江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學年高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學年高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）2022－2023學年第二學期六校聯(lián)合體期末聯(lián)合調研高一數(shù)學一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.已知向量，，若，則m的值為()A.－1 B.1 C. D.2.已知復數(shù)z滿足,則復數(shù)z的實部為()A. B. C. D.3.甲、乙、丙、丁四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比為，為了解某種疾病的感染情況，采用分層抽樣方法從這四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取容量為n的樣本，已知樣本中甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20人，則樣本容量n的值是()A.200 B.240 C.260 D.2804.塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風格的中國傳統(tǒng)建筑.如圖，為測量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在C點測得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為()A. B.C. D.5.從數(shù)字1，2，3，4中，無放回地抽取2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于5的概率為()A. B. C. D.6.已知圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，過圓錐高的中點且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺體積是()A. B. C. D.7.已知，，則的值為()A. B. C. D.8.在平行四邊形ABCD中，，，則的最小值為()A.－10 B.－13C D.二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，，則下列說法正確的是()A.若，則 B.C.若，則 D.若，則10.先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，A表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是3”，B表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則下列結論正確的是()A.A與B互斥 B.A與C互斥C.B與C獨立 D.B與D對立11.已知內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是()A.若，則B.若，，且該三角形有兩解，則C.若，則為等腰三角形D.若，則為銳角三角形12.如圖，正方體中，M，N，Q分別是AD，，中點，，則下列說法正確的是()A.若，則平面MPNB.若，則平面MPNC.若平面MPQ，則D.若，則平面MPN截正方體所得的截面是五邊形三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.請把答案填涂在答題卡相應位置.13.已知，，則______.14.已知某個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,現(xiàn)加入數(shù)字構成一組新的數(shù)據(jù),這組新的數(shù)據(jù)的方差為______.15.在解析幾何中，設、為直線l上的兩個不同的點，則我們把及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，把直線l垂直的向量稱為直線l的法向量，常用表示，此時.若點，則可以把在法向量上的投影向量的模叫做點P到直線l的距離.現(xiàn)已知平面直角坐標系中，，，，則點P到直線l的距離為______.16.已知三棱錐的三個側面兩兩垂直，且三個側面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為______；此三棱錐的內切球的表面積為______.四、解答題：本大題共6個小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長(單位：分鐘).現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛車進行調查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)；(2)為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務.若以第30百分位數(shù)為標準，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議(數(shù)據(jù)取整數(shù)).18.已知，，且，.(1)求的值；(2)求的值.19.已知中，，，，點D在邊BC上且滿足.(1)用、表示，并求；(2)若點E為邊AB中點，求與夾角的余弦值.20.我校開展體能測試，甲、乙、丙三名男生準備在跳遠測試中挑戰(zhàn)2.80米的遠度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機會，若第一跳成功，則等級為優(yōu)秀，挑戰(zhàn)結束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級也為優(yōu)秀，若第二跳失敗，則等級為良好，挑戰(zhàn)結束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳過2.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨立.記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)秀”分別為事件A，B，C.(1)求、、；(2)求甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好概率.21.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積取值范圍.22.如圖，已知斜三棱柱中，平面平面，與平面所成角的正切值為，所有側棱與底面邊長均為2，D是邊AC中點.(1)求證：∥平面；(2)求異面直線與所成的角；(3)F是邊一點，且，若，求的值.

2022－2023學年第二學期六校聯(lián)合體期末聯(lián)合調研高一數(shù)學一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.已知向量，，若，則m的值為()A.－1 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩向量平行的坐標表示列出等式，即可解出答案.【詳解】因為，所以，解得：.故選：D2.已知復數(shù)z滿足,則復數(shù)z的實部為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的模和復數(shù)的除法,即可得出,進而可得結果.【詳解】因為,所以實部是.故選:C.3.甲、乙、丙、丁四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比為，為了解某種疾病的感染情況，采用分層抽樣方法從這四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取容量為n的樣本，已知樣本中甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20人，則樣本容量n的值是()A.200 B.240 C.260 D.280【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合分層抽樣的定義，即可求解．【詳解】甲、乙、丙、丁四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比為，利用分層抽樣方法抽取一個樣本量為的樣本，因為樣本中甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20人，則，解得．故選：B．4.塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風格的中國傳統(tǒng)建筑.如圖，為測量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在C點測得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先在中利用正弦定理求出的長，再在直角利用三角函數(shù)可求得結果.【詳解】在中，，，則，，由正弦定理得，即，所以，得，在直角中，，則，故選：D5.從數(shù)字1，2，3，4中，無放回地抽取2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于5的概率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得出所有的兩位數(shù)的個數(shù)，再列舉出其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)，根據(jù)古典概率公式可得選項.【詳解】兩位數(shù)共有個，其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)有：14，41，23，32共4個數(shù)，所以各位數(shù)字之和等于5的概率為，故選：A.6.已知圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，過圓錐高的中點且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺體積是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意易知圓錐的高為，母線長為2，底面圓半徑為1，再由大圓錐的體積減小圓錐的體積即可得出圓臺體積.【詳解】設圓錐的高為，母線長為，底面圓半徑為，則，解得：，，所以，所以圓臺體積為：，故選：A7.已知，，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件列方程組可求出和，再利用兩角差的余弦公式可求得結果.【詳解】因為，，所以，解得，所以，故選：C8.在平行四邊形ABCD中，，，則的最小值為()A.－10 B.－13C. D.【答案】B【解析】【分析】設，求得，令，化簡得到，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】如圖所示，設，且，在中，由余弦定理可得，即，可得可得，，所以，設，可得，因為，當且僅當時，等號成立，所以，則，當時，取得最小值，最小值為.故選：B.二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，，則下列說法正確的是()A.若，則 B.C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用虛數(shù)單位的意義判斷A；利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法結合模的意義判斷B；舉例說明判斷CD作答.【詳解】對于A，由，得，因此，A正確；對于B，令，則，，，即，B正確；對于C，令，，而，C錯誤；對于D，取，顯然，而，且，D錯誤.故選：AB10.先后兩次擲一枚質地均勻骰子，A表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是3”，B表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則下列結論正確的是()A.A與B互斥 B.A與C互斥C.B與C獨立 D.B與D對立【答案】BC【解析】【分析】寫出事件所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件和對立事件的概念進行判斷ABD；求出，得到C正確.【詳解】先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，樣本空間，故事件，事件，事件，事件.A選項，，故A與B不互斥，A錯誤；B選項，，故A與C互斥，B正確；C選項，，故，又，，故，所以B與C獨立，C正確；D選項，，但，所以B與D不對立，D錯誤.故選：BC11.已知內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是()A.若，則B.若，，且該三角形有兩解，則C.若，則為等腰三角形D.若，則為銳角三角形【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)大邊對大角及正弦定理判斷A，根據(jù)圖形數(shù)形結合可判斷B，由正弦定理及三角恒等變換判斷C，由兩角和的正切公式變形可判斷D.【詳解】因為，所以，由正弦定理，可知，故A正確；如圖，，，且該三角形有兩解，所以，即，故B正確；由正弦定理可得，，即，所以，因為，所以或，即或，所以三角形為等腰或直角三角形，故C錯誤；因為，且，所以，即為銳角，所以為銳角三角形，故D正確.故選：ABD12.如圖，正方體中，M，N，Q分別是AD，，的中點，，則下列說法正確的是()A.若，則平面MPNB.若，則平面MPNC.若平面MPQ，則D.若，則平面MPN截正方體所得的截面是五邊形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A，根據(jù)線面平行的性質即可得矛盾判斷B,根據(jù)線面線面垂直的性質即可判斷C，根據(jù)平行關系，即可由線段成比例得線線平行，即可求解截面.【詳解】對于A,連接,在正方體中，可知，當時，是的中點，則,所以，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正確，對于B,當時，與點重合，連接交于點,連接,若平面MPN,則平面,且平面平面,則，由于是的中點，則為中點，這顯然不符合要求，故B錯誤，對于C,若平面MPQ，則,由于平面平面,又,平面,所以平面,平面,則,顯然與平面不垂直，故,則,由于為中點，所以為中點，故，C正確，對于D，取中點,在上取點,使得，在棱取,使得，在棱上取由于分別為的中點，所以,同理連接即可得到截面多邊形，故D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.請把答案填涂在答題卡相應位置.13.已知，，則______.【答案】【解析】【分析】由半角公式求解.【詳解】，則，由半角公式可得.故答案為：14.已知某個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,現(xiàn)加入數(shù)字構成一組新的數(shù)據(jù),這組新的數(shù)據(jù)的方差為______.【答案】##【解析】【分析】利用方差公式計算即可得到結果.【詳解】設原數(shù)據(jù)為,則,,加入2后,所得4個數(shù)據(jù)平均數(shù)為,所得4個數(shù)據(jù)的方差為.故答案為:.15.在解析幾何中，設、為直線l上的兩個不同的點，則我們把及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，把直線l垂直的向量稱為直線l的法向量，常用表示，此時.若點，則可以把在法向量上的投影向量的模叫做點P到直線l的距離.現(xiàn)已知平面直角坐標系中，，，，則點P到直線l的距離為______.【答案】【解析】【分析】利用向量法即可求得點到直線的距離.【詳解】由已知得，，，所以，在直線l上的投影向量的長度為，故點P到直線l的距離.故答案為：16.已知三棱錐的三個側面兩兩垂直，且三個側面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為______；此三棱錐的內切球的表面積為______.【答案】①.##②.【解析】【分析】由題意可知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，首先求得三條側棱的棱長，然后計算外接球的半徑，最后計算其體積即可；等體積法計算三棱錐內切球的半徑，從而求出內切球的表面積.【詳解】解：設三棱錐中，面，面，面兩兩垂直，則三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可設三條側棱的長度分別為a，b，c，由題意可得：，解得，設三棱錐的外接球半徑為，則，即，外接球的體積；設三棱錐的內切球半徑為，由勾股定理可知：，則，則有，解得：，則表面積為：.故答案為：；【點睛】關鍵點點睛：此題考查三棱錐與其外接球和內切球的綜合問題，求其內切球半徑的關鍵是利用等體積法，考查空間想象能力，屬于較難題.四、解答題：本大題共6個小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長(單位：分鐘).現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛車進行調查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)；(2)為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務.若以第30百分位數(shù)為標準，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議(數(shù)據(jù)取整數(shù)).【答案】(1)50(2)免費停車時長為分鐘【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出的頻率，從而得到樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率并估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)；(2)先確定第30百分位數(shù)位于之間，列出方程，求出答案.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設的頻率為，可列等式為，，所以樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率為，估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)是50；【小問2詳解】設免費停車時間長不超過分鐘，又因為的頻率為，并且的頻率為，所以位于之間，則滿足，，確定免費停車時長為分鐘.18.已知，，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)

(2)【解析】【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的平方關系求得，然后求得由兩角和的正切公式可得答案；(2)結合(1)，利用，由兩角和的正切公式，結合可得答案.【小問1詳解】由題意所以所以【小問2詳解】由為銳角，可得所以19.已知中，，，，點D在邊BC上且滿足.(1)用、表示，并求；(2)若點E為邊AB中點，求與夾角的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算即可求解，(2)由向量的線性運算表示向量，由數(shù)量積，利用夾角公式即可求解.【小問1詳解】，所以,【小問2詳解】易知,所以,又,所以,20.我校開展體能測試，甲、乙、丙三名男生準備在跳遠測試中挑戰(zhàn)2.80米的遠度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機會，若第一跳成功，則等級為優(yōu)秀，挑戰(zhàn)結束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級也為優(yōu)秀，若第二跳失敗，則等級為良好，挑戰(zhàn)結束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳過2.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨立.記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)秀”分別為事件A，B，C.(1)求、、；(2)求甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好的概率.【答案】(1)、、；(2).【解析】【分析】(1)獲得優(yōu)秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失敗第二跳成功，利用互斥事件的概率公式計算.(2)利用相互獨立事件和互斥事件的概率的應用求出結果．【小問1詳解】記“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分別為事件A1，B1，C1，記“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分別為事件A2，B2，C2.記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中獲得“優(yōu)秀”為事件A，B，C.，，.，甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)秀的概率、、；【小問2詳解】記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好”為事件D，.甲、乙、丙三名男生在這次跳遠挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好的概率.21.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理結合得到，利用輔助角公式得到，結合角的范圍得到；(2)法一：由(1)中，結合三角形面積公式得到，由正弦定理求出，得到面積的取值范圍；