壓軸題06向量、復(fù)數(shù)壓軸題16題型（學(xué)生版）

壓軸題06向量、復(fù)數(shù)壓軸題十六大題型匯總命題預(yù)測本專題考查類型主要涉及點為向量與復(fù)數(shù)，包含了向量的最值，新定義等，包含了復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與新定義等。預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在上述幾個方面進(jìn)行。高頻考法題型01向量新考點問題題型02投影向量問題題型03向量最值取值范圍問題題型04向量與不等式結(jié)合題型05向量新定義問題題型06復(fù)數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題題型07復(fù)數(shù)最值問題題型08復(fù)數(shù)的三角形式題型09復(fù)數(shù)方程的根相關(guān)問題題型10向量與解析幾何結(jié)合題型11向量與實際模型題型12向量與四心題型13向量與數(shù)列結(jié)合題型14向量與三角換元題型15復(fù)數(shù)新定義問題題型16復(fù)數(shù)與數(shù)列問題01向量新考點問題1.（2024·上海嘉定·二模）已知OA=x1,y1，OB=A．12x1C．12x12.（多選）（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知Px1,y1，QA．2x1B．2x1C．x1?3D．x1?33.（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知A1,A2,A3,A4.（2024·浙江·二模）設(shè)正n邊形的邊長為1，頂點依次為A1,A2,?,An，若存在點P滿足P5.（2022·浙江·三模）已知平面向量x1,x2,x3,x4,02投影向量問題向量投影的理解是很重要的，在出題中往往會畫出圖形來進(jìn)行思考問題，利用幾何法來解決問題。6.（2022·上海金山·一模）已知向量a與b的夾角為120°，且a?b=?2，向量c滿足c=λa+1?λb0<λ<1，且a?c=b?cA．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立7.（2023·廣東·二模）已知O是坐標(biāo)原點，點N2,1，且點M是圓C：x2+y28.（2023·天津·二模）在△ABC中，AB=32，角A為銳角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，則A=；若AC=6，則函數(shù)fx=9.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知非零向量a與b的夾角為銳角，c為b在a方向上的投影向量，且|c|=|a|=2，則a+10.（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b的夾角為π3，滿足a+b=1．平面向量c在03向量最值取值范圍問題處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.11.（多選）（2024·浙江寧波·二模）若平面向量a,b,c滿足A．a(chǎn)+B．a(chǎn)+C．a(chǎn)?D．a(chǎn)?b12.（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐S?ABC中，底面邊長AB=2，側(cè)棱AS=3，向量a，b滿足a?a+AC=a?13.（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AMA．423,C．173,4114.（2022·浙江臺州·二模）已知平面向量e1,e2,e3,|e1|=|A．?3+66 B．?3+5615.（2024·上海徐匯·二模）如圖所示，已知△ABC滿足BC=8,AC=3AB，P為△ABC所在平面內(nèi)一點.定義點集D=PAP=3λAB+1?λ3AC,λ∈R.若存在點P04向量與不等式結(jié)合16.（2024·安徽蕪湖·二模）若實數(shù)x，y滿足x2+y2=2517.（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）已知平面向量a,b,c滿足|b|?|c18.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a=b=2，c=1，A．6?1,6+1C．7?1,7+119.（2024·天津·二模）在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中點，延長AP交BC于點D．設(shè)AB=a，AC=b，則AP可用a，b表示為，若AD=620.（2024·上海長寧·二模）已知平面向量a,b,c滿足：a=b=05向量新定義問題新定義問題，理解定義內(nèi)容、會運(yùn)用新定義運(yùn)算，是解決問題的關(guān)鍵21.（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則曼哈頓距離dA,B（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.94822.（多選）（2022·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運(yùn)算“Θ”如下：對任意的兩個向量a=x1,yA．對任意的λ∈R，有λB．存在唯一確定的向量e使得對于任意向量a，都有aΘC．若a與b垂直，則aΘbΘD．若a與b共線，則aΘbΘ23.（多選）（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意a,b∈E，t∈A．x,yy≥exC．x,yx+2y?1≥0 D．24.（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)有n維向量a=a1a2???an，b=b1b2???bn，稱a,(1)若a=1234(2)令B=x,yx,(3)若n=4，f4是從S4中選出向量的個數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足a,25.（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）定義兩個向量組X=(x1,x2,x3),Y=(y1,y06復(fù)數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題26.（多選）（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．若(1+i)z=?B．對任意復(fù)數(shù)z1，z2C．對任意復(fù)數(shù)z1，z2D．在復(fù)平面內(nèi)，若M={z|z?2≤2}27.(多選)（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2,A．若z1z2B．若z1z2=C．若z1z3D．若z2+28.（多選）（2024·河北滄州·一模）在復(fù)數(shù)城內(nèi)，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對值來描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長度”即為模長，規(guī)定在復(fù)平面x軸上方的復(fù)數(shù)為正，在x軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在x軸上的復(fù)數(shù)即為實數(shù)大?。按笮　庇梅?“長度”表示，我們用[z]來表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：[1+2i]=5，[1?2i]=?5，A．[z]=1在復(fù)平面內(nèi)表示一個圓B．若z∈C，則方程[z]2C．若z1,z2D．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y=?x+4上，則|[z]|最小值為229.（多選）（2024·遼寧·二模）已知復(fù)數(shù)z,w均不為0，則（

）A．z2z=C．zw=zw 30.（多選）（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知復(fù)數(shù)z1A．若z1=z2，則z1C．若z1是非零復(fù)數(shù)，且z12=z1z07復(fù)數(shù)最值問題31.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z?1=z+iA．12 B．22 C．1 32.（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如果復(fù)數(shù)z=x+yix∈R,y∈R，z1=?2，z2=?12，z3=i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z，33.（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足1≤z+1+i≤2，則34.（2022·福建·模擬預(yù)測）對任意三個模長小于1的復(fù)數(shù)z1，z2，z3，均有z1z35.（2023·河北·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)a+bii=6+8i，且a08復(fù)數(shù)的三角形式36.（2023·湖北·二模）復(fù)數(shù)21?A．cos?π3C．32+137.（2016·安徽淮北·一模）現(xiàn)定義eiθ=cosθ+isinθ，其中i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù)，θ∈R，且實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對eiθA．cos5θ+isin5θC．sin5θ+icos5θ38.（2022·上海奉賢·一模）復(fù)數(shù)cos2θ+isin3θ?cosθ+isinA．9 B．10 C．11 D．無數(shù)39.（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn=[r(cosθ+isin40.（2019·上海楊浦·一模）已知復(fù)數(shù)z1=cosx+2f(x)i，z2=(3sinx+cosx)+i（x∈R，i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)z1、09復(fù)數(shù)方程的根相關(guān)問題41.（多選）（2024·浙江杭州·二模）已知關(guān)于x的方程x2+tx+1=0(?2<t<2)的兩根為z1A．z1=zC．z1=z42.（2020·上海閔行·二模）關(guān)于x的實系數(shù)方程x2?4x+5=0和A．5 B．?1 C．0,1 D．0,143.（多選）（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardano.Girolamo，1501-1576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀(jì)人們把卡爾達(dá)諾的解法推廣并整理為四個步驟：第一步，把方程x3+a2x2+第二步，利用公式x3+y第三步，求得y，z的一組值，得到方程x3+px+q=0的三個根：?y?z，?ωy?ω2z，?第四步，寫出方程x3+a2x2+某同學(xué)利用上述方法解方程8x3?12x2A．a(chǎn)2=?32 B．yz=2 C．44.（2001·全國·高考真題）對任意一個非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz(1)設(shè)a是方程x+1x=2的一個根，試用列舉法表示集合(2)設(shè)復(fù)數(shù)ω∈Mz，求證：45.（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)a,b為實數(shù)，且ab≠0，虛數(shù)z為方程ax2+bx+a=0的一個根，則z10向量與解析幾何結(jié)合平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.46.（2024·全國·模擬預(yù)測）拋物線E:y2=x的焦點為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點，過點P作E的兩條切線，切點為A，B（點AA．1 B．2 C．3 D．147.（2024·山東日照·一模）過雙曲線x24?y212=1A．28 B．29 C．30 D．3248.（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a=3，b=1，a?b=0，A．2213+1 B．4 C．449.（2023·四川攀枝花·一模）在平面四邊形OACB中，OA⊥OB，OA=3，∠OBA=∠ACB=π3，OC=λA．3 B．2 C．3 D．250.（2023·新疆·二模）已知平面向量a，b，c，滿足a=2，a?b=23，若對于任意實數(shù)x，都有bA．2 B．4 C．6 D．811向量與實際模型51.（2023·全國·模擬預(yù)測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知ABCHIJ與CDEFGH為全等的正六邊形，且AB=2，點P為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則AP?A．0,42 B．?1,42 C．0,36 D．?1,3652.（2023·河南安陽·二模）如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．在平面直角坐標(biāo)系中，圓M:x2+y+m2=n2和A．32+22 B．22+1 53.（2023·全國·模擬預(yù)測）中國結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它身上所顯示的情致與智慧正是中華民族古老文明中的一個側(cè)面.已知某個中國結(jié)的主體部分可近似地視為一個大正方形（內(nèi)部是16個全等的邊長為1的小正方形）和凸出的16個半圓所組成，如圖，點A是大正方形的一條邊的四等分點，點C是大正方形的一個頂點，點B是凸出的16個半圓上的任意一點，則AC?A．33+3172 B．33+2172 C．54.（多選）（2023·吉林·一模）中華人民共和國國旗是五星紅旗，國旗上每個五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù)．連接正五邊形的所有對角線能夠形成一個標(biāo)準(zhǔn)的正五角星，正五角星中每個等腰三角形都是黃金三角形．黃金三角形分兩種：一種是頂角為36°的等腰三角形，其底邊與一腰的長度之比為黃金比5?12；一種是頂角為108°的等腰三角形，其一腰與底邊的長度之比為黃金比5?12．如圖，正五角星ABCDE中，

A．AG=FI C．AG在AF上的投影向量為5+12AF55.（多選）（2022·重慶·模擬預(yù)測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，動點P在CD上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧AB圖1

圖2A．若y=x，則x+y=23 B．若y=2xC．AB?PQ≥?212向量與四心三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：設(shè)△ABC的角A，B，C所對邊分別為a，b，c，則（1）△ABC的重心G滿足GA+（2）△ABC的內(nèi)心P滿足aPA（3）△ABC的外心M滿足MA=56.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC中，AO=λAB+(1?λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBCA．23,56 B．15,57.（2021·四川成都·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線CA．3 B．4 C．5 D．658.（2022·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1A．13 B．25 C．3359.（多選）（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）點O，H分別是△ABC的外心?垂心，則下列選項正確的是（

）A．若BD=λBA|BAB．若2BO=BA+C．若∠B=π3，OB=mOAD．若2HA+360.（2023·廣東惠州·一模）已知點D在線段AB上，CD是△ABC的角平分線，E為CD上一點，且滿足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA13向量與數(shù)列結(jié)合61.（2023·四川達(dá)州·一模）已知O為平面四邊形ABCD內(nèi)一點，數(shù)列an滿足a1=4，當(dāng)n≥2時，恒有OD=an?2nOA?an+an?1?4n+1OB+a62.（2023·廣東廣州·三模）我們稱nn∈N?元有序?qū)崝?shù)組x1,x2,?,xn為n維向量，x1+x2+?+xn為該向量的范數(shù).已知n維向量63．（2023·北京海淀·二模）在數(shù)列xn中，x1=1，x2=2．設(shè)向量an=xn,xn+1，已知an?an+1?a64.（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D是AC邊上一點，且AD=12DC，Enn∈N?為直線AB上一點列，滿足：En65.（2022·山西太原·三模）如圖，已知點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，點Gn(n∈N?)在線段BD上，且滿足GnD14向量與三角換元66.（2022·天津和平·三模）在平面內(nèi)，定點A,B,C,O，滿足OA=OB=OC=2，且OA+OB+OC=0，則AB=67.（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量a、b、c、e，滿足a⊥b，a=2b，c=a+68.（2022·天津河西·模擬預(yù)測）如圖，已知B，D是直角C兩邊上的動點，AD⊥BD，AD=3，∠BAD=π6，CM=69.（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知O為△ABC的外接圓圓心，且AO?BC=1,BC=1．設(shè)實數(shù)λ,μ滿足AO70.（2024·甘肅隴南·一模）已知M是橢圓x210+y2=1上一點，線段AB是圓C:x15復(fù)數(shù)新定義問題新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決．71.（23-24高三下·浙江麗水·開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中的數(shù)，除了實數(shù)、復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù)．四元數(shù)在計算機(jī)圖形學(xué)中有廣泛應(yīng)用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn)．集合H=d+ai+bj+ck∣a,b,c,d∈R中的元素α=d+ai+bj+c兩個四元數(shù)的乘法定義為：ij=?ji=k,jk=?kj=i,ki=?(1)設(shè)a,b,c,d∈R,四元數(shù)α=d+ai+bj+ck（i）計算αα（ii）若α≠0，求α?1（iii）若α≠0,β∈W，證明：αβα(2)在空間直角坐標(biāo)系中，把空間向量α=(a,b,c)與純四元數(shù)α=ai+bj（i）證明：γ∈W;（ii）若α,β是平面X內(nèi)的兩個不共線向量，證明：γ是X的一個法向量．72.（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）對于無窮數(shù)列a0,a1,a2,?,an,?(1)證明：e(?x)=(2)記c(x)=k=0∞(?1)(3)以函數(shù)xe(x)?1為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列Bn，xe(x)?1=n=073.（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在高等數(shù)學(xué)中，我們將y=fx在x=x0處可以用一個多項式函數(shù)近似表示，具體形式為：fx=fx0+f'x(1)分別求ex，sinx，cosx(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：eiπ+1=0(3)若?x∈0,32，e74.（2024·全國·模擬預(yù)測）對于非空集合G，定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”G,×，簡記為G×．而判斷G1.（封閉性）對于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對任意a,b∈G，都須滿足a×b∈G；2.（結(jié)合律）對于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對任意a,b,c∈G，都須滿足a×b×c3.（恒等元）存在e∈G，使得對任意a∈G，e×a=a；4.（逆的存在性）對任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．記群G×所含的元素個數(shù)為n，則群G×也稱作“n階群”．若群G×的“×”運(yùn)算滿足交換律，即對任意a，b∈G(1)證明：所有實數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群R+(2)記C為所有模長為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請找出一個合適的“×”運(yùn)算使得C在該運(yùn)算下構(gòu)成一個群C×(3)所有階數(shù)小于等于四的群G×75.（2024高三上·全國·競賽）設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對M的一個子集A，若存在復(fù)平面上的一個圓，使得A的所有數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點都在圓內(nèi)或圓周上，且?M(1)判斷{1,2,3}是否是{i,