎn)分別在線段OA、OB上滑動(dòng)，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在弧AB上，連接EF、BE．若AF的長是，當(dāng)線段EF的值最小時(shí)圖中陰影部分的面積是___．【答案】【分析】連接OF，令弧AF所對(duì)圓心角為，根據(jù)弧長公式即可求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得OE的值，從而得出E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，得出EF的值；過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，在直角三角形OEM中即可得出EM的值，最后根據(jù)S陰影=S扇形OBF-S△BOE及扇形公式即可得出答案．【詳解】解：連接OF，令弧AF所對(duì)圓心角為，E為CD中點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，OF與CD交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)此時(shí)EF最短，EF=OF-OE=1過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，S陰影=S扇形OBF-S△BOE故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式、直角三角形斜邊上的中線定理，熟練掌握弧長公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．17．（2021·浙江杭州·）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心．把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑長為_________．【答案】【分析】畫出旋轉(zhuǎn)圖形，求出△ABC的三邊，根據(jù)垂線段最短，判斷出CP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短，求出此時(shí)CP的長，再利用弧長公式計(jì)算．【詳解】解：畫出旋轉(zhuǎn)圖形如圖：∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50，而點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短，此時(shí)CP===，∴點(diǎn)P的最短運(yùn)動(dòng)路徑為=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，求弧長，垂線段最短，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．三、解答題18．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期末）根據(jù)題意求各圖中陰影部分的面積．（1）如圖1，在中，，，以A為頂點(diǎn)，為半徑畫弧，交于D點(diǎn)．（2）如圖2，已知扇形的圓心角為，半徑為2．（3）如圖3，是的直徑，弦，，．（4）如圖4，半徑為，圓心角為的扇形中、分別以、為直徑作半圓．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）cm2【分析】（1）陰影部分的面積等于三角形的面積-扇形的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．（2）陰影部分的面積等于扇形的面積-三角形的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．（3）首先證明OE=OC=OB，則可以證得△OEC≌△BED，則S陰影=S扇形OCB，利用扇形的面積公式即可求解．（4）假設(shè)出扇形半徑，再表示出半圓面積，以及扇形面積，進(jìn)而即可表示出兩部分P，Q面積相等．連接AB，OD，根據(jù)兩半圓的直徑相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出M部分的面積=S△AOD，利用陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM，故可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠A=45°，∴陰影部分的面積==；（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，∵∠AOB=60°，OA=OB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴AB=2，∴AC=BC=1，OC=，∴陰影部分的面積==；（3）如圖，記交于∵∠COB=2∠CDB=60°，又∵CD⊥AB，∴∠OCE=30°，CE=DE=，∴OE=OC=OB=，∴OE=BE，則在△OEC和△BED中，，∴△OEC≌△BED（SAS），∴陰影部分的面積=扇形OCB的面積=（4）設(shè)整個(gè)圖形分割成P，Q，M，M四個(gè)部分，面積分別為SP，SQ，SM，SM．∵扇形OAB的圓心角為90°，扇形半徑為2，∴扇形面積為（cm2），半圓面積為：（cm2），∴SQ+SM=SM+SP=（cm2），∴SQ=SP，連接AB，OD，∵兩半圓的直徑相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴SM=S△AOD=×2×1=1（cm2），∴陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM=（cm2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知三角形及扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．19．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期中）已知：如圖，D是外接圓上一點(diǎn)，且滿足，連接．（1）求證：是的外角的平分線．（2）若，求劣弧的長度．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EAD=∠DCB，再根據(jù)弦相等得圓周角相等、等弧所對(duì)圓周角相等即可得證．