(3.1)-數(shù)學(xué)專題選講學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)專題選講》教學(xué)大綱《數(shù)學(xué)專題選講》教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)專題選講》教學(xué)大綱第一部分大綱說明一、課程性質(zhì)與任務(wù)：《數(shù)學(xué)專題選講》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理類等各專業(yè)的一門專業(yè)拓展課。通過課程的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生鞏固前期所學(xué)的微積分理論，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)微積分的深入學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生的微積分綜合素質(zhì)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維,為將來學(xué)生后繼的專業(yè)學(xué)習(xí)和研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。二、教學(xué)對(duì)象：數(shù)學(xué)，信息與計(jì)算科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理類本科各個(gè)專業(yè)二、三年級(jí)年級(jí)以上在校大學(xué)生三、教學(xué)目的和要求：夯實(shí)基礎(chǔ)。較全面講透微積分的經(jīng)典理論和方法，幫助學(xué)生理解其中的深刻內(nèi)涵；重點(diǎn)講授方法，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算和證明的技巧；強(qiáng)化訓(xùn)練過程，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。四、先修課程：微積分、高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析五、使用教材及參考資料：使用教材：自編講義。參考資料：[1]《高等數(shù)學(xué)》（第七版），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教學(xué)出版社,2016年。[2]《微積分》（第四版），趙樹嫄，人民大學(xué)出版社，2016年。[3]《2022版張宇考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)30講》，張宇主編，北京理工大學(xué)出版社，2020年。[4]《考研數(shù)學(xué)歷年真題全精解析》，李永樂，西安交通大學(xué)出版社，2018年[5]《數(shù)學(xué)歷年真題全精解析（數(shù)學(xué)三）》，李永樂主編，西安交通大學(xué)出版社，2021年。[6]《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)660題（數(shù)學(xué)三）》，李永樂等編著，中國農(nóng)業(yè)出版社，2020年。六、教學(xué)形式、教學(xué)方法及實(shí)踐性環(huán)節(jié)：教學(xué)形式：課堂教學(xué)；網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)教學(xué)方法：講授七、考核：考核形式：考察；成績(jī)?cè)u(píng)定：期末考試（50%），平時(shí)考核（50%）；八、課時(shí)分配表：《數(shù)學(xué)專題選講》章目教學(xué)內(nèi)容教學(xué)課時(shí)第一講函數(shù)、極限、連續(xù)12第二講一元函數(shù)微分學(xué)14第三講一元函數(shù)積分學(xué)14第四講多元函數(shù)微分學(xué)8第五講二重積分8第六講無窮級(jí)數(shù)8第七講常微分方程與差分方程8九、教學(xué)進(jìn)度表：周次學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一周4高等數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)第二周4數(shù)列極限、函數(shù)極限與連續(xù)性第三周4函數(shù)極限與連續(xù)性第四周4中秋放假、一元函數(shù)微分學(xué)的概念與計(jì)算第五周4一元函數(shù)微分學(xué)的概念與計(jì)算、一元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第六周4國慶放假第七周4中值定理第八周4零點(diǎn)問題與微分不等式、一元函數(shù)積分學(xué)的概念與計(jì)算第九周4一元函數(shù)積分學(xué)的概念與計(jì)算第十周4一元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用第十一周4積分等式與積分不等式、多元函數(shù)微分學(xué)第十二周4多元函數(shù)微分學(xué)第十三周4二重積分第十四周4常微分方程第十五周4常微分方程第十六周4無窮級(jí)數(shù)第十七周4無窮級(jí)數(shù)、數(shù)學(xué)三專題內(nèi)容第十八周4數(shù)學(xué)三專題內(nèi)容、期末考試十、主講教師：朱存斌(副教授),葛莉(副教授),李清棟(講師)等。第二部分教學(xué)內(nèi)容第一講函數(shù)、極限與連續(xù)基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.函數(shù)的定義及性質(zhì)；2.基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念；3.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)；4.數(shù)列和函數(shù)極限概念；5.無窮小和無窮大的概念；6.極限的運(yùn)算法則，極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限；7.初等函數(shù)的連續(xù)性；8.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解：1.復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的概念；2.無窮小量的概念和基本性質(zhì)；3.函數(shù)連續(xù)性；掌握：1.函數(shù)的表示法；2.極限的四則運(yùn)算；3.利用洛必達(dá)法則求未定式極限；4.利用兩個(gè)重要極限求極限；5.無窮小的比較。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.數(shù)列、函數(shù)極限的計(jì)算方法；2.函數(shù)的連續(xù)性判斷及間斷點(diǎn)類型的判斷；3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。具體內(nèi)容（1）函數(shù)的概念及表示法、簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.

（2）函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

（3）復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).

（4）數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.

（5）無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.

（6）極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限.

（7）函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

（8）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.

（9）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).第二講一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義；2.高階導(dǎo)數(shù)；3.微分的概念；4.邊際與彈性；5.柯西中值定理，泰勒定理。理解：1.可導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；2.函數(shù)的極值與最值；3.羅爾中值定理，拉格朗日中值定理；掌握：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.分段函數(shù)，反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；4.函數(shù)的微分；5.利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性；6.求函數(shù)的極值與最值；7.微分中值定理的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的求解；2.中值定理的應(yīng)用；3.單調(diào)性的判斷、凹凸性的判斷、極值最值的求法。具體內(nèi)容（1）導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.

（2）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、一階微分形式的不變性.

（3）復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.

（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

（5）微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

（6）洛必達(dá)(L’Hospital)法則與求未定式極限.

（7）函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.

（8）函數(shù)最大值和最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

第三講一元函數(shù)積分學(xué)不定積分、定積分及其應(yīng)用基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.定積分的概念、性質(zhì)；2.微積分中值定理；3.反常積分的概念；理解：1.原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)；2.積分上限函數(shù)；掌握：1.不定積分、定積分的計(jì)算法；2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.定積分的幾何應(yīng)用；4.反常積分的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.不定積分的計(jì)算；2.定積分的性質(zhì)和計(jì)算；3.定積分的幾何應(yīng)用。具體內(nèi)容（1）原函數(shù)和不定積分的概念.

（2）不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.

（3）定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

（4）不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.

（5）有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分.

（6）廣義積分.

（7）定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，平行截面面積為已知的立體體積，函數(shù)的平均值．

第四講多元函數(shù)微分學(xué)基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.多元函數(shù)的概念；2.二元函數(shù)的幾何意義；3.二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念；4.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念概念；5.偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用；理解：1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及隱函數(shù)的求導(dǎo)公式；2.二元函數(shù)極值存在的充分條件；掌握：1.求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；2.求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；3.二元函數(shù)無條件極值和條件極值；4.簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最值，并解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算；2.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及隱函數(shù)的求導(dǎo)公式；4.多元函數(shù)的極值最值及其應(yīng)用。具體內(nèi)容（1）多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.

（2）二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

（3）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

（4）多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)

（5）隱函數(shù)求導(dǎo)公式（6）多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

第五講二重積分基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.二重的概念和基本性質(zhì)；2.無界區(qū)域上簡(jiǎn)單的反常二重積分；理解：二重積分的幾何意義；掌握：1.二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.二重的計(jì)算；2.二重積分的積分次序交換。具體內(nèi)容（1）二重積分概念及性質(zhì)、二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))

（2）直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用（3）直角坐標(biāo)系下二重積分的積分次序交換

（4）極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

第六講無窮級(jí)數(shù)基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的概念；2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念；3.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法；4.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間的基本性質(zhì)；掌握：1.p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法；3.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)；4.簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法；2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的判定；3.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求解；4.簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求解；5.間接展開法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。具體內(nèi)容（1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.

（2）幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.

（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂.

（4）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.

（5）冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).

（6）簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法.

（7）初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.

第七講常微分方程與差分方程基本教學(xué)內(nèi)容與要求了解：1.常微分方程的基本概念；2.線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；3.差分方程的基本概念；掌握：1.一階變量分離方程，齊次方程，線性微分方程的求解；2.二階常系數(shù)線性微分方程的求解；3.用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題；4.一階常系數(shù)線性差分方程的求解。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.一階微分方程（變量分離方程，齊次方程，線性方程）的解法；2.二階常系數(shù)線性微分方