高等數(shù)學(xué)公式(一元函數(shù)部分)

高等數(shù)學(xué)公式

（一元函數(shù)部分）

目錄

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)集合、映射與函數(shù)

第二節(jié)數(shù)列的極限

第三節(jié)函數(shù)的極限

第四節(jié)無窮小與無窮大

第五節(jié)連續(xù)性

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則

第二節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

第三節(jié)微分

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

笫一節(jié)微分中值定理羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

第二節(jié)洛必達(dá)法則

第三節(jié)泰勒公式

第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一曲線的切線和法線

導(dǎo)致的應(yīng)用二函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三函數(shù)的極值和最值

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四曲線的凹凸性和拐點

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五曲線的漸近線

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用六曲線的曲率

第四章不定積分

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)不定積分不定積分公式

第二節(jié)不定積分的換元積分法第一類換元法（湊微分法）第二類換元法

第三節(jié)不定積分的分部積分法

第五章定積分

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

第二節(jié)微積分基本公式

第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法

第四節(jié)反常積分

第六章定積分的應(yīng)用

第一節(jié)定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積體積旋轉(zhuǎn)體的體積弧長旋轉(zhuǎn)曲面的面

積

第二節(jié)定積分的物理應(yīng)用變力做功抽水做功水壓力

索引

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)集合、映射與函數(shù)

鄰域的概念

點x0的5鄰域：U(x0,<5)={xl|x-x0|<<^}={xIx0-J<x<x0+J}=(x0-

88

__人人

----------------------

%—b/x毛+3

幾個重要的分段函數(shù)

r當(dāng)X〉0

絕對值函數(shù)y=|x|=<'

111r,當(dāng)x<0

x>0<=>Ixl=x

性質(zhì)：

x<0=閔=-x

1當(dāng)x〉0

符號函數(shù)y-sgnx=<0當(dāng)x=0

-1當(dāng)％<0

/W=l

符號函數(shù)與絕對值函數(shù)的關(guān)系：

/⑴二sgn九產(chǎn)

(1)|x|=sgnx-x^x=sgnx?\x\06-

(2)sgnx=6(xw0)

lxl"3~-7(0)=0

d\x\04

(3)—=sgnx(xw0)

dxfM=-lZ

符號函數(shù)的性質(zhì)：

(1)x>00sgnx=1

(2)x<0<=>sgrir=-1

(3)x>a<=>sgn(x-tz)=1

取整函數(shù)f(x)=[x]=小于或等于X的

最大整數(shù)

M一x

_____!?3

nn+[/U)=[x]>

y

[x]是X左邊的第一個整數(shù)(向左取整)。

/3)=[司是分段函數(shù)：-2

/(x)=[x]=n,n<x<n+\

(〃=0,±1,±2,...)

取整函數(shù)的性質(zhì)：

(1)[x]<x<[x]+l(VxeR)

(2)x是整數(shù)的充要條件是x=[x]

狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)

~、[1,當(dāng)X是有理數(shù)

D(x)=v

0,當(dāng)X是無理數(shù)

Dirichlet函數(shù)有很多“糟糕”的性質(zhì)

德國數(shù)學(xué)家

首先，它沒有具體的表達(dá)式。其次，它狄利克雷

沒有圖形：我們無法作出它的圖形，它的Peter

圖形是處處間斷的。乂，它是沒有最小正Dirichlet

1805-1859

周期的周期函數(shù)：每一個有理數(shù)都是函數(shù)

的周期。

基本初等函數(shù)：以下五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)：

(1)幕函數(shù)、(2)指數(shù)函數(shù)、(3)對數(shù)函數(shù)、(4)三角函數(shù)、(5)反三角函數(shù)

(1)賽函數(shù)(Powerfunction)y=x"(//GR)

常見的累函數(shù)：y-x,y=x2,y=x3,y=—,y=Vx,y=yfx

x

(2)指數(shù)函數(shù)(Exponentialfunction)y=ax(〃〉0,〃W1)

常見的指數(shù)函數(shù)：y=y=2"y=l0

y=2*

常見的對數(shù)函數(shù):

y=lnx=logeX（自然對數(shù)）y=lgx=log[oX（常用對數(shù)）y=log2x

(4)三角函數(shù)(Trigonometricfunction)

正弦y=sinx

j=$in(x)

定義域：(-oo,+00)

值域:[-1,1]An.Sir!

奇偶性：奇函數(shù)

周期：2萬

余弦y=cosx

定義域：(-00,+00)y=cosW

值域：[-1,1]、

奇偶性：偶函數(shù)-3”a*...X*2需4*、\2病

周期：2乃

一sinx

正切y=tanx=----y—tan(x)

COSX

定義域：(%)一工，攵乃+工)

22

(k=0,±1,士2,...)JJ

值域：(-8,+00)

奇偶性：奇函數(shù)

周期中7'nirrrr"

cosx1

余切y=cotx

sinxtanx

定義域：(k],(市+1)叫)

(攵=0,±1,±2,...)

值域：(-8,+8)

奇偶性：奇函數(shù)

周期:乃

正割y=secx=-----

cos%

定義域：(k乃一工，k兀+三)

22

(女=0,±1,±2,...)

值域：(-8,-1]“1,+00)

奇偶性：偶函數(shù)

周期：2乃

余割V=CSCX------

sinx

定義域：(k兀,(k+l)兀)

(&=0,±1,±2,...)

值域：(-00,-l]u[l,+00)

奇偶性：奇函數(shù)

周期：2萬

(5)反三角函數(shù)(Inversetrigonometricfunction)

反正弦y-arcsinx

定義域:[-1,1]

值域:[￡，勺

22

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

有界性:|arcsinx\~~

os-1W

反余弦y=arccosx

定義域:[-1,1]

值域:[0㈤

單調(diào)性：單減

有界性：0<arccosX<TT

-1\1

反正切y=arctanx

axT%)

定義域：（-00,+8）」二t

71

2

值域:

22

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

有界性：|arctanx\<2

反余切y=arccotxQt“a)

rh

定義域：（-co,+00）

值域：（0,1）

單調(diào)性：單減

有界性：0<arccotx<乃-5-4-3-2-112345

初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合，并且能用一個公式表示的函數(shù)。

雙曲函數(shù)(Hyperbolicfunction)

雙曲正弦(Hyperbolicsine)

y=sinhx=shx

定義域：(-00,+00)

值域：(-00,4-00)

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

j=co$h(x)

雙曲余弦(Hyperboliccosine)

/+J-X

y=coshx=chx=-------

2

定義域：(-00,+00)

值域:[1,+00)

奇偶性：偶函數(shù)

雙曲正切(Hyperbolictangent)

,,shx

y=tanhx=thx=----j=t4nh(x)

chx

定義域:(-00,+00)

值域：(-1,1)

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

有界性：卜ankr|<l

反雙曲函數(shù)(Inversehyperbolicfunction)

反雙曲正弦

y=arshx=ln(x+yjx2+1)

定義域：(-00,+00)

值域：(-00,+oo)

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

反雙曲余弦

y=arch,r=ln(x+Jx2-1)

定義域:[l,+oo)

值域：[0,+00)

單調(diào)性：單增

反雙曲正切

LJ11+X

y=arthx=—In-----

21-x

定義域：(-1,1)

值域：(-00,+00)

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：單增

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第二節(jié)數(shù)列的極限

數(shù)列的概念

數(shù)列:｛%“｝：xt,x2,x3

數(shù)列｛%｝可以看成一個定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)，稱為整標(biāo)函數(shù)：

nxn=f（〃）（〃EN）

數(shù)列的單調(diào)性

單增數(shù)列｛x〃｝：X1<X2<X3<...<XM_J<xn<...

單減數(shù)列｛%〃｝：Xj>x2>x3>...>xn_x>>...

數(shù)列的有界性

有界數(shù)列｛%｝：>0,使得民

無界數(shù)列｛x“｝：>0,3n（）eN,使得>M。

數(shù)列｛x,J無界的充分必要條件是存在趨于無窮大的子數(shù)列｛x"｝：limx“=oo

*A:—>ook

數(shù)列有界性的等價定義

數(shù)列｛x“｝有界的充要條件是：,使得A<x“W8（neN）。A和5分稱為數(shù)列

的下界和上界。（數(shù)列有界當(dāng)且僅當(dāng)它既有上界，又有下界。）

數(shù)列的極限

數(shù)列極限的定義

數(shù)列極限的直觀定義：limx“=a是指：當(dāng)〃無限增大（〃一>8）時，一般項x“無限地趨于數(shù)

a（x〃一>。）。

數(shù)列極限的嚴(yán)格定義（￡-N定義）：limx〃=。是指：對于任意給定的￡〉0,總存在正整數(shù)N,

AT8

使得當(dāng)〃〉N時，不等式氏-都成立。

即limx=ao（V->0,BN,Vn>N=>\x-a\<￡）

〃T8n1n

一些而要的數(shù)列極限

數(shù)列極限說明

limq"=0(|同<1)

7/->0011此結(jié)論常用。例如，lim1=0

limq"-oo(h|>1)

例如，lim2"=8。

n—>oo

lim」~=0(女>0)例如，lim」v=0,

8〃

k

limn=oo[k>0)limVn=ooo

“f8”一>8

limV^=1(Q>0)常用，limQ、=l的特例。

n->ooXTO

limVn=1(Q>0)

n->oo常用，limxv=1的特例。

XT+oo

nk八此極限說明是〃"的高階無窮大。例如，

lrim—=0

M->00

r〃3

((2>1,k>0)lim——=n0

00e”o

].ane"

lim—=0(67>1)此極限說明M是a”的高階無窮大。例如，lim-；=0。

usn)mgn\

fii此極限說明〃”是加的高階無窮大。

lim—=0

"->8

lim—=0本科不作要求。

…版\.

「幾

lim—=e本科不作要求。

…njn]

lim(l+-)n重要極限，e的定義。

“T8Yl

111\e的無窮級數(shù)展開式。

rlim(Zl1+—+—I?…+—)=e

…i!2!n\

「“111\調(diào)和級數(shù)發(fā)散。

〃T823n

歐拉常數(shù)C=0,5772156649....

lim(l+—+—...4---InH)=C

“T823n

*施篤茲定理

施篤茲定理可以用來計算

施設(shè)數(shù)列若｛y,J單調(diào)增加且limy,,=+8,若lim土二必?些難度較大的數(shù)列極限

?-><?〃—>8y—y]

篤X00

茲存在，hm，■（一型）。

〃->8尤00

定

則lim—=lim——

理…8y“…ooy“_

.........X,4-X9+...4-X前〃項的算術(shù)平均值的極限等

由施（1）若hmxn存在，則lim———=-----------=limxn。

〃T8/I—>00〃w->00于數(shù)列的極限。

篤茲

定理前〃項的幾何平均值的極限等

（2）若lim存在（xH>0）,則limdxix2...xn=limxn。

可以“f00rt—>00Yrt—>00于數(shù)列的極限。

得到

的一

些極11.

（3）若lim存在（xn>0）,貝ijlimJx~l=lim土。OttoStolz

限n—>00Xrt—>00Y”->8X施篤茲

1842-1905

ns奧地利數(shù)學(xué)家

收斂數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列極限的性質(zhì)說明

唯一性若數(shù)列｛工｝收斂，則其極限是唯?的。極限存在必唯一。

收斂數(shù)列必有界。

若數(shù)列｛%｝收斂，貝IJ｛%｝是有界數(shù)列。

例如，｛!｝收斂，因此它是有界的。

n

無界數(shù)列必發(fā)散。

有界性若數(shù)列｛七｝無界，則｛尤“｝發(fā)散。

例如，｛“｝無界，因此它是發(fā)散的。

有界數(shù)列不一定收斂。

若數(shù)列｛得｝有界，則｛七』不一定收斂。

反例：數(shù)列｛（一1）"｝有界，但它不收斂。

若limx.=。>0（或a<0）,則存在N,使

8收斂于正數(shù)（或負(fù)數(shù)）的數(shù)列最終將成為正

保號性

的（或負(fù)的）數(shù)列（最多有有限項例外）。

得當(dāng)n>N時，都有招>0（或X,<0）。

數(shù)列與

若數(shù)列｛居｝收斂于a,則它的任何子數(shù)列

子數(shù)列

整體收斂，部分收斂。

的斂散

｛x“｝也收斂于ao

性關(guān)系"k

若數(shù)列｛%｝有一個發(fā)散的子數(shù)列｛%,“｝,則

部分發(fā)散，整體發(fā)散。

｛怎｝也發(fā)散。

若數(shù)列｛七｝有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，例如，數(shù)列｛(一1)"｝有兩個子數(shù)列

則｛%｝也發(fā)散。｛(一1產(chǎn)1｝和｛(一1產(chǎn)｝收斂于不同的極

限-1和1,故數(shù)列發(fā)散。

奇次項子數(shù)列和偶次項子數(shù)列都收斂于

若子數(shù)列｛X?_,｝與｛X｝都收斂于a,則數(shù)列

22n同一極限，則數(shù)列收斂。

這是一個重要的結(jié)論。

｛X,,｝也收斂于。0

證明:利用不等式同一回歸X-a|0

若lim無“=a,則lim|尤」=同。逆命題不成立。

/1->00〃一>8'111

反例：Xn=(-1)"?

數(shù)列收斂的兩個準(zhǔn)則

(1)夾逼準(zhǔn)則：若先4%w2“(〃=1,2,3二..)且11111尤=。，11111乙=。，則limx“=a。

H->00Heo/;->oo

特例若氏|Vy"(”=1,2,3,...)且limy“=0,則limx“=O

1”T8n->00

夾逼準(zhǔn)則的用法：當(dāng)極限limx“難以確定時，可以將與縮放成y“和z“(y“Wx“Wz”)，使得極

〃T8

限limyn和limzn容易求得，并且limy“=limz“=a,則limx“=a。

"TOOn->00"T8〃T8〃T8

(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

具體地說：

(1)單調(diào)增加的數(shù)列｛居｝若有上界，則｛瑞｝必有極限，且

limxn=supxn=｛x,J的最小上界(上確界)

/：—>00

(2)單調(diào)減少的數(shù)列｛X,,｝若有下界，則｛%｝必有極限，且

lim再,=infx=｛居｝的最大下界(下確界)

H—>00n

單調(diào)有界準(zhǔn)則的用法：如果能判定數(shù)列｛X,,｝單調(diào)增加(或單調(diào)減少)，并且能證明或觀察｛Z｝有

上界(或下界)，貝|」｛尤“｝必有極限。

數(shù)列極限的運算法則

設(shè)數(shù)列｛怎｝和｛y“｝都收斂,則數(shù)列｛當(dāng)±y〃｝,｛cx,J,｛/個｝和｛%｝(limy,wO)也收斂,且

有下列運算法則。

運算法則說明

lim(x/,±yn)=limx?±limyn和差的極限=極限的和差

〃一>8H—>00H—>00數(shù)列極限的

線性性質(zhì)

limcx=climx倍數(shù)的極限=極限的倍數(shù)

〃一>8ntl

=limx“l(fā)imy“積的極限=極限的積

“一>00n—>00〃一>8

xlimxn

lim-=-i1±2—(limy"O)商的極限=極限的商

”->8yli7my〃T8

“T8

lim—=-7^——(lim0)

倒數(shù)的極限=極限的倒數(shù)

〃78]imyn"T8

n—>00

數(shù)列斂散性的若干性質(zhì)

性質(zhì)說明

設(shè)｛x“｝和｛y,,｝都收斂，貝I」｛x“+y,,｝也收斂。收斂+收斂=收斂

設(shè)｛%｝收斂，但｛先｝發(fā)散，則｛x,,+y“｝必發(fā)散。收斂+發(fā)散=發(fā)散

設(shè)和｛%｝都發(fā)散,則)不一定發(fā)散。發(fā)散+發(fā)散=＞發(fā)散

｛X,J｛Xn+yn

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第三節(jié)函數(shù)的極限

一、自變量趨于有限值的函數(shù)極限：lim/(x)=A

(1)函數(shù)極限lim〃x)=A的直觀定義：1加/(約=4是指：當(dāng)自變量》無限地趨于妨

X—>與X—>x0

(Xf/)時，相應(yīng)的函數(shù)值/(X)無限地趨于數(shù)A(/(%)-A),即

|x-x()|—>0=>\f(x)-A|0o

(2)函數(shù)極限Iim/(x)=A的嚴(yán)格定義(￡—5定義)

lim/(x)=A是指：對于任意給定的￡>0,總存在S〉0,使得當(dāng)x滿足不等式

I%

0<卜一占卜5時，就有|/(x)—川<2。

即lim/(x)=A<=>(V^>0,3<?>0,Vx:0<|x-x|<=>|/(x)一川<e)

XTX”0

(3)極限lim/(x)=A的兒何解釋：lim/(x)=A表示：\/￡>0,33>0,使

X—>XQX—>XQ

o

A-s<f(x)<A+￡(xe(x0-x())u(x(),x(}+b)=U(x()，b))

即對于任意的￡>0，都能確定X。的一個S去心鄰域方(X0,b),使得在這個去心鄰域內(nèi)，函數(shù)

y=/(x)的圖形位于水平直線》=4-￡和》=4+￡之間的一個寬為2￡的條形區(qū)域內(nèi)。

單側(cè)極限

左極限〃/-0)=lim〃x)=A是指：Ve>0,總存在m5>0,使得當(dāng)x滿足不等式

/一6<》</時，就有|f(x)-A|<￡。

右極限〃/+0)=lim/(x)=A是指：Ve>0,總存在ms>o,使得當(dāng)x滿足不等式

…而*

X。<X<X。+S時，就有|f(x)-川<￡。

極限與單側(cè)極限的關(guān)系：極限lim/(x)存在的充分必要條件是左極限limf(x)和右極限

XT*0XT*。"

limf(x)都存在并且相等,即

XT/,

limf(x)=Alim/(x)=lim/(x)=A

+

XfX。x->xo'A—>xo

或

lim/(x)=Ao/(/+0)=/(/—())=A

推論若limf(x)limf(x),則極限lim/(x)不存在。

+

.r->X0XTXo

注這是證明極限lim〃x)不存在的一個重要方法。

Xfo

函數(shù)/(,)在X=0處的單側(cè)極限和極限

X

兩個基本極限：lim—=-00,lim—=+oo（圖形）。

XT。-xKTO+X

函數(shù)單側(cè)極限極限圖形

xlimex=0,limex=+oolimex不存在下圖1

y=ex->0-xf0+x->0

J

y=2Xlim2*=0,lim2X=+8lim2X不存在下圖2

A->0-XT0+.v->0

1「171..171

y=arctan—limarctan—=---,limarctan—=—limarctan—不存在下圖3

Xi。-x2*f0+x2I。X

1

y=arccot—limarccot—=7V,limarccot—=0limarccot—不存在下圖4

XXT。-XXfO+XXT。X

二、自變量趨于無窮大的函數(shù)極限lim/(x)=A

x—>00

(1)函數(shù)極限lim/(x)=A的直觀定義

XT8

lim/(x)=A是指：當(dāng)自變量x的絕對值無限增大(xf8)時，相應(yīng)的函數(shù)值/(x)無限地趨于

.V—>00

數(shù)A(/(x).A),即3—>8=>]/(3)一川.0。

(2)函數(shù)極限lim/(x)=A的嚴(yán)格定義(￡-X定義)

XT8

(3)單向極限的定義

lim/(x)=A=(Ve>0,mX>0,Vx:x<-X=>|/(x)-A|<￡,)

lim/(x)=A=(V￡>0,3X>0,Vx:x>Xn|/(x)—川<￡)

A->+0011

1吧/(x)=A是指：對于任意給定的￡>0,總存在X>0,使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時,

就有。

即lim/(x)=A=(Ve>0,mx>0,Vx:|x|>X|/(x)—川<￡)

極限與單向極限的關(guān)系：極限lim/(x)存在的充分必要條件是極限lim/(x)和極限lim/(x)

X->00X->-00X->+CO

都存在并且相等。即lim/(x)=A<=>limf(x)=limf(x)-A

XT8XT-8XT”

推論若lim/(%)wlim/(%)，則極限limf(%)不存在。

X->-00Xf+8x->oo

注這是證明極限lim/(x)不存在的個重要方法。

Xf8

點評Xf00表示X的絕對值無限增大(X可正可負(fù))，Xf+00表示X是正數(shù)且其絕對值無限增大,

Xf-8表示X是負(fù)數(shù)且其絕對值無限增大。

一些單向極限存在但極限lim/(x)不存在的函數(shù)

A—>00

函數(shù)單向極限極限圖形

y=exlimex=0limex=+oolimex不存在圖形

XT-OOX->-KOXT8

y=2，lim2X=0lim2*=+8limr不存在圖形

A->-00X->+ODXTOO

..冗、.71

y-arctanxlimarctanx=---limarctanx=-limarctanx不存在圖形

Xf-82A—>+<?2X—8

y=arccotxlimarccotx=7rlimarccotx=0limarccotr不存在圖形

XT-00xf+O0.r->oo

y=thxlimthx=-1limthx=1limthx不存在圖形

XT-8X->8

y=sgnxlimsgnx=-1limsgnx=1limsgnx不存在圖形

XT-8XT+OOXT8

函數(shù)極限的六種定義

為了便于使用和比較，現(xiàn)將函數(shù)極限的六種定義列表如下:

極限類型對任意給定的都存在當(dāng)……時就有不等式

limf(x)=A

0<|x-x0|<(5

大一>與

lim/(x)=A<x<x+8

Xf%.c>>0Q

limf(x)=A

xQ-S<x<

\f(X)-A\<￡

6->0

limf(x)=A\x\>X

x—>00

X>0

limf(x)=Ax>X

XT+8

lim/(x)=Ax<-X

XT-8

函數(shù)極限的性質(zhì)

由極限lim/(x)=A的幾何解釋，可以得出函數(shù)極限的若干性質(zhì)。

XT%

唯一性若極限lim/(x)存在，則其極限是唯一的。(極限存在必唯一。)

局部有界性若極限lim/(x)存在,則函數(shù)/(x)在看的某個鄰域內(nèi)是有界的。(有極限的函數(shù)在玉)附

近一定有界(局部有界))。

局部保號性若lim/(x)=A>0(或A<0),則在X。的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)/3)>()(或

/(x)<0)o(以正數(shù)(負(fù)數(shù))為極限的函數(shù)在X。附近一定是正函數(shù)(負(fù)函數(shù))。)

A

若lim/(x)=A>0,則在與的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)/(x)>-?

—32

注A/2是為了方便敘述。實際上在飛的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)/(對〉心(0<?<1)。

不等式性若在方的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)/(x)NO(或/(x)WO),且lim/(x)存在，則

lim/(x)NO(或lim/(x)K0)。(非負(fù)函數(shù)的極限一定是非負(fù)的。非正函數(shù)的極限一定是非正的。)

X->A0XT%

函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

若limf(x)=A,則對任何收斂于拓的數(shù)列｛七,｝,都有l(wèi)im/(x)=A。

XT%)H->00n

(任意方式收斂，特殊方式也收斂。)

若存在收斂于%的數(shù)列｛%｝使得數(shù)列｛/(X,,)｝發(fā)散，則極限lim/(x)不存在。

(特殊方式發(fā)散，任意方式也發(fā)散。)

若｛居｝和1｛"｝都收斂于與，但則極限lim/(x)不存在。

n—>oo〃一>8xfX。

(兩種特殊的方式有不同的極限，則極限不存在。)

若lim/(x)=A,則limf(n)=limf(x)=A。

XT+8”T8X->+00

(任意方式收斂，特殊方式也收斂于同?極限。)

注利用這個公式可以將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)的極限。

點評對于極限lim/(x)也有相應(yīng)的結(jié)論。

極限的四則運算法則

設(shè)lim/(x)=A和limg(x)=B

性質(zhì)說明

lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±B可以推廣到有限個函數(shù)的和差。

lim"(x)g(x)]=lim/(x)limg(x)=AB可以推廣到有限個函數(shù)的乘積。

lim[Cr(x)]=Clim/(x)

lim=4(8⑺=870)

lim若limg(x)=8=0,則此法失效。

g(x)limg(x)B

lim[/(x)r=[limf(x)]"=An(〃是正整數(shù))

一些基本極限

〃

limC==climx=x0limx=Vlim-=0

Xf*018x

「>n

lim—n=0limx=colimx=8lim—=oolim—=co(〃是正整數(shù))

ISXX->8A->00x->0xx->0X”

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兩個重要極限

第一個重要極限：lim?吐=1（這個極限的重要性在于它涉及到三角函數(shù)和反三角函數(shù)）

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第二個重要極限：lim（l+'）'=e（這個極限的重要性在于它涉及到指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)）

XT8X

函數(shù)/（%）=（1+—y定義域(-oo,-l)u(0,+oo)(如恩3)

X

3

y二e

J6

25

5

y=(i+-r2fy=(i+x-r

X2[

4

y15

y3y=e

2廣’

05

1

oJ

246810121416182