線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第四章 隨機事件及其概率

第四章隨機事件及其概率第一節(jié)

隨機事件的概率第二節(jié)

加法公式第三節(jié)

乘法公式第四節(jié)

全概公式本章思維導圖引導案例---經(jīng)典彩票游戲雙色球中國福利彩票中經(jīng)典彩票雙色球，是一種兩區(qū)選號的數(shù)字游戲，游戲規(guī)則為，在標注1—33號碼紅球中不放回抽取6個紅球為前區(qū)，在1—16號藍球中抽一個為后區(qū)組合為一注，每注2元?！半p色球”共設六個獎級，具體規(guī)則如表4-1：試求出投注者中一等獎的概率。分析：要計算每等獎的中獎概率，需要用到古典概型知識，本章先從隨機事件間的關系與運算出發(fā)，介紹古典概型的定義、特征及概率計算、概率加法公式、乘法公式和全概公式等。第一節(jié)隨機事件的概率本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

了解隨機現(xiàn)象、隨機事件的概念。

熟練掌握隨機事件間的關系。

掌握古典概型的概率及其計算

[能力目標]

能熟練計算古典概型事件的概率。確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象5在自然界與經(jīng)濟領域內(nèi)有兩類現(xiàn)象:一類是條件完全決定結果的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象如當邊長為2m時,正方形的面積一定等于4m2另一類是條件不能完全決定結果的現(xiàn)象,稱為非確定性現(xiàn)象,或稱為隨機現(xiàn)象如擲一枚均勻硬幣,可能出現(xiàn)正面,也可能不出現(xiàn)正面隨機現(xiàn)象6隨機現(xiàn)象都帶有不確定性,但這僅僅是隨機現(xiàn)象的一個方面隨機現(xiàn)象還有規(guī)律性的另一個方面,如在相同條件下,對隨機現(xiàn)象進行大量觀測,其可能結果就會出現(xiàn)某種規(guī)律性等概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門科學。隨機試驗7在概率論中,做事情稱為試驗,若試驗在相同條件下可以重復進行,且每次試驗的可能結果不止一個在每次試驗前不能準確預言試驗所出現(xiàn)的結果,但可以知道可能出現(xiàn)的全部結果,則稱具有以上兩個特點的試驗為隨機試驗。隨機事件8隨機試驗簡稱為試驗,每次試驗的一個可能結果稱為基本事件,記作ω1,ω2,….在試驗中,可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機事件,簡稱為事件,它是一些基本事件的集合,通常用大寫字母A,B,C等表示顯然,基本事件是隨機事件的特殊情況若試驗的結果是構成事件A的某個基本事件,則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生。必然事件與不可能事件9在每次試驗中,一定發(fā)生的事件稱為必然事件,顯然它是全部基本事件的集合,記作Ω。在每次試驗中,一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件,顯然它是空集,記作?。必然事件與不可能事件雖然不是隨機事件,但是為了討論問題方便,把它們看作是隨機事件的極端情況。例110做試驗:投擲一顆均勻骰子一次.那么:(1)這個試驗在相同條件下可以重復進行,且每次試驗的可能結果為6個:出現(xiàn)1點、出現(xiàn)2點、出現(xiàn)3點、出現(xiàn)4點、出現(xiàn)5點及出現(xiàn)6點在每次試驗前不能準確預言試驗所出現(xiàn)的點數(shù),但知道可能出現(xiàn)的全部點數(shù)由于具有以上兩個特點,因此這個試驗是隨機試驗例111(2)這個試驗共有6個基本事件:設基本事件ω1表示出現(xiàn)1點,基本事件ω2表示出現(xiàn)2點,基本事件ω3表示出現(xiàn)3點,基本事件ω4表示出現(xiàn)4點,基本事件ω5表示出現(xiàn)5點,基本事件ω6表示出現(xiàn)6點.設事件A表示出現(xiàn)偶數(shù)點,它是基本事件ω2,ω4,ω6的集合,于是事件A={ω2,ω4,ω6}若試驗的結果是ω4,則稱事件A發(fā)生;若試驗的結果是ω1,則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系12考慮試驗E:往長方形桌面Ω上任意投擲小球,且小球一定落在長方形桌面Ω內(nèi)長方形桌面Ω內(nèi)的一個點對應一個基本事件,長方形桌面Ω對應必然事件若小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi),則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系13這個試驗建立了事件與集合之間的聯(lián)系,給出了事件的幾何說明,如圖事件之間的關系14在事件之間的關系中,最重要的有三種:1.包含關系若事件B發(fā)生必然導致事件A發(fā)生,則稱事件A包含B,記作A?B.2.相等關系若事件A與B是同一個事件,則稱事件A與B相等,記作A=B.3.互斥關系若事件A與B不可能同時發(fā)生,則稱事件A與B互斥互斥關系15在試驗E中,若區(qū)域A與B分離,即它們沒有公共部分,這時小球不可能既落入?yún)^(qū)域A內(nèi)又同時落入?yún)^(qū)域B內(nèi)意味著事件A與B不可能同時發(fā)生,因此事件A與B互斥說明區(qū)域A與B分離對應事件A與B互斥,如圖事件之間的運算16事件A與B中至少有一個事件發(fā)生,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,這個事件稱為事件A與B的和事件,記作A+B1.和事件事件之間的運算17在試驗E中,當小球落入?yún)^(qū)域A與B的并集A∪B內(nèi),即小球至少落入?yún)^(qū)域A與B中的一個區(qū)域內(nèi)意味著事件A與B中至少有一個事件發(fā)生,因此事件A與B的和事件A+B發(fā)生說明區(qū)域A與B的并集A∪B對應事件A與B的和事件A+B,和事件A+B是由事件A與B所包含的所有基本事件構成的集合,如圖事件之間的運算18事件A與B同時發(fā)生,即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,這個事件稱為事件A與B的積事件,記作AB2.積事件事件之間的運算19在試驗E中,當小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi),即小球落入?yún)^(qū)域A與B的公共部分內(nèi)意味著事件A與B同時發(fā)生,因此事件A與B的積事件AB發(fā)生說明區(qū)域A與B的交集A∩B對應事件A與B的積事件AB,積事件AB是由事件A與B所包含的所有公共基本事件構成的集合,如圖事件之間的運算20

3.對立事件事件之間的運算21

互斥事件與對立事件22必須特別強調(diào)的是:互斥事件與對立事件不是一回事事件A,B互斥,意味著在任何一次試驗中,事件A,B不可能同時發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,有AB=?互斥事件與對立事件23

互斥事件與對立事件24這說明互斥事件與對立事件的相同之處在于:積事件都是不可能事件它們的不同之處在于:在一次試驗中,互斥事件有可能都不發(fā)生,但對立事件中一定有一個事件發(fā)生所以對立事件一定互斥,但互斥事件不一定對立例225甲、乙各射擊一次,設事件A表示甲擊中目標,事件B表示乙擊中目標,那么:(1)甲、乙各射擊一次,可以依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是甲射擊,有擊中目標與不擊中目標兩種可能第2個步驟是乙射擊,也有擊中目標與不擊中目標兩種可能例226根據(jù)預備知識乘法原理,每次試驗共有2×2=4個可能結果,即試驗共有4個基本事件:AB甲擊中目標且乙擊中目標(兩人都擊中目標)

例227

因此它表示甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標當然也表示甲、乙兩人中恰好有一人不擊中目標,包含2個基本事件例228和事件A+B表示甲、乙兩人中至少有一人擊中目標包括兩人中恰好有一人擊中目標與兩人都擊中目標兩類情況包含3個基本事件,有關系式

隨機事件規(guī)律性29隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生是不確定的,說明隨機現(xiàn)象具有不確定性,這僅僅是一個方面更重要的另一個方面是隨機現(xiàn)象具有規(guī)律性,可以通過大量重復試驗揭示隨機事件發(fā)生的規(guī)律隨機事件規(guī)律性30

對于必然事件Ω,有m=n,從而必然事件Ω發(fā)生的頻率為1對于不可能事件?,有m=0,從而不可能事件?發(fā)生的頻率為0而一般事件發(fā)生的頻率必在0與1之間隨機事件規(guī)律性31做投擲一枚均勻硬幣試驗,觀察出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的頻率,若試驗次數(shù)較少,很難找到有什么規(guī)律;但若試驗次數(shù)增多,就可以找到它的規(guī)律如蒲豐(Buffon)投擲4040次,其中出現(xiàn)正面為2048次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5069皮爾遜(Pearson)投擲24000次,其中出現(xiàn)正面為12012次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5005隨機事件規(guī)律性32更多的試驗表明:當投擲次數(shù)n很大時,出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動,并且隨著投擲次數(shù)的增加,這種擺動的幅度是很微小的說明出現(xiàn)正面的頻率具有穩(wěn)定性,確定的常數(shù)0.5就是出現(xiàn)正面頻率的穩(wěn)定值用它描述出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的可能性大小,揭示出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的規(guī)律概率的定義33定義1.1在多次重復試驗中,若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)p附近擺動,且隨著試驗次數(shù)的增加,這種擺動的幅度是很微小的,則稱確定常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率,記作P(A)=p概率的定義34事件A發(fā)生的概率為p,說明在n次重復試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)大約為np次,同時也反映了在一次試驗中事件A發(fā)生可能性的大小如在投擲均勻硬幣試驗中,由于出現(xiàn)正面的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)0.5附近擺動,于是出現(xiàn)正面的概率為0.5，說明若重復試驗100次,則出現(xiàn)正面的次數(shù)為50次左右同時也意味著在一次試驗中出現(xiàn)正面的可能性為0.5,即有一半的把握出現(xiàn)正面當然,只有投擲完畢,才能確定出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面概率的定義35由于任何事件A發(fā)生的頻率大于等于零且小于等于1,因而它發(fā)生的概率當然也大于等于零且小于等于1其中必然事件Ω發(fā)生的頻率為1,它發(fā)生的概率當然也為1不可能事件?發(fā)生的頻率為零,它發(fā)生的概率當然也為零概率的性質(zhì)36性質(zhì)1

0≤P(A)≤1

(A為任意事件)性質(zhì)2

P(Ω)=1

(Ω為必然事件)性質(zhì)3

P(?)=0

(?為不可能事件)概率與頻率37在試驗E中,設長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,如圖事件A發(fā)生的概率就是小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小,由于任意投擲小球,因而小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小取決于區(qū)域A面積SA在長方形桌面Ω面積S中所占的比重概率與頻率38若這個比重越大,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越大;若這個比重越小,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越小于是事件A發(fā)生的概率等于區(qū)域A面積SA在長方形桌面Ω面積S中所占的比重,即概率

概率與頻率39盡管概率是通過大量重復試驗中頻率的穩(wěn)定性定義的,但不能認為概率取決于試驗一個事件發(fā)生的概率完全由事件本身決定,是客觀存在的,可以通過試驗把它揭示出來在許多實際問題中,無法根據(jù)概率定義得到事件發(fā)生的概率,往往采用在大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率作為概率近似值概率與頻率40如在一批產(chǎn)品中任意抽查100個產(chǎn)品,其中有92個正品,那么正品的頻率為0.92這個頻率可以作為這批產(chǎn)品中正品概率的近似值即在這批產(chǎn)品中任取1個產(chǎn)品是正品的概率可以認為是0.92古典概型41但是也有一類簡單而又常見的實際問題,可以通過邏輯思維直接計算概率,而不必利用頻率,這種概率問題的類型是概率論最早研究的內(nèi)容,稱為古典概型古典概型具有兩個特征:特征1基本事件的總數(shù)為有限個特征2每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的古典概型42設古典概型的一個試驗共有n個基本事件,而事件A包含m個基本事件注意到在一次試驗中,恰好只有一個基本事件發(fā)生,且每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的又事件A包含m個基本事件,意味著試驗結果若是這m個基本事件中的某個基本事件,則事件A發(fā)生,于是事件A發(fā)生可能性的大小取決于它所包含的m個基本事件在所有n個基本事件中所占的比重古典概型43

在古典概型的一個試驗中,如何計算所有基本事件的個數(shù)?如何計算事件A包含基本事件的個數(shù)?古典概型44考慮到基本事件是每次試驗的一個可能結果,而每次試驗的一個可能結果對應于完成試驗要求的一種方法所以所有基本事件的個數(shù)就是完成試驗要求所有方法的種數(shù),事件A包含基本事件的個數(shù)就是完成事件A方法的種數(shù),它是完成試驗要求所有方法種數(shù)的一部分古典概型45若試驗屬于元素不重復的排列問題,則歸結為計算排列數(shù)若試驗屬于元素可重復的排列問題,則歸結為計算元素可重復排列的個數(shù)若試驗屬于組合問題,則歸結為計算組合數(shù)對于一般情況,則根據(jù)預備知識基本原理計算相應方法的種數(shù)例346一部4卷的文集任意擺放在書架上,求各卷書自左向右或自右向左的卷號恰好為1,2,3,4的概率

又由于是任意擺放,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型例347設事件A表示各卷書自左向右或自右向左的卷號恰好為1,2,3,4,考慮到完成事件A的放法有2種,即事件A包含2個基本事件根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例448郵政大廳有5個郵筒,現(xiàn)將兩封信逐一隨機投入郵筒,求第一個郵筒內(nèi)恰好有一封信的概率解:注意到試驗是將兩封信逐一隨機投入郵筒,必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是將第一封信投入5個郵筒中的1個郵筒,有5種方法第2個步驟是將第二封信投入5個郵筒中的1個郵筒,也有5種方法例449若以郵筒作為元素,則試驗相當于從5個不同元素中每次取出2個元素的元素可重復排列根據(jù)預備知識乘法原理,完成試驗共有5×5=52=25種方法,即試驗共有25個基本事件又由于是隨機投入,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型例450設事件A表示第一個郵筒內(nèi)恰好有一封信,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是從兩封信中挑出一封信投入第一個郵筒,有2種方法第2個步驟是將剩下的一封信投入其余4個郵筒中的1個郵筒,有4種方法例451根據(jù)預備知識乘法原理,完成事件A有2×4=8種方法,即事件A包含8個基本事件根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例552口袋里裝有4個黑球與3個白球,任取3個球,求:(1)其中恰好有1個黑球的概率(2)其中至少有2個黑球的概率解:注意到試驗是從7個球中任取3個球,在取球時并不計較所取出球的先后順序,即不需要將它們排隊

例553又由于是任意抽取,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型(1)設事件A表示任取3個球中恰好有1個黑球,即所取3個球中有1個黑球與2個白球,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個步驟:

例554

根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例555(2)設事件B表示任取3個球中至少有2個黑球,包括恰好有2個黑球與恰好有3個黑球兩類情況,完成事件B有兩類方式:

例556

根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

條件概率57定義1.2在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為事件B對A的條件概率,記作P(B|A)條件概率58條件概率P(B|A)同樣滿足概率的基本性質(zhì),相應地,也稱概率P(B)為無條件概率注意:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件在試驗E中,設區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖條件概率59在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件,即小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi),這時事件B發(fā)生意味著小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi)說明在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率就是在小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的條件下,小球落入?yún)^(qū)域A與B交集A∩B內(nèi)可能性的大小它取決于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重條件概率60于是事件B對A的條件概率等于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重,即條件概率

例661口袋里裝有5個黑球與3個白球,每次任取1個球,不放回取兩次.設事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球,求條件概率P(B|A)解:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率意味著第一次取到黑球拿走后第二次取到黑球的概率

所以條件概率

62本次課程結束第二節(jié)加法公式本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

了解任意兩個事件的和事件概率。

理解特殊情況的加法公式。

[能力目標]

能熟練計算兩事件和的加法公式。64和事件概率考慮任意兩個事件A,B,它們的和事件A+B發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關系?在試驗E中,設長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,區(qū)域A與B并集A∪B的面積為SA+B這時有關系式SA+B=SA+SB-SAB,如圖加法公式65

加法公式66于是得到加法公式

=P(A)+P(B)-P(AB)這個公式說明:任意兩個事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的和,再減去這兩個事件的積事件發(fā)生的概率.例167某商店銷售的某種商品只由甲廠與乙廠供貨,歷年供貨統(tǒng)計資料表明,甲廠按時供貨的概率為0.8,乙廠按時供貨的概率為0.7,甲、乙兩廠都按時供貨的概率為0.6,求此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率解:設事件A表示甲廠按時供貨,事件B表示乙廠按時供貨,從而積事件AB表示甲、乙兩廠都按時供貨例168由題意得到概率P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6此種商品在該商店貨架上不斷檔,意味著甲廠按時供貨或乙廠按時供貨,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9所以此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率為0.9例269設A,B為兩個事件,已知概率P(A)=0.2,P(B)=0.3,若概率P(A+B)=0.4,則概率P(AB)=_______

解:根據(jù)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得到概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)

=0.2+0.3-0.4=0.10.1特殊情況的加法公式70考慮特殊情況下的加法公式:如果事件A與B互斥,意味著事件A,B不可能同時發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,即AB=?這時有概率P(AB)=P(?)=0于是加法公式化為P(A+B)=P(A)+P(B)它說明:在兩個事件互斥的條件下,兩個事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的和特殊情況的加法公式71

特殊情況的加法公式72于是加法公式化為

即概率

或概率

它說明:任意一個事件發(fā)生的概率等于數(shù)1減去對立事件發(fā)生的概率.特殊情況的加法公式73若一個事件包括情況比較多,從而計算其發(fā)生的概率比較麻煩,這時它的對立事件一定包括情況比較少,當然計算其發(fā)生的概率比較簡單于是應該先計算對立事件發(fā)生的概率,然后數(shù)1減去對立事件發(fā)生的概率,就得到所求事件發(fā)生的概率特殊情況的加法公式74特殊情況下的加法公式可以推廣,它對于n個事件也是適用的如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例375產(chǎn)品分一等品、二等品及廢品三種,若一等品率為0.71,二等品率為0.26,并規(guī)定一等品或二等品為合格品,求產(chǎn)品的合格品率解:設事件A1表示一等品,事件A2表示二等品,事件A表示合格品.由題意得到概率P(A1)=0.71P(A2)=0.26由于一等品或二等品為合格品,從而說明事件A為事件A1與A2的和事件,即事件A=A1+A2例376由于在任意一次抽取中所取到的一件產(chǎn)品不可能既是一等品又同時是二等品,說明事件A1與A2不可能同時發(fā)生,即事件A1與A2互斥根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.71+0.26=0.97例477口袋里裝有6個黑球與4個白球,任取4個球,求其中至少有1個白球的概率

例478

根據(jù)加法公式的特殊情況與§1.1古典概型計算概率的公式,得到概率

例579

根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率

0.7例680已知某射手射擊一次中靶8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.37,0.25,0.16,求該射手在一次射擊中至少中靶8環(huán)的概率.解:設事件A1表示中靶8環(huán),事件A2表示中靶9環(huán),事件A3表示中靶10環(huán),事件A表示至少中靶8環(huán).由題意得到概率P(A1)=0.37P(A2)=0.25P(A3)=0.16例681由于事件A發(fā)生意味著事件A1發(fā)生或事件A2發(fā)生或事件A3發(fā)生,從而事件A為事件A1,A2,A3的和事件,即事件A=A1+A2+A3由于在任何一次射擊中,事件A1,A2,A3中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生,說明它們兩兩互斥根據(jù)加法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

=0.37+0.25+0.16

=0.78加法公式總結82加法公式對于任意兩個事件A,B,都有概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式總結83加法公式的特殊情況(1)如果事件A,B互斥,則有概率P(A+B)=P(A)+P(B)(2)對于任意事件A,都有概率

加法公式總結84加法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)加法公式總結85在應用加法公式時,應該首先判斷構成和事件的兩個事件是否互斥,然后應用相應的加法公式計算概率判斷兩個事件是否互斥的方法是:考察在任何一次試驗中,這兩個事件有無可能同時發(fā)生若有可能同時發(fā)生,則這兩個事件非互斥即相容若無可能同時發(fā)生,則這兩個事件互斥86本次課程結束第三節(jié)乘法公式本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

了解任意兩個事件的積事件發(fā)生的概率。

掌握兩個事件相互獨立的概念。

理解事件獨立與事件互斥的區(qū)別。

[能力目標]

能熟練計算獨立事件的概率。乘法公式88考慮任意兩個事件A,B,它們的積事件AB發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關系?在試驗E中,設長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖乘法公式89

乘法公式90于是得到乘法公式

或者

這個公式說明:任意兩個事件的積事件發(fā)生的概率等于其中一個事件發(fā)生的概率乘以另一個事件對此事件的條件概率.例191

解:設事件A表示一年級學生,事件B表示男生,由題意得到概率

例192一年級男生意味著既是一年級學生又是男性,即事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例293

解:設事件A表示刮風,事件B表示下雨.既刮風又下雨意味著事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示由題意得到概率

例294所求在刮風的條件下,下雨的概率為條件概率P(B|A),根據(jù)乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)得到條件概率

例395在倉庫內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)A與B,當報警系統(tǒng)A單獨使用時,其有效的概率為0.92,當報警系統(tǒng)B單獨使用時,其有效的概率為0.90,在報警系統(tǒng)B有效的條件下,報警系統(tǒng)A有效的概率為0.93.若發(fā)生意外時,求兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效的概率解:設事件A表示報警系統(tǒng)A有效,事件B表示報警系統(tǒng)B有效,由題意得到概率P(A)=0.92P(B)=0.90P(A|B)=0.93例396兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效,意味著報警系統(tǒng)A有效或報警系統(tǒng)B有效,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)=0.92+0.90-0.90×0.93=0.983所以兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效的概率為0.983例497口袋里裝有7個黑球與2個白球,每次任取1個球,不放回取兩次,求:(1)兩次都取到黑球的概率(2)兩次取到球的顏色不一致的概率解:設事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球例498(1)兩次都取到黑球,意味著第一次取到黑球且第二次也取到黑球,即事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例499

例4100根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式,得到概率

例5101設A,B為兩個事件,且已知概率P(A)=0.8,P(B)=0.6,若概率P(B|A)=0.7,則概率P(A+B)=

.

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.8+0.6-0.8×0.7=0.840.84乘法公式與條件概率102考慮事件A與B,在它們發(fā)生的概率都不為零的情況下,若事件B對A的條件概率不受事件A發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)則根據(jù)乘法公式P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)得到條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A對B的條件概率也不受事件B發(fā)生與否的影響事件相互獨立103定義1.3若事件A與B中一個事件對另外一個事件的條件概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A),則稱事件A與B相互獨立事件相互獨立104如果事件A與B相互獨立事件B發(fā)生的可能性不受事件A發(fā)生與否的影響事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響意味著意味著事件相互獨立105

事件獨立與條件概率106如果事件A與B相互獨立,這時有條件概率P(B|A)=P(B)與條件概率P(A|B)=P(A)根據(jù)乘法公式得到概率P(AB)=P(A)P(B)事件獨立與條件概率107如果概率P(AB)=P(A)P(B),根據(jù)乘法公式得到條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A與B相互獨立根據(jù)上面的討論得到結論:事件A與B相互獨立,等價于概率

P(AB)=P(A)P(B)事件獨立與事件互斥108事件A與B相互獨立,說明事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的條件概率事件A與B互斥,說明事件A發(fā)生必然導致事件B不發(fā)生,從而事件A是否發(fā)生影響事件B發(fā)生的條件概率事件獨立與事件互斥109事件A與B相互獨立,等價于概率P(AB)=P(A)P(B)而若事件A與B互斥,則概率P(AB)=0事件獨立與事件互斥110當概率P(A)>0,P(B)>0時,如果事件A與B相互獨立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)>0于是事件A與B不互斥如果事件A與B互斥,則有概率P(AB)=0≠P(A)P(B)于是事件A與B不相互獨立根據(jù)上面的討論得到結論:當概率P(A)>0,P(B)>0時,事件A,B相互獨立與事件A,B互斥不能同時成立.事件相互獨立111.考慮n個事件A1,A2,…,An,若其中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其他一個或幾個事件發(fā)生與否的影響,則稱事件A1,A2,…,An相互獨立事件A1,A2,…,An相互獨立,等價于其中任意k個事件積事件的概率等于這k個事件概率的積(k=2,…,n)事件相互獨立112如事件A,B,C相互獨立等價于概率

同時成立如果n個事件A1,A2,…,An相互獨立,則把其中任意一個或幾個事件換成其對立事件后,所得到的n個事件仍然相互獨立.事件相互獨立113如口袋里裝有若干個黑球與若干個白球,每次任取1個球,共取兩次,設事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球若不放回抽取,這時事件A發(fā)生與否影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B不相互獨立若放回抽取,這時事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B相互獨立特殊情況下的乘法公式114考慮特殊情況下的乘法公式如果事件A與B相互獨立,于是乘法公式化為P(AB)=P(A)P(B)它說明:在兩個事件相互獨立的條件下,兩個事件的積事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的積特殊情況下的乘法公式115特殊情況下的乘法公式可以推廣,它對于n個事件也是適用的.如果事件A1,A2,…,An相互獨立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例6116口袋里裝有7個黑球與2個白球,每次任取1個球,放回取兩次,求兩次取到球的顏色一致的概率.解:設事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球.

例6117

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例6118

例7119甲、乙兩人相互獨立向同一目標各射擊一次,甲擊中目標的概率為0.4,乙擊中目標的概率為0.3,求:(1)甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標的概率(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標的概率解:設事件A表示甲擊中目標,事件B表示乙擊中目標,由題意得到概率P(A)=0.4P(B)=0.3例7120

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例7121

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)=0.4×(1-0.3)+(1-0.4)×0.3=0.46所以甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標的概率為0.46例7122(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標,可用和事件A+B表示.由于甲、乙兩人相互獨立射擊,說明事件A與B相互獨立根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58所以甲、乙兩人中至少有一人擊中目標的概率為0.58例8123甲、乙、丙三人相互獨立破譯密電碼,甲破譯密電碼的概率為0.3,乙破譯密電碼的概率為0.4,丙破譯密電碼的概率為0.5,求密電碼被破譯的概率.解:設事件A表示甲破譯密電碼,事件B表示乙破譯密電碼,事件C表示丙破譯密電碼.由題意得到概率P(A)=0.3P(B)=0.4P(C)=0.5例8124密電碼被破譯,意味著甲、乙、丙三人中至少有一人破譯密電碼,可用和事件A+B+C表示它包括恰好有一人破譯密電碼、恰好有兩人破譯密電碼及恰好三人都破譯密電碼三類情況,由于直接計算其概率比較麻煩,因此考慮它的對立事件

例8125

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A+B+C)

=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-(1-0.3)×(1-0.4)×(1-0.5)=0.79所以密電碼被破譯的概率為0.79例9126

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)例9127將已知數(shù)值代入,得到關系式

即有

因此概率

乘法公式總結128乘法公式對于任意兩個事件A,B,都有概率P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公式總結129乘法公式的特殊情況如果事件A,B相互獨立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)乘法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An相互獨立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)乘法公式總結130在應用乘法公式時,應該首先判斷構成積事件的兩個事件是否相互獨立,然后應用相應的乘法公式計算概率判斷兩個事件是否相互獨立的方法是:考察在任何一次試驗中,一個事件發(fā)生與否影響不影響另外一個事件發(fā)生的條件概率若有影響,則這兩個事件不相互獨立若無影響,則這兩個事件相互獨立131本次課程結束第四節(jié)全概公式本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

了解完備事件組的概念。

掌握全概公式。

理解貝葉斯(Bayes)公式。

[能力目標]

能熟練利用全概公式計算事件概率。完備事件組133定義1.4已知事件A1,A2,…,An,若它們同時滿足:(1)兩兩互斥(2)和事件A1+A2+…+An=Ω則稱事件A1,A2,…,An構成一個完備事件組完備事件組134

設事件A1,A2,…,An構成一個完備事件組,考慮任意事件B,它發(fā)生的概率與事件A1,A2,…,An發(fā)生的概率有什么關系?完備事件組135在試驗E中,若區(qū)域A1,A2,…,An兩兩分離,且它們的并集是長方形桌面Ω,則小球不可能同時落入其中任何兩個區(qū)域,但一定落入其中一個區(qū)域,意味著事件A1,A2,…,An兩兩互斥,且它們的和事件是必然事件,因此它們構成一個完備事件組區(qū)域B被分成n個部分,它們分別是區(qū)域B與A1,A2,…,An的交集,即區(qū)域B為交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B的并集,如圖完備事件組136根據(jù)§1.1中的討論,事件B為積事件A1B,A2B,…,AnB的和事件,即B=A1B+A2B+…+AnB注意到交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B兩兩分離,說明積事件A1B,A2B,…,AnB兩兩互斥全概公式137根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣與§1.3乘法公式,于是得到全概公式P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)貝葉斯公式138如果還求條件概率P(Ai|B)(i=1,2,…,n),則根據(jù)§1.3乘法公式P(B)P