溫中實驗學校七年級數(shù)學暑假提高講義

第一講創(chuàng)建的基石——視察、歸納與揣測

當代聞名科學家波普爾說過：我們的科學學問，是通過未經(jīng)證明的和不

行證明的預(yù)言，通過揣測，通過對問題的嘗試性解決，通過揣測而進步的.

從某種意義上說，一部數(shù)學史就是揣測與驗證揣測的歷史.20世紀數(shù)學

開展中宏大成果是，1995年英國數(shù)學家維爾斯證明了困擾數(shù)學界長達350多

年的“費爾馬大揣測〃，而聞名的哥德巴赫揣測，已經(jīng)驗經(jīng)了兩個半世紀的

探究，尚未被人證明揣測的正確性.

當一個問題涉與相當多的乃至無窮多的情形時，我們可以從問題的簡潔

情形或特別狀況人手，通過對簡潔情形或特別狀況的試驗，從中發(fā)覺一般規(guī)

律或作出某種揣測，從而找到解決問題的途徑或方法，這種討論問題的方法

叫歸納揣測法，是創(chuàng)建創(chuàng)建的基石.

例題

【例1】（1）用?表示實圓，用。表示空心圓，現(xiàn)有假設(shè)干實圓與空心圓按

肯定規(guī)律排列如下：

問：前2001個圓中，有個空心圓.

（江蘇省泰州市中考題）

（2）古希臘數(shù)學家把數(shù)1,3,6,10,15,21,…叫做三角形數(shù)，它有肯

定的規(guī)律性，則第24個三角形數(shù)與第22個三角形數(shù)的差為.

思路點撥（1）細致視察，從第一個圓開始，假設(shè)干個圓中的實圓數(shù)循環(huán)出現(xiàn),

而空心圓的個數(shù)不變；（2）每個三角形數(shù)可用假設(shè)干個數(shù)表示.

【例2】視察以下圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字:

像這樣，10條直線相交，最多交點的個數(shù)是（）.

A.40個B.45個C.50個D.55個

思路點撥隨著直線數(shù)的增加，最多交點也隨著增加，從給定的圖形中,

討論每增加一條直線，最多交點的增加數(shù)與原有直線數(shù)的關(guān)系.是解本例的

關(guān)鍵.

【例3】化簡99…9x99???9+199???9

、J、______JV

VVV

〃個〃個〃個

思路點撥先考察”=1,2,3時的簡潔情形，然后作出揣測，這樣，化

簡的目的更加明確.

［例4］古人用天干和地支記次序，其中天干有10個：甲乙丙丁戊己庚辛

壬癸；地支有12個：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，將天干的10個漢字和地

支的12個漢字分別循環(huán)排列成如下兩行；

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

從左向右數(shù)，第1列是甲子，第3列是丙寅…，問當?shù)诙渭缀妥釉谕?/p>

一列時,

該列的序號是多少

思路點撥把“甲〃、“子〃在第一行、第二行出現(xiàn)的位置分別用相應(yīng)

的代數(shù)式表示，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解.

注：視察是解決問題的先導，發(fā)覺往往走從視察開始的，歸納與揣測是

建立在細致而深入的視察根底上的，解題中的視察活動主要有三條途徑：

(1)數(shù)與式的特征視察；(2)圖形的構(gòu)造視察；(3)通過對簡潔、特別狀況的

視察，再推廣到一般狀況.

歸納總是與遞推聯(lián)絡(luò)在一起的，所謂遞推，就是在歸納的根底上，發(fā)覺

每一步與前一步或前幾步之間的聯(lián)絡(luò)，更簡潔發(fā)覺規(guī)律嘎證明通過歸始所揣

測的規(guī)律的正確性.

【例5】圖(a)、⑹、(c)、(d)都稱作平面圖.

圖頂點邊區(qū)域

數(shù)數(shù)數(shù)

(

a463

)

(

b

)

(1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少個頂點，多

條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域，將結(jié)果填

表中(其中(a)已填好).

(2)視察表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系

(3)現(xiàn)某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域，試依據(jù)⑵中推斷出的關(guān)

系，確定這個圖有多少條邊

思路點撥從特別狀況人手，細致視察、分析、試驗和歸納，從而發(fā)覺

其中的共同規(guī)律，這是解本例的關(guān)鍵.

跟蹤練習

1.(1)如右圖的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)覺的，稱為楊輝三角形,

依據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，。所表示的數(shù)是

1

11

121

1331

14a41

15101051

(第1題)

(2)視察一列數(shù):3,8,13,18,23,28,…依此規(guī)

律，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)

是.(第2題)

2.如圖是2002年6月份的日歷.現(xiàn)用一矩形在日歷童框出4個

數(shù)請用，一個等式表示。、。、C、d之間的關(guān)

系：_________________________

3.下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第〃個圖形由〃個正方形組成.

「IIII廠口門.1□

n=ln=2n=3

通過視察可以發(fā)覺；

(1)第4個圖形中火柴棒的根數(shù)是；

(2)第〃個圖形中火柴棒的根數(shù)是.

4.小王利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表，則當輸

入數(shù)據(jù)是8時，輸出的數(shù)據(jù)是（).

輸入???12345???

245

輸出???4???

2517T726

MKB.――

5.在以下兩個數(shù)串中:

1,3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,

1990,1993,1996.1990同時出如今這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有

A.333B.334C.335D.336

性工圖②

6.圖①是一個程度擺放的小正方體木塊，圖②、③是由

這樣的小正方體木塊疊放而成，依據(jù)這樣的規(guī)律接著疊

放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是（）.

A.25B.66C.91D.120

7.一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)開

始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,

55…，問：這串數(shù)的前100個數(shù)中（包括第100個數(shù)），有個偶

數(shù)

8.自然數(shù)按下表的規(guī)律排列

⑴求上起第10行，左起第13列的數(shù);

（2）數(shù)127應(yīng)在上起第行、左起第^列-”一14-320

25—24——23—22—21

9.(1)視察以下各式，你會發(fā)覺什么規(guī)律

3X5=15,而15=4?—1,

5X7=35,而35=6,—1,

11X13=143,而143=12?—1

將你揣測到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來

(2)將1,-1,1,-1,…按肯定魁L

23456第2行|

排成下表：從表中可以看到第4行中，自左而翁3k一-11-1-

數(shù)是［第5行中從左向右第2數(shù)是-‘，蛆第”

912

第仃1T1-121315

199行中自左向右第8個數(shù)是,第19§8行中

自左向第11個數(shù)是.

10.有一列數(shù)01M2,%，。4，…心?！?，其中

%=6x2+1；

%=6x3+2；

%=6x4+3；

%=6x5+4；

則第〃個數(shù)。“=;當”“=2001II寸，n=.

11.一個正方體，它的每一個面上寫有一個字，組成“數(shù)學奧林匹克”.有

三個同學從不同的角度看到的結(jié)果依次如下圖，則“學〃字對面的字

為

12.用盆栽菊花擺在如下圖的大小一樣的7個正方形花壇的邊緣，正方形每

邊都等間隔地擺n（n》3）盆花.則所需菊花的總盆數(shù)s與n的關(guān)系可以表示

為?

13.假如一個序列｛6｝滿意外=2,a“+]=a“+2〃（n為自然數(shù)），則是

（）.

A.9900B.9902C.9904D.10100E.10102

14.將正偶數(shù)按下表排成5列

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

2826

依據(jù)上面排列規(guī)律，則2000應(yīng)在（）.

A.第125行，第1列B.第125行，第2列

C.第250行，第1列D.第250行，第2列

15.（1）設(shè)n為自然數(shù)，具有以下形式匕口生&的數(shù)是不是兩個連續(xù)奇數(shù)

〃個1〃個5

的積，說明理由.

(2)化簡33…3x33…3+199…9,并說明在結(jié)果中共有多少個奇數(shù)數(shù)字

V-v->V-y-J、/

”個3〃個3〃個9

16.(1)圖①是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖②、③、④、⑤

的木塊.

我們知道，圖①的正方體木塊有8個頂點，12條棱，6個面，請你將圖

②、③、④、

⑤中木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：

圖頂點棱

面數(shù)

50日因＞數(shù)數(shù)

①8126

圖①圖②圖③圖④圖⑤圖⑥

(第】6題)

②

③

{2}視察此表，請你歸納上述各種木塊的頂點數(shù)、

棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)雖關(guān)系是：_________.一④

(3)圖⑥是用虛線畫出的正方體木塊，請你想象一⑤

種與圖②?⑤不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實

線，則該木塊的頂點數(shù)為，棱數(shù)為—，面數(shù)為—.

17.怎樣的兩個數(shù)，它們的和等于它們的積你也許立刻就會想到2+2=

2X2.其實這樣的兩個數(shù)還有很多，例如：3+』=3X2

22

(1)你能再寫出一些這樣的兩個數(shù)嗎你能從中發(fā)覺一些規(guī)律嗎

(2)你能否提出一些類似的問題在你提出的問題中選擇一個問題進展討

論.

18.視察按以下規(guī)則排成的一列數(shù)：

1121231234123451)

1，2，T，3,2，T，4,3,2，T，5,4,3,2，T，6?

(1)在(X)中，從左起第〃，個數(shù)記為F(m),當日⑼=二_時，求用的值和

2001

這加個數(shù)的積.

(2)在］※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c,它后面的一個數(shù)記為d.是

否存在這樣的兩個數(shù)c和d,使cd=20010000,假如存在，求出c和d；假如不

存在，請說明理由。

第二講列方程解應(yīng)用題

行程問題的三要素是：間隔（s）、速度（V）、時間（t）,行程問題按運動

方向可分為相遇問題、追與問題；按運動路途可分為直線形問題、環(huán)形問題

等.

熟識相遇問題、追與問題等根本類型的等量關(guān)系是解行程問題的根底；

而恰當設(shè)元、恰當借助直線圖協(xié)助分析是解行程問題的技巧.

例題

【例1】（重慶市競賽題）某人乘船由A地順流而下到B地，然后又逆流

而上到C地，共乘船4小時，船在靜水中的速度為每小時7.5千米，水流速

度為每小時2.5千米，假設(shè)A、C兩地的間隔為10千米，則A、B兩地的間

隔為千米.

思路點撥等量關(guān)系明顯，關(guān)鍵是考慮C地所處的位置.

注：列方程的方法為解應(yīng)用題供應(yīng)一般的解題步驟和標準的計算方法，

使問題“化難為易〃，充分顯示了字母代數(shù)的優(yōu)越性，它是算術(shù)方法解應(yīng)用

題在字母代數(shù)礎(chǔ)上的開展.

【例2】（安徽省競賽題）如圖，某人沿著邊長為90米的正方形，按

A-B-C-D-A…方向，甲從A以65米/分的速度，乙從B以72米/分

的速度行走，當乙第一次迫上甲時在正方形的（）.

A.AB邊上B.DA邊上C.BC邊上D.CD邊上

思路點撥本例是一個特別的環(huán)形的追與問題，留意甲實際在乙的前面

3X90=270（米）處.

【例3］（重慶市競賽題）父親和兒子在100米的跑道上進展賽跑，兒子

跑5步的時間父親能跑6步，兒子跑步的間隔與父親跑4步的間隔相等.如

今兒子站在100米的中點處，父親站在100米跑道的起點處同時開始跑.問

父親能否在100米的終點處超過兒子并說明理由.

思路點撥把問題轉(zhuǎn)化為追與問題，即比較父親追上兒子時，兒子跑的路

程與50的大小，為了理順步長、路程的關(guān)系，需增設(shè)未知數(shù)，這是解題的關(guān)

鍵.

【例4】（湖北省數(shù)學競賽選拔賽試題）鐘表在12點鐘時三針重合，經(jīng)過多

少分鐘秒針第一次將分針和時針所夾的銳角平分

思路點撥先畫鐘表示意圖，運用秒針分別與時針、分針所成的角相等

建立等量關(guān)系，關(guān)鍵是要熟識與鐘表相關(guān)的學問.

注：明確要求將數(shù)學開放性問題作為考試的試題，是近一二年的事情，開放

題是相對于常規(guī)的封閉題而言，封閉題往往條件充分，結(jié)論確定，而開放題

經(jīng)常是條件不充分或結(jié)論不確定，思維多向.

解鐘表上的行程問題，常用到以下學問：

(1)鐘表上，相鄰兩個數(shù)字之間有5個小格，每個小格表示1分鐘，如與

角度聯(lián)絡(luò)起來，每一小格對應(yīng)6。；

(2)分針走一周，時針走,周，即分針的速度是時針速度的12倍.

12

［例5］七年級93個同學在4位老師的帶著下準備到離學校32千米處

的某地進展社會調(diào)查，可是只有一輛能坐25人的汽車.為了讓大家盡快地到

達目的地，確定采納步行與乘車相結(jié)合的方法。假如你是這次行動的總指揮,

你將怎樣支配他們乘車，才能使全體師生花最短的時間到達目的地最短的時

間是多少(師生步行的速度是5千米/時、汽車的速度是55千米/時，上、

下車時間不計.)

思路點撥人和車同時動身，由車來回接運，如能做到人車同時到達目的

地，則時間最短，而實現(xiàn)同時到達目的地的關(guān)鍵在于同等地享用交通工具，

這樣，各組乘車的路程一樣，步行的路程也就一樣.

跟蹤練習

1.甲、乙兩人騎自行車，同時從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為

每小時17.5千米，乙的速度為每小時15千米，則經(jīng)過小時，甲、

乙兩人相距32.5千米.

2.某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速

度從乙地返回甲地，則此人來回一次的平均速度是千米/小時.

3.（江蘇省競賽題）汽車以每小時72千米的速度筆直地開向?qū)庫o的山谷，駕

駛員撒一聲喇叭，4秒后聽到回響，聲音的速度是每秒340米，聽到回響

時汽車高山谷的間隔是米.

4.如今是4點5分，再過分鐘，分針和時針第一次重合.

5.甲、乙兩人同時從A地到B地，假如乙的速度v保持不變，而甲先用2V

的速度到達中點，再用的速度到達B地，則以下結(jié)論中正確的選項是

2

（）.

A.甲、乙兩人同時到達B地B.甲先到B地

C.乙先到B地D.無法確定誰先到

6.甲與乙競賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層動身，當甲到達6樓時，

乙剛到達5樓，按此速度，當甲到達頂層時，乙可到達（）.

A.31層B.30層C.29層D.28層

7.小明爸爸騎著摩托車帶著小明在馬路上勻速行駛，以下圖是小明每隔1小

時看到的里程狀況，你能確定小明在12：00時看到的里程表上的數(shù)嗎

12:0013:0014:00

8.如圖，是某風景區(qū)的旅游路途示意圖，其中B、C、D為風景點，E為兩條

路的穿插點，圖中數(shù)據(jù)為兩相應(yīng)點間的間隔（單位：千米）.一學生從A處動

身，以2千米/時的速度步行巡游，每個景點的逗留時間均為0.5小時.

（1）當他沿著路途AfD-*C-E-A巡游回到A處時，共用了3小時，求CE的

長.

⑵假設(shè)此學生準備從A處動身后，步行速度與在景點的逗留時間保持不變，

且在最短時間內(nèi)看完三個景點返回到A處，請你為他設(shè)計一條步行路途，并

說明這樣設(shè)計的理由.（不考慮其他因素）.

9.（湖北省孝感市競賽題）某人從家里騎摩托車到火車站，假如每小時行30

千米，則比火車開車時間早到15分鐘，假設(shè)每小時行18千米，則比火車開

車時間遲到15分鐘，如今此人準備在火車開車前10分鐘到達火車站，求此

人此時騎摩托車的速度應(yīng)當是多少

10.（“盼望杯”邀請賽試題）甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，

它們相向行駛在平行的軌道上，甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過

的時間是10秒，則乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是

秒.

11.（武漢市選拔賽試題）甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時從兩地相

向動身，并連續(xù)來回于甲、乙兩地，從甲地開出的為第一輛汽車，每小時

行30千米，從乙地開出的汽車為第二輛汽車，每小時行40千米，當從甲

地開出的第一輛汽車第二次從甲地動身后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車

分別行駛了一千米和一千米.

12.（北京市競賽題）某商場有一部自動扶梯勻速由下而上運動，甲、乙兩人

都急于上樓辦事，因此列車的錯車問題有別于兩人之間的相遇或追與問題

（為什么）解題的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為直線上的兩人相遇或追與問題.在

乘扶梯的同時勻速登梯，甲登了55級后到達樓上，乙登梯速度是甲的2倍

（單位時間內(nèi)乙登樓級數(shù)是甲的2倍），他登了60級后到達樓上，貝I」，由樓

下到樓上自動扶梯級數(shù)為—.

13.（“五羊杯”邀請賽試題）博文中學學生郊游，沿著與筆直的鐵路途并列

的馬路勻速前進，每小時走4500米，一列火車以每小時120千米的速度迎

面開來，測得從車頭與隊首學生相遇，到車尾與隊末學生相遇，共經(jīng)過60

秒，假如隊伍長500米，則火車長為（）米.

A.2075B.1575C.2000D.1500

14.（“盼望杯〃邀請賽試題）上午九點鐘的時候，時針與分針成直角，則下

一次時針與分針成直角的時間是（）.

A.9時30分B.10時5分C.10時5A分D.9時32三分

15.（河北省競賽題）鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東

行進，行人速度為3.6千米/小時，騎車人速度為10.8千米/小時，假如有

一列火車從他們背后開過來，它通過行人用了22秒，通過騎車人用26秒，

問這列火車的車身長為多少米

16.（重慶市競賽題）某出租汽車停車站已停有6輛出租汽車.第一輛出租車

動身后，每隔4分鐘就有一輛出租汽車開出，在第一輛汽車開出2分鐘后，

有一輛出租汽車進站，以后每隔6分鐘就有一輛出租汽車回站，回站的出租

汽車，在原有的出租汽車依次開出之后又依次每隔4分鐘開出一輛.問：第

一輛出租汽車開出后，經(jīng)過最少多少時間，車站不能正點發(fā)車

17.今有12名旅客要趕往40千米遠的漢口新火車站去乘火車，分開車時間

只有3小時，他們步行的速度為每小時4千米，靠走路是來不與了，惟一可

以利用的交通工具只有一輛小汽車，但這輛汽車連司機在內(nèi)最多只能乘5人,

汽車的速度為每小時60千米，假設(shè)這12名旅客必需要趕上這趟火車，請你

設(shè)計一種方案，扶植司機把這12名旅客與時地送到漢口火車站（不考慮借助

其他交通工具）.

第三講一次方程組與其應(yīng)用

一次方程組是在一元一次方程的根底上綻開的.“消元〃是解一次方程

組的根本思想，通過消元把一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，而代人法、

加減法是消元的兩種根本方法.解一些困難的方程組（如未知數(shù)系數(shù)較大、方

程個數(shù)較多等），需要視察方程組下系數(shù)特點，著眼于整體上解決問題，常用

到整體疊加、整體疊乘、設(shè)元引參、對稱處理、換元轉(zhuǎn)化等方法技巧.

因此，解題時需詳細呷鷺贊個險索牘糊莘相魏即改用列方程

組來解決問題.

【例1】給出以下程序：，

且當輸入X值為1時，輸出值為1；輸入的X值為一1時?，輸出值為一3,則

當輸入的x值為:時；輸出值為

2

【例2】正整數(shù)m、n滿意8m+9n=mn+6,則m的最大值為.

【例3】假設(shè)a、c、d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿意a+b=c,b+c=d,c+d=a,

則a+b+c+d的

最大值是()

A.-1B.-5C.0D.1

【例4】方程|x-2y-3|+|x+y+l|=l的整數(shù)解的個數(shù)是().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例5】m是整數(shù)，方程組［以-3>=6有整數(shù)解，求m的值.

6x+my=26

［例6］項王故里的門票價格規(guī)定如下表:

購票人51?100100人以

1~50人

數(shù),X上

每人門

5元4.5元4元

票價

某校初一甲、乙兩班共103人(其中甲班人數(shù)多于乙班人數(shù))去游項王故

里，假如兩班都以班為單位分別購票，一共需付486元.

(1)假如兩班結(jié)合起來，作為一個團體購票，則可以節(jié)約多少元錢

(2)兩班各有多少名學生

【例7】小剛騎自行車沿馬路以akm/min的速度前進，每隔bmin迎

面開來一輛公共汽車，每隔cmin(c>b)從后面開過一輛公共汽車.假設(shè)汽車

均為一樣的速度，始、終點發(fā)車間隔時間一樣，求汽車的速度和發(fā)車的間隔

時間.

［例8］四十只腳的娛蚣和三個頭的龍在同一個籠中，共有26個頭和

298只腳，假如40只腳的娛蚣只有一個頭，則三個頭的龍有幾只腳

［例9］某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出

這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小一樣，兩道側(cè)門大小也一樣。平安

檢查中，對4道門進展了測試：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2分鐘

內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時,，4分鐘內(nèi)可以

通過800名學生。

(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生？

(2)檢查中發(fā)覺，緊急狀況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%。平安

檢查規(guī)定：在緊急狀況下全大樓的學生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門平安撤離。

假設(shè)這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建立的這4道門是否符合

平安規(guī)定？請說明理由。

跟蹤練習

l.[X=2是二元一次方程組h+ny=8的解，則2m—n的算術(shù)平方根為（）

y=1\nx-my=\

A.±2B.72C.2

2.關(guān)于x,y的方程組5+3.v=4-其中一3<aWl,給出以下結(jié)論：

x—y=3a

①卜=5是方程組的解；

y=-1

②當a=—2時，x,y的值互為相反數(shù)；

③當a=l時，方程組的解也是方程x+y=4—a的解；

④假設(shè)則

其中正確的選項是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

3.某校團委與社區(qū)結(jié)合舉辦“愛護地球，人人有責〃活動，選派20名學生

分三組到120個店鋪發(fā)傳單，假設(shè)第一、二、三小組每人分別負責8、6、

5個店鋪，且每組至少有兩人，則學生分組方案有（）

A.6種B.5種C.4種

4.關(guān)于x,y的二元一次方程組[5x+3.v=23的解是正整數(shù)，則整數(shù)0的值

x+y=p

為.

方程（x+l）2+（y-2）2=l的整數(shù)解有（）.

A.1組B.2組C.4組D.多數(shù)組

5.滿意卜+正一+%+上一+,+火頤=？的整數(shù)組(x,y,z)有()組

A.3B.5C.8D.12

6.：。也c三個數(shù)滿意，J=1,盧=±，匕=',則———的值為()

a+b3b+c4c+a5ah+be+ca

]171

A.-B.—C.—D.—

6121520

7.設(shè)a.0,Z?>0,c>0,假設(shè)x=，一=—^—=，一，貝！Jx的值為()

b+ca+ca+b

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.m為正整數(shù)，二元一次方程組[〃吠+2y=l°有整數(shù)解，即x、y均為整數(shù)，

3x-2y=0

則m2=.

9.方程組卜/+“y=G的解是卜=3,則方程組尸,"+仿》=5C1的解

a2x+b2y=c2[y=4

是;

10.設(shè)fx+y+3z=23,則3x_2y+z=―

11.方程的正整數(shù)解(x,y)的組數(shù)是()

xy1

A.0B.1C.3D.5

12.在平面直角坐標系9,中，滿意不等式x2+/<2x+2y的整數(shù)點坐標(x,y)

的個數(shù)為()A.10B.9C.7D.5

13.假設(shè)a,b,c都是質(zhì)數(shù)，其中a最小，且a+b+c=44,ab+3-c,則

ab+c-；

14.小明每個月有20元零花錢，一塊巧克力3元錢，一本玩具小冊2元錢。

小明的華蜜值可以用下面這個公式來表示：華蜜值=巧克力塊數(shù)義玩具小冊本

數(shù)。小明一個月可到達的華蜜值最高為;

15.有面額為壹元、貳元、伍元的人民幣共10張，欲用來購置一盞價值為

18元的護眼燈，要求三種面額都用上，則不同的付款方式有（）

A、8種B、7種C、4種D、3種

16.某果晶商店進展組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙

種搭配：3千克A水果.8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A

水果，6千克B水果，1千克C水果.A水果每千克2元，B水果每千克1.2

元，C水果每千克10元.某天該商店銷售這三種搭配水果共441.2元.其

中A水果的銷售額為116元，問C水果的銷售額為多少元

17.團體購置公園門票，票價如下:

購票人51~

1-50100以上

數(shù)100

每人門

13元11元9元

票數(shù)

今有甲、乙兩個旅游團，假設(shè)分別購票，兩團總計應(yīng)付門票費1314元，

假設(shè)合在一起作為一個團體購票，總計支付門票費1008元，問這兩個旅游團

各有多少人

18.一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小一樣的小球，紅球上標有數(shù)

字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球，

它們上面所標數(shù)字的和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過多

少個？

19.有一根長38米的鐵絲，全部分成5米和3米長的鐵絲，要求沒有剩余，

問有多少種不同的分法？

20.江堤邊一凹地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相

等，假如用2臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；假如用4臺抽水機抽水，16分

鐘可抽完.假如要在10分鐘內(nèi)抽完水，貝I」，至少需要抽水機多少臺?

21.某人用15元錢買了20張郵票，其中有1元，8角，2角的郵票。問他可

能有多少種不同的買法？

22.在當?shù)剞r(nóng)業(yè)技術(shù)部門指導下，小明家增加種植菠蘿的投資，使今年的菠

蘿喜獲豐收.下面是小明爸爸、媽媽的一段對話.

請你用所學過的學問扶植小明算出他們家今年菠蘿的收入收入一投資

=凈賺〕.

老李，沒關(guān)系.你看\

我們家去年只凈賺8000元,>

今年卻凈廉了11800元.增/

加投^^4得！J

阿菊老李

23.為了激勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.如表是

該市居民“一戶一表〃生活用水與提示計費價格表的部分信息：

污水處理

自來水銷售價格

價格

單價：元單價：元/

每戶每月用水量

/噸噸

17噸以下a

超過17噸但不超過30噸

b

的部分

超過30噸的部分

（說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶自來水用水量；②水費=自來水費用+

污水處理費用〕

小王家2021年4月份用水20噸，交水費66元；5月份用水25噸，交水費

91元.

（1〕求a、8的值；

（2〕隨著夏天的到來，用水量將增加.為了節(jié)約開支，小王方案把6月份的

水費限制在不超過家庭月收入的2%.假設(shè)小王家的月收入為9200元，則小

王家6月份最多能用水多少噸？

第四講不等式（組）與不等式（組）的應(yīng)用

不等式（組）是探求不等關(guān)系的根本工具，不等式（組）與方程（組）在相關(guān)

概念、解法上有著相像點，又有不同之處，主要表達在：

等式、不等式兩者都乘以（或除以）同一個數(shù)時，等式僅需考慮這個數(shù)是

否為零，而不等式不但要考慮這個數(shù)是否為零，而且還需留意這個數(shù)的正負

性；

解方程組時，我們可以“統(tǒng)一思想〃，即可以對幾個方程進展“代人”

或“加減”式的加工，解不等式組時，我們只能“分而治之”，即只能分別

求出每個不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式組的解集.

不等式(組)的應(yīng)用主要表如今：作差或作商比較數(shù)的大??；求代數(shù)式的

取值范圍；求代數(shù)式的最值，列不等式(組)解應(yīng)用題.

一、求不等式或不等式組中參數(shù)的值或取值范圍

【例1】關(guān)于X的不等式組'4一無解,則a的取值范圍是______；

x-a>0

(2)不等式3x—aWO的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是.

［例2］假設(shè)不等式(ax—1)(x十2)>0的解集是一3<x<-2,則a等于

().

A.-B.--C.3D.—3

33

x+6x

【例3】假設(shè)關(guān)于x的不等式組工>7+1…⑴的解集為x<4,則m的取值

x+m<0…⑵

范圍是.

二、代數(shù)式的最值問題

［例4］三個非負數(shù)a、b、c滿意3o+2〃+c=5和2°+/?—3c=1,彳炭設(shè)

m=3a+b—7c,求m的最大值和最小值.

【例5］在滿意x+2yW3,z20,y20的條件下，2x+y能到達的最大值

是.

【例6】設(shè)x”X2，…,x?為自然數(shù)，且xKx2<X3<x6<x7,又Xi+x2+???

+X7=159,則X1+X2+X3的最大值為.

三、方案決策問題

［例7］現(xiàn)方案把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，

這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，運用A型車廂每節(jié)費用

為6000元，運用B型車廂每節(jié)費用為8000元.

(1)設(shè)運送這批貨物的總費用為y萬元，這列貨車掛A型車廂x節(jié)，試寫

出y與x之間的關(guān)系式：

(2)假如每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)B

型車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求支配A、B

兩種車廂的節(jié)數(shù)，則共有哪幾種支配車廂的方案

(3)在上述方案中，哪個方案運費最省最少運費為多少元

［例8］商業(yè)大廈購進某種商品1000件，銷售價定為購進價的125%.現(xiàn)

方案節(jié)日期間按原定銷售價讓利10%,售出至多100件商品，而在銷售淡季

按原定銷售價的60%大甩賣，為使全部商品售完后贏利，在節(jié)日和淡季外要

按原定價銷售至少多少件商品

【例9】貨輪上卸下假設(shè)干只箱子，其總重量為10t,每只箱子的重量不超過

It,為保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3t的汽車

跟蹤練習

x+6x

1.假設(shè)關(guān)于X的不等式組三的解集為x<4,則m的取值范圍

X+"2<0

是.

2.假設(shè)不等式組「A"<1的解集為一i<xG,則（a+l）（b-1）的值等

x-2b>3

于.

3.a<0,且中Wa,貝?。﹟2%一6|—年一2|的最小值為.

4.當1<=____時，方程組［%+2尸6有正整數(shù)解.

x-y=9-3k

5.a為整數(shù)，關(guān)于x的方程。2尤_20=0的根是質(zhì)數(shù)，且滿意版-7]>凡則a

等于（）.

A.2B.2或5C.±2D.—2

6.假設(shè)方程組「x+y=%+l的解滿意條件<工+丁<1,則k的取值范圍是

x+4y=3

（）.

A.-4<k<lD.-4<k<0C.0<k<9D.k>—4

7.要使不等式……a1<a5<a3<a<a2<a4<ab<……成立，有理數(shù)a的取值

范圍是（）.

A.0<a<lB.a〈一1C.-l<a<0D.a>l

8.a、6為常數(shù)，假設(shè)ax+b>0的解集是則"-a<0的解集是（）.

3

A.x>一3B.x<-3C.x>3D.x<3

9.方程組=2,假設(shè)方程組有非負整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.

mx+y=6

x>-1

10.不等式組x<l

x<\-k

⑴當&=J.時，不等式組的解集是；當k=3時，不等式組的解集

2

是;

當k=-2時，不等式組的解集為.

⑵由（1）知，不等式組的解集隨數(shù)k值的變更而變更，當k為隨意有理數(shù)時,

不等式組的解集為

11.假如關(guān)于x的不等式(2m'—n)x一m—5n>0的解集為x<W,則關(guān)于x的

7

不等式mx>n(rnWO)的解集為.

2x<3(x-3)+1

12.關(guān)于x的不等式組3尤+2有四個整數(shù)解，則a的取值范圍是().

------->x+a

[4

A115D115

A.------<a<—D.--------<a<—

4242

?115115

C.------<a<——nD.-------<a<——

4242

13.m、n是整數(shù)，3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,則mn的值是().

A.70,B.72C.77D.84

14.m是整數(shù)且一6(Km<-30,關(guān)于x,y的二元一次方程組［2兀-3.丫=-5有

-3x-ly=m

整數(shù)解，求F+y的值.

15.假如不等式組Q”X—。Q的整數(shù)解僅為1,2,3,則合適這個不等式組的

8工一。<0

整數(shù)a、b的有序數(shù)對(a,b)共有多少個請說明理由.

16.某化工廠2001年12月在制定2002年某種化肥的消費方案時，搜集了如

下信息：

(1)消費該種化肥的工人數(shù)不能超過200人;

(2)每個工人全年工作時數(shù)不得多于2100個；

(3)預(yù)料2002年該化肥至少可售銷80000袋；

(4)每消費一袋該化肥需要工時4個；

(5)每袋該化肥需要原料20千克；

(6)現(xiàn)庫存原料800噸，本月還需用200噸，2002年可以補充1200噸.

依據(jù)上述數(shù)據(jù)，確定2002年該種化肥的消費袋數(shù)的范圍是.

17.某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛間隔不超過3千米都需

付7元車費)，超過3千米以后.每增加1千米，加收2.4元(缺乏1千米按

1千米計).某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費19元，設(shè)此人從甲

地到乙地經(jīng)過的路程是x千米，則x的最大值是().

A.11B.3C.7D.5

18.為了愛護環(huán)境，某企業(yè)確定購置10臺污水處理設(shè)備.現(xiàn)有A、B兩種型

號的設(shè)備，其中每臺的價格、月處理污水量與年消消耗如下表：

A型B型

價格(萬元/臺)1210

處理污水量(噸/月)240200

年消消耗(萬元/臺)11

經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購置設(shè)備的資金不高于105萬元.

(1)請你設(shè)計該企業(yè)有幾種購置方案；

⑵假設(shè)企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購置

方案;

(3)在第(2)問的條件下，假設(shè)每臺設(shè)備的運用年限為10年，污水廠處理污水

費為每噸10元，請你計算，該企業(yè)自己處理污水與將污水排到污水廠處理相

比較，10年節(jié)約資金多少萬元(注：企業(yè)處理污水的費用包括購置設(shè)備的資

金和消消耗)

19.某企業(yè)有員工300人消費A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)建利潤m萬元(m

為大于零的常數(shù)).為減員增效，確定從中調(diào)配x人去消費新開發(fā)的B種產(chǎn)

品.依據(jù)評估，調(diào)配后接著消費A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)建的利潤可

增加20%,消費B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)建利潤1.54m萬元.

（1）調(diào)配后企業(yè)消費A種產(chǎn)品的年利潤為萬元，消費月種產(chǎn)品的年利

潤為萬元（用含rn的代數(shù)式表示）.假設(shè)設(shè)調(diào)配后企業(yè)全年的總利潤為

y萬元，則y關(guān)于X的關(guān)系式為

（2）假設(shè)要求調(diào)配后企業(yè)消費A種產(chǎn)品的年利潤不少于調(diào)配前企業(yè)年利潤的

五分之四，消費B種產(chǎn)品的年利潤大于調(diào)配前企業(yè)年利潤的一半，應(yīng)有哪幾

種調(diào)配方案請設(shè)計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大（必要時運算過

程可保存3個有效數(shù)字）.

⑶企業(yè)確定將⑵中的年最大總利潤（m=2）接著投資開發(fā)新產(chǎn)品，現(xiàn)有六種

產(chǎn)品可供選擇（不得重復投資同一種產(chǎn)品），各產(chǎn)品所需資金以與所獲利潤如

下表：

產(chǎn)品CDEFGH

所需資金（萬元）200348240288240500

年利潤（萬元）508020604085

假如你是企業(yè)決策者，為使此項投資所獲年利潤不少于145萬元，你可以投

資開發(fā)哪些產(chǎn)品請你寫出兩種投資方案.

20.學校6名老師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小

車.假設(shè)租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元；假設(shè)租用2輛大車一輛

小車共需租車費1100元.

11〕求大、小車每輛的租車費各是多少元？

〔2〕假設(shè)每輛車上至少要有一名老師，且總租車費用不超過2300元，求最

省錢的租車方案.

21.煤炭是攀枝花的主要礦產(chǎn)資源之一，煤炭消費企業(yè)需要對煤炭運送到用

煤單位所產(chǎn)生的費用進展核算并納入企業(yè)消費方案.某煤礦現(xiàn)有1000噸煤

炭要全部運往A、B兩廠，通過理解獲得A、B兩廠的有關(guān)信息如下表（表中

運費欄“元/t?km〃表示：每噸煤炭運送一千米所需的費用）：

r運費［元路程（km）需求量

別/t,km)

A200不超過

600

Ba（a為常數(shù)）150不超過

800

U）寫出總運費y（元）與運往A廠的煤炭量xIt）之間的函數(shù)關(guān)系式，并

寫出自變量的取值范圍；

（2〕請你運用函數(shù)有關(guān)學問，為該煤礦設(shè)計總運費最少的運送方案，并求出

最少的總運費（可用含a的代數(shù)式表示）

22.溫嶺是享有“中國高橙〃之鄉(xiāng)，“明圣〃牌高橙獲浙江農(nóng)業(yè)博覽會金

獎。某合作社欲將n箱高橙運往A,B,C三地銷售，要求運往C地的件數(shù)是

運往A地件數(shù)的2倍，各地的運費如下圖.設(shè)支配x箱高橙運往A地.

〔1〕當n=200時，①依據(jù)信息填表：

A地B地C地合計

產(chǎn)品箱數(shù)1箱）X2x200

運費（元）3x

②假設(shè)運往B地的箱數(shù)不多于運往C地的箱數(shù)，總運費不超過4000元，則有

哪幾種運輸方案？

第五講三角形、四邊形和n多邊形

內(nèi)容提要

(1)n邊形的內(nèi)角和等于；

(2)n邊形的外角和等于；

(3)n邊形的對角線條數(shù)為；

(4)解決多邊形的問題中重要的思想方法是轉(zhuǎn)化思想。

二.熱身練習

1、把一根長100cm的鐵絲截成n小段(n>3),每段不小于10cm,假設(shè)不

管怎樣的截法，總存在3小段，以它們?yōu)檫吙善闯梢粋€三角形，則n的最

小值是()

A、3B、4C、5D、6

2、不等邊三角形中，假如一條邊長等于另兩條邊長的平均值，則，最大邊上

的高與最小邊上的高的比值k的取值范圍是()%////

A、2<k<lB、l<k<3C、l<k<2D、l<k<l////

42-////

3、如圖，兩組平行線a〃az〃a3,b.//b2//b3//b1,則圖中的平行順形,

共有()個

A、12B、15C、18D、20

4、三角形的三個內(nèi)角分別為a,B,丫，且a2B?Y，a=2y,則B的取

值范圍是()

A、36°WBW45°B、45°WBW60°C、60°WBW90°D、45°WBW72°

5、如圖，Z^ABC中，ZA=96°,延長BC到D,NABC與NAC?的名

平分線相交于A點，ZA,BC與NACD的平分線相交于

依次類推，NABC與NACD的平分線相交于As,則N是的CD

大小是()

A、3°B、5°C、800

6、凸n(n24)邊形中出現(xiàn)銳角的最大個數(shù)為M,最小個數(shù)為m,則M+m的值

是o

7、三角形的最大角與最小角之比是4：1,則第三個內(nèi)角a的取值范圍是

8、在aABC中，三邊長為a=3,b=4,c=6,h.表示a邊上的高的長，瓜，hc

意義類似,

則(ha+hb+hc)?(4+；+；)的值為_________o