第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

第十講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 第十講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向1.對(duì)數(shù)的概念數(shù)學(xué)抽象水平1水平11.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)計(jì)算。2.能熟練地進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化。3.掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用這些運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明?！究疾閮?nèi)容】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互換，對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，換底公式的運(yùn)用?！究疾轭}型】選擇題、填空題【分值情況】5分2.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)邏輯推理水平1水平13.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平24.對(duì)數(shù)的換底公式數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平2知識(shí)通關(guān)知識(shí)通關(guān)知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的定義（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫作以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫作真數(shù)。（2）常用對(duì)數(shù)：我們通常把以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為。（3）自然對(duì)數(shù)：我們通常把以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為。知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若a>0且a≠1，M>0，N>0，則有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）知識(shí)點(diǎn)3換底公式推論（1）；（2）；（3）；（4）題型一利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值規(guī)律方法利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)與求值的原則和方法（（1）基本原則：①正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理；②選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．（2）兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．例1、計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）原式（2）原式（3）原式（4）令兩邊取常用對(duì)數(shù)得，∴，即答案（1）1（2）1（3）3（4）14.【變式訓(xùn)練1】計(jì)算下列各式的值：（1）(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；（2）eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).（3）解析：（1）原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.（2）原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(11,5).（3）原式答案（1）1（2）（3）題型二利用換底公式化簡(jiǎn)、求值規(guī)律方法利用換底公式化簡(jiǎn)與求值的思路例2、(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．解析：（1）原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))＝eq\f(5lg3,6lg2)×eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(5,4).（2）∵，∴，∴，同理，∵，∴，∴∴答案（1）eq\f(5,4)（2）【變式訓(xùn)練2】(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)計(jì)算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．解析：（1）∵，∴，∴，∴，代入，整理得（2）原式答案（1）（2）13題型三利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化解題規(guī)律方法利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．（底數(shù)不變，左右交換）(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解．例3、（1），求；（2）已知2x＝3y＝5z，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x，y，z.解析：(1)由，得.，∴(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk5，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.答案（1）18（2）x＝1＋log215，y＝1＋log310，z＝1＋log56.【變式訓(xùn)練3】（1）若，求；（2）已知，求解析：（1）由，得，∴原式（2）由題意，得，∴答案（1）（2）思維拓展思維拓展考向一對(duì)數(shù)方程的求解方法規(guī)律方法對(duì)數(shù)方程的題型與解法名稱題型解法基本型將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，解出將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，解出，注意檢驗(yàn)且同底數(shù)型轉(zhuǎn)化為求解，必須檢驗(yàn)且需代入型換元，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程得，再解方程，得，注意檢驗(yàn)例4、解下列關(guān)于的方程（1）；（2）；（3）解析：（1）∵，∴，即，∴（2）由，得即，解得經(jīng)檢驗(yàn)知：當(dāng)時(shí)，，不滿足真數(shù)大于0，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，故（3）原方程整理得，即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)知，都是原方程的解?！咀兪接?xùn)練4-1】若是方程的兩個(gè)實(shí)根，求的值解析：由題意可得，∴是一元二次方程的二根∴，∴原式答案12【變式訓(xùn)練4-2】解下列方程：（1）；（2）；（3）解析：（1）首先，方程中的應(yīng)滿足，其次，原方程可化為，∴，即解得（舍去）經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解。（2）首先，，其次，原方程可化為，即，令，解得，即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解。（3）首先，，即，又，得，綜上，，其次，原方程可化為，∴，∴又，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解。答案（1）15（2）10或（3）2考向二對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用規(guī)律方法對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問(wèn)題大致可分為兩類：一類是已知對(duì)數(shù)應(yīng)用模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問(wèn)題大致可分為兩類：一類是已知對(duì)數(shù)應(yīng)用模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意利用“指、對(duì)數(shù)互化”；另一類是先建立指數(shù)函數(shù)應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。例5、有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬(wàn)噸，2016年的增長(zhǎng)率為，有專家預(yù)測(cè)，如果不采取措施，未來(lái)包裝垃圾還將以此增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，從年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾將超過(guò)4000萬(wàn)噸。（參考數(shù)據(jù)：）解析：設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為萬(wàn)噸，表示從年開始增加的年份數(shù)量，由題意可得，令，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，，∴，代入數(shù)值得，則，∴從2021年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾將超過(guò)4000萬(wàn)噸。答案2021【變式訓(xùn)練5】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為。則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.解析：設(shè)，∴，∴，∴，∴，∴答案D綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練A組基礎(chǔ)演練一、選擇題1．已知a＝log32，則log38－2log36＝()A．a(chǎn)－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.答案A2．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代數(shù)式表示為()A．a(chǎn)－bB.eq\f(a,b)C．a(chǎn)bD．a(chǎn)＋b解析：log32＝eq\f(ln2,ln3)＝eq\f(a,b).答案B3．若lgx－lgy＝t，則＝()A．3tB.eq\f(3,2)tC．tD.eq\f(t,2)解析：＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.答案A4．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A.eq\r(10) B．10C．20 D．100解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝eq\r(10).故選A.答案A5．已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y(tǒng)，則x＋2y的值為()A．3 B．8C．4 D．log48解析：由2x＝3，得x＝log23.∴x＋2y＝log23＋2log4eq\f(8,3)＝log23＋eq\f(2log2\f(8,3),log24)＝log23＋(3log22－log23)＝3.答案A6．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，則eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3解析：∵x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log2.51000)＝eq\f(\f(1,log10001000),log10002.5)＝log10002.5，同理eq\f(1,y)＝log10000.25，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝eq\f(lg10,lg1000)＝eq\f(1,3).答案A7．已知x，y，z都是大于1的正數(shù)，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，則logzm的值為()A.eq\f(1,60)B．60C.eq\f(200,3)D.eq\f(3,20)解析：由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝eq\f(1,12)，而logmx＝eq\f(1,24)，logmy＝eq\f(1,40)，故logmz＝eq\f(1,12)－logmx－logmy＝eq\f(1,12)－eq\f(1,24)－eq\f(1,40)＝eq\f(1,60)，即logzm＝60.答案B8．已知a＝log32，則log38－2log36的值是()A．a(chǎn)－2B．5a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.答案A二、填空題9．已知3a＝2,3b＝eq\f(1,5)，則32a－b＝________.解析：∵3a＝2,3b＝eq\f(1,5)，∴a＝log32，b＝log3eq\f(1,5)＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.答案2010．計(jì)算－log98·＝________.解析：－log98·＝10lg9÷10lg4－eq\f(lg8,lg9)·eq\f(\f(1,3)lg3,lg4)＝eq\f(9,4)－eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(\f(1,3)lg3,2lg2)＝eq\f(9,4)－eq\f(1,4)＝2.答案211．已知x，y∈(0,1)，若lgx＋lgy＝lg(x＋y)，則lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.解析：lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)?x＋y＝xy，lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg1＝0.答案012.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.解析：eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.答案1三、解答題13．求值：(1)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(2)log89·log2732－(eq\r(3))lg1＋log535－log57.解析：(1)原式＝2lg5＋2lg2＋2lg5lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.(2)log89·log2732－(eq\r(3))lg1＋log535－log57＝eq\f(lg9,lg8)×eq\f(lg32,lg27)－1＋log5eq\f(35,7)＝eq\f(2lg3,3lg2)×eq\f(5lg2,3lg3)－1＋1＝eq\f(10,9).答案（1）（2）14．已知2x＝3y＝6z≠1，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z).證明：設(shè)2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk6＝logk2＋logk3，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).答案見解析15．2015年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果平均每年增長(zhǎng)8%，那么過(guò)多少年后國(guó)民生產(chǎn)總值是2015年的2倍(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精確到1年)．解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x年國(guó)民生產(chǎn)總值為2015年的2倍．經(jīng)過(guò)1年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)，經(jīng)過(guò)2年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)2，…經(jīng)過(guò)x年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)x＝2a，∴1.08x＝2，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得x·lg1.08＝lg2.∴x＝eq\f(lg2,lg1.08)≈eq\f(0.3010,0.0334)≈9.故約經(jīng)過(guò)9年，國(guó)民生產(chǎn)總值是2015年的2倍．答案經(jīng)過(guò)9年后，國(guó)民生產(chǎn)總值是2015年的2倍B組提升突破B組提升突破一、選擇題1．已知方程的兩個(gè)根為，則（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為，由韋達(dá)定理可得，又，答案B2．若＝2，＝3，＝6，則的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：logax＝eq\f(1,logxa)＝2，∴l(xiāng)ogxa＝eq\f(1,2).同理logxb＝eq\f(1,3)，logxc＝eq\f(1,6).logabcx＝eq\f(1,logxabc)＝eq\f(1,logxa＋logxb＋logxc)＝1.答案A3．化簡(jiǎn)eq\f(2lglga100,2＋lglga)的結(jié)果是()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：由對(duì)數(shù)運(yùn)算可知：lg(lga100)＝lg(100lga)＝2＋lg(lga)，∴原式＝2.答案C4．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＋的值是()A．5 B．3 C．－1 D．解析：由題意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋＝5.答案A5．若，且，則等于()A．4 B．3 C．2 D．1解析：由題意，設(shè)，則，所以.答案D6．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=5-x-1，則f（log499?log57）的值為（）A． B． C． D．解析：log499?log57==，又x＜0時(shí)，f（x）=5-x-1，且f（x）為奇函數(shù)；∴f（log499?log57）=f()=-f()=-=-2．答案B二、填空題7．設(shè)x＝log23，則eq