《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))

浙大第四版(高等教育出版社)

第一章概率論的基本概念

1.［-］寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(［一］1)

'o1........nxwo'主?證人物

q'=1一-------n表小班人數(shù)

［nnnj

。生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(［-］2)

S={10,11,12,,,,,n,,,,}

④對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”

如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿

4次才停止檢查。(［一］(3))

S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}

2.［-］設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生。

表示為：ABC或A-(AB+AC)或A-(BUC)

(2)A,B都發(fā)生，而C不發(fā)生。

表示為：ABC或AB-ABC或AB-C

1

(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C

(4)A,B,C都發(fā)生，表示為：ABC

(5)A,B,C都不發(fā)生，表示為：氐而■或S—(A+B+C)或AjB"

(6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生

相當(dāng)于囚百，百6,中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC。

(7)A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：A,巨中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A+巨+U或而6

(8)A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6」三］設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問⑴在什么條件下P(AB)取到最

大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABW小，(否則AB=小依互斥事件加法定理，

P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AUB)W1矛盾).

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)

?從OWP(AB)WP(A)知，當(dāng)AB=A,即ACB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為

P(AB)=P(A)=0.6,

0從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為

P(AB)=0.6+0.7-1=0.3。

7」四］設(shè)A,B,C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=；，P(AB)=P(BC)=0,

P(AC)=)?求A，B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。

解：P(A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-

2

P(AC)+P(ABC)=2_l+0=5

488

84五］在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26

個(gè)英語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記A表''能排成上述單詞”

從26個(gè)任選兩個(gè)來排列,排法有晨種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞:55個(gè)

（）

PA==130

9.在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4

個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2?9)

記A表”后四個(gè)數(shù)全不同”

V后四個(gè)數(shù)的排法有IO4種，每種排法等可能。

后四個(gè)數(shù)全不同的排法有

P(A)=4=0.504

10

10.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄

其紀(jì)念章的號(hào)碼。

(1)求最小的號(hào)碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A

V10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。

又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有

3

(2)求最大的號(hào)碼為5的概率。

記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有種，且

每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有l(wèi)xf'

種

P(B)=

1"七］某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬

運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2

桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為Ao

g

在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有°佝xxC3

“A、=G%=252

故)湍2431

12.［A］在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。

(1)求恰有90個(gè)次品的概率。

記“恰有90個(gè)次品”為事件A

在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有每種取法等可能。

200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有

Y

11100

MIO

P(A)=

1500

、200

4

（2）至少有2個(gè)次品的概率。

記：A表“至少有2個(gè)次品”

Bo表”不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法

有中，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有佝00丫11001種

2001..1

A=BQ+B1且Bo,Bi互不相容。

【1100,<400/1100

2001199

lJ+VAJ

P(A)=1_P(A)=1_[P(B0)+P(B1)]=1_

「1500，門500

200200;

13.［九］從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？

記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)

則公表“4只人不配對(duì)”

從10只中任取4只，取法有|種每種取法等可能。

要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

8

P（A）二段一

21

P(A)=1_P(A)=1，13

21

15.［十一］將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1,2,

3,的概率各為多少？

記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)"i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對(duì)Ai：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。

（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）

5

4x

P（A1）=^2=6

416

對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C；x4x3種。

（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C/,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3利、

C3x4x39

P(A)=

2~_4^16

對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此

3個(gè)球，選法有4種）

16.［十二］50個(gè)釧釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉀釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部

件用3只鉀釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，

問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。

法一：用古典概率作：

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去卸完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M

中不分先后次序。但10組釘加完10個(gè)部件要分先后次序）

o3

對(duì)E:鉀法有C^O,C47工C44.......X023種，每種裝法等可能

3

XC23）

對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉀在一個(gè)部件上。這種抑法有（C/0?7'Cj4.......X10

種

“ci……>13廣1。-

P(A)=0.00051

X

C獷C/……d31960

法二：用古典概率作

把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件加完。

（鉀釘要計(jì)先后次序）

6

對(duì)E：鉀法有晨種，每種釧法等可能

對(duì)A：三支次釘必須鉀在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，，或“28,29,

30”位置上。這種鉀法有A晨吟+解xA。；+?……+K+A：；=10x解XA*種

10xA,x幅1

P(A)=3==0.00051

A黑I960

17［十三］已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,^P(B|B)o

解一：

P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0,6,A=AS=A(BuB)=ABuAB

注意(AB)(AB)=4>.故有

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2。

再由加法定理，

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.5=0.8

于是P(B|A0B)=P［B(A^B)］=P(AB)=02=o.25

P(AuB)P(AuB)0.8

由已矢口

解二:P(AB)=P(A)P(B|A)--------705=07P(B|A)

21

P(B|A)=-=-=>P(B|A)=-故p(AB)=P(A)P(BIA)=-

0.7775

J

P(B|A-B)W(BA心)=——_W_=0,25

P(A<>B)P(A)+P(B)-P(AB)0.70^0.6-0.5

7

=—=—=—1kJ

18.［十四］P(A)1，P(B|A)1,P(A|B)1,求P(AB)。

X

=--------------=-------------------------------------------------->—=^i-------r==—

解:由P(A|B)定義P(AB)1

P(A)P(B|A)由已知條件有143P(B)

P(B)P(B)2P(B)6

7

由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|A)=,L

由力口法公式，得P(A^B)=P(A)+P(B)_P(AB)=—+1=1

46123

19.［十五］擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用

兩種方法)。

解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求

事件A發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)(x,y=1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則

樣本空間為

S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}

每種結(jié)果(X,y)等可能。

21

A={擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)=-=-)

63

方法二：(用公式P(A|B)=P(AB)

P(B)

S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6))卷種結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子，x,y中有一個(gè)為“1“點(diǎn)"，B="擲兩顆骰子，x,+y=7”。則

P(B)=?/,P(AB)=2,

2

666

2

P(AB)R221

故P(A|B)=f^j=1=7=3

6

20.［十六］據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：

P(A)=P｛孩子得?。?0.6,P(B|A)=P｛母親得病|孩子得病)=0.5,P(C|AB)=P｛父親得病|母親

及孩子得病｝=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P(ABU)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，

這里不是求P(C|AB)

8

P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6P5=0.3,P(C|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=0.6.

從而P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=0.3>0.6=0.18.

21.［十七］已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作

不放回抽樣，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（記為事件A）

法一：用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種

取法等可能。

Cs

P(A)=-r

5o禁。62

法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列,每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)

排列等可能。

法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。

記A”A2分別表第一、二次取得正品。

x

P(A)=P(A1A2)=P(A)P(A2|AJ=--=—

10945

⑵二只都是次品（記為事件B）

法一：P（B）=-r

5。“

法二：P（B）=々=—

篇45

211

法三：P(B)=P(AIA2)=P(AI)P(A2IA)=-x_=一

10945

⑶一只是正品，一只是次品（記為事件C)

9

P(C)xC216

(。8XC2)XA216

法二:P(C)=-—=45

法三:P(C)=P(A&+再4)且人1&與否人2互斥

=P(A1)P(^|A1)+P(A1)P(A2|AI)=±X1+A8=11

1uy1uy4o

(4)第二次取出的是次品(記為事件D)

法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，

、HAlXA21

法二：P(D)=^-^=-

Ao5

法三：P(D)=P(AI,2+再入2)且A72忘互斥

=p(A1)p(A2|A1)+P(^)P(A2|A1)=AX1+_LX1=1

224十八］某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超

過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是

多少？

記H表?yè)芴?hào)不超過三次而能接通。

Ai表第i次撥號(hào)能接通。

注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。

v

H=A+AA2+AAA3三種情況互斥

++

P(H)=P(A1)P(A1)P(^IA)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A,A2)

1」99813

10109109810

如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵贐己發(fā)生的條件下，求H

10

再發(fā)生的概率。

P(H|B)=PAiIB+A1A2IB+A1A2A3IB)

=P(A|B)+P(AIB)P(&|BA1)+P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA入)

1414313

=芍耳+芍x4x3=芍

24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球

M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問取?即從乙袋

中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1))

記A】，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉薄?/p>

B=AIB+A2B且Al，A2互斥

P(B)=P(AI)P(B|AI)+P(A2)P(B|A2)

=nxN+1+mVN

n+m'N+M+1n+mN+M+1

［十九］(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。

先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白

球的概率。

記G為“從第一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

D為“從第二盒子中取得白球”,顯然C，C2，C3兩兩互斥，CiUC2UC3=S,由全

概率公式，有

p(D)=PG)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)p(D|C3)

C55上C：7，Cl653

C911C911C；1199

26/二十一］己知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女

11

人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：Ay｛男人｝,A2=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然AiUA2=S,AIA2=6

1

由已知條件知P(A.=P(A2)=-0P(B|AJ=5%,P(B|A2)=0.25%

由貝葉斯公式，有

]A

P(A1|B)=P(AB)=P(AJP(B|A)=2,而=20

―P(B)—P(A)P(B|A)+P(H)P(B|A2)~15+125-21

2100210000

[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次

及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為—(1)若至少

2

有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及

格，求他第一次及格的概率。

解:A=｛他第i次及格),i=1,2

已知P(AI)=P(A21Ai)=P,P(A21A。=52

(1)B=｛至少有一次及格｝

所以B=｛兩次均不及格｝=AiA2

；?P(B)=1-P(B)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A2|Ai)

=1-[1-P(A1)][1-P(A2|A1)]

P3[

=1-(1-P)(1--)=Tp-Tp2

222

(2)P(AA、定義P(AiA2)(*)

12)—PT^F

由乘法公式，有P(A1A2)=P(A/P(A21AMP?

由全概率公式，有P(A2)=P(A1)P(A2|AJ+P(A1)P(A2|AJ

12

=p.P+(1_P)5p

p2p

=~T+~2~

將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得P(A［IA2)_,p2_.2P

一^-TTH

~T+~2

28,二十五］某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：

到家時(shí)間5:35?5:395:40?5:445:45?5:495:50-5:54遲于5:54

乘地鐵到

0.100.250.450.150.05

家的概率

乘汽車到

0.300.350.200.100.05

家的概率

某日他拋一枚:硬幣決定乘地專關(guān)還是乘汽車，9告果他是5:47到家的，1貳求他是乘地鐵

回家的概率。

解:設(shè)A="乘地鐵”,B=“乘汽車”,C="5:45~5:49到家”，由題意,AB=<t>,AUB=S

已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5

由貝葉斯公式有

P(A|C)=P(C?A)P(A)_0.?x0.45=0.45,=0.6923

P(C)-P(C|A)1+P(C|B)1-0.65-13一

22

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30

只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一

只，作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零

件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)&表示“第i次取到一等品"i=1,2

13

A)表示“第j箱產(chǎn)品"j=1,2,顯然A,UA2=SAIA2=*

(1)P(B)110/1820.4(B=AB+AB由全概率公式解)。

1=-------------十------=—=112

2502305

1109_11817

(2)P(B|B)=P(BiBz)=2504923029=0,4857

21

P(B1)一2

5

(先用條件概率定義，再求P(B|B2)時(shí)，由全概率公式解)

32.[二十六(2)]如圖1,2,3,4,5

表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)

立，求L和R是通路的概率。

記A表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記A表從L到R是構(gòu)成通路的。

A=A1A2+AiA3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

P(A)=P(A1A2)+P(A[A3A5)+P(A4A?+P(A4A3A2)—P(A,A2A3A5)

+P(A1A2A4A5)+P(AiA2A3A4)+P(AiA3A4A5)

+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)

+(AiA2A3A4A5)+P(AiA2A3A4A5)-P(AiA2A3A4A5)

又由于A1，A2,A3,A4,A5互相獨(dú)立。

D/A\-2323r444454.

故r(A)=p+p+p+p—[p+p+p+p+p+p]

555552345

+[p+p+p+p]—p=2p+3p-5p+2p

[二十六(1)]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4o它們的可靠性分別為PnP2,

P3，P船將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1,2,3,4,

14

23

表示系統(tǒng)正常。

1A

VA=A|A2A3+A1A4兩種情況不互斥

???P(A)=P(AIAZA3)+P(A|A4)-P(AIA2A3A4)(加法公式)

=P(Ai)P(A2)P(A3)+P(AOP(A4)-P(A,)P(A2)P(A3)P(A4)

=PF2P3+P1P4-P1P2P3P4(AnA21A3,A4獨(dú)立)

34.［三十一］袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽)

在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問這只硬幣是正品的概率為多

少？

解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br"任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

一—m1n

P(Br)=P(A)P(Br|A)+P(A)P(Br|A)=()'+

m+n2m-n

m1r

--------(-)

.P(A|B)=P(A)P(Br|A)=m+n2=m

rr

P(Br)—m(1)r+n―m+n.2

m+n2m+n

(條件概率定義與乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。

飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊

中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高序表示飛機(jī)被i人擊中，i=1,2,3oBi，B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛

機(jī)

H1=B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3,三種情況互斥。

H2=BIB2B3+B1B2B3+B1B2&三種情況互斥

H3=B2B2B3

15

又Bi，B2,區(qū)獨(dú)立。

???P(H1)=P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)

+P(B1)P(B2)P(B3)=0.4X0.5x0.3+0.6

x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P(H2)=P()P(B2)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)

+P(B-1)P(B2)P(B3)=0.4x0.5x0.3

+0.4(X5S.7+0.60<5?.7=0.41

P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4僅58.7=0.14

又因：A=HIA+H2A+H3A三種情況互斥

故由全概率公式，有

P(A)=P(H,)P(A|Hi)+P(H/P(A|H2)+P(H3)P(AH3)

=0.368.2+0.410<6+0,14性0.458

36.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(這一事件記為

Ai)，10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分別為P(Ai)=0,8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05,

現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分別求P(A1|B)

P(A2|B),P(A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以

取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)

,/B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式，有

P(B)=P(AI)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

qqq

=0.8世98)+0.15世9)+0.05和.1)=0.8624

16

3

P⑸B「常P(A)P(B|A)0.8x(0.98)

=0.8731

-P(B)'0.8624

P(AJB)=P然)P(4)P(B|A)_0.15x(0.9)3

=0.1268

P(B)0.8624

p()_P(A)P(B|A)_0.05x(0.1)3

P(A|B)_%B33=0.0001

一P(B)P(B)0.8624

37.［三十四］將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出

為其它一字母的概率都是(1-a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道，輸入

AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p>p2,p3(pi+p2+p3=1),已知輸出為ABCA,問輸入的

是AAAA的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)

解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA,B2,B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA,BBBB,

CCCC,則BvB2,B3為一完備事件組，且P(Bi)=pi,i=1,2,3o

再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有

P(A收|A發(fā))=P(B收|B發(fā))=P(CpC發(fā))=a,

P(A收|B發(fā))=P(A收|C發(fā))=P(BMA發(fā))=P(Bft|Cs)=P(C收|A發(fā))=P(C收|B發(fā))=上^

2

又P(ABCA|AAAA)=P(D|即=p(A妝|A發(fā))P(B叫A?)P(C叫A發(fā))P(A叫A發(fā))

9/1~x2

a(2)，

同樣可得P(DIB2)=P(DIBb)=a,(■L^