湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

雅禮教育集團(tuán)2022年下學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)時量：120分鐘；分值：150分命題人：一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.命題：，的否定形式為(

)A.， B.，C， D.，2已知集合，，則()A. B. C. D.3.設(shè)，則“”是“”的()．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.()A. B. C. D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.6.已知，則()A. B. C. D.7.流行病學(xué)基本參數(shù)：基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可用模型：(其中是開始確診病例數(shù))描述累計感染病例隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T滿足，有學(xué)者估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，當(dāng)時，t的值為()()A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.58.若函數(shù)在上單調(diào)，且在上存在最值，則的取值范圍是()．A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是()A.不論取何實數(shù)，命題“”為真命題B.不論取何實數(shù)，命題：“二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”為真命題C.“四邊形的對角線垂直且相等”是“四邊形是正方形”的充分不必要條件D.“”是“”的既不充分也不必要條件10.已知，則下列結(jié)論正確的有()A. B.C. D.11.對于函數(shù)，下列說法正確的是()A.最小正周期為 B.其圖象關(guān)于點對稱C.對稱軸方程為 D.單調(diào)增區(qū)間12.已知函數(shù)則以下判斷正確的是()A.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點D.函數(shù)圖象與直線有且只有一個公共點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域為__________．14.___________.15.寫出不等式成立的一個必要不充分條件__________.16.函數(shù)的最大值為__________，當(dāng)且僅當(dāng)__________時，等號成立．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知，且．(1)求的值；(2)求的值．18.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(2)若為奇函數(shù)，求滿足的的取值范圍.19.已知函數(shù)，．(1)求的最小正周期和最大值；(2)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．20.已知函數(shù)是偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍.21.某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.22.已知，函數(shù)，其中．(1)設(shè)，求t取值范圍，并把表示為t的函數(shù)；(2)若對區(qū)間內(nèi)的任意，總有，求實數(shù)a的取值范圍．雅禮教育集團(tuán)2022年下學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)時量：120分鐘；分值：150分命題人：一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.命題：，的否定形式為(

)A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】“任意一個都符合”的否定為“存在一個不符合”【詳解】由題意，“任意一個都符合”的否定為“存在一個不符合”，故為，.故選：D2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式確定集合后再求交集即可．【詳解】由題意，，所以．故選：A．3.設(shè)，則“”是“”的()．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】，但，不滿足，所以充分不必要條件，選A.【考點】充要條件【名師點睛】本題考查充要條件的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件；從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分不必要條件，若是的真子集，則是的必要不充分條件.4.()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.5.設(shè)，則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】易得，再由，利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因為，且，在上遞增，所以，即，綜上：故選：A6.已知，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角余弦公式求.【詳解】由，即，又.故選：D7.流行病學(xué)基本參數(shù)：基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可用模型：(其中是開始確診病例數(shù))描述累計感染病例隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T滿足，有學(xué)者估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，當(dāng)時，t的值為()()A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案【詳解】解：把代入，得，解得，所以，由，得，則，兩邊取對數(shù)得，，得，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)模型的實際應(yīng)用，考查計算能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，弄清函數(shù)模型中各個量的關(guān)系，屬于中檔題8.若函數(shù)在上單調(diào)，且在上存在最值，則的取值范圍是()．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性的關(guān)系及周期公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為在上單調(diào)，所以，即,則，由此可得．因為當(dāng)，即時，函數(shù)取得最值，欲滿足在上存在極最點，因為周期，故在上有且只有一個最值，故第一個最值點，得，又第二個最值點，要使在上單調(diào)，必須，得．綜上可得，的取值范圍是．故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是()A.不論取何實數(shù)，命題“”為真命題B.不論取何實數(shù)，命題：“二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”為真命題C.“四邊形的對角線垂直且相等”是“四邊形是正方形”的充分不必要條件D.“”是“”的既不充分也不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合一元二次函數(shù)和一元二次不等式的性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)充分條件、必要條件的概念可判斷CD.【詳解】對于，關(guān)于的一元二次方程滿足，即有不等實根，顯然，即，因此不等式的解集為，當(dāng)時，，故A正確.對于，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，即軸，故B正確.對于，對角線垂直且相等的四邊形不一定是正方形可能為菱形，反之成立.故錯誤.對于，令，則，即充分性不成立，令，則，而，故必要性也不成立，即“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：ABD.10.已知，則下列結(jié)論正確的有()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求出的值，根據(jù)角的范圍得出角，進(jìn)而求解.【詳解】因為，所以，因為，也即，解得：或，因為，所以，則，所以，故選：.11.對于函數(shù)，下列說法正確的是()A.最小正周期為 B.其圖象關(guān)于點對稱C.對稱軸方程 D.單調(diào)增區(qū)間【答案】AC【解析】【分析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；利用余弦型函數(shù)的對稱新可判斷BC選項；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，由，可得，即函數(shù)的對稱軸方程為，C對；對于D選項，由，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，D錯.故選：AC.12.已知函數(shù)則以下判斷正確的是()A.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點D.函數(shù)的圖象與直線有且只有一個公共點【答案】AC【解析】【分析】作出的圖像如圖所示，B可直接由圖像或二次函數(shù)單調(diào)性判斷；AC零點及交點問題均可以通過與交點個數(shù)判斷；D通過圖像或者聯(lián)立方程求解即可判斷.【詳解】當(dāng)，故的圖像如圖所示，對AC，函數(shù)有3個零點，相當(dāng)于與有3個交點，故的取值范圍是，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，AC對；對B，函數(shù)在上先增后減，B錯；對D，如圖所示，聯(lián)立可得解得或，由圖右側(cè)一定有一個交點，故函數(shù)的圖象與直線不止一個公共點，D錯.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，，解得即函數(shù)的定義域為.故答案為:14.___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡后利用二倍角公式求值.【詳解】,故答案為：15.寫出不等式成立的一個必要不充分條件__________.【答案】(不唯一)【解析】【分析】解不等式得到充要條件，再根據(jù)必要不充分條件的定義即可得答案.【詳解】解：由可得，解得，所以不等式成立的一個必要不充分條件可以是:.故答案為：(不唯一)16.函數(shù)的最大值為__________，當(dāng)且僅當(dāng)__________時，等號成立．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求的值，進(jìn)而可得的值；(2)利用誘導(dǎo)公式化簡，再化弦為切，將的值代入即可求解.【小問1詳解】因，且，所以，所以，【小問2詳解】．18.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(2)若為奇函數(shù)，求滿足的的取值范圍.【答案】(1)增函數(shù)，證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，然后任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；(2)由奇函數(shù)的定義可求出實數(shù)的值，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【小問1詳解】證明：函數(shù)為上的增函數(shù)，理由如下：任取、且，則，所以，，即，所以，函數(shù)為上的增函數(shù).【小問2詳解】解：若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，則，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，由得，解得.因此，滿足的的取值范圍是.19.已知函數(shù)，．(1)求最小正周期和最大值；(2)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，最大值2；(2)．【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，由三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，即可得到結(jié)果；(2)根據(jù)題意，得到函數(shù)的解析式，然后由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】∵，所以的最小正周期，當(dāng)時，取得最大值2；【小問2詳解】由(1)知，又，由，解得．所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．20.已知函數(shù)是偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)的定義可求得實數(shù)的值；(2)利用函數(shù)與方程的思想，把函數(shù)與的圖象有公共點的問題轉(zhuǎn)化成方程有解的問題，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)，得，又因為是偶函數(shù)，所以滿足，即，所以，即對于一切恒成立，所以，故；【小問2詳解】由得若函數(shù)與的圖象有公共點，等價于方程有解，即，所以，即方程在上有解，由指數(shù)函數(shù)值域可知，，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.21.某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】(1)根據(jù)扇形的弧長公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，可算得，．因為，所以，所以，.【小問2詳解】解：根據(jù)題意，可知，當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)時銘牌