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文檔簡介

2023-2024學年廣東省梅州市富力足球學校高三六校第一次聯考數學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}2.已知曲線的一條對稱軸方程為,曲線向左平移個單位長度,得到曲線的一個對稱中心的坐標為,則的最小值是()A. B. C. D.3.已知是虛數單位,則復數()A. B. C.2 D.4.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點,若為線段中點且(為坐標原點),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.5.設不等式組表示的平面區(qū)域為,若從圓:的內部隨機選取一點,則取自的概率為()A. B. C. D.6.如圖,在中,點為線段上靠近點的三等分點,點為線段上靠近點的三等分點,則()A. B. C. D.7.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.8.若等差數列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.849.設等比數列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.11.函數的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列,要得到函數的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位12.設,則,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,的系數等于__.14.已知為橢圓內一定點,經過引一條弦,使此弦被點平分,則此弦所在的直線方程為________________.15.已知實數x,y滿足(2x-y)2+4y16.若非零向量,滿足,,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數.(Ⅰ)討論函數的單調性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數列中,,且,若數列的前n項和為,求證:.18.(12分)在以為頂點的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.(12分)已知圓外有一點,過點作直線.(1)當直線與圓相切時,求直線的方程;(2)當直線的傾斜角為時,求直線被圓所截得的弦長.20.(12分)已知函數.(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有兩個實數根,且,證明:.21.(12分)已知.(1)解關于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.22.(10分)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評,該公司隨機調查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數據分為五個小組(所調查的芯片得分均在內),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.(1)求這100顆芯片評測分數的平均數(同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替).(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分,則認定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測,二測時,2個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認定為合格或不合格,將不再進行后續(xù)測試,現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元,試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

按補集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點睛】本題考查集合間的運算,屬于基礎題.2、C【解析】

在對稱軸處取得最值有,結合,可得,易得曲線的解析式為,結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數性質的應用,涉及到函數的平移、函數的對稱性,考查學生數形結合、數學運算的能力,是一道中檔題.3、A【解析】

根據復數的基本運算求解即可.【詳解】.故選:A【點睛】本題主要考查了復數的基本運算,屬于基礎題.4、B【解析】

設,代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點坐標之間的關系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設,則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點差法,即出現雙曲線的弦中點坐標時,可設弦兩端點坐標代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點坐標之間的關系.5、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應的圓心角,根據幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區(qū)域,如圖所示,因為直線,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎題.6、B【解析】

,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算、數乘運算,考查學生的運算能力,是一道中檔題.7、C【解析】

設出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據判別式大于0求得t的范圍,進而利用弦長公式求得|AB|的表達式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應用,直線與橢圓的關系.常需要把直線與橢圓方程聯立,利用韋達定理,判別式找到解決問題的突破口.8、B【解析】

由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可求,,然后結合等差數列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式的簡單應用,屬于基礎題.9、C【解析】

求得等比數列的公比,然后利用等比數列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查等比數列求和公式的應用,解答的關鍵就是求出等比數列的公比,考查計算能力,屬于基礎題.10、D【解析】

根據三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側面的高為,所以側面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計算,屬于基礎題.11、A【解析】依題意有的周期為.而,故應左移.12、A【解析】

根據換底公式可得,再化簡,比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點睛】本題考查換底公式和對數的運算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】

由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數.故答案為:7【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,屬基礎題.14、【解析】

設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點,利用點差法可求得直線的斜率,進而可求得直線的點斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點,由于點為弦的中點,則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程,一般利用點差法,也可以利用韋達定理設而不求法來解答,考查計算能力,屬于中等題.15、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據柯西不等式:2x-y2+4y當2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.16、1【解析】

根據向量的模長公式以及數量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:【點睛】本題主要考查了向量的數量積公式以及模長公式的應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)函數在上單調遞減,在單調遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數f(x)的導數,通過解關于導數的不等式,從而求出函數的單調區(qū)間;(Ⅱ)設g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數g(x)的導數,通過討論a的范圍,得到函數的單調性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數列是以為首項,1為公差的等差數列,,,問題轉化為證明:,通過換元法或數學歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當時,f′(x)<2,當時,f′(x)>2,所以函數f(x)在上單調遞減,在單調遞增.(Ⅱ)設,則,因為x≥2,故,(?。┊攁≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調遞增,而g(2)=2,所以當時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數列是以為首項,1為公差的等差數列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數學歸納法證明.(1)當n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則n=k+1時,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立.故.考點:1利用導數研究函數的單調性;1、利用導數研究函數的最值;3、數列的通項公式;4、數列的前項和;5、不等式的證明.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結,證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的法向量為,平面的法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結因為為菱形,所以.因為,所以.因為二面角為直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因為所以是平行四邊形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設設平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.19、(1)或(2).【解析】

(1)根據題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結果;(2)先求出直線方程,然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當斜率不存在時,直線的方程為,滿足題意當斜率存在時,設直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當直線的傾斜角為時,直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式及弦長公式,培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)根據導數的幾何意義求解即可.(Ⅱ)求導分析函數的單調性,并構造函數根據單調性分析可得只能在處取得最小值求解即可.(Ⅲ)根據(Ⅰ)(Ⅱ)的結論可知,在上恒成立,再分別設的解為、.再根據不等式的性質證明即可.【詳解】(Ⅰ)由題,故.且.故在點處的切線方程為.(Ⅱ)設恒成立,故.設函數則,故在上單調遞減且,又在上單調遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時,此時,且在上,單調遞減.在上,單調遞增.故,滿足題意;當時,此時有解,且在上單調遞減,與矛盾;當時,此時有解,且在上單調遞減,與矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上單調遞減且,又在上單調遞增,故最多一根.又因為,,故設的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數根,故.結合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.設的解為,則;設的解為,

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