線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第4-6章 隨機事件及其概率-幾種重要的概率分布

第四章隨機事件及其概率第一節(jié)

隨機事件的概率第二節(jié)

加法公式第三節(jié)

乘法公式第四節(jié)

全概公式本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---經(jīng)典彩票游戲雙色球中國福利彩票中經(jīng)典彩票雙色球，是一種兩區(qū)選號的數(shù)字游戲，游戲規(guī)則為，在標注1—33號碼紅球中不放回抽取6個紅球為前區(qū)，在1—16號藍球中抽一個為后區(qū)組合為一注，每注2元。“雙色球”共設(shè)六個獎級，具體規(guī)則如表4-1：試求出投注者中一等獎的概率。分析：要計算每等獎的中獎概率，需要用到古典概型知識，本章先從隨機事件間的關(guān)系與運算出發(fā)，介紹古典概型的定義、特征及概率計算、概率加法公式、乘法公式和全概公式等。第一節(jié)隨機事件的概率本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標：[知識目標]

了解隨機現(xiàn)象、隨機事件的概念。

熟練掌握隨機事件間的關(guān)系。

掌握古典概型的概率及其計算

[能力目標]

能熟練計算古典概型事件的概率。確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象5在自然界與經(jīng)濟領(lǐng)域內(nèi)有兩類現(xiàn)象:一類是條件完全決定結(jié)果的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象如當(dāng)邊長為2m時,正方形的面積一定等于4m2另一類是條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象,稱為非確定性現(xiàn)象,或稱為隨機現(xiàn)象如擲一枚均勻硬幣,可能出現(xiàn)正面,也可能不出現(xiàn)正面隨機現(xiàn)象6隨機現(xiàn)象都帶有不確定性,但這僅僅是隨機現(xiàn)象的一個方面隨機現(xiàn)象還有規(guī)律性的另一個方面,如在相同條件下,對隨機現(xiàn)象進行大量觀測,其可能結(jié)果就會出現(xiàn)某種規(guī)律性等概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門科學(xué)。隨機試驗7在概率論中,做事情稱為試驗,若試驗在相同條件下可以重復(fù)進行,且每次試驗的可能結(jié)果不止一個在每次試驗前不能準確預(yù)言試驗所出現(xiàn)的結(jié)果,但可以知道可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,則稱具有以上兩個特點的試驗為隨機試驗。隨機事件8隨機試驗簡稱為試驗,每次試驗的一個可能結(jié)果稱為基本事件,記作ω1,ω2,….在試驗中,可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機事件,簡稱為事件,它是一些基本事件的集合,通常用大寫字母A,B,C等表示顯然,基本事件是隨機事件的特殊情況若試驗的結(jié)果是構(gòu)成事件A的某個基本事件,則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生。必然事件與不可能事件9在每次試驗中,一定發(fā)生的事件稱為必然事件,顯然它是全部基本事件的集合,記作Ω。在每次試驗中,一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件,顯然它是空集,記作?。必然事件與不可能事件雖然不是隨機事件,但是為了討論問題方便,把它們看作是隨機事件的極端情況。例110做試驗:投擲一顆均勻骰子一次.那么:(1)這個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行,且每次試驗的可能結(jié)果為6個:出現(xiàn)1點、出現(xiàn)2點、出現(xiàn)3點、出現(xiàn)4點、出現(xiàn)5點及出現(xiàn)6點在每次試驗前不能準確預(yù)言試驗所出現(xiàn)的點數(shù),但知道可能出現(xiàn)的全部點數(shù)由于具有以上兩個特點,因此這個試驗是隨機試驗例111(2)這個試驗共有6個基本事件:設(shè)基本事件ω1表示出現(xiàn)1點,基本事件ω2表示出現(xiàn)2點,基本事件ω3表示出現(xiàn)3點,基本事件ω4表示出現(xiàn)4點,基本事件ω5表示出現(xiàn)5點,基本事件ω6表示出現(xiàn)6點.設(shè)事件A表示出現(xiàn)偶數(shù)點,它是基本事件ω2,ω4,ω6的集合,于是事件A={ω2,ω4,ω6}若試驗的結(jié)果是ω4,則稱事件A發(fā)生;若試驗的結(jié)果是ω1,則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系12考慮試驗E:往長方形桌面Ω上任意投擲小球,且小球一定落在長方形桌面Ω內(nèi)長方形桌面Ω內(nèi)的一個點對應(yīng)一個基本事件,長方形桌面Ω對應(yīng)必然事件若小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi),則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系13這個試驗建立了事件與集合之間的聯(lián)系,給出了事件的幾何說明,如圖事件之間的關(guān)系14在事件之間的關(guān)系中,最重要的有三種:1.包含關(guān)系若事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生,則稱事件A包含B,記作A?B.2.相等關(guān)系若事件A與B是同一個事件,則稱事件A與B相等,記作A=B.3.互斥關(guān)系若事件A與B不可能同時發(fā)生,則稱事件A與B互斥互斥關(guān)系15在試驗E中,若區(qū)域A與B分離,即它們沒有公共部分,這時小球不可能既落入?yún)^(qū)域A內(nèi)又同時落入?yún)^(qū)域B內(nèi)意味著事件A與B不可能同時發(fā)生,因此事件A與B互斥說明區(qū)域A與B分離對應(yīng)事件A與B互斥,如圖事件之間的運算16事件A與B中至少有一個事件發(fā)生,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,這個事件稱為事件A與B的和事件,記作A+B1.和事件事件之間的運算17在試驗E中,當(dāng)小球落入?yún)^(qū)域A與B的并集A∪B內(nèi),即小球至少落入?yún)^(qū)域A與B中的一個區(qū)域內(nèi)意味著事件A與B中至少有一個事件發(fā)生,因此事件A與B的和事件A+B發(fā)生說明區(qū)域A與B的并集A∪B對應(yīng)事件A與B的和事件A+B,和事件A+B是由事件A與B所包含的所有基本事件構(gòu)成的集合,如圖事件之間的運算18事件A與B同時發(fā)生,即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,這個事件稱為事件A與B的積事件,記作AB2.積事件事件之間的運算19在試驗E中,當(dāng)小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi),即小球落入?yún)^(qū)域A與B的公共部分內(nèi)意味著事件A與B同時發(fā)生,因此事件A與B的積事件AB發(fā)生說明區(qū)域A與B的交集A∩B對應(yīng)事件A與B的積事件AB,積事件AB是由事件A與B所包含的所有公共基本事件構(gòu)成的集合,如圖事件之間的運算20

3.對立事件事件之間的運算21

互斥事件與對立事件22必須特別強調(diào)的是:互斥事件與對立事件不是一回事事件A,B互斥,意味著在任何一次試驗中,事件A,B不可能同時發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,有AB=?互斥事件與對立事件23

互斥事件與對立事件24這說明互斥事件與對立事件的相同之處在于:積事件都是不可能事件它們的不同之處在于:在一次試驗中,互斥事件有可能都不發(fā)生,但對立事件中一定有一個事件發(fā)生所以對立事件一定互斥,但互斥事件不一定對立例225甲、乙各射擊一次,設(shè)事件A表示甲擊中目標,事件B表示乙擊中目標,那么:(1)甲、乙各射擊一次,可以依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是甲射擊,有擊中目標與不擊中目標兩種可能第2個步驟是乙射擊,也有擊中目標與不擊中目標兩種可能例226根據(jù)預(yù)備知識乘法原理,每次試驗共有2×2=4個可能結(jié)果,即試驗共有4個基本事件:AB甲擊中目標且乙擊中目標(兩人都擊中目標)

例227

因此它表示甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標當(dāng)然也表示甲、乙兩人中恰好有一人不擊中目標,包含2個基本事件例228和事件A+B表示甲、乙兩人中至少有一人擊中目標包括兩人中恰好有一人擊中目標與兩人都擊中目標兩類情況包含3個基本事件,有關(guān)系式

隨機事件規(guī)律性29隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生是不確定的,說明隨機現(xiàn)象具有不確定性,這僅僅是一個方面更重要的另一個方面是隨機現(xiàn)象具有規(guī)律性,可以通過大量重復(fù)試驗揭示隨機事件發(fā)生的規(guī)律隨機事件規(guī)律性30

對于必然事件Ω,有m=n,從而必然事件Ω發(fā)生的頻率為1對于不可能事件?,有m=0,從而不可能事件?發(fā)生的頻率為0而一般事件發(fā)生的頻率必在0與1之間隨機事件規(guī)律性31做投擲一枚均勻硬幣試驗,觀察出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的頻率,若試驗次數(shù)較少,很難找到有什么規(guī)律;但若試驗次數(shù)增多,就可以找到它的規(guī)律如蒲豐(Buffon)投擲4040次,其中出現(xiàn)正面為2048次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5069皮爾遜(Pearson)投擲24000次,其中出現(xiàn)正面為12012次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5005隨機事件規(guī)律性32更多的試驗表明:當(dāng)投擲次數(shù)n很大時,出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動,并且隨著投擲次數(shù)的增加,這種擺動的幅度是很微小的說明出現(xiàn)正面的頻率具有穩(wěn)定性,確定的常數(shù)0.5就是出現(xiàn)正面頻率的穩(wěn)定值用它描述出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的可能性大小,揭示出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生的規(guī)律概率的定義33定義1.1在多次重復(fù)試驗中,若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)p附近擺動,且隨著試驗次數(shù)的增加,這種擺動的幅度是很微小的,則稱確定常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率,記作P(A)=p概率的定義34事件A發(fā)生的概率為p,說明在n次重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)大約為np次,同時也反映了在一次試驗中事件A發(fā)生可能性的大小如在投擲均勻硬幣試驗中,由于出現(xiàn)正面的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)0.5附近擺動,于是出現(xiàn)正面的概率為0.5，說明若重復(fù)試驗100次,則出現(xiàn)正面的次數(shù)為50次左右同時也意味著在一次試驗中出現(xiàn)正面的可能性為0.5,即有一半的把握出現(xiàn)正面當(dāng)然,只有投擲完畢,才能確定出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面概率的定義35由于任何事件A發(fā)生的頻率大于等于零且小于等于1,因而它發(fā)生的概率當(dāng)然也大于等于零且小于等于1其中必然事件Ω發(fā)生的頻率為1,它發(fā)生的概率當(dāng)然也為1不可能事件?發(fā)生的頻率為零,它發(fā)生的概率當(dāng)然也為零概率的性質(zhì)36性質(zhì)1

0≤P(A)≤1

(A為任意事件)性質(zhì)2

P(Ω)=1

(Ω為必然事件)性質(zhì)3

P(?)=0

(?為不可能事件)概率與頻率37在試驗E中,設(shè)長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,如圖事件A發(fā)生的概率就是小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小,由于任意投擲小球,因而小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小取決于區(qū)域A面積SA在長方形桌面Ω面積S中所占的比重概率與頻率38若這個比重越大,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越大;若這個比重越小,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越小于是事件A發(fā)生的概率等于區(qū)域A面積SA在長方形桌面Ω面積S中所占的比重,即概率

概率與頻率39盡管概率是通過大量重復(fù)試驗中頻率的穩(wěn)定性定義的,但不能認為概率取決于試驗一個事件發(fā)生的概率完全由事件本身決定,是客觀存在的,可以通過試驗把它揭示出來在許多實際問題中,無法根據(jù)概率定義得到事件發(fā)生的概率,往往采用在大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率作為概率近似值概率與頻率40如在一批產(chǎn)品中任意抽查100個產(chǎn)品,其中有92個正品,那么正品的頻率為0.92這個頻率可以作為這批產(chǎn)品中正品概率的近似值即在這批產(chǎn)品中任取1個產(chǎn)品是正品的概率可以認為是0.92古典概型41但是也有一類簡單而又常見的實際問題,可以通過邏輯思維直接計算概率,而不必利用頻率,這種概率問題的類型是概率論最早研究的內(nèi)容,稱為古典概型古典概型具有兩個特征:特征1基本事件的總數(shù)為有限個特征2每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的古典概型42設(shè)古典概型的一個試驗共有n個基本事件,而事件A包含m個基本事件注意到在一次試驗中,恰好只有一個基本事件發(fā)生,且每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的又事件A包含m個基本事件,意味著試驗結(jié)果若是這m個基本事件中的某個基本事件,則事件A發(fā)生,于是事件A發(fā)生可能性的大小取決于它所包含的m個基本事件在所有n個基本事件中所占的比重古典概型43

在古典概型的一個試驗中,如何計算所有基本事件的個數(shù)?如何計算事件A包含基本事件的個數(shù)?古典概型44考慮到基本事件是每次試驗的一個可能結(jié)果,而每次試驗的一個可能結(jié)果對應(yīng)于完成試驗要求的一種方法所以所有基本事件的個數(shù)就是完成試驗要求所有方法的種數(shù),事件A包含基本事件的個數(shù)就是完成事件A方法的種數(shù),它是完成試驗要求所有方法種數(shù)的一部分古典概型45若試驗屬于元素不重復(fù)的排列問題,則歸結(jié)為計算排列數(shù)若試驗屬于元素可重復(fù)的排列問題,則歸結(jié)為計算元素可重復(fù)排列的個數(shù)若試驗屬于組合問題,則歸結(jié)為計算組合數(shù)對于一般情況,則根據(jù)預(yù)備知識基本原理計算相應(yīng)方法的種數(shù)例346一部4卷的文集任意擺放在書架上,求各卷書自左向右或自右向左的卷號恰好為1,2,3,4的概率

又由于是任意擺放,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型例347設(shè)事件A表示各卷書自左向右或自右向左的卷號恰好為1,2,3,4,考慮到完成事件A的放法有2種,即事件A包含2個基本事件根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例448郵政大廳有5個郵筒,現(xiàn)將兩封信逐一隨機投入郵筒,求第一個郵筒內(nèi)恰好有一封信的概率解:注意到試驗是將兩封信逐一隨機投入郵筒,必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是將第一封信投入5個郵筒中的1個郵筒,有5種方法第2個步驟是將第二封信投入5個郵筒中的1個郵筒,也有5種方法例449若以郵筒作為元素,則試驗相當(dāng)于從5個不同元素中每次取出2個元素的元素可重復(fù)排列根據(jù)預(yù)備知識乘法原理,完成試驗共有5×5=52=25種方法,即試驗共有25個基本事件又由于是隨機投入,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型例450設(shè)事件A表示第一個郵筒內(nèi)恰好有一封信,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是從兩封信中挑出一封信投入第一個郵筒,有2種方法第2個步驟是將剩下的一封信投入其余4個郵筒中的1個郵筒,有4種方法例451根據(jù)預(yù)備知識乘法原理,完成事件A有2×4=8種方法,即事件A包含8個基本事件根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例552口袋里裝有4個黑球與3個白球,任取3個球,求:(1)其中恰好有1個黑球的概率(2)其中至少有2個黑球的概率解:注意到試驗是從7個球中任取3個球,在取球時并不計較所取出球的先后順序,即不需要將它們排隊

例553又由于是任意抽取,從而每個基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個問題屬于古典概型(1)設(shè)事件A表示任取3個球中恰好有1個黑球,即所取3個球中有1個黑球與2個白球,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個步驟:

例554

根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

例555(2)設(shè)事件B表示任取3個球中至少有2個黑球,包括恰好有2個黑球與恰好有3個黑球兩類情況,完成事件B有兩類方式:

例556

根據(jù)古典概型計算概率的公式,得到概率

條件概率57定義1.2在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為事件B對A的條件概率,記作P(B|A)條件概率58條件概率P(B|A)同樣滿足概率的基本性質(zhì),相應(yīng)地,也稱概率P(B)為無條件概率注意:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件在試驗E中,設(shè)區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖條件概率59在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件,即小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi),這時事件B發(fā)生意味著小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi)說明在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率就是在小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的條件下,小球落入?yún)^(qū)域A與B交集A∩B內(nèi)可能性的大小它取決于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重條件概率60于是事件B對A的條件概率等于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重,即條件概率

例661口袋里裝有5個黑球與3個白球,每次任取1個球,不放回取兩次.設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球,求條件概率P(B|A)解:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率意味著第一次取到黑球拿走后第二次取到黑球的概率

所以條件概率

62本次課程結(jié)束第二節(jié)加法公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標：[知識目標]

了解任意兩個事件的和事件概率。

理解特殊情況的加法公式。

[能力目標]

能熟練計算兩事件和的加法公式。64和事件概率考慮任意兩個事件A,B,它們的和事件A+B發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關(guān)系?在試驗E中,設(shè)長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,區(qū)域A與B并集A∪B的面積為SA+B這時有關(guān)系式SA+B=SA+SB-SAB,如圖加法公式65

加法公式66于是得到加法公式

=P(A)+P(B)-P(AB)這個公式說明:任意兩個事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的和,再減去這兩個事件的積事件發(fā)生的概率.例167某商店銷售的某種商品只由甲廠與乙廠供貨,歷年供貨統(tǒng)計資料表明,甲廠按時供貨的概率為0.8,乙廠按時供貨的概率為0.7,甲、乙兩廠都按時供貨的概率為0.6,求此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率解:設(shè)事件A表示甲廠按時供貨,事件B表示乙廠按時供貨,從而積事件AB表示甲、乙兩廠都按時供貨例168由題意得到概率P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6此種商品在該商店貨架上不斷檔,意味著甲廠按時供貨或乙廠按時供貨,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9所以此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率為0.9例269設(shè)A,B為兩個事件,已知概率P(A)=0.2,P(B)=0.3,若概率P(A+B)=0.4,則概率P(AB)=_______

解:根據(jù)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得到概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)

=0.2+0.3-0.4=0.10.1特殊情況的加法公式70考慮特殊情況下的加法公式:如果事件A與B互斥,意味著事件A,B不可能同時發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,即AB=?這時有概率P(AB)=P(?)=0于是加法公式化為P(A+B)=P(A)+P(B)它說明:在兩個事件互斥的條件下,兩個事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的和特殊情況的加法公式71

特殊情況的加法公式72于是加法公式化為

即概率

或概率

它說明:任意一個事件發(fā)生的概率等于數(shù)1減去對立事件發(fā)生的概率.特殊情況的加法公式73若一個事件包括情況比較多,從而計算其發(fā)生的概率比較麻煩,這時它的對立事件一定包括情況比較少,當(dāng)然計算其發(fā)生的概率比較簡單于是應(yīng)該先計算對立事件發(fā)生的概率,然后數(shù)1減去對立事件發(fā)生的概率,就得到所求事件發(fā)生的概率特殊情況的加法公式74特殊情況下的加法公式可以推廣,它對于n個事件也是適用的如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例375產(chǎn)品分一等品、二等品及廢品三種,若一等品率為0.71,二等品率為0.26,并規(guī)定一等品或二等品為合格品,求產(chǎn)品的合格品率解:設(shè)事件A1表示一等品,事件A2表示二等品,事件A表示合格品.由題意得到概率P(A1)=0.71P(A2)=0.26由于一等品或二等品為合格品,從而說明事件A為事件A1與A2的和事件,即事件A=A1+A2例376由于在任意一次抽取中所取到的一件產(chǎn)品不可能既是一等品又同時是二等品,說明事件A1與A2不可能同時發(fā)生,即事件A1與A2互斥根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.71+0.26=0.97例477口袋里裝有6個黑球與4個白球,任取4個球,求其中至少有1個白球的概率

例478

根據(jù)加法公式的特殊情況與§1.1古典概型計算概率的公式,得到概率

例579

根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率

0.7例680已知某射手射擊一次中靶8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.37,0.25,0.16,求該射手在一次射擊中至少中靶8環(huán)的概率.解:設(shè)事件A1表示中靶8環(huán),事件A2表示中靶9環(huán),事件A3表示中靶10環(huán),事件A表示至少中靶8環(huán).由題意得到概率P(A1)=0.37P(A2)=0.25P(A3)=0.16例681由于事件A發(fā)生意味著事件A1發(fā)生或事件A2發(fā)生或事件A3發(fā)生,從而事件A為事件A1,A2,A3的和事件,即事件A=A1+A2+A3由于在任何一次射擊中,事件A1,A2,A3中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生,說明它們兩兩互斥根據(jù)加法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

=0.37+0.25+0.16

=0.78加法公式總結(jié)82加法公式對于任意兩個事件A,B,都有概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式總結(jié)83加法公式的特殊情況(1)如果事件A,B互斥,則有概率P(A+B)=P(A)+P(B)(2)對于任意事件A,都有概率

加法公式總結(jié)84加法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)加法公式總結(jié)85在應(yīng)用加法公式時,應(yīng)該首先判斷構(gòu)成和事件的兩個事件是否互斥,然后應(yīng)用相應(yīng)的加法公式計算概率判斷兩個事件是否互斥的方法是:考察在任何一次試驗中,這兩個事件有無可能同時發(fā)生若有可能同時發(fā)生,則這兩個事件非互斥即相容若無可能同時發(fā)生,則這兩個事件互斥86本次課程結(jié)束第三節(jié)乘法公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標：[知識目標]

了解任意兩個事件的積事件發(fā)生的概率。

掌握兩個事件相互獨立的概念。

理解事件獨立與事件互斥的區(qū)別。

[能力目標]

能熟練計算獨立事件的概率。乘法公式88考慮任意兩個事件A,B,它們的積事件AB發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關(guān)系?在試驗E中,設(shè)長方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖乘法公式89

乘法公式90于是得到乘法公式

或者

這個公式說明:任意兩個事件的積事件發(fā)生的概率等于其中一個事件發(fā)生的概率乘以另一個事件對此事件的條件概率.例191

解:設(shè)事件A表示一年級學(xué)生,事件B表示男生,由題意得到概率

例192一年級男生意味著既是一年級學(xué)生又是男性,即事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例293

解:設(shè)事件A表示刮風(fēng),事件B表示下雨.既刮風(fēng)又下雨意味著事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示由題意得到概率

例294所求在刮風(fēng)的條件下,下雨的概率為條件概率P(B|A),根據(jù)乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)得到條件概率

例395在倉庫內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)A與B,當(dāng)報警系統(tǒng)A單獨使用時,其有效的概率為0.92,當(dāng)報警系統(tǒng)B單獨使用時,其有效的概率為0.90,在報警系統(tǒng)B有效的條件下,報警系統(tǒng)A有效的概率為0.93.若發(fā)生意外時,求兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效的概率解:設(shè)事件A表示報警系統(tǒng)A有效,事件B表示報警系統(tǒng)B有效,由題意得到概率P(A)=0.92P(B)=0.90P(A|B)=0.93例396兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效,意味著報警系統(tǒng)A有效或報警系統(tǒng)B有效,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)=0.92+0.90-0.90×0.93=0.983所以兩種報警系統(tǒng)中至少有一種報警系統(tǒng)有效的概率為0.983例497口袋里裝有7個黑球與2個白球,每次任取1個球,不放回取兩次,求:(1)兩次都取到黑球的概率(2)兩次取到球的顏色不一致的概率解:設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球例498(1)兩次都取到黑球,意味著第一次取到黑球且第二次也取到黑球,即事件A與B同時發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例499

例4100根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式,得到概率

例5101設(shè)A,B為兩個事件,且已知概率P(A)=0.8,P(B)=0.6,若概率P(B|A)=0.7,則概率P(A+B)=

.

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.8+0.6-0.8×0.7=0.840.84乘法公式與條件概率102考慮事件A與B,在它們發(fā)生的概率都不為零的情況下,若事件B對A的條件概率不受事件A發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)則根據(jù)乘法公式P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)得到條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A對B的條件概率也不受事件B發(fā)生與否的影響事件相互獨立103定義1.3若事件A與B中一個事件對另外一個事件的條件概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A),則稱事件A與B相互獨立事件相互獨立104如果事件A與B相互獨立事件B發(fā)生的可能性不受事件A發(fā)生與否的影響事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響意味著意味著事件相互獨立105

事件獨立與條件概率106如果事件A與B相互獨立,這時有條件概率P(B|A)=P(B)與條件概率P(A|B)=P(A)根據(jù)乘法公式得到概率P(AB)=P(A)P(B)事件獨立與條件概率107如果概率P(AB)=P(A)P(B),根據(jù)乘法公式得到條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A與B相互獨立根據(jù)上面的討論得到結(jié)論:事件A與B相互獨立,等價于概率

P(AB)=P(A)P(B)事件獨立與事件互斥108事件A與B相互獨立,說明事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的條件概率事件A與B互斥,說明事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B不發(fā)生,從而事件A是否發(fā)生影響事件B發(fā)生的條件概率事件獨立與事件互斥109事件A與B相互獨立,等價于概率P(AB)=P(A)P(B)而若事件A與B互斥,則概率P(AB)=0事件獨立與事件互斥110當(dāng)概率P(A)>0,P(B)>0時,如果事件A與B相互獨立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)>0于是事件A與B不互斥如果事件A與B互斥,則有概率P(AB)=0≠P(A)P(B)于是事件A與B不相互獨立根據(jù)上面的討論得到結(jié)論:當(dāng)概率P(A)>0,P(B)>0時,事件A,B相互獨立與事件A,B互斥不能同時成立.事件相互獨立111.考慮n個事件A1,A2,…,An,若其中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其他一個或幾個事件發(fā)生與否的影響,則稱事件A1,A2,…,An相互獨立事件A1,A2,…,An相互獨立,等價于其中任意k個事件積事件的概率等于這k個事件概率的積(k=2,…,n)事件相互獨立112如事件A,B,C相互獨立等價于概率

同時成立如果n個事件A1,A2,…,An相互獨立,則把其中任意一個或幾個事件換成其對立事件后,所得到的n個事件仍然相互獨立.事件相互獨立113如口袋里裝有若干個黑球與若干個白球,每次任取1個球,共取兩次,設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球若不放回抽取,這時事件A發(fā)生與否影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B不相互獨立若放回抽取,這時事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B相互獨立特殊情況下的乘法公式114考慮特殊情況下的乘法公式如果事件A與B相互獨立,于是乘法公式化為P(AB)=P(A)P(B)它說明:在兩個事件相互獨立的條件下,兩個事件的積事件發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生概率的積特殊情況下的乘法公式115特殊情況下的乘法公式可以推廣,它對于n個事件也是適用的.如果事件A1,A2,…,An相互獨立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例6116口袋里裝有7個黑球與2個白球,每次任取1個球,放回取兩次,求兩次取到球的顏色一致的概率.解:設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球.

例6117

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例6118

例7119甲、乙兩人相互獨立向同一目標各射擊一次,甲擊中目標的概率為0.4,乙擊中目標的概率為0.3,求:(1)甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標的概率(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標的概率解:設(shè)事件A表示甲擊中目標,事件B表示乙擊中目標,由題意得到概率P(A)=0.4P(B)=0.3例7120

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例7121

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)=0.4×(1-0.3)+(1-0.4)×0.3=0.46所以甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標的概率為0.46例7122(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標,可用和事件A+B表示.由于甲、乙兩人相互獨立射擊,說明事件A與B相互獨立根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58所以甲、乙兩人中至少有一人擊中目標的概率為0.58例8123甲、乙、丙三人相互獨立破譯密電碼,甲破譯密電碼的概率為0.3,乙破譯密電碼的概率為0.4,丙破譯密電碼的概率為0.5,求密電碼被破譯的概率.解:設(shè)事件A表示甲破譯密電碼,事件B表示乙破譯密電碼,事件C表示丙破譯密電碼.由題意得到概率P(A)=0.3P(B)=0.4P(C)=0.5例8124密電碼被破譯,意味著甲、乙、丙三人中至少有一人破譯密電碼,可用和事件A+B+C表示它包括恰好有一人破譯密電碼、恰好有兩人破譯密電碼及恰好三人都破譯密電碼三類情況,由于直接計算其概率比較麻煩,因此考慮它的對立事件

例8125

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A+B+C)

=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-(1-0.3)×(1-0.4)×(1-0.5)=0.79所以密電碼被破譯的概率為0.79例9126

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)例9127將已知數(shù)值代入,得到關(guān)系式

即有

因此概率

乘法公式總結(jié)128乘法公式對于任意兩個事件A,B,都有概率P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公式總結(jié)129乘法公式的特殊情況如果事件A,B相互獨立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)乘法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An相互獨立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)乘法公式總結(jié)130在應(yīng)用乘法公式時,應(yīng)該首先判斷構(gòu)成積事件的兩個事件是否相互獨立,然后應(yīng)用相應(yīng)的乘法公式計算概率判斷兩個事件是否相互獨立的方法是:考察在任何一次試驗中,一個事件發(fā)生與否影響不影響另外一個事件發(fā)生的條件概率若有影響,則這兩個事件不相互獨立若無影響,則這兩個事件相互獨立131本次課程結(jié)束第四節(jié)全概公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標：[知識目標]

了解完備事件組的概念。

掌握全概公式。

理解貝葉斯(Bayes)公式。

[能力目標]

能熟練利用全概公式計算事件概率。完備事件組133定義1.4已知事件A1,A2,…,An,若它們同時滿足:(1)兩兩互斥(2)和事件A1+A2+…+An=Ω則稱事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個完備事件組完備事件組134

設(shè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個完備事件組,考慮任意事件B,它發(fā)生的概率與事件A1,A2,…,An發(fā)生的概率有什么關(guān)系?完備事件組135在試驗E中,若區(qū)域A1,A2,…,An兩兩分離,且它們的并集是長方形桌面Ω,則小球不可能同時落入其中任何兩個區(qū)域,但一定落入其中一個區(qū)域,意味著事件A1,A2,…,An兩兩互斥,且它們的和事件是必然事件,因此它們構(gòu)成一個完備事件組區(qū)域B被分成n個部分,它們分別是區(qū)域B與A1,A2,…,An的交集,即區(qū)域B為交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B的并集,如圖完備事件組136根據(jù)§1.1中的討論,事件B為積事件A1B,A2B,…,AnB的和事件,即B=A1B+A2B+…+AnB注意到交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B兩兩分離,說明積事件A1B,A2B,…,AnB兩兩互斥全概公式137根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣與§1.3乘法公式,于是得到全概公式P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)貝葉斯公式138如果還求條件概率P(Ai|B)(i=1,2,…,n),則根據(jù)§1.3乘法公式P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)得到逆概公式即貝葉斯(Bayes)公式

例1139某村麥種放在甲、乙、丙三個倉庫保管,其保管數(shù)量分別占總數(shù)量的40%,35%,25%,所保管麥種發(fā)芽率分別為0.95,0.92,0.90.現(xiàn)將三個倉庫的麥種全部混合,求其發(fā)芽率解:設(shè)事件A1表示甲倉庫保管的麥種,事件A2表示乙倉庫保管的麥種,事件A3表示丙倉庫保管的麥種,事件B表示發(fā)芽麥種例1140P(A1)=40%P(A2)=35%P(A3)=25%P(B|A1)=0.95P(B|A2)=0.92P(B|A3)=0.90由于事件A1,A2,A3構(gòu)成一個完備事件組,從而對于事件B,有關(guān)系式B=A1B+A2B+A3B例1141注意到發(fā)芽麥種包括甲倉庫保管的發(fā)芽麥種、乙倉庫保管的發(fā)芽麥種及丙倉庫保管的發(fā)芽麥種三個部分即事件B發(fā)生意味著積事件A1B發(fā)生或積事件A2B發(fā)生或積事件A3B發(fā)生于是事件B當(dāng)然等于積事件A1B,A2B,A3B的和事件例1142根據(jù)全概公式,得到概率P(B)=P(A1B+A2B+A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=40%×0.95+35%×0.92+25%×0.90=0.927所以麥種全部混合后的發(fā)芽率為0.927特殊情況下的全概公式143

于是全概公式化為

例2144市場上供應(yīng)的某種商品只由甲廠與乙廠生產(chǎn),甲廠占80%,乙廠占20%,甲廠產(chǎn)品的次品率為4%,乙廠產(chǎn)品的次品率為9%,求:(1)從市場上任買1件這種商品是次品的概率(2)從市場上已買1件次品是乙廠生產(chǎn)的概率

例2145由題意得到概率

例2146

根據(jù)全概公式的特殊情況,得到概率

=80%×4%+20%×9%=5%所以從市場上任買1件這種商品是次品的概率為5%例2147

得到條件概率

所以從市場上已買1件次品是乙廠生產(chǎn)的概率為36%例3148100張彩票中有7張有獎彩票,甲先乙后各購買1張彩票,問甲、乙中獎的概率是否相同?

根據(jù)§1.1古典概型計算概率的公式,得到甲中獎的概率

例3149

例3150同時注意到甲無論中獎與否,都不把所購買彩票放回,從而乙是從剩余99張彩票中購買1張彩票根據(jù)全概公式的特殊情況,得到乙中獎的概率

例3151

例4152

(2)概率P(AB);(3)條件概率P(A|B);(4)概率P(A+B)例4153解:(1)根據(jù)§1.3乘法公式與§1.2加法公式的特殊情況,得到概率

例4154(2)根據(jù)全概公式的特殊情況

得到概率

例4155(3)根據(jù)§1.3乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)得到條件概率

例4156(4)根據(jù)§1.2加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

全概公式總結(jié)157全概公式如果事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個完備事件組,則對于任意事件B,都有概率P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)全概公式總結(jié)158全概公式的特殊情況

對于任意兩個事件A,B,都有概率159本次課程結(jié)束第五章隨機變量及其數(shù)字特征第一節(jié)離散型隨機變量的概念第二節(jié)離散型隨機變量的數(shù)字特征第三節(jié)連續(xù)型隨機變量的概念第四節(jié)連續(xù)型隨機變量的數(shù)字特征本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---分組檢驗?zāi)芊駵p少工作量？在一個人數(shù)為N的人群中，普查某種疾病，為此要抽檢N個人的血進行化驗，為了減少工作量，一位統(tǒng)計學(xué)家提出一種方法：將K個人的血樣混合后檢驗，如果這種混合血樣呈陰性反應(yīng)，就說明這K個人都無此疾病，因而K個人只要檢驗1次就夠了，相當(dāng)于每個人檢驗了1/K次，檢驗的工作量明顯減少了。如果這種混合血樣呈陽性反應(yīng)，就說明這K個人中至少有一人的血呈陽性，這就需要再對此K個人的血樣分別進行檢驗，因此，這K個人的血要檢驗(1+K）次相當(dāng)于每個人檢驗（1+1/K）次，這樣增加了檢驗次數(shù)，假設(shè)該疾病的發(fā)病率為P，且每個人是否得此疾病是相互獨立的，試問這種方法能否減少平均檢驗次數(shù)？分析：本案例的解決涉及到離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，本章我們就來討論隨機變量的概念、分類及其數(shù)字特征。第一節(jié)離散型隨機變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標[知識目標]

理解隨機變量的概念及分類。

掌握離散型隨機變量的定義、性質(zhì)。

掌握離散型隨機變量的概率分布列及某事件的概率。[能力目標]

能熟練計算離散型隨機變量的概率分布列及事件的概率。

會正確判斷實際問題中隨機變量所屬類型。隨機變量164考慮投擲一顆均勻骰子,在各次試驗中,會出現(xiàn)不同的點數(shù),因此“出現(xiàn)的點數(shù)”是一個變量,它的可能取值為1,2,3,4,5,6中的一個值

這說明可以用試驗中“出現(xiàn)的點數(shù)”這個變量的所有可能取值以及取這些值的概率描述這個隨機現(xiàn)象即可以用試驗中“出現(xiàn)的點數(shù)”這個變量的取值表示試驗結(jié)果,而這個變量是依試驗結(jié)果而隨機取值的隨機變量165一般地,對于隨機試驗,若其試驗結(jié)果可用一個變量的取值表示,這個變量取值帶有隨機性,并且取這些值的概率是確定的,則稱這樣的變量為隨機變量,通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機變量的取值為具體數(shù)值,可用小寫字母x,y,z等表示離散型隨機變量166定義2.1若隨機變量X的所有可能取值可以一一列舉,即所有可能取值為有窮個或無窮可列個,則稱隨機變量X為離散型隨機變量離散型隨機變量167描述離散型隨機變量有兩個要素,一個要素是它的所有可能取值,另一個要素是取這些值的概率,這兩個要素構(gòu)成了離散型隨機變量的概率分布設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2,…取這些值的概率依次為p1,p2,…其概率分布的表示方法有兩種:1.列表法2.公式法列表法168概率分布列表如表Xx1x2…

Pp1p2…

公式法169概率分布用公式表示為P{X=xi}=pi

(i=1,2,…)離散型隨機變量性質(zhì)170在離散型隨機變量X的概率分布中,概率pi(i=1,2,…)顯然是非負的,又注意到事件X=x1,X=x2,…,構(gòu)成一個完備事件組,當(dāng)然其對應(yīng)的概率之和應(yīng)當(dāng)?shù)扔?所以離散型隨機變量X的概率分布具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

pi≥0

(i=1,2,…)性質(zhì)2

p1+p2+…=1離散型隨機變量171離散型隨機變量X在某范圍內(nèi)取值的概率,等于它在這個范圍內(nèi)一切可能取值對應(yīng)的概率之和當(dāng)離散型隨機變量的概率分布被確定后,不僅知道它取各個可能值的概率,而且還可以求出它在某范圍內(nèi)取值的概率,所以離散型隨機變量的概率分布描述了相應(yīng)的隨機試驗例1172投擲一枚均勻硬幣1次,求出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布解:由于可能的試驗結(jié)果只有出現(xiàn)反面與出現(xiàn)正面兩種結(jié)果,因而離散型隨機變量X的所有可能取值也只有0與1兩個值

例1173所以出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布列表如表X01P兩點分布174一般地,把只取0與1兩個值且取值為1的概率等于p的離散型隨機變量X所服從的概率分布稱為參數(shù)為p的兩點分布或0—1分布.兩點分布列表如表X01Pqp(0<p<1,p+q=1)例2175某商店銷售某種水果,進貨后第一天售出的概率為60%,每500g的毛利為6元;第二天售出的概率為30%,每500g的毛利為2元;第三天售出的概率為10%,每500g的毛利為-1元.求銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布解:離散型隨機變量X的所有可能取值為-1,2及6,取這些值的概率依次為10%,30%及60%例2176所以銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布列表如表X-126P10%30%60%例3177某小組有6名男生與4名女生,任選3個人去參觀,求所選3個人中男生數(shù)目X的概率分布解:離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)§1.1古典概型計算概率的公式計算離散型隨機變量X取這些值的概率例3178事件X=0表示所選3個人中恰好有0名男生,即所選3個人中有0名男生與3名女生,其發(fā)生的概率為

例3179事件X=1表示所選3個人中恰好有1名男生,即所選3個人中有1名男生與2名女生,其發(fā)生的概率為

例3180事件X=2表示所選3個人中恰好有2名男生,即所選3個人中有2名男生與1名女生,其發(fā)生的概率為

例3181事件X=3表示所選3個人中恰好有3名男生,即所選3個人中有3名男生與0名女生,其發(fā)生的概率為

例3182所以所選3個人中男生數(shù)目X的概率分布列表如表X0123P例4183某人各次射擊中靶與否互不影響,且中靶的概率皆為p(0<p<1),現(xiàn)不停射擊,直至中靶為止,求射擊次數(shù)X的概率分布.解:離散型隨機變量X的所有可能取值為全體正整數(shù),即X=i(i=1,2,…),根據(jù)§1.3乘法公式的特殊情況及其推廣計算離散型隨機變量X取這些值的概率例4184事件X=1表示第1次射擊就中靶,其發(fā)生的概率為P{X=1}=p事件X=2表示第1次射擊脫靶且第2次射擊中靶,其發(fā)生的概率為

P{X=2}=(1-p)p例4185事件X=3表示第1次射擊與第2次射擊都脫靶且第3次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=3}=(1-p)(1-p)p=(1-p)2p……例4186所以射擊次數(shù)X的概率分布用公式表示為

P{X=i}=(1-p)i-1p

(i=1,2,…)事件X=i表示前i-1次射擊都脫靶且第i次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=i}=(1-p)i-1p例5187設(shè)離散型隨機變量X的概率分布列表如表X012P3c2cc則常數(shù)c=

解:根據(jù)離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式3c+2c+c=1得到常數(shù)

例6188設(shè)離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,且已知離散型隨機變量X取1的概率p為它取0的概率q的2倍,求參數(shù)p的值解:根據(jù)離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式p+q=1

(0<p<1)又由題意得到關(guān)系式p=2q例6189解線性方程組

所以參數(shù)

分布列表的要求190離散型隨機變量的概率分布必須滿足兩個性質(zhì)同時滿足兩個性質(zhì)的表也一定可以作為某個離散型隨機變量的概率分布當(dāng)然,至少不滿足一個性質(zhì)的表不能作為離散型隨機變量的概率分布例7191設(shè)p為滿足0<p<1的常數(shù),則表5-7~表5-10中(

)可以作為離散型隨機變量X的概率分布(a)X123Ppp-12-2pX123P(b)例7192X123P1-p(c)(d)X123Pp例7193首先考慮備選答案(a):由于事件X=2對應(yīng)的p-1<0,說明不滿足離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)1,從而備選答案(a)落選

例7194

又由于

說明還滿足離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(c)當(dāng)選例7195

更何況有

說明還不滿足離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(d)當(dāng)然更落選例8196已知離散型隨機變量的概率分布列表如表X-40367P試求:(1)概率P{-1<X≤6};(2)概率P{X=1}例8197解:(1)注意到在-1<X≤6的范圍內(nèi),離散型隨機變量X的可能取值只有三個,即X=0,X=3及X=6,所以概率P{-1<X≤6}=P{X=0}+P{X=3}+P{X=6}

例8198(2)注意到離散型隨機變量X的可能取值沒有X=1,說明事件X=1是不可能事件,所以概率P{X=1}=0離散型隨機變量相互獨立199最后給出離散型隨機變量相互獨立的概念:若離散型隨機變量X,Y分別取任意實數(shù)所構(gòu)成的兩個事件相互獨立,則稱離散型隨機變量X,Y相互獨立一般地,若n個離散型隨機變量X1,X2,…,Xn分別取任意實數(shù)所構(gòu)成的n個事件相互獨立,則稱n個離散型隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立200本次課程結(jié)束第二節(jié)離散型隨機變量的數(shù)字特征本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標[知識目標]

掌握離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

掌握離散型隨機變量的方差概念及計算公式。

正確理解數(shù)學(xué)期望和方差的含義

[能力目標]

能熟練計算離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

離散型隨機變量的數(shù)字特征202離散型隨機變量的概率分布是對離散型隨機變量一種完整的描述,但在很多情況下,并不需要全面考察離散型隨機變量的變化情況,而只需知道它的一些綜合指標這些綜合指標是一些與其有關(guān)的數(shù)值,稱為離散型隨機變量的數(shù)字特征.它雖然不能完整地描述離散型隨機變量,但能用數(shù)字描述離散型隨機變量在某些方面的重要特征在這些數(shù)字特征中,最重要的是離散型隨機變量的平均取值以及其取值對于平均值的偏離程度離散型隨機變量的數(shù)字特征203考慮在1000次重復(fù)試驗中,設(shè)離散型隨機變量X取值為100有300次,取值為200有700次,即事件X=100發(fā)生的頻率為0.3,事件X=200發(fā)生的頻率為0.7,這時可以將離散型隨機變量X的概率分布列表如表X100200P0.30.7離散型隨機變量的數(shù)字特征204

這樣做是不行的,因為它取值為100與取值為200的可能性是不相同的,所以它取值的平均值不應(yīng)該是100與200的算術(shù)平均值

離散型隨機變量的數(shù)字特征205由于在1000次重復(fù)試驗中,它取值為100有300次,取值為200有700次,于是它取值的平均值

說明離散型隨機變量X的平均值等于它的所有可能取值與對應(yīng)概率乘積之和,是以所有可能取值對應(yīng)概率為權(quán)重的加權(quán)平均由于它取值為200的概率大于取值為100的概率,從而它取值的平均值偏向X=200那個方向數(shù)學(xué)期望206定義2.2已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…數(shù)學(xué)期望207

數(shù)學(xué)期望208

數(shù)學(xué)期望209數(shù)學(xué)期望簡稱為期望或均值,它等于離散型隨機變量X的所有可能取值與對應(yīng)概率乘積之和無論離散型隨機變量X的所有可能取值為有窮個或者為無窮可列個,其數(shù)學(xué)期望可統(tǒng)一記作

數(shù)學(xué)期望210考察離散型隨機變量X,已知它的概率分布列表如表X345P0.10.80.1其數(shù)學(xué)期望E(X)=3×0.1+4×0.8+5×0.1=4數(shù)學(xué)期望211Y147P0.40.20.4再考察離散型隨機變量Y,已知它的概率分布列表如表其數(shù)學(xué)期望E(Y)=1×0.4+4×0.2+7×0.4=4數(shù)學(xué)期望212盡管離散型隨機變量X與Y有相同的數(shù)學(xué)期望,但離散型隨機變量Y的取值比離散型隨機變量X的取值要分散表明僅有數(shù)學(xué)期望不足以完整說明離散型隨機變量的分布特征,還必須進一步研究它的取值對數(shù)學(xué)期望的離散程度離差213對于離散型隨機變量X,若其數(shù)學(xué)期望E(X)存在,則稱差X-E(X)為離散型隨機變量X的離差離差X-E(X)當(dāng)然也是一個離散型隨機變量,它的可能取值有正有負,也可能為零,而且它的數(shù)學(xué)期望等于零,因此不能用離差的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機變量X對數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度為了消除離差X-E(X)可能取值正負號的影響,采用離差平方(X-E(X))2的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機變量X對數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度方差214定義2.3已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…方差215

方差216

方差217顯然方差是非負的,只有常量的方差等于零當(dāng)離散型隨機變量X的可能取值密集在數(shù)學(xué)期望E(X)附近時,方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明離散型隨機變量X取值對數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度標準差218無論離散型隨機變量X的所有可能取值為有窮個或者為無窮可列個，其方差可統(tǒng)一記作

離散系數(shù)219由于方差大小的計算是以數(shù)學(xué)期望作為衡量標準的,因而對于數(shù)學(xué)期望不相同的兩個離散型隨機變量,直接比較它們方差的大小,不能說明它們的離散程度,于是要考察標準差與數(shù)學(xué)期望的比值

顯然,若|υ|較小,則說明離散型隨機變量X的可能取值相對密集在其數(shù)學(xué)期望E(X)附近,反之則說明離散型隨機變量X取值的離散程度相對大一些計算方差的簡便公式220定理2.1已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數(shù)學(xué)期望

值得注意的是:任何一個離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機變量,而是某個確定的常量.一般情況下,數(shù)學(xué)期望

E(X2)≠(E(X))2例1221

例1222因而任取1件商品獲利X元的概率分布列表如表X-213P所以數(shù)學(xué)期望

例1223其次計算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例2224X123P已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例2225解:(1)數(shù)學(xué)期望

例2226(2)首先計算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例3227已知離散型隨機變量X的概率分布列表如表X-2-113P試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例3228解:(1)數(shù)學(xué)期望

例3229(2)首先計算數(shù)學(xué)期望

所以方差

230本次課程結(jié)束第三節(jié)連續(xù)型隨機變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標[知識目標]

掌握連續(xù)型隨機變量的概念。

掌握連續(xù)型隨機變量的概率密度具有的性質(zhì)。

熟練掌握連續(xù)型隨機變量在某區(qū)間上的概率計算。

[能力目標]

能熟練選擇出連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。

能熟練計算連續(xù)型隨機變量的概率。

連續(xù)型隨機變量232定義2.4若隨機變量X的所有可能取值為某一區(qū)間,則稱隨機變量X為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量233考慮一群成年男子中任意一個人的體重X,它可以取區(qū)間[m,M]的一切值,其中m為這群成年男子中的最輕體重,M為這群成年男子中的最重體重,任意一個人的體重X當(dāng)然是一個連續(xù)型隨機變量這時考察它取某個值的概率沒有什么實際意義,因為人們不會關(guān)心一個人體重恰好為50kg的概率為多少這類問題,而關(guān)心一個人體重在50kg~60kg之間的概率為多少這類問題連續(xù)型隨機變量234因此在實際工作中,將連續(xù)型隨機變量X的所有可能取值區(qū)間[m,M]分成若干個組,即分成若干個首尾相連的小區(qū)間,每個小區(qū)間含左端點,不含右端點小區(qū)間長度稱為組距,研究連續(xù)型隨機變量X在每個小區(qū)間上取值的可能性現(xiàn)在測量100個成年男子的體重,得到100個體重數(shù)據(jù),將這100個體重數(shù)據(jù)按測量順序列表如表連續(xù)型隨機變量2356060.5807764.5595143466180.583495052707162624047.571.5858642496364657249.565.5484850.56667738787.58868