高中數(shù)學(xué)選修21講義第一章13全稱量詞與存在量詞

第1課時量詞觀察下列命題：(1)對任意實(shí)數(shù)x，都有x>5.(2)對任意一個x(x∈Z)，3x＋1是整數(shù)．問題：上述兩個命題各表示什么意思？提示：(1)表示對每一個實(shí)數(shù)x，必定有x>5；(2)對所有的整數(shù)x,3x＋1必定是整數(shù)．全稱量詞和全稱命題全稱量詞所有、任意、每一個、任給符號表示?x表示“對任意x”全稱命題含有全稱量詞的命題一般形式?x∈M，p(x)觀察下列語句：(1)存在一個實(shí)數(shù)x，使3x＋1＝7.(2)至少有一個x∈Z，使x能被3和4整除．問題：上述兩個命題各表述什么意思？提示：(1)表示有一個實(shí)數(shù)x，滿足3x＋1＝7；(2)存在一個整數(shù)Z，滿足能被3和4整除．存在量詞和存在性命題存在量詞有一個、有些、存在一個符號表示“?x”表示“存在x”存在性命題含有存在量詞的命題一般形式?x∈M，p(x)1．判斷命題是全稱命題還是存在性命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷．2．要確定一個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱命題是假命題．3．要確定一個存在性命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題．[例1]判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題．(1)若a>0且a≠1，則對任意x，ax>0；(2)對任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2；(3)存在實(shí)數(shù)T，使得|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)存在實(shí)數(shù)x，使得x2＋1<0.[思路點(diǎn)撥]分析每一個命題中的量詞，再判斷．[精解詳析](1)、(2)含有全稱量詞“任意”，是全稱命題．(3)、(4)含有存在量詞“存在”，是存在性命題．[一點(diǎn)通]判斷一個語句是全稱命題還是存在性命題的步驟：(1)判斷此語句是否為命題；(2)看命題中是否含有量詞，并判斷該量詞是全稱量詞還是存在量詞；(3)對不含或省略量詞的命題，要根據(jù)命題涉及的實(shí)際意義進(jìn)行判斷．1．下列命題中，是全稱命題的是________；是存在性命題的是________．(填序號)①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①可表述為“每一個正方形的四條邊相等”，是全稱命題；②是全稱命題，即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“所有正數(shù)的平方根不等于0”是全稱命題；④是存在性命題．答案：①②③④2．判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題：(1)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；(3)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)；(4)?x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(5)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(6)有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(7)每個二次函數(shù)的圖像都與x軸相交．解：(1)中含有全稱量詞“都”，所以是全稱命題．(2)中含有存在量詞“至少有一個”，所以是存在性命題．(3)中含有全稱量詞符號“?”，所以是全稱命題．(4)中含有存在量詞符號“?”，所以是存在性命題．(5)中省略了全稱量詞“都”，所以是全稱命題．(6)中含有存在量詞“有的”，所以是存在性命題．(7)中含有全稱量詞“每個”，所以是全稱命題.[例2]判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并用量詞符號“?”，“?”表述：(1)凸n邊形的外角和等于2π；(2)有一個有理數(shù)x，滿足x2＝3；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解詳析](1)全稱命題：?x∈{x|x是凸n邊形}，x的外角和是2π.(2)存在性命題：?x∈Q，x2＝3.(3)全稱命題：?α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一點(diǎn)通]準(zhǔn)確理解全稱命題和存在性命題的概念，熟練應(yīng)用常用的全稱量詞和存在量詞．任何一個全稱命題和存在性命題都有多種表述方式，但用符號“?”“?”表述卻很規(guī)范，就是一般式．全稱命題：?x∈M，p(x)；存在性命題：?x∈M，p(x)．3．將下列命題用量詞符號“?”或“?”表示：(1)整數(shù)中1最??；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一個負(fù)根；(3)對于某些實(shí)數(shù)x，有2x＋1＞0；(4)若直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線，則l⊥α.解：(1)?x∈Z，x≥1.(2)?x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)?x∈R，有2x＋1＞0.(4)若?a?α，l⊥a，則l⊥α.[例3]判斷以下命題是不是全稱命題或存在性命題，并判斷真假：(1)有一個實(shí)數(shù)α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一條直線都存在斜率；(3)對所有的實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；(4)存在實(shí)數(shù)x，使eq\f(1,x2－x＋1)＝2.[思路點(diǎn)撥]應(yīng)先分清所給命題是全稱命題還是存在性命題，再判斷真假．[精解詳析](1)是一個存在性命題，是假命題；(2)是一個全稱命題，是假命題；(3)是一個全稱命題，是假命題；(4)是一個存在性命題，是假命題．[一點(diǎn)通]1．全稱命題的真假判斷：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個元素x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在性命題的真假判斷：要判定一個存在性命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個元素x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一存在性命題就是假命題．4．給出下列命題：①?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx>sinx；②?x∈R,3x>0；③?x∈R，sinx＋cosx＝2；④?x∈R，lgx＝0.其中為真命題的是________．(填入所有真命題的序號)解析：①中，由于x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinx>0,0<cosx<1，所以tanx－sinx＝eq\f(sinx,cosx)－sinx＝eq\f(sinx1－cosx,cosx)>0，所以①是真命題；②中，函數(shù)y＝3x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以②是真命題；③中，函數(shù)y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈R的值域是[－eq\r(2)，eq\r(2)]，又2?[－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以③是假命題；④中，由于lg1＝0，所以④是真命題．答案：①②④5．判斷下列全稱命題的真假．(1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；(2)?x∈R，x2＋1≥1；(3)對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)．解：(1)2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)．所以，全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題．(2)?x∈R?x2≥0?x2＋1≥1.所以，全稱命題“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題．(3)eq\r(2)是無理數(shù)，但(eq\r(2))2＝2是有理數(shù)．所以，“對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題．6．分別判斷下列存在性命題的真假：(1)有些向量的坐標(biāo)等于其起點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)存在x∈R，使sinx－cosx＝2.解：(1)真命題．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x1＝x1，,y2－y1＝y(tǒng)1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1.))如A(1,3)，B(2,6)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，滿足題意．(2)假命題．由于sinx－cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的最大值為eq\r(2)，所以不存在實(shí)數(shù)x，使sinx－cosx＝2.1．判定命題是全稱命題還是存在性命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．2．要判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題．3．要判定存在性命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個存在性命題是假命題．課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（四）1．下列命題：①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)；②與同一平面所成的角相等的兩條直線平行；③有的三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列；④與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線，其中是全稱命題的是________，是存在性命題的是________．(只填序號)解析：根據(jù)所含量詞可知②④是全稱命題，①③是存在性命題．答案：②④①③2．下列命題中的假命題是________．①?x∈R,2x－1>0；②?x∈N*，(x－1)2>0；③?x∈R，lgx<1；④?x∈R，tanx＝2.解析：對②，x＝1時，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．用符號“?”或“?”表示下面含有量詞的命題：(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0：____________________________________________；(2)存在一對實(shí)數(shù)，使3x－2y＋1≥0成立：_________________________________.答案：(1)?x∈R，x2≥0(2)?x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥04．命題“?x∈R＋，2x＋eq\f(1,x)＞a成立”是真命題，則a的取值范圍是________．解析：∵x∈R＋，∴2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)，∵命題為真，∴a＜2eq\r(2).答案：(－∞，2eq\r(2))5．已知“?x∈R，ax2＋2ax＋1>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)a＝0時，不等式為1>0，對?x∈R,1>0成立．當(dāng)a≠0時，若?x∈R，ax2＋2ax＋1>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－4a<0，))解得0<a<1.綜上，a的取值范圍為[0,1)．答案：[0,1)6．判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并判斷其真假：(1)對任意x∈R，zx＞0(z>0)；(2)對任意非零實(shí)數(shù)x1，x2，若x1＜x2，則eq\f(1,x1)>eq\f(1,x2)；(3)?α∈R，使得sin(α＋eq\f(π,3))＝sinα；(4)?x∈R，使得x2＋1＝0.解：(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是存在性命題．(1)∵zx＞0(z>0)恒成立，∴命題(1)是真命題．(2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但eq\f(1,x1)<eq\f(1,x2)，∴命題(2)是假命題．(3)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時，sin(α＋eq\f(π,3))＝sinα成立，∴命題(3)為真命題．(4)對任意x∈R，x2＋1＞0，∴命題(4)是假命題．7．判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)?x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；(2)?α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)?x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)?x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3.解：(1)法一：當(dāng)x∈R時，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．法二：x2－x＋1>eq\f(1,2)?x2－x＋eq\f(1,2)>0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>eq\f(1,2)的解集是R，所以該命題是真命題．(2)當(dāng)α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)時，cos(α－β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此時cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以該命題是真命題．(3)當(dāng)x＝2，y＝4時，x－y＝－2?N，所以該命題是假命題．(4)當(dāng)x＝0，y＝3時，eq\r(2)x＋y＝3，即?x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以該命題是真命題．8．(1)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≥－eq\r(2).又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立．∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，又∵?x∈R，sinx＋cosx>m有解．∴只要m<eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，eq\r(2))．第2課時含有一個量詞的命題的否定觀察下列幾個命題：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；(3)r：所有的人都睡覺；(4)s：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)比本身大．問題1：哪些是全稱命題，哪些是存在性命題？提示：(1)、(4)是存在性命題，(2)、(3)是全稱命題．問題2：試對它們進(jìn)行否定．提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形．(2)有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．(3)有的人不睡覺．(4)任意實(shí)數(shù)的相反數(shù)都不大于本身．問題3：它們的否定有什么規(guī)律？提示：全稱命題的否定是存在性命題；存在性命題的否定是全稱命題．1．全稱命題的否定全稱命題的否定是存在性命題，“?x∈M，p(x)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”．2．存在性命題的否定存在性命題的否定是全稱命題，“?x∈M，p(x)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”．對全稱命題與存在性命題進(jìn)行否定的方法：(1)確定所給命題類型，分清是全稱命題還是存在性命題；(2)改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞；(3)否定性質(zhì)：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等更改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等．[例1]判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定．(1)對任意x∈R，x3－x2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(3)對任意的x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)．[思路點(diǎn)撥]幾個命題均為全稱命題，可先判斷真假，再變換量詞、否定結(jié)論、寫出其否定．[精解詳析](1)當(dāng)x＝2時，23－22＋1＝5>0，故(1)是假命題．命題的否定：存在x∈R，x3－x2＋1>0.(2)10能被5整除，10是偶數(shù)，故(2)是假命題．命題的否定：存在一個能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)．(3)有理數(shù)經(jīng)過加、減、乘運(yùn)算后仍是有理數(shù)，故(3)是真命題．命題的否定：存在x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1不是有理數(shù)．[一點(diǎn)通]1．全稱命題的否定：全稱命題的否定是一個存在性命題，給出全稱命題的否定時既要否定全稱量詞，又要否定性質(zhì)，所以找出全稱量詞，明確命題所提供的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．常見詞語的否定：原詞否定詞原詞否定詞原詞否定詞等于不等于是不是至少一個一個也沒有大于不大于都是不都是任意某個小于不小于至多一個至少兩個所有的某些1．指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定：(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.解：(1)?x∈M，p(x)，否定：存在一個矩形不是平行四邊形，?x∈M，綈p(x)．(2)?x∈M，p(x)，否定：存在一個素?cái)?shù)不是奇數(shù)，?x∈M，綈p(x)．(3)?x∈M，p(x)，否定：?x∈R，x2－2x＋1＜0，?x∈M，綈p(x)．2．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖像都開口向下；(3)任何一個平行四邊形的對邊都平行；(4)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)．解：(1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖像開口不向下．(3)是全稱命題且為真命題．命題的否定：存在一個平行四邊形的對邊不都平行．(4)是全稱命題且為真命題．命題的否定：某個負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù).[例2]寫出下列存在性命題的否定，并判斷其否定的真假：(1)有些實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)?x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.[思路點(diǎn)撥]它們的否定是全稱命題，解題時既要改變量詞，也要否定結(jié)論，最后判斷其真假．[精解詳析](1)命題的否定是：“所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”．由于|－2|＝2，因此命題的否定為假命題．(2)命題的否定是：“每一個平行四邊形都不是菱形”．由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題．(3)命題的否定是：“?x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．因?yàn)楫?dāng)x＝0，y＝3時，eq\r(2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．[一點(diǎn)通]1．存在性命題的否定是全稱命題，要否定存在性命題“?x∈M，p(x)成立”，需要驗(yàn)證對M中的每一個x，均有p(x)不成立，也就是說“?x∈M，綈p(x)成立”．2．要證明存在性命題是真命題，只需要找到使p(x)成立的條件即可．3．只有“存在”一詞是量詞時，它的否定才是“任意”，當(dāng)“存在”一詞不是量詞時，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圓．這個命題是全稱命題，量詞“所有的”被省略了，所以，這個命題的否定是：有些三角形不存在外接圓．3．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1<0；(2)p：至少有一個實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0.解：(1)綈p：?x∈R，x2＋1≥0，真命題．(2)綈p：?x∈R，x3＋1≠0∵x＝－1時，x3＋1＝0，∴綈p為假命題．4．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)存在一條直線在y軸上有截距；(2)存在二次函數(shù)的圖像與x軸相交；(3)存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°；(4)存在一個四邊形沒有外接圓．解：(1)與y軸平行的直線在y軸上沒有截距，其他直線在y軸上都有截距，所以，此命題是真命題．命題的否定是：所有的直線在y軸上沒有截距；(2)對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時，函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，所以，此命題是真命題，命題的否定是：所有二次函數(shù)的圖像與x軸不相交；(3)任何三角形內(nèi)角和都等于180°.所以，此命題是假命題．命題的否定是：任何三角形的內(nèi)角和不小于180°；(4)對角不互補(bǔ)的四邊形就沒有外接圓，所以，此命題是真命題．命題的否定是：任何四邊形都有外接圓.[例3]若全稱命題“對任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]由于此全稱命題是真命題，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)時，f(x)min≥a，利用一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系解題．[精解詳析]法一：由題意，對任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立．所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可轉(zhuǎn)化為對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2，a≥－1，,1＋a2＋2－a2，a<－1.))由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全稱命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立．所以Δ≤0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－42－a>0，,a<－1，,f－1≥0，))即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．[一點(diǎn)通]對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a，只需f(x)min≥a.也可等價轉(zhuǎn)化為對任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2－a≥0恒成立，結(jié)合一元二次不等式的解集與二次函數(shù)圖像間的關(guān)系求解．5．若命題：“?x∈k，m<4sinx＋cosx”是真命題，求m的取值范圍．解：∵4sinx＋cos2x＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3，又x∈R時，－1≤sinx≤1，∴4sinx＋cos2x∈[－5,3]．則當(dāng)m<3時，該命題為真命題．∴m的取值范圍為(－∞，3)．6．若方程ax2＋2x－1＝0至少有一個正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：當(dāng)a＝0時，方程變?yōu)椋?x－1＝0，x＝eq\f(1,2)>0滿足條件．當(dāng)a≠0時，若方程ax2＋2x－1＝0至少有一個正實(shí)數(shù)根．則Δ＝4＋4a≥0，則a≥－1.又因x＝0時，ax2＋2x－1＝－1<0恒成立．故a≥－1時，一定有正實(shí)根．綜上：a的取值范圍為[－1，＋∞)．對含有一個量詞的命題的否定要遵循以下步驟：(1)確定命題類型，是全稱命題還是存在性命題．(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞改為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．(3)否定結(jié)論：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等．(4)無量詞的全稱命題要先補(bǔ)回量詞再否定．課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（五）1．(重慶高考改編)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定是_________________．解析：因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”故“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．答案：存在x∈R，使得x2<02．命題“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是________________．解析：存在性命題的否定是全稱命題．答案：?x∈?RQ，x3?Q3．命題“?x∈R，x2－x＋3>0”的否定是_______________________________．解析：全稱命題的否定是存在性命題．答案：?x∈R，x2－x＋3≤04．命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是______________________．解析：此命題是一個全稱命題，全稱命題的否定是存在性命題．故該命題的否定是：“存在能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”．答案：存在能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)5．若命題“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：該命題p的否定是?p：“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即關(guān)于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集為R，由于命題p是假命題，所以?p是真命題，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1,3)．答案：(－1,3)6．設(shè)語句q(x)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx：(1)寫出qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，并判定它是不是真命題；(2)寫出“?a∈R，q(a)”，并判斷它是不是真命題．解：(1)qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)，因?yàn)閏os0＝1，sineq\f(π,2)＝1，所以qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))是真命題．(2)?a∈R，q(a)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝sina，因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－a))＝sina，所以“?a∈R，q(a)”是真命題．7．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(2)q：存在一個實(shí)數(shù)x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圓的面積相等，周長相等．解：(1)這一命題可以表述為p：“對所有的實(shí)數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”，其否定形式是?p：“存在實(shí)數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實(shí)數(shù)根”．當(dāng)Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4)時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，所以?p是真命題．(2)這一命題的否定形式是?q：對所有實(shí)數(shù)x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以驗(yàn)證?q是一個真命題．(3)這一命題的否定形式是?r：存在一對等圓，其面積不相等或周長不相等，由平面幾何知識知?r是一個假命題．8．?x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：已知不等式化為22x－2·2x＋2－a<0.①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，則不等式①化為：t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，原命題等價于：?t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，a>t2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，當(dāng)t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))時，ymax＝10.所以只須a>10即可．即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(10，＋∞)．一、命題及其關(guān)系1．命題能判斷真假的陳述句叫命題，感嘆句、疑問句、祈使句、含有未知數(shù)的不等式、方程等語句都不是命題．2．四種命題原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的，而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致的，即同真同假．正是因?yàn)樵}與逆否命題的真假一致，所以對某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題．二、充分條件、必要條件與充要條件關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實(shí)際上是對命題真假的判定：若“p?q”，且“pq”，則p是q的“充分不必要條件”，同時q是p的“必要不充分條件”；若“p?q”，則p是q的“充要條件”，同時q是p的“充要條件”；若“pq”，則p是q的“既不充分也不必要條件”，同時q是p的“既不充分也不必要條件”．三、邏輯聯(lián)結(jié)詞1．“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p∨q”“p∧q”“綈p”三種形式．2．含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷：“p∨q”中有真為真，“p∧q”有假為假，綈p與p真假相反．3．注意命題的否定與否命題的區(qū)別．否命題既否定條件又否定結(jié)論；而命題的否定只否定結(jié)論．四、全稱命題和存在性命題1．全稱命題“?x∈M，p(x)”強(qiáng)調(diào)命題的一般性，因此，(1)要證明它是真命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立；(2)要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個元素x，使p(x)不成立即可．2．存在性命題“?x∈M，p(x)”強(qiáng)調(diào)結(jié)論的存在性，因此，(1)要證明它是真命題，只需在集合M中找到一個元素x，使p(x)成立即可．(2)要判斷它是假命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)不成立．五、含有一個量詞的命題的否定1．全稱命題的否定一定是存在性命題．p：?x∈M，p(x)成立；?p：?x∈M，?p(x)成立．2．存在性命題的否定一定是全稱命題．p：?x∈M，p(x)成立；?p：?x∈M，?p(x)成立．3．含有一個量詞的命題的否定首先要改變量詞，把全稱量詞改為存在量詞；把存在量詞改為全稱量詞，然后再把判斷詞加以否定．階段質(zhì)量檢測（一）(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．將答案填在題中的橫線上)1．命題：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”的逆否命題是____________________________．答案：若a≠0且b≠0，則ab≠02．命題“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是___________________________________．解析：原命題是全稱命題，其否定是存在性命題．答案：?x∈R，x2－2x＋1<03．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________條件．解析：l1與l2平行的充要條件是a(a＋1)＝2×1，且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要條件．答案：充分不必要4．已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)．則下列命題中為真命題的是________(填所有真命題的序號)．①(?p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(?p)∨(?q)．解析：命題p真，命題q假，因此?p假，?q真，①是假命題，②假命題，③真命題，④真命題．答案：③④5．下列命題：①“全等三角形的面積相等”的逆命題；②“正三角形的三個角均為60°”的否命題；③“若k<0，則方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有兩相異實(shí)數(shù)根”的逆否命題．其中真命題的個數(shù)是________個．解析：顯然①假，②真，對于③，當(dāng)k<0時，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，故③為真．答案：26．(上海高考改編)錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的________條件．解析：便宜?沒好貨，等價于其逆否命題，好貨?不便宜，∴“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件．答案：必要不充分7．(湖南高考改編)“1<x<2”是“x<2”成立的________條件．解析：設(shè)A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<2}，故AB，即當(dāng)x0∈A時，有x0∈B，反之不一定成立．因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要條件答案：充分不必要8．命題“若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是________．解析：∵原命題為真命題，∴逆否命題也是真命題．又∵它的逆命題若“x2－3x＋2＝0，則x＝1或x＝2”是真命題，∴它的否命題也是真命題．答案：49．(遼寧高考改編)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為________．解析：設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但eq\f(an,n)＝1＋eq\f(1,n)是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．答案：p1，p410．命題p：任意兩個等邊三角形都是相似的．①它的否定是________________________________________________________；②否命題是__________________________________________________________．答案：①存在兩個等邊三角形不相似②如果兩個三角形不都是等邊三角形，那么它們不相似11．已知命題p：不等式|x－1|>m的解集是R，命題q：f(x)＝eq\f(2－m,x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：命題p：m<0，命題q：m<2.∵p與q一真一假，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m<2，))解得0≤m<2.答案：[0,2)12．下列結(jié)論中正確命題的個數(shù)是________．①命題p：“?x∈R，x2－2≥0”的否定形式為?p：“?x∈R，x2－2<0”；②若?p是q的必要條件，則p是?q的充分條件；③“M>N”是“(eq\f(2,3))M>(eq\f(2,3))N”的充分不必要條件．解析：對于①，易知是正確的；對于②，由?p是q的必要條件知：q??p則p??q，即p是?q的充分條件，正確；對于③，由M>N不能得知(eq\f(2,3))M>(eq\f(2,3))N，因此③是錯誤的．綜上所述，其中正確的命題個數(shù)是2.答案：213．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中，選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：(1)記集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”的_____________；(2)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)”的________________．解析：(1)當(dāng)p＝3時，A＝{－1,2,3}，此時A∩B＝B；若A∩B＝B，則必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要條件．(2)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)；但由f(x)＝|2x－a|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)不能得到a＝1，如當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝|2x－a|＝|2x|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)．因此“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)”的充分不必要條件．答案：(1)充要條件(2)充分不必要條件14．已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述兩個命題都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，從而a的取值范圍為[e,4]．答案：[e,4]二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：末位數(shù)字為9的整數(shù)能被3整除；(2)p：有的素?cái)?shù)是偶數(shù)；(3)p：至少有一個實(shí)數(shù)x，使x2＋1＝0；(4)p：?x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解：(1)?p：存在一個末位數(shù)字為9的整數(shù)不能被3整除．?p為真命題．(2)?p：所有的素?cái)?shù)都不是偶數(shù)．因?yàn)?是素?cái)?shù)也是偶數(shù)，故?p為假命題．(3)?p：對任意的實(shí)數(shù)x，都有x2＋1≠0.綈p為真命題．(4)?p：?x0，y0∈R，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋2x0－4y0＋5≠0.?p為真命題．16．(本小題滿分14分)把下列各命題作為原命題，分別寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若α＝β，則sinα＝sinβ；(2)若對角線相等，則梯形為等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.解：(1)逆命題：若sinα＝sinβ，則α＝β；否命題：若α≠β，則sinα≠sinβ；逆否命題：若sinα≠sinβ，則α≠β.(2)逆命題：若梯形為等腰梯形，則它的對角線相等；否命題：若梯形的對角線不相等，則梯形不是等腰梯形；逆否命題：若梯形不是等腰梯形，則它的對角線不相等．(3)逆命題：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d；否定題：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，若a≠b或c≠d，則a＋c≠b＋d；逆否命題：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d.17．(本小題滿分14分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co