2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 8-2　立體圖形的直觀圖 學(xué)案

8.2立體圖形的直觀圖新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體）的直觀圖直觀想象、數(shù)學(xué)抽象圖中的國家游泳中心（又稱“水立方”）可以抽象成一個幾何體——長方體.問題你能畫出一個長方體嗎？

知識點一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法1.直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟提醒對斜二測畫法的再理解：①“斜”：把直角坐標(biāo)系xOy變?yōu)樾弊鴺?biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'軸是斜的，反映投影線是斜的；②“二測”：平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，即有“兩種測度”.知識點二空間幾何體直觀圖的畫法1.畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z'軸.2.畫底面：平面x'O'y'表示水平平面，平面y'O'z'和x'O'z'表示豎直平面.3.畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.4.成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.提醒畫空間幾何體的直觀圖時，需特別注意實虛線的應(yīng)用，被遮住的線必須用虛線，體現(xiàn)層次性和立體感.1.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若角A的兩邊分別平行于x軸，y軸，則在直觀圖中角A'＝（）A.45° B.135°C.45°或135° D.90°解析：C在畫直觀圖時，角A'的兩邊依然分別平行于x'軸，y'軸，則∠x'O'y'＝45°或135°.故選C.2.利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是（）解析：C正方形的直觀圖應(yīng)為平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1.3.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，則AB邊上的中線的實際長度為.

解析：由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A'C'＝3，BC＝2B'C'＝4，計算得AB＝5，所求中線長為52答案：5題型一平面圖形的直觀圖的畫法【例1】畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.解畫法：（1）如圖①所示，取AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線OE為y軸，兩軸交點O為原點，建立直角坐標(biāo)系，在圖②中畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.（2）在圖②中，以O(shè)'為中點在x'軸上取A'B'＝AB，在y軸上取O'E'＝12OE，以E'為中點畫C'D'∥x'軸，并使C'D'＝CD（3）連接B'C'，D'A'，并擦去輔助線x'軸和y'軸，所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖③所示.通性通法畫平面圖形的直觀圖的技巧（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點；（2）畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段（平行性不變），與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形（如圖）的直觀圖.解：（1）如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.（2）畫對應(yīng)的x'軸、y'軸，使∠x'O'y'＝45°.在x'軸上截取O'B'＝O'C'＝2cm，在y'軸上截取O'A'＝12OA（3）連接A'B'，A'C'，則△A'B'C'即為正△ABC的直觀圖，如圖②所示.題型二空間幾何體的直觀圖的畫法【例2】用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.解（1）畫軸.如圖，畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝32cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，則?ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖（3）畫側(cè)棱.過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'.（4）成圖.順次連接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖.通性通法畫空間圖形的直觀圖的原則（1）首先在原幾何體上建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，并且把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸交于點O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它們確定的平面表示水平面，再作z'軸與平面x'O'y'垂直；（2）作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x'軸的線段并且長度不變；（3）平行于y軸的線段畫成平行于y'軸的線段，且線段長度畫成原來的一半；（4）平行于z軸的線段畫成平行于z'軸的線段并且長度不變.畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.解：（1）畫軸.畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如圖.（2）畫底面.以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.（3）畫頂點.在Oz軸上截取OP使OP的長度等于四棱錐的高.（4）成圖.順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖.題型三直觀圖的還原與計算【例3】如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'＝6cm，O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，則原圖形的形狀是，其面積為cm2.

解析如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O'D'＝2×22＝42（cm），CD＝C'D'＝2cm，所以O(shè)C＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6（cm），所以O(shè)A＝OC＝BC＝AB，故四邊形OABC是菱形.S四邊形OABC＝OA×OD答案菱形242通性通法1.直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸，y'軸平行的直線或線段，且平行于x'軸的線段還原時長度不變，平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.2.直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S'，則有S'＝24S或S＝22S'.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積1.如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'B'，A'C'所在直線分別與x'軸，y'軸平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（）A.等腰三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形解析：D因為水平放置的△ABC的直觀圖中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'軸，A'C'∥y'軸，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.2.已知等邊△ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為（）A.34a2 B.38C.68a2 D.616解析：D法一建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖②所示，建立坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直觀圖畫法，知A'B'＝AB＝a，O'C'＝12OC＝34a.過點C'作C'D'⊥O'x'于點D'，則C'D'＝22O'C'＝68a.所以△A'B'C'的面積是S＝12·A'B'·C'D'＝12·a·6法二S△ABC＝34a2，又S△A'B'C'＝24S△ABC，所以S△A'B'C'＝24×34a2＝1.若把一個高為10cm的圓柱的底面畫在x'O'y'平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成（）A.平行于z'軸且長度為10cmB.平行于z'軸且長度為5cmC.與z'軸成45°且長度為10cmD.與z'軸成45°且長度為5cm解析：A平行于z軸（或在z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.故選A.2.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原圖形是（）解析：A根據(jù)斜二測畫法知，在y軸上的線段長度為直觀圖中相應(yīng)線段長度的2倍，故選A.3.（多選）關(guān)于斜二測畫法所得到的直觀圖，下列說法正確的是（）A.三角形的直觀圖是三角形B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C.正方形的直觀圖是正方形D.菱形的直觀圖是菱形解