第8章 立體幾何初步 章末綜合（教學(xué)設(shè)計(jì)）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課 (人教A版2019 必修第二冊(cè))

《第八章立體幾何初步》章末綜合教學(xué)設(shè)計(jì)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二、核心知識(shí)歸納1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其表面積和體積名稱形成圖形表面積體積多面體棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體圍成它的各個(gè)面的面積的和V棱柱＝ShS為柱體的底面積，h為柱體的高棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體圍成它的各個(gè)面的面積的和V棱錐＝eq\f(1,3)Sh，S為底面積，h為高棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分圍成它的各個(gè)面的面積的和V棱臺(tái)＝eq\f(1,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))·h，S′，S分別為上、下底面面積，h為高旋轉(zhuǎn)體圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S圓柱＝2πr(r＋l)(r是底面半徑，l是母線長(zhǎng))V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S圓錐＝πr(r＋l)(r是底面半徑，l是母線長(zhǎng))V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分S圓臺(tái)＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分別是上、下底面半徑，l是母線長(zhǎng))V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高)球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S球＝4πR2，R為球的半徑V＝eq\f(4,3)πR3，R為球的半徑2.平面的基本性質(zhì)(1)基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.(2)基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.3.常用定理及結(jié)論線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b線面垂直的判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β線面垂直的性質(zhì)：①a⊥α，b?α?a⊥b；②a⊥α，b∥α?a⊥b平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，a⊥β?α∥β平行平面的傳遞性：α∥γ，β∥γ?α∥β4.空間角(1)異面直線所成的角①定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍：0°<α≤90°.(2)直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°.②范圍：0°≤θ≤90°.(3)二面角①定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.②二面角的平面角：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA?α，OB?β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.③范圍：0°≤∠AOB≤180°.三、典型例題1.空間幾何體的表面積、體積【例1】如圖所示，四邊形是直角梯形，其中，，若將圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周．（1）求陰影部分形成的幾何體的表面積．（2）求陰影部分形成的幾何體的體積．【解】（1）由題意知所求旋轉(zhuǎn)體的表面由三部分組成：圓臺(tái)下底面、側(cè)面和半球面，，，．故所求幾何體的表面積為．（2），，所求幾何體體積為．【類(lèi)題通法】求空間幾何體的表面積、體積的常見(jiàn)方法：(1)公式法：根據(jù)題意直接套用表面積或體積公式求解.(2)割補(bǔ)法：割補(bǔ)法的思想是通過(guò)分割或補(bǔ)形，將原幾何體分割成或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積.(3)等體積變換法：等積變換法的思想是從不同的角度看待原幾何體，通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理來(lái)求原幾何體的體積.【鞏固訓(xùn)練1】已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積.【解】如圖所示，設(shè)圓柱OO1為等邊圓柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圓柱OO1的內(nèi)接正四棱柱.設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r.∵S＝S側(cè)＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝eq\r(\f(S,6π)).又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底邊AB＝2rsin45°＝eq\r(2)r，∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V＝S底·h＝(eq\r(2)r)2·2r＝4r3＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,6π))))eq\s\up12(3)＝eq\f(S\r(6πS),9π2).故該圓柱的內(nèi)接正四棱柱的體積為eq\f(S\r(6πS),9π2).2.空間平行關(guān)系【例2】如圖：在正方體中，E為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若F為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【證明】（1）連結(jié)交于O，連結(jié).∵因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線?交于O點(diǎn)，所以O(shè)為的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，在中∴是的中位線∴；又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：因?yàn)镕為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面；由?）知平面，又因?yàn)?，所以平面平?【類(lèi)題通法】空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透.在解決線面、面面平行問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時(shí)，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理.特別注意，轉(zhuǎn)化的方法總是由具體題目的條件決定，不能過(guò)于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律.如下圖所示是平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的示意圖.【鞏固訓(xùn)練2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，試判斷點(diǎn)M在何位置.【解】若MB∥平面AEF，過(guò)F，B，M作平面FBMN交AE于點(diǎn)N，連接MN，NF.因?yàn)锽F∥平面AA1C1C，BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四邊形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝eq\f(1,2)EC＝1，故MN是△ACE的中位線.所以當(dāng)M是AC的中點(diǎn)時(shí)，MB∥平面AEF.3.空間垂直關(guān)系【例3】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱⊥底面，，分別為棱的中點(diǎn)．求證：平面；求證：；（3）若求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：因?yàn)閭?cè)棱⊥底面，平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故，而，故平面，（2）證明：由（1）知平面，而平面，故.（3）解：取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，且，故，因?yàn)槿庵?，?cè)棱⊥底面，故三棱柱為直棱柱，故⊥底面，因?yàn)榈酌?，故，而，故平面，而，?【類(lèi)題通法】1.空間垂直關(guān)系的判定方法：(1)判定線線垂直的方法有：①計(jì)算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②由線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)；③面面垂直的定義：若兩平面垂直，則兩平面相交形成的二面角的平面角為90°.(2)判定線面垂直的方法有：①線面垂直的定義(一般不易驗(yàn)證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法有：①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成的二面角的平面角，計(jì)算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).2.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是：【鞏固訓(xùn)練3】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【證明】(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，PA在平面PAD內(nèi)且垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，四邊形ABED為平行四邊形.所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.因?yàn)锽E∩EF＝E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，所以CD⊥平面BEF.因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.4.空間角的求法【例4】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD⊥平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D⊥平面PDC，PD?平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，故cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，所以PD⊥平面PBC.(3)解：過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝eq\r(CD2＋CF2)＝2eq\r(5).在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD,DF)＝eq\f(\r(5),5).所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5).【類(lèi)題通法】1.空間中的角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角.這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置關(guān)系進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何的知識(shí)熟練解題.空間角的題目一般都是各種知識(shí)的交匯點(diǎn)，因此，它是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，應(yīng)引起足夠重視.2.求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).3.求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).4.常用的三種二面角的平面角的作法：(1)定義法；(2)垂線法；(3)垂面法.總之，求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算.【鞏固練習(xí)4】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)．（1）求證:平面平面；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）證明：∵在正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，又，，∴.平面平面，平面，又∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知：平面平面，半平面半平面所以是二面角的平面角，則在正方體中，∴在中，，故二面角的正切值為．5.探索性問(wèn)題的求法例5.如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由.【解析】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面∩平面，∴；（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，，又由（1）可得，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）解：取中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，又由（2）可得平面，，∴平面平面，∵是上的動(dòng)點(diǎn)，MN?平面，∴平面，∴線段上存在點(diǎn)，使平面.【類(lèi)題通法】解決探索性問(wèn)題一般用分析法，常從結(jié)論入手，分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等價(jià)的條件，然后結(jié)合已知條件求解.【鞏固練習(xí)5】如圖1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M為CD上一點(diǎn)，且CM＝2MD.將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如圖2，點(diǎn)E是線段AM的中點(diǎn).(1)求四棱錐D－ABCM的體積；(2)求證：平面BDE⊥平面ABCM；(3)過(guò)B點(diǎn)是否存在一條直線l，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①l?平面ABCM；②l⊥AD.請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)解：由已知DA＝DM，E是AM的中點(diǎn)，∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM.四棱錐P－ABCM的體積V＝eq\f(1,3)SABCM·DE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×3－\f(1,2)×1×1))×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(5\r(2),12).(2)證明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE?平面DEB，∴平面DEB⊥平面ABCM.(3)解：過(guò)B點(diǎn)存在一條直線l，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①l?平面ABCM；②l⊥AD.理由：在平面ABCM中，過(guò)點(diǎn)B作直線l，使l⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，∴l(xiāng)⊥平面ADM，∴l(xiāng)⊥AD.四、操作演練素養(yǎng)提升1.如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.eq\f(\r(2),2) B.1C.eq\r(2) D.2eq\r(2)【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，∴Rt△O′A′B′的直角邊長(zhǎng)是eq\r(2)，∴Rt△O′A′B′的面積是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴原平面圖形的面積是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).故選D.【答案】D2.底面半徑為eq\r(3)，母線長(zhǎng)為2的圓錐的外接球O的表面積為()A.6π B.12π C.8π D.16π【解析】由題意，圓錐軸截面的頂角為120°，設(shè)該圓錐的底面圓心為O′，球O的半徑為R，則O′O＝R－1，由勾股定理可得R2＝(R－1)2＋(eq\r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面積為4πR2＝16π.故選D.【答案】D3.如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求證：BF⊥平面ACFD.【證明】延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC?平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC?平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.4.如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD面積為2eq\r(7)，求四棱錐P－ABCD的體積.【解析】(1)證明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.(2)解：取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因?yàn)椤鱌CD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(2（2＋4）,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).五、課堂小結(jié)，反思感悟1.知識(shí)總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？