福建省福州市八縣（市）一中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022---2023學(xué)年度第二學(xué)期福州八縣(市)一中期末聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)科試卷完卷時間：120分鐘滿分：150分一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，，且與平行，則等于()A. B. C. D.3.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于F，則()

A. B. C. D.4.某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估計(jì)3例心臟手術(shù)全部成功的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.設(shè)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是()A. B. C. D.7.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間距離．已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°(B、D、E在同一水平面上)，山頂C的仰角為60°，，則兩山頂A，C之間的距離為()A. B. C. D.8.已知直四棱柱的棱長均為2，.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為()A. B. C. D.2二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列結(jié)論中正確的是()A.A與B為互斥事件 B.A與B為相互獨(dú)立事件C. D.10.已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列命題中正確的是()A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，，則11.已知，則正確有()A B. C. D.12.如圖，邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在軸、軸正半軸上移動，則的可能值為()A B. C. D.2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為________．14.已知函數(shù)，則__________.15.在四面體中，E、F分別是的中點(diǎn).若所成的角為45°，且，則的長為_________.16.已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為2正方體，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CC1上(不與C、C1重合)，三棱錐A-D1EF的體積為__________，當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)，幾何體AED1FCD的體積為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知非零向量，夾角為，且．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且，求．18.如圖，是正方形所在平面外一點(diǎn)，且平面平面，、分別是線段、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.19.已知在中，角，，所對的邊分別是，，，滿足條件：______.在①；②；③.這三個條件中任選個，補(bǔ)充在上面的問題中，并解答.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計(jì)分.問題：(1)求角A的大?。?2)求的取值范圍.20.如圖，一塊正方體形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一點(diǎn)M，(1)問：經(jīng)過點(diǎn)M在上底面上能否畫一條直線，使其與CM垂直，若可以，該怎么畫，寫出作圖過程并加以證明，若不能，說明理由.(2)若正方體棱長為2，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，求AF與面A1BC所成角的正弦值.21.近幾年隨著疫情的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度放緩，投資渠道有限，越來越多人選擇投資“黃金”作為理財(cái)?shù)氖侄?，下面將A市把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的取值，以及把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資者年齡的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))；(2)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從年齡在和的投資者中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，求至少有1人年齡在的概率.22.已知函數(shù)，；(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)指出函數(shù)的單調(diào)性(只需用復(fù)合函數(shù)理由說明，不要求定義證明)；(3)設(shè)對任意，都有成立；請問是否存在的值，使最小值為，若存在求出的值.

2022---2023學(xué)年度第二學(xué)期福州八縣(市)一中期末聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)科試卷完卷時間：120分鐘滿分：150分一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義來判斷.【詳解】依題意得，，對應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)是，在第四象限.故選：D.2.已知，，且與平行，則等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量與的坐標(biāo)，然后利用向量共線坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，若與平行，則，得x＝2.故選：C.3.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于F，則()

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得，再根據(jù)向量運(yùn)算法則即可表示.【詳解】因?yàn)槭荁C的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：D.4.某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估計(jì)3例心臟手術(shù)全部成功的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】【分析】利用古典概率的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)模擬產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)中，有3組隨機(jī)數(shù)表示手術(shù)成功，故3例心臟手術(shù)全部成功的概率為：.故選：B5.設(shè)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別解不等式和，根據(jù)小范圍推大范圍，分析判斷即可.【詳解】若，解得，即解集；若，注意到在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，解得；故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式直接計(jì)算.【詳解】有三件正品(用，，表示)和一件次品(用表示)的產(chǎn)品中任取兩件的樣本空間，恰有一件次品，由古典概型得，故選：D.7.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°(B、D、E在同一水平面上)，山頂C的仰角為60°，，則兩山頂A，C之間的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，在和中分別求出AE，CE，再利用余弦定理計(jì)算作答.【詳解】在中，，，則，在中，，，則，在，由余弦定理得：，即，解得，所以兩山頂A，C之間的距離為．故選：B8.已知直四棱柱的棱長均為2，.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為()A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面截面圓的圓心是的中點(diǎn)，再找到截面圓的半徑和交線.【詳解】如圖所示：由已知，連接，則因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的棱長均為2，，所以為等邊三角形.且平面，取的中點(diǎn)，連接,則,又平面，所以，又，所以平面，故平面截球面的截面圓的圓心是點(diǎn)，取和的中點(diǎn)，連接,則，故在球面上，,，所以為直角三角形，,球面與側(cè)面的交線是側(cè)面上以為圓心，為半徑的圓弧.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列結(jié)論中正確的是()A.A與B為互斥事件 B.A與B為相互獨(dú)立事件C D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件、和事件、積事件的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件包含的基本事件是：(正，正)，(正，反).事件包含的基本事件是：(正，正)，(反，正).所以不是互斥事件，A選項(xiàng)錯誤.，所以BD選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯誤.故選：BD10.已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列命題中正確的是()A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可【詳解】對于A：若，，則，故A正確；對于B：若，則或，故B錯誤；對于C：若，，則或與異面，故C錯誤；對于D：若，，則，又，所以，故D正確；故選：AD11.已知，則正確的有()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式可得，，可判斷A，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D，由基本不等式可判斷BC．【詳解】，，，，，故正確，，故D不正確，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，，故B正確，(因?yàn)?，故等號不成?，，故C正確.故選：12.如圖，邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在軸、軸正半軸上移動，則的可能值為()A. B. C. D.2【答案】CD【解析】【分析】令，由邊長為1的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出，的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個向量，由數(shù)量積公式結(jié)合三角函數(shù)知識求解.【詳解】解：如圖令，由于，故，，如圖，，故，，故同理可求得，即，所以因?yàn)?，所以，?故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為________．【答案】12【解析】【分析】利用方差的性質(zhì)直接求解.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的方差為3，數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：12.14.已知函數(shù)，則__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由，所以，所以.故答案為：4.15.在四面體中，E、F分別是的中點(diǎn).若所成的角為45°，且，則的長為_________.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到或，分兩種情況，結(jié)合余弦定理求出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋、F分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗傻慕菫?，所以或，如圖1，，則，如圖，，則故答案為：16.已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CC1上(不與C、C1重合)，三棱錐A-D1EF的體積為__________，當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)，幾何體AED1FCD的體積為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等體積法求解三棱錐的體積．根據(jù)割補(bǔ)法，將幾何體分解為三棱柱和三棱錐，即可由體積公式求解.【詳解】在正方體中，棱長為2，為的中點(diǎn)，則，為上一點(diǎn)，而平面，平面，則點(diǎn)到平面的距離為長，所以三棱錐的體積．取的中點(diǎn)為，連接,由于均為棱的中點(diǎn)，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知為直三棱柱，故幾何體可以分割為三棱柱和三棱錐，故幾何體體積為,故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知非零向量，夾角為，且．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式和夾角余弦公式進(jìn)行求解；(2)根據(jù)向量垂直得到，再求出，進(jìn)而求出【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，∵，∴；【小問2詳解】∵，∴，即∴，∵，∴∴18.如圖，是正方形所在平面外一點(diǎn)，且平面平面，、分別是線段、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形或者三角形的中位線可得線線平行，進(jìn)而可證，或者證明面面平行也可，(2)根據(jù)面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直.【小問1詳解】法一：取PD中點(diǎn)G，連接FG，AG，在PDC中，因?yàn)镕、G分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以FGCD，F(xiàn)G=CD；因?yàn)镋是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，所以AE//CD，AE=CD；所以AEGF，AE=GF；即四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF//AG，又因?yàn)锳G平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD法二：延長DA交CE延長線于H，連接PH，由于AE//CD，AE=CD，所以是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以EFPH，又因?yàn)镻H平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD法三：取CD中點(diǎn)I，連接EI，F(xiàn)I，由于均為中點(diǎn)，所以,平面,平面，平面EFI平面PAD，EF平面，所以EF平面PAD【小問2詳解】因?yàn)檎叫蜛BCD中，BDAC，又平面ABCD平面PAC；平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC，因?yàn)镻C平面PAC，所以BDPC.19.已知在中，角，，所對的邊分別是，，，滿足條件：______.在①；②；③.這三個條件中任選個，補(bǔ)充在上面的問題中，并解答.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計(jì)分.問題：(1)求角A的大?。?2)求的取值范圍.【答案】(1)選①②③，答案均為(2)【解析】【分析】(1)選①，由正弦定理及得到，結(jié)合，求出答案；選②，由正弦定理及得到，結(jié)合，求出答案；選③，由正弦定理及得到，結(jié)合，求出答案；(2)利用三角恒等變換得到，由求出，從而得到答案.【小問1詳解】選擇①，由正弦定理可得，，即，所以，又，所以，故，又，因此.選擇②，由正弦定理可得，，從而可得，，即，又，所以，于是，又，因此，.選擇③，由正弦定理可得，，即，得，即，又，所以，得，又，因此，.【小問2詳解】∵，由可知，，所以，從而，因此，，故的取值范圍為.20.如圖，一塊正方體形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一點(diǎn)M，(1)問：經(jīng)過點(diǎn)M上底面上能否畫一條直線，使其與CM垂直，若可以，該怎么畫，寫出作圖過程并加以證明，若不能，說明理由.(2)若正方體棱長為2，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，求AF與面A1BC所成角的正弦值.【答案】(1)可以，作圖過程見解析，證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接C1M，在平面A1B1C1D1上過M點(diǎn)作直線GHC1，則GHCM，再利用線面垂直證明線線垂直即可；(2)在平面ABB1A1上，過點(diǎn)A作AEA1B，則E是A1B的中點(diǎn)，先證明先AE平面A1BC.可得AFE為斜線AF與平面A1BC所成的角，進(jìn)而可得答案.【小問1詳解】經(jīng)過點(diǎn)M在上底面上能畫一條直線與CM垂直，如圖所示，連接C1M，在面A1B1C1D1上過M點(diǎn)作直線GHC1M.則GHCM，證明：在正方體AC1中，CC1平面A1B1C1D1，GH平面A1B1C1D1，所以GHCC1，而GHC1M，且C1MCC1，平面MCC1，故GH平面MCC1，又CM平面MCC1，所以GHMC.【小問2詳解】在平面ABB1A1上，過點(diǎn)A作AEA1B，則E是A1B的中點(diǎn)，在正方體AC1中，BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE，而A1BBC=B，平面A1BC.故AE平面A1BC.所以EF為斜線AF在平面A1BC上的射影，AFE為斜線AF與平面A1BC所成的角.∵AE平面A1BC，EF平面A1BC，AEEF在直角三角形AEF中，AF=，AE=，sinAFE=，所以AF與面A1BC所成角的正弦值為.21.近幾年隨著疫情的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度放緩，投資渠道有限，越來越多人選擇投資“黃金”作為理財(cái)?shù)氖侄?，下面將A市把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的取值，以及把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資者年齡的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))；(2)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從年齡在和的投資者中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，求至少有1人年齡在的概率.【答案】(1)，58(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1可得，進(jìn)而由百分位數(shù)的計(jì)算即可求解，(2)根據(jù)列舉