考向19 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（重點）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.（2021·全國高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．2．（2021·浙江高考真題）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當即時，函數(shù)取最大值.1.研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函.2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數(shù)型：或，這時需要借助二次函數(shù)知識求解，但要注意的取值范圍.若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過導(dǎo)數(shù)求解.如：解析式中同時含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達式.3.求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：，令，則；，引入輔助角，化為；，令，則；，令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)上是遞增函數(shù)，在eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)上是遞減函數(shù)在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)在－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)上是遞增函數(shù)周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π對稱性對稱軸是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是kπ＋eq\f(π,2)，0(k∈Z)對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)【知識拓展】1．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三二模（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2021·山東高三其他模擬）已知函數(shù)的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，且過點，則需要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位3．（2021·陜西高三其他模擬（理））函數(shù)，下列描述錯誤的是（）A．定義域是，值域是 B．其圖象有無數(shù)條對稱軸C．是它的一個零點 D．此函數(shù)不是周期函數(shù)4．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則下述四個結(jié)論中說法正確的是（）A．B．在上存在零點，則a的最小值為C．在上單調(diào)遞增D．在有且僅有一個極大值點1．（2021·四川高三其他模擬（理））已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象2．（2021·全國高三其他模擬（文））把函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列數(shù)中可能是的值的為（）A． B． C． D．3．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A．是奇函數(shù) B．的周期是C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上有4個零點5．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三其他模擬（理））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．1 B． C． D．6．（2021·福建省南安第一中學(xué)高三二模）（多選題）設(shè)，其中若對一切恒成立，則以下結(jié)論正確的是（）．A．； B．；C．是奇函數(shù)； D．的單調(diào)遞增區(qū)間是；7．（2021·山西大附中高三其他模擬）（多選題）已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx，g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)f(x)的值域與函數(shù)g(x)的值域相同B．若x0是函數(shù)f(x)的極值點，則x0是函數(shù)g(x)的零點C．把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，就可以得到函數(shù)g(x)的圖象D．函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間上均單調(diào)遞增8．（2021·廣東高三其他模擬）（多選題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中，則下列關(guān)于函數(shù)的正確描述是（）A．在區(qū)間上的最小值為B．的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到C．點是的圖象的一個對稱中心；D．是的一個單調(diào)遞增區(qū)間.9．（2021·全國高三其他模擬（文））已知函數(shù)()，若存在，，對任意，，則的取值范圍是___________.10．（2021·上海高三其他模擬）函數(shù)的最小正周期為___________.11．（2021·全國高三其他模擬（文））已知函數(shù)(，)，其圖象相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，且是一個極小值點.若把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的最小值為___________.12．（2021·遼寧實驗中學(xué)高三二模）已知，，且．（1）求角的大小；（2），給出的一個合適的數(shù)值使得函數(shù)的值域為．1．（2021·江蘇高考真題）若函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對稱軸是（）A． B．C． D．2．（2021·北京高考真題）函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（）A．奇函數(shù)，最大值為2 B．偶函數(shù)，最大值為2C．奇函數(shù)，最大值為 D．偶函數(shù)，最大值為3．（2021·全國高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．4．（2021·全國高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A．和 B．和2 C．和 D．和25．（2020·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A． B．C． D．6．（2020·海南高考真題）（多選題）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）

A． B． C． D．7．（2021·全國高考真題（文））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.8．（2021·全國高考真題（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．9．（2020·江蘇高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.10．（2019·浙江高考真題）設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域.11．（2014·重慶高考真題（理））已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為.（1）求和的值；（2）若，求的值.1．【答案】D【分析】求出函數(shù)的增區(qū)間，然后由已知得出的一個范圍，然后由再由方程在區(qū)間上有且僅有一解，結(jié)合正弦函數(shù)的最大值點求得的另一個范圍，兩者結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】因為，令，，即，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，且，又因為，所以，又在區(qū)間上有唯一的實數(shù)解，所以，且，可得.綜上，．故選：D.2．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，且過點，求得其解析式，然后利用平移變換求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以，所以，因為過點，所以，因為，所以，所以，要得到，需要向右平移個單位．故選：A．3．【答案】D【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)值域可確定，結(jié)合絕對值的含義可知A正確；根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸，采用整體對應(yīng)的方式可知是的對稱軸，知B正確；根據(jù)可知C正確；由知是的周期，知D錯誤.【詳解】對于A，易知定義域為，，，，即的值域為，A正確；對于B，由得：，即，即，是函數(shù)圖象的對稱軸，故有無數(shù)條，B正確，對于C，，是的一個零點，C正確；對于D，，是函數(shù)的周期，D錯誤.故選：D.4．【答案】B【分析】對于A，由已知條件得，由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以，從而可求出的值；對于B，由，得，由于在上存在零點，所以可求出a的最小值為；對于C，，然后可求出其單調(diào)增區(qū)間；對于D，求出，可知當時，，當時，，由此可判斷出函數(shù)的極值【詳解】解：函數(shù)，所以，由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，由于，故，故，故A錯誤；令，所以，若在上存在零點，則a的最小值為，故B正確；函數(shù)，當時，，所以函數(shù)不單調(diào)，故C錯誤；對于D：由，得，當時，，當時，，所以函數(shù)，在時，，函數(shù)在上只有極小值，沒有極大值，故D錯誤.故選：B.1．【答案】C【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡的解析式，A．根據(jù)最小正周期計算公式進行求解；B．根據(jù)是否為最值進行判斷；C．根據(jù)是否為進行判斷；D．先求解出平移后的函數(shù)解析式，然后進行判斷.【詳解】，A．最小正周期，故正確；B．因為為最小值，所以是圖象的一條對稱軸，故正確；C．因為，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，故錯誤；D．，的圖象向右平移個單位后得到：，故正確；故選：C.2．【答案】D【分析】由平移變換寫出變換后函數(shù)解析式，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意，它為偶函數(shù)，則，，只有時滿足．故選：D．3．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得函數(shù)的解析式，然后利用余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)逐項判斷可得出正確選項.【詳解】由題意可得，對于A，函數(shù)是偶函數(shù)，A錯誤：對于B，函數(shù)最小周期是，B錯誤；對于C，由，則直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，C錯誤；對于D，由，則是函數(shù)圖象的一個對稱中心，D正確.故選：D.4．【答案】D【分析】先利用二倍角公式，輔助角公式，對進行化簡，對A，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；對B，根據(jù)計算最小正周期的公式即可判斷；對C，根據(jù)的單調(diào)遞增，單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷，對D，根據(jù)的周期以及的圖象，即可判斷.【詳解】解：，其中，對A，的定義域為關(guān)于原點對稱，，故是非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，，又，故，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；對D，，，，，且，故在上經(jīng)歷了兩個周期，即在區(qū)間上有4個零點，故D正確.故選：D.5．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象易知，即可求出，再根據(jù)，而，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可知．【詳解】由圖象知，，又，，所以.故選：A.6．【答案】AC【分析】先對函數(shù)化簡為，其中，然后由對一切恒成立，知直線是的對稱軸，的最小正周期為，然后逐個分析判斷即可【詳解】，其中，對一切恒成立，知直線是的對稱軸，又的最小正周期為．因為可看做，加了個周期所對應(yīng)的函數(shù)值，所以．故A正確．因為函數(shù)周期，因為，所以，故B不正確．因為直線是的對稱軸，因為由函數(shù)平移，所以函數(shù)的圖像既關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)既是奇函數(shù)，故C正確．依題意，函數(shù)相鄰兩條對稱軸，在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)，不能確定是單調(diào)遞增，還是單調(diào)遞減，故D不正確．故選：AC．7．【答案】ABD【分析】先用輔助角公式將函數(shù)化簡，將原函數(shù)求導(dǎo)并且用輔助角公式化簡，并且原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)化為同角同符號的三角函數(shù)，進而結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行求解.【詳解】所以A正確；若是函數(shù)的極值點，則，即，即是函數(shù)的零點，正確；把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，可以得到函數(shù)的圖象，錯誤；令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)和在區(qū)間上均單調(diào)遞增，正確.故選：.8．【答案】AB【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，求得的值，由此求得的解析式，根據(jù)三角函數(shù)最值、圖像變換、對稱中心、單調(diào)區(qū)間的知識，判斷四個選項的正確性.【詳解】由得，所以恒成立，得是曲線的對稱軸，所以，由得，，對于A：，在區(qū)間上的最小值為，故A正確；對于B：，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，故B正確；對于C：，所以點不是的圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D：，所以不是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤故選：AB9．【答案】【分析】首先利用誘導(dǎo)公式得到，根據(jù)題意得到，，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】，.因為對任意，，所以，，即，因為，所以，，所以.故答案為：10．【答案】2【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性進行求解即可.【詳解】解：的周期為，故答案為：211．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得周期，進而得到原函數(shù)右側(cè)的第一個最值點，也就是對稱軸，也就是對稱軸，然后得到的最小值.【詳解】相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，∴,∴，∴最小值點右側(cè)最近的一個最大值點為，第二個最值點為最小值點，即是第一個超過的最值點，即右側(cè)第一條對稱軸為，∴把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的最小值為,故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的平移變換，屬基礎(chǔ)題.注意相鄰的中心與軸間的距離為四分之一周期，相鄰極值點間的距離為半個周期.注意平移的方向，找到函數(shù)在直線右側(cè)的第一條對稱軸是關(guān)鍵.12．【答案】（1）；（2）的值可?。痉治觥浚?）根據(jù)，結(jié)合，可得或，再根據(jù)求解；（2）由，根據(jù)值域為，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）因為，所以，又，所以，可得或，可得或，又，所以．（2），，，當時，，當時，，所以由題意可得，可得，所以即可，的值可取．1．【答案】A【分析】由，可得，所以，令，得，從而可得到本題答案.【詳解】由題，得，所以，令，得，所以的對稱軸為，當時，，所以函數(shù)的一條對稱軸為.故選：A2．【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當時，取最大值.故選：D.3．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．4．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．5．【答案】C【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.6．【答案】BC【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.7．【答案】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t