變化率問題課件 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.1.1變化率問題5.1導數(shù)的概念及其意義復習引入1、運動員的速度

h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11

(1)平均速度時間段[t0,t0+△t]內(nèi)的平均速度(2)瞬時速度當t=t0時的瞬時速度平均速度的極限為瞬時速度復習引入2、什么叫直線與圓相切？如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.追問：如果一條直線與一條拋物線只有一個公共點，那么這條直線與這條拋物線相切嗎？.F思考：對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？下面以拋物線f(x)=x2為例進行研究.問題2

拋物線的切線的斜率探究新知探究：你認為應該如何定義拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線？與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線，我們通常在點P0(1，1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f(x)=x2的割線P0P的變化情況.xyOf(x)＝x2112234P0P(x，x2)問題2

拋物線的切線的斜率探究新知觀察：如圖，當點P(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點P0(1，1)時，割線P0P有什么變化趨勢?

我們發(fā)現(xiàn)，當點P________________，割線P0P_____________________位置.這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點P0(1，1)處的切線．T無限趨近于一個確定的無限趨近于點P0時o12123xyP04P(x，x2)問題2

拋物線的切線的斜率探究新知探究：我們知道斜率是確定直線的一個要素。如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線P0T的斜率k0呢？

從上述切線的定義可見，拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在聯(lián)系．記點P的橫坐標x=1+Δx，則點P的坐標即為

(1+Δx，(1+Δx)2).于是割線P0P的斜率

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|?x|來提高近似表示的精確度，得到如下表格：Δx可以是正值，也可以是負值，但不為0.=Δx+2?x<0?x>0?xk=Δx+2?xk=Δx+2觀察：利用計算工具計算更多割線P0P的斜率k的值，當?x無限趨近于0時，割線P0P的斜率k有什么變化趨勢？發(fā)現(xiàn)：當?x無限趨近于0，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線P0P的斜率k近都無限趨近于2.-0.01-0.001-0.0001-0.00001-0.0000011.991.9991.99991.999991.9999990.010.0010.00010.000010.0000012.012.0012.00012.000012.000001

從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T

.

這時，割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線的斜率k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T

事實上，由

可以發(fā)現(xiàn)，當?x在無限趨近于0時，Δx+2無限趨近于2，我們把2叫做“當Δx無限趨近于0時，

的極限”，記為探究新知問題2

拋物線的切線的斜率思考：(教材P61T2)你認為應該怎樣定義拋物線f(x)=x2在點(x0,x02)處的切線?試求拋物線f(x)=x2在點(－1，1)處切線的斜率.解：設P(x0，x02)，Q(x0+Δx，(x0+Δx)2).當Δx→0時，PQ所在直線為拋物線f(x)=x2在點(x0，x02)處的切線.拋物線f(x)=x2在點(－1，1)處切線的斜率為課后探究

觀察在問題1中的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11圖象，平均速度

的幾何意義是什么？瞬時速度v(1)呢？平均速度

的幾何意義：曲線過兩點(1，h(1))，(1+Δt，h(1+Δt))的割線的斜率；瞬時速度v(1)的幾何意義：曲線在點(1，h(1))處的切線的斜率.th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))典型例題1、已知函數(shù)

求拋物線在x＝1和x＝4處的切線斜率．解：拋物線在x＝1附近割線的斜率為=Δx+3所以拋物線在x＝1處的切線斜率為拋物線在x＝4附近割線的斜率為=2Δx+12所以拋物線在x＝4處的切線斜率為典型例題2、求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(1，2)處的切線方程．解：由=Δx可得切線的斜率為所以切線的方程為y－2=0×(x－1)，即y=2.方法歸納求拋物線y＝f(x)在某點處的切線斜率，可先表示出在此點附近通過該點的割線的斜率，再求此斜率的極限即可．求拋物線在某點處的切線方程的步驟：鞏固練習1、求拋物線y＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率．解：令y＝f(x)，則拋物線y＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率為而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，所以拋物線y＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率為鞏固練習2、