新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間直角坐標(biāo)系培優(yōu)練習(xí)題培優(yōu)練習(xí)題

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空

間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)

數(shù)學(xué)抽象：空間直角坐標(biāo)系的建系方式.

系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫

直觀想象：空間向量的正交分解及其坐

點(diǎn)的位置.

標(biāo)表示.

2.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表

示.

寸必備知識(shí)0

知識(shí)點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系

(1)空間直角坐標(biāo)系

在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底｛i,j,k｝.以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以

i,j,k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、2

軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

(2)相關(guān)概念

Q_叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量,通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)

平面，分別稱為Oxy平面,0yz平面,Ozx平面,它們把空間分成八個(gè)部分.

(3)右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方

向，如果中指指向山的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

知識(shí)點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)

在單位正交基底｛i,j,口下，為=xi+yj+zk,其對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,

z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的

橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).向量為在空間直角坐標(biāo)

系。盯z中的坐標(biāo)可記作。4=(x,y,z).

圈點(diǎn)撥-----------------------------------

與向量坐標(biāo)有關(guān)的重要結(jié)論

(1)向量a的坐標(biāo)實(shí)質(zhì)是向量a的單位正交分解的系數(shù).

(2)兩向量相等等價(jià)于它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等，即設(shè)a=(xi,yi,zi),b=(x2,

y2,Z2),則a=b^>xi=X2,yi=y2,zi=z2.

?即時(shí)訓(xùn)練

1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-ALBCLDI中，AB=3,AD=2,AAi=l,則

點(diǎn)Bi的坐標(biāo)是()

A.(3,2,1)B.(1,2,3)

C.(2,3,1)D.(3,1,2)

解析：選C.觀察題中圖形，知點(diǎn)囪的坐標(biāo)為(2,3,1),故選C.

2.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為5啦，側(cè)棱長(zhǎng)為

13,建立的空間直角坐標(biāo)系如圖，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：因?yàn)閨PO|=M尸兩一|。桿=.169—25=12,

所以各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為尸(0,0,12),

d-嚶嚶。)

關(guān)鍵能力-提升

考點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)表示

ETT1如圖，以垂直于正方形A3CD所在的平面，M,N

分別是AbPC的中點(diǎn)，并且以=AB=1,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直

角坐標(biāo)系，求向量灰：,CD,MN的坐標(biāo).

【解】因?yàn)楸?AB=AD=1,必，平面A3CD,

AB1AD,以｛協(xié),AD,AP｝為單位正交基底，建立空間

直角坐標(biāo)系如圖所示.

因?yàn)榫?AD=0i+lj+0k=(0,1,0),CD=-AB=-i+Q/+0Jt=(-1,

0,0),MN=MA+AP+PN=AB+APPC=AB+AP

(PA+AC)=-|AB+AP+|(戌+AB+AD)=|ADAP=0i+|j

+1k(°，iI)-

陶題技巧------------------------------

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟

＜跟蹤訓(xùn)練在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ALBCLDI中，E,R分別是D1D,

3。的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=(CD,"為GG的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系，寫出辭和澇/的坐標(biāo).

解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,防1的方向分別為x軸、

y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。盯z.因?yàn)?/p>

E,R分別為DxD,BD的中點(diǎn)，

所以方為=g歷1,DF=|D5=|DA+|DC,

所以辭=痂一方為/+3元疝，所以律=g，一，因?yàn)镃G="

CD,所以沅=(比，因?yàn)椤盀镚G的中點(diǎn)，所以宓=夕文'i=T(元+Ci)=仙;

+|z)Di,所以澇/=[O,1,9

考點(diǎn)二空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

圓問(wèn)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(—2,1,4).

⑴求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)P關(guān)于。町平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)求點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,—4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

【解】(1)由于點(diǎn)尸關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸

的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為尸1(-2,-1,-4).

(2)由于點(diǎn)尸關(guān)于0砂平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分

量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為必(一2,1,-4).

(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x,y,z),則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，

可得x=2X2—(―2)=6,y=2X(-l)-l=-3,z=2X(-4)-4=-12,所以

P3(6,-3,-12).

思題技巧---------------------------------

求空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題的方法

關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)；關(guān)于

0盯坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù).

<跟蹤訓(xùn)練已知點(diǎn)PQ,3,—1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對(duì)稱點(diǎn)為Pi,點(diǎn)

Pi關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱點(diǎn)為

尸2,點(diǎn)P2關(guān)于Z軸的對(duì)稱點(diǎn)為尸3,則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為^________.

解析：點(diǎn)P(2,3,—1)關(guān)于坐標(biāo)平面。町的對(duì)稱點(diǎn)Pl的坐標(biāo)為(2,3,1),

點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(一2,3,1),點(diǎn)P2關(guān)于Z軸的對(duì)

稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2,-3,1).

答案：(2,—3,1)

N課堂鞏固自1測(cè)

1.設(shè)｛ei,C2,63｝是空間向量的一個(gè)單位正交基底，0=4^1—862+3^3,b=

—2ei—3e2+7e3,則a+Z>的坐標(biāo)為()

A.(2,-11,10)B.(-2,11,-10)

C.(-2,11,10)D.(2,11,-10)

解析：選A.a+/>=2ei—1162+10e3,由于｛ei,e2,03｝是空間向量的一個(gè)單

位正交基底，所以。+萬(wàn)=(2,-11,10).

2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(l,g，4),過(guò)點(diǎn)P作。以平面的

垂線PQ,則垂足Q的坐標(biāo)為()

A.(0,y[2,0)B.(0,啦，爽)

C.(1,0,小)D.(1,巾,0)

解析：選B.由于垂足在。yz平面內(nèi)，所以縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為0,

即0(0,小，小).

3.設(shè)｛i,j,左｝是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a=3i+&?—匕b=

-2i+4/+2fc的坐標(biāo)分別是.

解析：因?yàn)椋鹖,j,口是單位正交基底，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的概念知。=(3,2,

-1),方=(—2,4,2).

答案：(3,2,-1),(-2,4,2)

4.在長(zhǎng)方體ABCD-ALBICDI中，AD=3,DC=5,DDI

=4,在如圖建立的空間直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)31與向量Ri

的坐標(biāo).

解：記x,y,z軸正方向上的單位向量分別為i,j,k,則應(yīng)=3i,DC=5j,

15bl=4k,由題圖知，31的坐標(biāo)為(3,5,4).

AC}=AB+BC+CCi=IX：-DA+Db\=5j-3i+4k=-3i+5j+4k=(-3,

5,4).

課后達(dá)標(biāo)0檢測(cè)

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.已知以=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,{i,j,燈是空

間向量的一個(gè)單位正交基底，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)

C.(14,10,12)D.(4,2,3)

解析:選A.次=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14/+10Jt=(12,14,10).

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,—2,4)與點(diǎn)3(—2,—2,—4)關(guān)于()

A.原點(diǎn)對(duì)稱B.x軸對(duì)稱

C.y軸對(duì)稱D.z軸對(duì)稱

解析：選C.因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)3的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都互為相反數(shù),

所以點(diǎn)A和點(diǎn)3關(guān)于y軸對(duì)稱.

3.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，下列說(shuō)法正確的是()

A.向量短的坐標(biāo)與點(diǎn)3的坐標(biāo)相同

B.向量后的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同

C.向量后與向量沅？的坐標(biāo)相同

D.向量檢與向量猿-0A的坐標(biāo)相同

解析：選D.因?yàn)锳點(diǎn)不一定為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A不正確；同理，B,C都

不正確；由于AB=0B—0A,所以D正確，故選D.

4.點(diǎn)P(2,3,4)在三條坐標(biāo)軸上的射影的坐標(biāo)分別是^,

解析：P(2,3,4)在x軸上的射影為(2,0,0),在y軸上的射影為(0,3,

0),在z軸上的射影為(0,0,4).

答案：(2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)

5.如圖，在長(zhǎng)方體。43coiAB。中，。4=3,OC=5,

001=4,P是31cl的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為^________.

解析：由圖知，點(diǎn)P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為

3

Pi,C,01,它們?cè)趚,y,z軸上的坐標(biāo)分別是］,5,4,故

點(diǎn)P的坐標(biāo)是(|,5,4

答案：住，5,4)

6.如圖所示，在三棱錐。-ABC中，OA,OB,0c兩兩垂直，

OA=1,OB=2,OC=3,E,R分別為AC,BC的中點(diǎn)，建立l\\p

X

以為,OB,0C方向上的單位向量為正交基底的空間直角坐標(biāo)系。孫2,求

ER中點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：連接。E,。尸(圖略)，令x,y,z軸方向上的單位向量分別為i,j,k,

1

:

-訪

-2

1

1111

--而-+21-

244OA2

(O+4

111113H13

-------

4242--u22

42

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為g|).

[B能力提升]

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,3,—1)關(guān)于Oxz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

()

A.(4,-3,-1)B.(4,3,-1)

C.(3,-4,1)D.(—4,-3,1)

解析：選A.過(guò)點(diǎn)P向Oxz平面作垂線，垂足為N(圖略)，則N就是點(diǎn)P與

其關(guān)于Oxz平面對(duì)稱的點(diǎn)P連線的中點(diǎn).又N(4,0,-1),所以P(4,-3,-

1).

8.已知在長(zhǎng)方體ABCD-ALBCLDI中，向量a在基底｛油，AD,筋1｝下的坐

標(biāo)為(2,1,—3),則向量a在基底｛反，DC,說(shuō)i｝下的坐標(biāo)為()

A.(2,1,-3)B.(—1,2,-3)

C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)

解析：選B.因?yàn)閍=2AB+AD-3A4i=2DC-DA~3DD}=~DA+2DC~

3DDi,所以向量a在基底｛反，DC,歷1｝下的坐標(biāo)為(一1,