專題透析一 平面向量考點(diǎn)和技巧一遍過(guò)高分必刷題-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題透析一：平面向量考點(diǎn)和技巧一遍過(guò)高分必刷題一、單選題1．（2021·廣東·東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校高一）有下列四個(gè)命題：①互為相反向量的兩個(gè)向量模相等；②若向量與是共線的向量，則點(diǎn)必在同一條直線上；③若，則或④若，則或；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．3．（2020·浙江諸暨·高一期末）如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則A． B． C． D．4．（2021·重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在△中，點(diǎn)是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．（2021·廣東·東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．6．（2021·江蘇·贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．67．（2020·河北·衡水市第十四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過(guò)的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心8．（2019·湖北·武漢市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）若平面向量滿足，，，，則的最大值為（）A． B． C． D．9．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高一期末）如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為A． B． C． D．10．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是（）A．0 B． C． D．11．（2020·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）已知是不共線的兩個(gè)向量，的最小值為，若對(duì)任意m,n，的最小值為1,的最小值為2，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．12．（2020·湖北·華中師大一附中高一期中）已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，是的角平分線，為上一點(diǎn)，滿足，，，則的值為（）A． B． C．4 D．5二、多選題13．（2021·廣東·惠來(lái)縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，則（）A． B．C．向量在向量上的投影是 D．向量的單位向量是14．（2021·江蘇·邳州宿羊山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上C．若，則點(diǎn)是的重心D．若，且，則的面積是的面積的15．（2021·湖北·漢陽(yáng)一中高一階段練習(xí)）對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．過(guò)點(diǎn)的直線交于，若，，則D．與共線16．（2021·江蘇·吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，點(diǎn)E在邊AD上，且，則（）A． B．C． D．17．（2021·福建尤溪·高一期中）已知的面積為3，在所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，Q，滿足，，記的面積為S，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．18．（2021·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期中）如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對(duì)邊BC，AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，對(duì)邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，則（）A． B．C．的最大值為1 D．三、填空題19．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量，若，則______________.20．（2021·山西·長(zhǎng)治市潞城區(qū)第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列命題中：①存在唯一的實(shí)數(shù),使得；②為單位向量,且,則；③；④共線,共線,則共線；⑤若且,則.其中正確命題的序號(hào)是_________.21．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________．22．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____四、解答題23．（2021·安徽·安慶九一六學(xué)校高一階段練習(xí)）已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．24．（2021·江西·南昌二中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．(1)設(shè)，將用，，表示；(2)設(shè)，，證明：是定值．25．（2021·山東棗莊·高一期中）已知向量與的夾角為，且，.（1）若與共線，求k；（2）求，；（3）求與的夾角的余弦值26．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）如圖，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，求的取值范圍．27．（2019·遼寧·大連市普蘭店區(qū)第一中學(xué)高一期末）如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn).（1）用，表示，；（2）若，證明：，，三點(diǎn)共線.28．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角梯形中，為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）用和表示；（2）求；（3）設(shè)，求的取值范圍．參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)相反向量的定義可判斷①；由共線向量性質(zhì)，可判斷②；由向量的模相等判斷③；由向量數(shù)量積判斷④.【詳解】方向相反，模相等的兩個(gè)向量是相反向量，故①正確；因?yàn)橄蛄渴亲杂梢苿?dòng)的量，所以兩向量共線，點(diǎn)不一定共線，故②錯(cuò)；向量有方向，因此模相等時(shí)，向量方向不確定，故③錯(cuò)；兩向量垂直時(shí)，數(shù)量積也為0，所以④錯(cuò).故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量，熟記向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)即可，屬于基礎(chǔ)題型.2．B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．3．B【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立有關(guān)、的方程組，求出這兩個(gè)量的值，可得出的值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由此，，故，解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查平面向量的基底表示，解題時(shí)也可以利用坐標(biāo)法來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4．D【解析】【分析】根據(jù)題意求出x,y滿足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代換，求解最小值【詳解】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線，，，則，，則的最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】平面向量與基本不等式的綜合題目，考察基本不等式中“1”的代換，求解代數(shù)式最值問(wèn)題5．B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算即可求解.【詳解】依題意，，故選：B6．C【解析】【分析】根據(jù)圖形得出,,,結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,點(diǎn)M、N滿足,根據(jù)圖形可得:,,,,,,，，故選C.本題考查了平面向量的運(yùn)算,數(shù)量積的運(yùn)用,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,關(guān)鍵是向量的分解,表示.考點(diǎn)：向量運(yùn)算.7．D【解析】?jī)蛇呁艘韵蛄?，利用向量的?shù)量積運(yùn)算可求得從而得到結(jié)論．【詳解】?jī)蛇呁艘韵蛄?得即點(diǎn)P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過(guò)△ABC的垂心，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題．8．D【解析】【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，則，∴，．于是可設(shè)，令，則，由題意得，表示點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上．又，∴，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，∴的最大值為．故選D．【點(diǎn)睛】由于向量具有數(shù)形兩方面的性質(zhì)，所以在解答向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)可借助坐標(biāo)，將向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問(wèn)題，如本題中最值的計(jì)算問(wèn)題，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將向量模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題求解，考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，同時(shí)也考查計(jì)算能力．9．B【解析】【分析】先建系解得坐標(biāo)，再設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積列函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因此，因此，設(shè)所以當(dāng)時(shí)，最小值為選B.【點(diǎn)睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問(wèn)題的一般方法.10．B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和向量的數(shù)量積的定義，以及再利用基本不等式可得出，可得選項(xiàng).【詳解】作出圖形如下圖所示，，而此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及基本不等式的應(yīng)用求最值，屬于中檔題.11．B【解析】【分析】設(shè)的夾角為，則，則由的最小值為,的最小值為，可得可得結(jié)合可得到，由即可得到答案.【詳解】設(shè)的夾角為，則，則由的最小值為,的最小值為，可得，兩式相乘可得（*）而，結(jié)合（*）可得，解得則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．B【解析】【分析】由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則可得點(diǎn)I為三角形內(nèi)切圓的圓心，結(jié)合三角形內(nèi)切圓與邊長(zhǎng)關(guān)系的公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算公式整理計(jì)算即可確定的值.【詳解】由可得，所以I在∠BAP的角平分線上，由此得I是△ABP的內(nèi)心，過(guò)I作IH⊥AB于H，I為圓心，IH為半徑，作△PAB的內(nèi)切圓，如圖，分別切PA，PB于E，F(xiàn)，，則，，在直角三角形BIH中,，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算法則，內(nèi)切圓的性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13．ABD【解析】多項(xiàng)選擇題需要要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證:對(duì)于A:利用向量垂直的條件判斷；對(duì)于B:利用模的計(jì)算公式；對(duì)于C:利用投影的計(jì)算公式；對(duì)于D:直接求單位向量即可．【詳解】對(duì)于A:，故A正確；對(duì)于B:，故B正確；對(duì)于C:向量在向量上的投影是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:向量的單位向量是，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證．14．ACD【解析】【分析】判斷命題真假；將前面條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，去判斷點(diǎn)M的位置（D中若能判斷M位置也是一定得出面積比值）.【詳解】A中：,即：,則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.,則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤.C.設(shè)中點(diǎn)D,則,，由重心性質(zhì)可知C成立.D．且設(shè)所以，可知三點(diǎn)共線，所以的面積是面積的故選擇ACD【點(diǎn)睛】通過(guò)向量加減運(yùn)算，進(jìn)行化簡(jiǎn)去判斷點(diǎn)M的位置，難度較大.15．ACD【解析】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可以即，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定B錯(cuò)誤；利用三角形中線的定義，線性運(yùn)算和平面向量基本定理中的推論可以證明C正確；利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量垂直的條件可以判定與垂直，從而說(shuō)明D正確.【詳解】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則,,故A正確；等價(jià)于等價(jià)于,即，對(duì)于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，比如直角三角形中，若為直角頂點(diǎn)，則為斜邊的中點(diǎn)，與不垂直.故B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為,則，∵E,F,G三點(diǎn)共線，，即,故C正確；,與垂直,又,∴與共線，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量及運(yùn)算，向量垂直和共線的判定，平面向量分解的基本定理，屬綜合小題，難度較大，關(guān)鍵是熟練使用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，理解三點(diǎn)共線的充分必要條件，進(jìn)而逐一作出判定.16．BD【解析】【分析】根據(jù)向量的加減的幾何意義和三角形法則即可求出．【詳解】解：，點(diǎn)在邊上，，故選：．17．BD【解析】利用向量的共線定義可判斷A；利用向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義即可判斷B；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用三角形的面積公式即可判斷D.【詳解】由，，可知點(diǎn)P為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為延長(zhǎng)線的點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，如圖所示：對(duì)于A，點(diǎn)P為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，,故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)的高為，，即，則的面積，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的共線定理、共線向量、向量的加法與減法、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題18．ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A.由，可得可判斷；選項(xiàng)B.過(guò)作交于點(diǎn)，所以,結(jié)合條件可判斷；選項(xiàng)C.由B結(jié)合均值不等式可判斷；選項(xiàng)D.由結(jié)合均值不等式可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由，可得所以，故A正確.選項(xiàng)B.過(guò)作交于點(diǎn)所以,由這兩式可得由，則，，所以，即，故B正確.選項(xiàng)C.由B可得當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),故C不正確.選項(xiàng)D.由得,由，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào)所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算共線等的應(yīng)用，考查利用均值不等式求最值，解答本題的關(guān)鍵是過(guò)作交于點(diǎn)，得到，，屬于中檔題.19．5【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.【詳解】由可得，又因?yàn)?，所以，即，故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.20．②③【解析】【詳解】若為零向量,則①不成立.由于故②正確.根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可知③正確.當(dāng)為零向量時(shí),④不成立.都與垂直時(shí)，⑤錯(cuò)誤.故正確需要為②③.21．【解析】【分析】根據(jù)矩形的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系，先利用平面向量加法的運(yùn)算律求解，，再利用運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求即可.【詳解】∵，，∴，∴，，∴，∵,,，故答案為：.22．【解析】【分析】取BD中點(diǎn)M,過(guò)M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）,求出端點(diǎn)G,H對(duì)應(yīng)的即可求解.【詳解】取BD中點(diǎn)M,過(guò)M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）當(dāng)與重合時(shí)，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時(shí),由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，加法平行四邊形法則，三點(diǎn)共線，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題.23．（1）（2）時(shí)，取到最大值3；時(shí)，取到最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的充要條件建立等式，即可求x的值．（2）根據(jù)求解求函數(shù)y＝f（x）解析式，化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．【詳解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時(shí)，即x＝0時(shí)f（x）max＝3；當(dāng)，即時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)用以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．24．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）尋找包含的圖形，利用向量的加法法則知，再根據(jù)和即可（2）根據(jù)（1）結(jié)合，知：，再根據(jù)是的重心知：，最后根據(jù)不共線得到關(guān)于的方程組即可求解【詳解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)證明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共線，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法，三角形的重心的性質(zhì)，平面向量的定值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．25．（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共線定理即可求解.（2）利用向量數(shù)量積的定義：可得數(shù)量積，再將平方可求模.（3）利用向量數(shù)量積即可夾角余弦值.【詳解】（1）若與共線，則存在，使得即，又因?yàn)橄蛄?/p>