高中數(shù)學(xué)極品寶典

目錄

前言...............................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法.....................3

一、配方法.................................3

二、換元法..................................7

三、待定系數(shù)法.............................14

四、定義法.................................19

五、數(shù)學(xué)歸納法............................23

六、參數(shù)法.................................28

七、反證法................................32

八、消去法...............................

九、分析與綜合法.........................

十、特殊與一般法.........................

十一、類比與歸納法.....................

十二、觀察與實驗法.....................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想..................35

一、數(shù)形結(jié)合思想..........................35

二、分類討論思想..........................41

三、函數(shù)與方程思想........................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想......................54

第三章高考熱點問題和解題策略..................59

一、應(yīng)用問題...............................59

二、探索性問題.............................65

三、選擇題解答策略........................71

四、填空題解答策略........................77

附錄............................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析.....................

二、兩套高考模擬試卷.....................

三、參考答案.............................

_1_4__1—

刖5

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解

題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題

十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊

2

含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問

題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去

法等；

②數(shù)學(xué)逅輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、

歸納和演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化

歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)

學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來

可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范

疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，

而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式

化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它

與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)

的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是''能

力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中

常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去

法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介

紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化

（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部

分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形

式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳

細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到

鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重

要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。

3

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配

方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合

理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其

稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已

知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，

或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,

將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：

a?+b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab；

,其

a2+ab+b2=(a+b)2—ab=(a—b)2+3ab=(a+—)2+(——b)2；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=—[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H—^=(x+，)2―2=(x——)2+2；...等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，a]*a5+2a3*a5+a3-a7=25,貝ija3+a5=

o

2.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圓的充要條件是__。

A.1<k<lB.或k>lC.kGRD.k=/或k=l

3.已知sin4a+cos4a=1,貝ijsina+cosa的值為___。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log,(—2x2+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是__。

2

A.(-8,浦B.[九+8)C.(一九司D.[1,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+aT=0的兩根x]、x2,則點P(x]，x?)在圓x?+y2=4

L,則實數(shù)a=_____。

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a"=a,"2,將已知等式左邊后配方

(a3+a5)2易求。答案是：5?

4

22

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(X—a)2+(y—b)=r,解”>0即可,選Bo

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+cos2a)2—2sin2acos2a=1,求sin

acosa,然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。

選Do

5小題：答案3—vn。

n、示范性題組：

例L已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體

的一條對角線長為_____o

A.273B.V14C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則

L，而欲求對角線長曲K7,將其配湊成兩已知式的組合

形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12

條棱的長度之和為24”而得/了+"+11。

[4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：y/x2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=

A/62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀

察和分析三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知

和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x?+kx+2=0的兩實根為p、q,若(K)2+(V)2<7成立，求實

qp

數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=

2,

(K)2+(g)2=/+/=2//=Kp+療-2聞2-2p2/=

qp(pq￥(pg))(pq)2

(k2-4^2_8,-i-

——---^7,解得k<—或k?JT5o

4

又yP、q為方程x2+kx+2=0的兩實根，△=k2—8,0即k22行或

kWi2正

綜合起來，k的取值范圍是：一回WkW—2叵或者2五

5

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方

程有兩根時一，可以恰當(dāng)運用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已

知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如

本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的

討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求(，—)屐十(上)刖。

Q+5Q+。

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(￡)2+(￡)+1=0,則￡=3(3為1

bbb

的立方虛根)；或配方為(a+b)2=ab。則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得：(￡)2+(￡)+1=0,

bb

設(shè)3=3,則3?+3+l=0,可知3為1的立方虛根，所以：—,O3=

b(oa

又由a?+ab+b2=0變形得：(a+b)2=ab，

所以(a)1998+(一b_)1998=(匕)999+()999=(q)999+(2)999=3

a+ba+bababba

弼+石999=2o

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性

質(zhì)，計算表達(dá)式中的高次暴。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于

聯(lián)想和展開。

【另解】由a2+ab+b2=0變形得：(y)2+(y)+l=0,解出百,

bba2

后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(;)切+(2799后，完成后面的運

ba

算。此方法用于只是未」!畫聯(lián)想到3時進(jìn)行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a?+ab+b2=0解出：a=

一：技b,直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用

棣莫佛定理完成最后的計算。

皿、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)2+(x—b)?(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.匆一"?C.標(biāo)+力D.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的兩實根，則(a-l)2+(87)2的最小值

是__□

6

A.一竽B.8C.18D.不存在

3.已知x、yGR+,且滿足x+3y—l=0,則函數(shù)t=2，+8,有___。

A.最大值2&B.最大值也C.最小值20B.最小值也

22

4.橢圓X?—2ax+3y2+”-6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，貝lja=

___________o

A.2B.-6C.一2或一6D.2或6

5.化簡：2Jl-sin8+j2+2cos8的結(jié)果是__=

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—

2sin4

6.設(shè)取和為雙曲線工一y2=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NFJF?

4

=90°,則△F|PF2的面積是o

7.若x>—1,則f(x)=x2+2x+_!_的最小值為o

X+1

8.已知匹<3<a(2Jr,cos(a-0)=12,sin(a+B)=—求sin2a的

24135

值。(92年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,給豈m、n(m設(shè))，且滿足A：[(m+n)2+m2n2]

22

+2A[B(m+n)—Cmn]+B+C=0o

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實數(shù)t,使當(dāng)tG(m+t,n-t)時，f(x)〈O?若不存在，說出理

由；若存在，指出t的取值范圍。

442

10.設(shè)s>l,t>l,mGR,x=logst+log,s,y=log5t+log,s+m(logvt

+log,2s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得

到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量

代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)

準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件

聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男?/p>

式，把復(fù)雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,

在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，

是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題,

7

當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4，+2'—2>0,先變形為設(shè)2，=

t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式

中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)+的值域時，易發(fā)

現(xiàn)xe[O,1],設(shè)*=$行2a,ae[0,問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。

2

為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變

量x、y適合條件x2+y2=r2(r>0)時，則可作三角代換x=rcos9、y=rsin

0化為三角問題。

均值換元，如遇到乂+丫=5形式時，設(shè)X=±+t,y=±-t等等。

22

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重

新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不

能擴大。如上幾例中的t>0和aG[0,o

2

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x?+l)=log〃(4—x“)(a>l),則f(x)的值域是=

3.已知數(shù)列｛a“｝中，a1=-1,a“+]?a“=a"+]—a“，則數(shù)列通項a“=

o

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+2xy—l=0,則x+y的取值范圍是。

1+3-t

5.方程?4T=3的解是。

1+3,

+,

6.不等式log2(2'—1)?log2(2-'-2)〈2的解集是o

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=te則丫=彳+1—；；，對稱軸

22

t=-i,當(dāng),ymax=^+V2；

2小題：設(shè)x2+l=t(t2l),則f(t)=log“[-(t-l)2+4],所以值域為(一

8,log/]；

3小題：已知變形為「一一」-=-1,設(shè)b=—,則b=—1,b=-1+(n

4+i%

—1)(-1)=—n,所以a“=一

n

4小題：設(shè)x+y=k,則x2—2kx+l=0,A=4k2—4^0,所以k2l或k<—1；

5小題：設(shè)3*=y,則3y?+2y—1=0,解得y=g,所以x=-1；

8

6小題：設(shè)log2(2,一1)=y,則y(y+1)<2,解得一2<y〈l,所以xe

(log,log,3)o

4'

II、示范性題組：

例1.實數(shù)x、y滿足4x?—5xy+4y2=5（①式），設(shè)S=x?+y2,求」

Sm,

+一一的值。（93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

3min

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos?a+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)

A.rL=屈cosa,…一

【解】設(shè)《代入①式得：4S—5s?sinacosa=5

丁-lWsin2a/.3W8—5sin2aW13/.—<--—

138-5sina3

QC_1A

此種解法后面求s最大值和最小值，還可由Sin2a"的有界性而求,

oc_1n

即解不等式：I型聲|W1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

qssS

【另解】由S=x2+y2,設(shè)x2=1+t,y2=1—t,teL-j,

則xy=±代入①式得：4S±5

移項平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

39s2—160S+100W0解得：WwsW”

133

.1,13,13168

"SmaxSmin1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=X?+y2

與三角公式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)

化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+

9

y?而按照均值換元的思路，設(shè)x2=￡+t、y2=￡-t,減少了元的個數(shù)，問題且

22

容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)

法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量X、y時,

可以設(shè)x=a+b,y=a-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。

本題設(shè)x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a?+13b?=5,求得*],

所以S=(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2)=^+^a2e[^,再求;十

1313133Smax

--的值。

,min

11M

例2.z^ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,----+-----=一，^,

cosAcosCcosB

求COS*二C的值。(96年全國理)

2

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180?！钡男再|(zhì)，可得

fA+C=120°[A=60°+a

。；由“A+C=120。”進(jìn)行均值換元，則設(shè)。，再代

8=60°C=60°-a

A-C

入可求cosa即cos

2

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得"十0—12°

8=60。

A=60°+a…、,

由A+C=120°,設(shè)〈，代入已知等式得:

C=60°-a

+

cosAcosCcos(60°+?)COS(60°-￡Z)1V3

—cosa--sina

22

1_cosa_cosa

=-2A/2,

1V3123.2

-cosa+——sina)cosa-snracos2a--

22444

解得：cosa=—,即：cos—~~9=V2

222

ii6

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+-----—

cosAcosCcosB

10

=-2V2,設(shè)-----=-V2+m,-------=-V2—m，

cosAcosC

所以，，兩式分別相加、

cosA=-J-----cosC=-J-----相減得:

-\2+m-—m

2V2

COSA+COSC=2COSA±￡COSAZ￡.COSAZ￡

222m之一2

cosA-coSC=-2sin^sin^=-V3sin

即：sin2/=一2〃22&代入siM"+cos2等=1

V3(m2-2)m2-2

整理得：3m4—16m—12=0,解出m2=6,代入cos"~￡=金?_=也

2m2-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120。"、“」一+-^=—2五”分別

cosAcosC

進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運算，除由已知想到均值

換元外，還要求對三角公式的運用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三

角運算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以」:十—5―=

cosAcosC

/y

-------=-2V2，即cosA+cosC=-2V2cosAcosC,和積互化得：

cosB

A+CA—Cr-A-C5/2

2cos-------cos--------=-J2[rcos(zA+C)x+cos(A-Cx)，即nncos-------=——一

2222

V2cos(A-C)=—V2(2cos2————1),整理得：4V2cos2―—―+

222

2cos'20-3收=0,

AnzgA-CV2

解得：cos---=—

22

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a?的最大值和最小

值。

y

【解】設(shè)sinx+cosx=t,則te[-四,及],由(sinx

，■，

+cosx)2=l+2sinx?cosx得：sinx?cosx=------叵

1,12~T\，

:?f(x)=g(t)=——(t—2a)~+—(a>0)，

22

L-5/2,V2]

II

I--41取最小值：-2a2—2V2a——

2

當(dāng)2aN正時，t=叵,取最大值：-2a2+2V^a—,；

2

當(dāng)0<2a<&時，t=2a,取最大值：-。

2

f(x)的最小值為一2a2—2立a—,最大值為

2

flc叵

/(0<a<—)

'c2c廠1V20

—2ci+2d2a—-(a2—)

、22

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與

sinx-cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值

域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(te[-VLV2])

與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的

數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角

式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx土cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這

樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式x21og,攸土2+2xlog,B-+

aa+\

log2g匚>0恒成立，求a的取值范圍。(87年全國理)

4a~

【分析】不等式中l(wèi)og2%。、log2義、log,”U?三項有何聯(lián)系？

2a2a+\24a2

進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

?Hr、、幾12a??4(a+1)8(。+1),a+1

【解】設(shè)log,-----=t,貝I」l1og2---------=log--——=3+lo1g——=3

-a+12a222a2la

i2ai(a+l)2a4-10

-log----;=3o—t,log=21og—-=-2t,

~2a+12-4。~~22a

代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以:

3—>0/<3

I2，解得"/.t<0即log2——<0

△=4/+8r(3-r)<0t<0或f>6?a+1

0<-^-<l,解得0〈a〈l。

a+\

12

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換

元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og,生空D、logzB-'log,巨■半

三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題

還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局

部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實

施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

miLnmSin0cos0口cos_9,sin-910

例5.已知-----=------,且一Z——I-----=———7-(②式)，求一

xyxy3(x~+y)y

的值。

cin0pr)c0

【解】設(shè)-----=—----=k,則sin。=kx,cos。=ky,R.sin29+cos2。

xy

女2210]0女22

=k2(x2+y2)=l,代入②式得：4+0=，、二號即：、十

x2y23(x2+y2)3x2

x210

設(shè)三=t,則t+』=W,解得：t=3或！.?.土=土百或土￡

y2t33y3

Yein0CCS20

【另解】由±=X==tgO,將等式②兩邊同時除以8^-,再表示成含

ycos0x

tg0的式子：l+tg4e=(1+吆2。)X---含一=—tg20,設(shè)tg29=t，則3t2一

3(1+L)3

tg-e

10t+3=0,

，t=3或；，解得土=土百或土寧。

3y3

【注】第一種解法由型而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量

xy

Xcin0

的個數(shù)。第二種解法將已知變形為巴=里一，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgO,再進(jìn)

ycos0

行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元

法使方程次數(shù)降低。

例6.實數(shù)x、y滿足空?+*密=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范

916

圍。

13

【分析】由已知條件+空3=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a2+b2=l有相似

916

之處，于是實施三角換元。

4（x-l>,（V+1）2,X-1V+1.?

【解】由^-----+------=1,設(shè)----=cos0,----=sin9,

91634

x=]+3cos。

代入不等式x+y—k>0得：

（y--l+4sin6

3cos。+4sin6—k>0,即k<3cos。+4sin6=5sin（9+w）

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三

角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而

求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者

在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等

式ax+by+c>0（a>0）所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部分中含

x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為

圖形問題:橢圓上的點始終位于平面上x+y-k>0

的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y—k=0在與橢圓下部相切

的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組

尸X5+9（>】）2=144有相等的一組實數(shù)解，

消元后由△=（）可求得k=—3,所以k<-3時原不

等式恒成立。

HI、鞏固性題組：

1.已知f(x3)=lgx(x>0),則f(4)的值為____□

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.21g4

333

2.函數(shù)y=(x+l)<+2的單調(diào)增區(qū)間是____o

A.[-2,+°°)B.[T,+8)D.(-8,+8)C.(-8,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差d=；,且S1145,則巾一小什……+a”的

值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,則x+y的范圍是________________。

5.已知a20,b20,a+b=l,則+舊]的范圍是。

6.不等式五>ax+3的解集是(4,b),則a=，b=。

2

14

7.函數(shù)y=2x+V77T的值域是。

8.在等比數(shù)列｛a,J中,a[+a2T--Fa10=2,an+a|2d---|-a3O=12,求231

+a32H---------Fa^o

9.實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x,不等式sin2x+2mcosx+4m—1<0

恒成立。

10.已知矩形ABCD,頂點C(4,4),A點在yDC

曲線x?+y2=2(x>0,y>0)上移動，且

AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD

的最小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些

未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式

f(x)三g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)三g(a)；或者兩個多

項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，

就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來

解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具

有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、

拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都

具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出…組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

15

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程

的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或

方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明

確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

X

1.設(shè)￡?)=5+111,￡&)的反函數(shù)￡-16)="-5,刃法m、n的值依次為___。

5555

A.—,—2B.——,2C.—,2D.——,—2

2222

2.二次不等式ax2+bx+2>0的解集是(一；，g),則a+b的值是?

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(l—x3)(1+x)1°的展開式中，x5的系數(shù)是___。

A.-297B.-252C.297D.207

3I

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為一，最小值為一一，則y=-4asin3bx

22

的最小正周期是_____O

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線-的方程是

2

6.與雙曲線有共同的漸近線，且過點⑵2)的雙曲線的方程是

【簡解】1小題：由f(x)=；+m求出fi(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一!」)，可知一!、!是方程ax?+bx+2=0的兩根,

2323

代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析x5的系數(shù)由C