湖北省部分省級(jí)示范高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省部分省級(jí)示范高中2022~2023學(xué)年下學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試卷 命題人：武漢市第二十三中學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算()．A. B. C. D.2.“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的()．A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件3.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則()．A. B. C. D.24.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出數(shù)列為等比數(shù)列的條件是()．A. B. C. D.是等比數(shù)列5.武漢市第二十三中學(xué)“藝術(shù)節(jié)”舉辦一場(chǎng)文藝匯演，有6個(gè)不同節(jié)目要分配給高一年級(jí)的7班、8班、9班、12班4個(gè)班級(jí)做準(zhǔn)備，其中兩個(gè)班級(jí)各分配2個(gè)節(jié)目，另兩個(gè)班級(jí)各分配1個(gè)節(jié)目，共有多少種不同的分配方式()．A.144 B.180 C.960 D.10806.如圖展示的是一個(gè)樹形圖的從上至下的前6行生長(zhǎng)過程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第10行的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)是()．A.55 B.34 C.21 D.137.已知，，(其中為自然常數(shù))，則、、大小關(guān)系為()．A. B. C. D.8.若直線是曲線與曲線的公切線，則()．A.26 B.23 C.15 D.11二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.一箱產(chǎn)品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，從這16件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是()．A. B.C. D.10.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則()A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等比數(shù)列11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的值可以是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是()．A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)值域?yàn)镃.若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若關(guān)于的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.有個(gè)編了號(hào)的抽屜，要放進(jìn)個(gè)相同的小球，每個(gè)抽屜不空的放法共有______種．14.已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為___________.15.已知函數(shù)滿足，則在處的導(dǎo)數(shù)為______．16.已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)的和為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.有7名學(xué)生站在一排，其中女生3名、男生4名，請(qǐng)按要求完成下列問題．(1)如果所有男生站一起并且所有女生站在一起，那么有多少種排法？(2)如果男生、女生相間站一排，那么有多少種排法？(3)如果男生中的甲和女生中的乙從左到右順序一定，那么有多少種排法？19.已知數(shù)列首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．20.給定函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出的極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的范圍．21.在數(shù)列中，已知，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．22.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．(注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

湖北省部分省級(jí)示范高中2022~2023學(xué)年下學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試卷命題人：武漢市第二十三中學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算()．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式展開計(jì)算，即可得出答案.【詳解】.故選：C.2.“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的()．A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，，，所以，但數(shù)列不是等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，成立.所以，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：C.3.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則()．A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合已知可推得，然后變形即可得出答案.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，，所以，.故選：A.4.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出數(shù)列為等比數(shù)列的條件是()．A. B. C. D.是等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】用與的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，已知，所以，所以，，不符合上式，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，已知，當(dāng)首項(xiàng)為零時(shí)，不符合題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知，所以，則所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知是等比數(shù)列，則設(shè)的通項(xiàng)公式為則，不符合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.5.武漢市第二十三中學(xué)“藝術(shù)節(jié)”舉辦一場(chǎng)文藝匯演，有6個(gè)不同的節(jié)目要分配給高一年級(jí)的7班、8班、9班、12班4個(gè)班級(jí)做準(zhǔn)備，其中兩個(gè)班級(jí)各分配2個(gè)節(jié)目，另兩個(gè)班級(jí)各分配1個(gè)節(jié)目，共有多少種不同的分配方式()．A.144 B.180 C.960 D.1080【答案】D【解析】【分析】按照分組分配的方法，計(jì)算求值.【詳解】首先將6個(gè)不同的節(jié)目按照2，2，1，1的分組，有,再分配到4個(gè)班級(jí)，有種方法，所以共有種方法.故選：D6.如圖展示的是一個(gè)樹形圖的從上至下的前6行生長(zhǎng)過程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第10行的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)是()．A55 B.34 C.21 D.13【答案】C【解析】【分析】設(shè)第行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，由已知觀察即可得出，，然后逐項(xiàng)求解，即可得出答案.【詳解】設(shè)第行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，.則由已知可得，，，，，，，所以，，，.故選：C.7.已知，，(其中為自然常數(shù))，則、、的大小關(guān)系為()．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得，，，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，易得，，，可得，當(dāng)時(shí)，所以在遞減，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.8.若直線是曲線與曲線的公切線，則()．A.26 B.23 C.15 D.11【答案】D【解析】【分析】先由，利用切線斜率為-1求得切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線方程求得a，然后設(shè)切線與的切點(diǎn)為，利用切線斜率為-1和切點(diǎn)在切線上求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，由，解得?舍去)，所以切點(diǎn)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上，解得，所以切線方程為，設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，解得，所以，故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.一箱產(chǎn)品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，從這16件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是()．A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】有3種抽法，第一種方法分為兩類，3件中有1件次品或2件次品；第二種方法，考慮間接抽法，用16件產(chǎn)品任抽3件總情況數(shù)減去不含次品的情況數(shù)；第三種方法，先任抽一件次品，再?gòu)氖Ｏ碌?5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽2件，但有2件次品的情況算了兩次，故需減去多余的抽法數(shù).據(jù)此可得答案.【詳解】由題，當(dāng)3件產(chǎn)品中有1件次品時(shí)，情況數(shù)為，當(dāng)3件產(chǎn)品中有兩件次品時(shí)，情況數(shù)為，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為；16件產(chǎn)品任抽3件的總情況數(shù)為，3件產(chǎn)品中不含次品的抽法數(shù)為，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為；從產(chǎn)品中任取1件次品的情況數(shù)為，在從剩下產(chǎn)品中任抽2件的情況數(shù)為，則兩步的總情況數(shù)為，又有2件次品的情況算了兩次，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為.故選：ABD10.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則()A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，所以，所以是以為公比的等比數(shù)列，A正確；，所以是以為公比的等比數(shù)列，B正確；若公比，則，所以不能構(gòu)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；若公比，且為偶數(shù)，則都等于0，此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選:AB.11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的值可以是()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、，求出這兩個(gè)量的值，可求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得，再結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，所以，，所以，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，BCD選項(xiàng)滿足條件.故選：BCD.12.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是()．A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)的值域?yàn)镃.若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若關(guān)于的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出函數(shù)的值域，可判斷B選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由A分析可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因此，函數(shù)的值域?yàn)?，B對(duì)；作出函數(shù)的圖像如下圖所示：對(duì)于C，由，可得或，由圖可知，方程有個(gè)不等的實(shí)根，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則方程有1個(gè)實(shí)根，此時(shí)，C錯(cuò)；對(duì)于D，若，由，即，可得，則方程只有兩個(gè)不等的實(shí)根，故舍去；若，由，即，可得或或，由圖可知，方程有個(gè)不等的實(shí)根，方程只有一個(gè)實(shí)根，若關(guān)于的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則方程有3個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)，D對(duì).故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.有個(gè)編了號(hào)的抽屜，要放進(jìn)個(gè)相同的小球，每個(gè)抽屜不空的放法共有______種．【答案】【解析】【分析】利用隔板法計(jì)算可得.【詳解】依題意利用隔板法，在個(gè)相同的小球所形成的個(gè)空中插入個(gè)板即可，故有種放法.故答案為：.14.已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為___________.【答案】7【解析】【分析】首先求出數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，再判斷取得最小值時(shí)n的值.【詳解】當(dāng)，，解得：，當(dāng)和時(shí)，，所以取得最小值時(shí)，.故答案為：715.已知函數(shù)滿足，則在處的導(dǎo)數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，再通過得到，然后將代入求解.【詳解】解：因函數(shù)，所以，所以，解得，所以，所以，故答案為：，16.已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)的和為______．【答案】820【解析】【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點(diǎn)，再分組求和.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，兩式相減得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，兩式相加得.所以.故答案為：820.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，觀察推導(dǎo)，即可得出通項(xiàng)之間的關(guān)系.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)將代入等式，即可化簡(jiǎn)出，即可得出結(jié)論；(2)由(1)可求出，再由，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】由，得，，且，故數(shù)列為以2位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，則數(shù)列，即，則.18.有7名學(xué)生站在一排，其中女生3名、男生4名，請(qǐng)按要求完成下列問題．(1)如果所有男生站在一起并且所有女生站在一起，那么有多少種排法？(2)如果男生、女生相間站一排，那么有多少種排法？(3)如果男生中的甲和女生中的乙從左到右順序一定，那么有多少種排法？【答案】(1)288(2)144(3)2520【解析】【分析】(1)捆綁法：男女生分別排列，考慮男女生位置順序，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得出答案；(2)插空法：先排好女生，男生插空，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得出答案；(3)定序問題：先求出7名學(xué)生的排列數(shù)，然后除以甲乙兩人的順序數(shù)，即可得出答案.【小問1詳解】第一步，所有男生站在一起的排法有種；第二步，所有女生站在一起的排法有種；第三步，考慮男女生的位置，有種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，總的排法有種.【小問2詳解】因男生4名，女生3名，采用插空法：第一步，先排女生，有種；第二步，3名女生站好后，有4個(gè)空格，4名男生排入4個(gè)空格中的排法有種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，總的排法有種.【小問3詳解】定序問題：7名學(xué)生，所有的排法有.男生中的甲和女生中的乙的順序有種.所以，如果男生中的甲和女生中的乙從左到右順序一定，那么排法有種.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)將兩邊取倒數(shù)得，即可得證；(2)由(1)可得，即可得到，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式求出，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【小問1詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，，，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)可得，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，滿足條件的最大整數(shù)的值為.20.給定函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出的極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】【分析】(1)由題可得，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，即可得極值點(diǎn)；(2)方程有兩個(gè)不同的解相當(dāng)于圖象與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由(1)做出圖象，即可得答案.【小問1詳解】.在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；則在處取極小值，則的極小值點(diǎn)為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；的極小值點(diǎn)為；【小問2詳解】由(1)可知單調(diào)性，極小值為.注意到當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，據(jù)此可做圖象如圖，則方程有兩