歷年考研數(shù)學線代真題

歷年考研數(shù)學一真題1987-2016

1987年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

（5）已知三維向量空間的基底為四=（1,1,0）,a,=（1,0,1）,a,=（0,1,1）,則向量f$=（2,（）,0）在此基底下的坐標是.

三、（本題滿分7分）

飛or

（2）設矩陣A和B滿足關系式AB=A+2B.其中A=110,求矩陣B.

014

五、選擇題（本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（4）設A為〃階方陣，且A的行列式|A|="O,而A是A的伴隨矩陣，則|屋|等于

（4）a（而，（0/

九、（本題滿分8分）

rX,+X2+X3+X4=0

問./為何值時，現(xiàn)線性方程+2：+子=1

I-x2+（a-3）X3_2X4=b

[3%+2X2+x3+ax4=-l

有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.

1988年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

二、填空題（本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上）

⑷設4階矩陣A=[a，Y2，Y3，YjB=甲,七*=」，其中心。,力，力，骨均為4維列向量,且已知行列式性|=4,同=1,則行列式|A+B|=.

三、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（5）〃維向量組-a,,q（34sO）線性無關的充要條件是

（與存在一組不全為零的數(shù)4,人,使匕叫+《2a2++4%00

（而四,a,,以中任意兩個向量均線性無關

9q中存在一個向量不能用其余向量線性表示

（0a,a,,q中存在一個向量都不能用其余向量線性表示

七、（本題滿分6分）

1001oo

已知AP=BP,其中B=000,P=2-io，求A,AT

00-1211

八、（本題滿分8分）

2001[200一

已知矩陣人=001與8=0yo相似.

01x0o-1

⑴求A與y.

⑵求一個滿足PAP=B的可逆陣P.

1989年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

3001[100

⑸設矩陣人=140,1=010，則矩陣（A-2I尸.

003001

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

⑸設A是〃階矩陣，且A的行列式|A|=0,則A中

（4）必有一列元素全為0（而必有兩列元素對應成比例

（。必有一列向量是其余列向量的線性組合（9任一列向量是其余列向量的線性組合

三、（本題共3小題,每小題5分,滿分15分）

七、（本題滿分6分）

X]+工3=丸

問2為何值時,線性方程組4不+/+2演=九+2有解,并求出解的一般形式.

6%,+々+4尢3=24+3

八、（本題滿分8分）

假設/.為〃階可逆矩陣A的一個特征值,證明

（1），為7的特征值.

（2）囿為A的伴隨矩陣A的特征值.1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

A

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

（5）已知向量組岡=（1,2,3,4）,?0=（2,3,4,5）,a3=（3,4,5,6）,a4=（4,5,6,7）,

則該向量組的秩是.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（5）已知人、立是非齊次線性方程組AX“的兩個不同的解9、a,是對應其次線性方程組AX=O的基礎解析溫、k為任

意常數(shù),則方程組AX=b的通解（一般解）必是

（4）ki%+k2（al+a2）+————（而\叫+左2（叫_<?2）+0,+B

（。匕%（民+0,）+0'（〃）匕%+向他一人）+嗎P

七、（本題滿分6分）

設四階矩陣

且矩陣A滿足關系式

A(E-C'B)C=E

其中E為四階單位矩陣,b表示C的逆矩陣,C表示C的轉置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣A

八、(本題滿分8分)求一個正交變換化二次型/=x；+4x；+4后-4%々+4￥3-8々不成標準型?

1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

'5200'

(5)設4階方陣A=：*；:.則A的逆陣A-.

0011

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內)

(5)設〃階方陣A、B、C滿足關系式ABC=E.其中E是〃階單位陣,則必有

(4)ACB=E(而CBA=E

(0BAC=E(0BCA=E

七、(本題滿分8分)

已知必=(l,0,2,3),a2=(l,l,3,5),a5=(l,-l,a+2,l),a4=(1,2,4,a+8)及p=(l,l,b+3,5).

(1)a>b為何值時串不能表示成..必出的線性組合？

(2)八b為何值時平有%的唯一的線性表示式?寫出該表示式.

八、(本題滿分6分)

設A是〃階正定陣.E是〃階單位陣，證明A+E的行列式大于L

1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

22。也，

⑸設A=她她地，其中4*0,/>H(),(i=1,2,，成則矩陣A的秩r(A).

也a也anbn_

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（5）要使當=（）&=1都是線性方程組AX=。的解,只要系數(shù)矩陣A為

3l-ij

3[-212]例:；；

'01-1'

（0T02]⑵4一2-2

01-1

L」[011

八、（本題滿分7分）

設向量組a1,a2，a,線性相關,向量組a?,線性無關，問：

（l）q能否由％,&線性表出?證明你的結論.

⑵a4能否由四,％M線性表出?證明你的結論.

九、（本題滿分7分）

設3階矩陣A的特征值為4=1,九=24=3,對應的特征向量依次為

⑴將p用號&&線性表出.

（2）求A.為自然數(shù)）.

1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

（5）設〃階矩陣A的各行元素之和均為零,且A的秩為〃一1,則線性方程組AX=o的通解為.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

123

（5）已知Q=24，，P為三階非零矩陣,且滿足PQ=。,則

369

（4）『=6時P的秩必為1而"6時P的秩必為2

（?！?時P的秩必為1（936時P的秩必為2

七、（本題滿分8分）

已知二次型/（4右毛）=2x；+3石+3￡+2分的（。＞。）通過正交變換化成標準形/=才+2￡+5￡,求參數(shù)”及所用的正交變換

矩陣.

八、（本題滿分6分）

設A是〃X,”矩陣,B是〃…矩陣，其中〃＜肛1是〃階單位矩陣，若AB=L證明B的列向量組線性無關.

1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

⑸已知。=[1,2,3],0=[1,：，3],設八=4|）,其中/是0的轉置,貝!）A".

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（5）已知向量組-%,%,人線性無關,則向量組

（Z）ct]+a2,a2+a3,a3+a4,a4+d1線性無關（助叫-a2,%-qq-%線性無關

（0a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-四線性無關⑦?1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-岡線性無關

八、（本題滿分8分）

設四元線性齊次方程卿（I）為*+々=°,

jX2-X4=0

又已知某線性齊次方程加（II）的通解為6（0,1,1,0）+k（-1,2,2,1）.

（1）求線性方程組（I）的基礎解析.

（2）問線性方程組（I）和（II）是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.

九、（本題滿分6分）

設A為〃階非零方陣,A是A的伴隨矩陣,A，是A的轉置矩陣,當A*=A，時,證明W

1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

⑸設三階方陣A,B滿足關系式A-BA=6A+BA,且則明

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

aA\a\2a\3a]\a\2〃I30101oo-

⑸設A=,B=100010，則必有

。21。22。23，R=,p2

001101

_^3I。32。33__a3\。32%3_

⑦AP2Pl=B

(A)AP,P2=

(6)B(0P,P.A=B

P,P2A=

八、（本題滿分7分）

設三階實對稱矩陣A的特征值為4=一1自=4=1,對應于4的特征向量為q=口,求A,

九、（本題滿分6分）

設A為〃階矩陣,滿足AA，=1（1是〃階單位矩陣.A，是A的轉置矩陣）,|A|<0,求|A+I|.

1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

102

⑸設A是4X3矩陣，且A的秩r(A)=2,而B=[02貝h(AB).

-103

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

%00瓦

ab0

（5）四階行列式:22的值等于

%40

00?4

（4）qa2a34-她她(3qa2a3a4+岫2b3b4

（0（的2-她）（%。4-她）(0(a2a3-b2b3)(。田4一瓦瓦)

八、（本題滿分6分）

設A=IYF，其中I是〃階單位矩陣q是“維非零列向量劉是g的轉置.證明

（1）A2=A的充分條件是目氣=1.

（2）當值=1時,A是不可逆矩陣.

九、（本題滿分8分）

已知—^次型=5q+5石+cx；-2占%2+6X|X,-6電天的秩為2,

（1）求參數(shù),及此二次型對應矩陣的特征值.

（2）指出方程/（內,犬2，玉）=1表示何種一次曲面.

1997年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

-12-2

（4）設A=4/3,B為三階非零矩陣，且AB=O,則,.

3-11

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

qx+^y+q=0,

⑷設叫=a2,a2=b2,a3=c2,則三條直線%x+4y+c2=0,

%工+/73丁+。3=0

（其中a；+b；w0,i=1,2,3）交于一點的充要條件是

（4）叫必9線性相關（0線性無關

（。秩「（四.㈤二秩r（ot1,a2）⑵aI,a2，a.3線性相關,四,叫線性無關

七、（本題共2小題,第⑴小題5分,第（2）小題6分，滿分11分）

rr

⑴設B是秩為2的5x4矩陣s=[l,l,2,3f,a2=[-l,l,4,-l],a3=[5,-l,-8,9]是齊次線性方程組以=0的解向量,求取=。的解空間

的一個標準正交基.

⑵已知g=1是矩陣A=5a3的一個特征向量.

1）試確定“，參數(shù)及特征向量g所對應的特征值.

2）問A能否相似于對角陣?說明理由.

八、（本題滿分5分）

設A是〃階可逆方陣,將A的第,行和第1行對換后得到的矩陣記為B.

（D證明B可逆.

⑵求AB1

1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

⑷設A為〃階矩陣,|A|#0,為A的伴隨矩陣.E為〃階單位矩陣.若A有特征值人則（A）+E必有特征直

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

（4）設矩陣

h

b2c2是滿秩的，則直線二一。3=y-3=z-q.與直線工，二y-biz—C]

~"a,—a^b\—b、c一。＞&＞一久a一&c,一c

（2）相交于一點（而重合（。平行但不重合（9異面

十、（本題滿分6分）

~x~\rE

已知二次曲面方程—+毆2+z?+2g+2xz+2yz=4可以經(jīng)過正交變換y=P〃化為橢圓柱面方程/+4鏟=4.求”,的值和

.dK.

正交矩陣P.

十一、（本題滿分4分）設A是〃階矩陣,若存在正整數(shù)%,使線性方程組AJ=O有解向量a,且屋，“0.證明：向量組

a,Aa,是線性無關的.

十二、（本題滿分5分）

'anxt+al2x2++a1.2?x2?=0

已知方程組（[）＜。2內+。22々++a2.2nX2n=0

、4d+4,2々++4,2"々“=0

'如+4.2"%“=0

的一個基礎解析為例也，，妃.）7恁也，也/，，（"也，也/.試寫出線性方程組（II]+為2以=。

￡用+42%++鬣2"%”=。

的通解,并說明理由.

1999年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

（4）設〃階矩陣A的元素全為1,貝!IA的〃個特征值是.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內）

⑷設A是〃矩陣，B是矩陣，則

（冷當〃…時,必有行列式|ABk0⑶當〃,>〃時,必有行列式|AB|=0

（。當〃>〃，時，必有行列式|ABk0（〃）當時，必有行列式IAB|=0

十、（本題滿分8分）

設矩陣A=5:；，其行列式|A|=T,又A的伴隨矩陣T有一個特征值%,屬于4的一個特征向量為a=求a,b,c

1-c0-a

和％的值.

十一、（本題滿分6分）

設A為〃，階實對稱矩陣且正定，B為,"〃實矩陣，B，為B的轉置矩陣,試證B，AB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩=

2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

1211

（4）已知方程組23a+23無解,則小.

167-2X30

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

（4）設〃維列向量組四,,%,（〃,<〃）線性無關,貝！J"維列向量組即凡線性無關的充分必要條件為

（4）向量組叫，，a,“可由向量組乩，，以線性表示（③向量組h,凡可由向量組線性表示

（。向量組％,,a,“與向量組即也等價S矩陣A=（a”，%,）與矩陣B=（即，凡）等價

十、（本題滿分6分）,\

設矩陣A的伴隨矩陣人=1?且ABA-=BA-+3E,其中E為4階單位矩陣,求矩陣

十一、（本題滿分8分）

某適應性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,然后將，熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新

6

的非熟練工補齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有工成為熟練工.設第〃年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練

5

工所占百分比分別為玉和加記成向量'/

⑴求的關系式并寫成矩陣形式:

⑵驗證%=尸］是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值.⑶當產(chǎn)、2時，求加］.2001年全國

碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

⑷設A?+A—4E=O,貝！I（A-2E）T=.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項前的

字母填在題后的括號內）

riiin<4000、

⑷設AJ一：B=。000，則A與B

11110000

J11J10ooo)

(4)合同且相似㈤合同但不相似

（。不合同但相似（9不合同且不相似

九、（本題滿分6分）

設叫心,a,為線性方程組AX=O的一"個基礎解系,01=e+弓％,02=他+t2a3,,0s=4%+/2四，其中八為實常數(shù)，試問乙」2

滿足什么條件時即02，R也為AX=O的一個基礎解系？

十、（本題滿分8分）

已知三階矩陣A和三維向量X,使得X,AX,A2*線性無關,且滿足A,x=3Ax—2A

（1）記P=（X,Ax,A、）,求B使A=PBP-'.

⑵計算行列式|A+E.

2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）

（4）已知實二次型/（x?x2,》3）=心；+X；+x；）+4為》2+4項工3+4七》3經(jīng)正交變換可化為標準型f=6y：,則a.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項前的

字母填在題后的括號內）

（4）設有三張不同平面,其方程為勺X+2）+qz=4（;123）它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都

為2,則這三張平面可能的位置關系為

九、（本題滿分6分）

已知四階方陣A=（ct],a2，a3，a4）,叫.9,人均為四維列向量,其中a,,c^,a4線性無關，a,=2a,-a3.若0=a1+a,+（<3+<14,求線

性方程組Ax=p的通解."一''■

十、（本題滿分8分）

設A,B為同階方陣，

（1）若A,B相似,證明A,B的特征多項式相等.

（2）舉一個二階方陣的例子說明（1）的逆命題不成立.

（3）當A,B為實對稱矩陣時,證明（1）的逆命題成立.

2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（-*）試卷

一、填空題（本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上）

⑷從R2的基%=到基2臚2的過渡矩陣為.

二、選擇題（本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項前的

字母填在題后的括號內）

⑷設向量組/：四,a?,,明可由向量組：乩取R線性表示，則

（4當r<s時，向量組必線性相關（而當r>s時，向量組必線性相關

（。當r<s時，向量組/必線性相關（0當r>s時,向量組/必線性相關

⑸設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=O,其中A,B均為機x〃矩陣,現(xiàn)有4個命題：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解,則秩（A）2秩（B）

②若秩（A）N秩（B）,則Ax=（）的解均是Bx=O的解

③若Ax=O與Bx=0同解,則秩（人）=秩出）

④若秩（人）=秩8）,則心=（）與Bx=O同解

以上命題中正確的是

（冷①②（而①③（。②④（9③④

九、（本題滿分10分）

設矩陣A=232,P=101,B=P"*P,求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩

十、（本題滿分8分）

已知平面上三條不同直線的方程分別為:ax+2by+3c=0,/2:Z?x+2cy+3tz=0,l3:ex+2ay+3b=0.試證這三條直線交于

點的充分必要條件為a+8+c=O.

2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上）

210

⑸設矩陣A=120,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則|B|

001

二、選擇題（本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把所選項前的

字母填在題后的括號內）

（11）設A是3階方陣,將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q

為

0100100101011

(J)100(而10(6)100(0100

101001011001

（12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣,則必有

（Z）A的列向量組線性相關,B的行向量組線性相關（面A的列向量組線性相關,B的列向量組線性相關

（。A的行向量組線性相關,B的行向量組線性相關⑦）A的行向量組線性相關,B的列向量組線性相關

（20）（本題滿分9分）

（1+d）xx+W++1”=

設有齊次線性方程組-玉+（2+。區(qū)++2玉=0,（,讓2）,

g+nx24-+（〃+a）xn=0,

試問〃取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.

（21）（本題滿分9分）

'12-3'

設矩陣A=-l4-3的特征方程有一個二重根，求a的值,并討論A是否可相似對角化.

1a5

2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、填空題（本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上）

(5)設%,4,%均為3維列向量,記矩陣

A=(a),a2,a3),B=(aj+a2+2a24-4?3^)+3a2+9a3),

如果|A|=1,那么|B|=.

二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的

字母填在題后的括號內)

(11)設4,4是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為四,a2,貝u%，A(%+%)線性無關的充分必要條件是

(Z)4no(面4/o

(04=o(0)4=0

(12)設A為〃(心2)階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B.A*,B,分別為A,B的伴隨矩陣,則

(Z)交換A*的第1列與第2列得B*(而交換A*的第1行與第2行得B*

(。交換A*的第1列與第2列得一B*(0交換A*的第1行與第2行得一B*

(20)(本題滿分9分)

已知二次型,x3)=(1-Q)X；+(1-d)x[+2xj+2(1+a)x}x2的秩為2.

⑴求a的值；

(2)求正交變換x=Qy,把手5,修，當)化成標準形.

(3)求方程"小林七)=0的解.

(21)(本題滿分9分)

'123一

已知3階矩陣A的第一行是(a/,0MAe不全為零，矩陣B=2464為常數(shù))，且AB=O,求線性方程組心=0的通

36k

解.

2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)

（5）設矩陣A=0；）E為2階單位矩陣,矩陣B滿足BA=B+2E,則|B|=

（6）設隨機變量X與y相互獨立,且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分布,則P｛皿｛X,Y）<1｝=.

二、選擇題（本題共8小題,每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前

的字母填在題后的括號內）

（11）設%,a?,,均為〃維列向量，A是〃zx〃矩陣，下列選項正確的是

（4）若叫?，，見,線性相關，則Aot|,Aa2，,Aa*,線性相關（面若叫,a2,,線性相關，則A%,Aa2,,A%,線性無關

（。若叫人，，a,,線性無關，則Aa|,Act2，,Aa，,線性相關（乃若叫小，，a,,線性無關，則AapAa?,,Aa,,線性無關.

’110、

（12）設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的-1倍加到第2列得C,記P=010,則

100L

（J）C=PAP⑶C=PAP"（6）C=PrAP（0C=PAP，

（20）（本題滿分9分）

+x0+x3+x4=-1

已知非齊次線性方程組你+3X2+5X3-x4=有3個線性無關的解,

3+/+3七-bx4=1

（1）證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r（A）=2.

（2）求助的值及方程組的通解.

（21）（本題滿分9分）

設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量以=（-1,2,=（0,-1,1）7是線性方程組心=0的兩個解.

（1）求A的特征值與特征向量.

（2）求正交矩陣Q和對角矩陣A,使得Q「AQ=A.

2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、選擇題（本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前

的字母填在題后括號內)

(7)設向量組四,%,%線性無關,則下列向量組線形相關的是

(J)%-a.a-?a-a,

2233(而ttj+a2,a2+a,,a3+a,(0a,-2a2,a2-2a3,a3-2%(0a,+2a2,a2+2a3,a3+2%

'2-100、

⑻設矩陣A=-12-1,B=010,則A與B

、-1-1JI。00,

3合同,且相似⑦合同,但不相似(。不合同，但相似(〃)既不合同,也不相似

二、填空題(11一16小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)

'0100、

(15)設矩陣A=：：：；，則A、的秩為.

,0000,

(21)(本題滿分11分)

%+X,+%,=0

3=

設線性方程組.X[+2X2+of=°，與方程司+2X2+冗。-L有公共解,求a的值及所有公共解.

%+4馬+/七=0

(22)(本題滿分11分)

設3階實對稱矩陣4的特征向量值4=1自=2,4=-2.%=(1,-1,1)，是4的屬于特征值4的一個特征向量，記

8=人5一443+￡,其中￡為3階單位矩陣.

(1)驗證”是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量.

(2)求矩陣B.

2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、選擇題(1-8小題,每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前

的字母填在題后的括號內.)

(5)設A為〃階非零矩陣,E為〃階單位矩陣.若A=O,則

(Z)E-A不可逆，E+A不可逆(而E-A不可逆，E+A可逆

(。E-A可逆，E+A可逆(9E-A可逆，E+A不可逆

二、填空題(9-14小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)

(13)設A為2階矩陣,％,%為線性無關的2維列向量，A%=0,A%=2%+a2,則A的非零特征值為

(20)(本題滿分11分)

A=aar+眥，為a的轉置,『為0的轉置.證明：

⑴r(A)W2.⑵若a,p線性相關,則r(A)<2.

(21)(本題滿分11分)

"2a1、

設矩陣A=/2a?，現(xiàn)矩陣A滿足方程AX=B，其中X=(不，x,J,B=(l,0,⑼，

、a2為nxn

⑴求證|A|=(〃+l)a".

(2)“為何值,方程組有唯一解,求再.

(3)〃為何值,方程組有無窮多解,求通解.

2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、選擇題(1-8小題,每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字

母填在題后的括號內.)

(5)設%,a2,%是3維向量空間暖的一組基,則由基%,到基/+%外+%,%+%的過渡矩陣為

2r<J_]_、

~2

'101)(120、24622

(J)220(⑸023(6)-(面2_1

~246444

、033j1103,

11]_1

<2-46>、666>

⑹設A,B均為2階矩陣,A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，若|A|=2,|B|=3,則分塊矩陣已力的伴隨矩陣為

36)

3町o2B*)34*]241

(4)(0

o)、3A*O)O)

二、填空題(9-14小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)

(13)若3維列向量a,p滿足痂=2,其中a，為a的轉置,則矩陣畫的非零特征值為.

(20)(本題滿分11分)

-1

設A=-11

,0-4

(1)求滿足的邑.=的所有向量&2,(2)對(1)中的任意向量J彳3證明GGG無關?

(21)(本題滿分11分)

設二次型/(不程天)=ax^+渥寫+2毛七-29毛.

(1)求二次型f的矩陣的所有特征值；⑵若二次型f的規(guī)范形為yf+￡,求。的值.

2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、選擇題(卜8小題,每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字

母填在題后的括號內.)

⑸設A為機x〃型矩陣,B為〃x〃7型矩陣，若AB=E，則

(4)秩(A)=〃?,秩(B)=〃？(面秩(A)=m,秩(B)=〃(。秩(A)=〃，秩(B)="2S秩(A)=〃,秩(B)="

(6)設A為4階對稱矩陣,且A?+A=0,若A的秩為3,則A相似于

<1、<1、

(A)1(而1-1(面-1

-1-1-1

10,、0,、0;、0>

二、填空題(9-14小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)

(13)設叫=(1,2,-1,0)，0=(1,1,0,2)。%=(2,l,l,a)T,若由必心,％形成的向量空間的維數(shù)是2,則。=.

(20)(本題滿分11分)

(A11)⑷

設4=0A-l0/=1,已知線性方程組Ax=〃存在兩個不同的解.

J1"I"

(1)求4a.

(2)求方程組Ax6的通解.

(21)(本題滿分11分)

設二次型/(%?)=工"在正交變換x=Q.y下的標準形為4+以且Q的第三列為(孚0,與二

⑴求A.

⑵證明A+E為正定矩陣,其中E為3階單位矩陣.

2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷

一、選擇題(1-8小題,每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字

母填在題后的括號內.)

’100、

5、設/為3階矩陣，把4的第二列加到第一列得到矩陣8再交換6的第二行與第3行得到單位陣》記[=11o,

1001,

'100、

舄=oo1,貝!I。

、010,

APRBP[P]CP[P、DP「P、

6、設A=@%%%)是4階矩陣，6為2的伴隨矩陣。若(1,0,1,0)7■是Ax=0的一個基礎解系,則A*x=O的基礎解系可為

()

AatayBaxa2Caxa2a3Da2a3a4

二、填空題：9—14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。

13、若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4,經(jīng)正交變換化為片+H=4，則。=_____

20、（本題滿分11分）_

設向量組%=（1,0,1）7,%=（0,1,1）"%=（1,3,5尸不能由向量組==（1,1,1）7,笈2=（1,2,3）"四=（3,4”線性表示;

（1）求4的值；

（2）將外@四用%,線性表示；

21、（本題滿分11分）

（1nf-iH

Z為3階實對稱矩陣，Z的秩為2,且A00=00

求（1）Z的特征值與特征向量（2）矩陣4

2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將

所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(5)%=1其中。“2勺，仇為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關的是（）

<C4>

(4)a],a2,a3(夕)at,a2,a4(L)(〃)a2,a3,a4

’1

(6)設4為3階矩陣，尸為3階可逆矩陣，且P%P=1尸=(?,%%)，Q=(q+%,%，％)貝U。4。=()

2J

fl]、(2、(2

3)2⑶I(OI(〃)2

2jI1

、1,2J、

二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在號斷紙指定位置上.

(13)設才為三維單位向量，月為三階單位矩陣，則矩陣E—M的秩為。

'1a00、(1、

(20)（本題滿分10分）設A=，；：。b-

001a0

00"0；

(I)求同

(II)已知線性方程組于=。有無窮多解，求〃，并求Ar=8的通解。

‘101、

（21）（本題滿分10分）三階矩陣人=Oil,為矩陣A的轉置，已知r（"A）=2,且二次型_/=x77x。

、一10%

1）求〃2）求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。

2013碩士研究生入學考試數(shù)學一

5.設均為〃階矩陣，若，且8可逆，則（）

A.矩陣。的行向量組與矩陣A的行向量組等價方矩陣。的列向量組與矩陣A的列向量組等價

，矩陣。的行向量組與矩陣8的行向量組等價〃矩陣。的列向量組與矩陣8的列向量組等價

’1a1]（200、

6.矩陣aba與0。0相似的充分必要條件為（)

a1）1000,

A.a=O,b=2B.a=0,b為任意常數(shù)C.a=2,b=0D.a=2,b為任意常數(shù)

13.設0是3階非零矩陣，同為4的行列式，為的代數(shù)余子式.若0（工1,2,3）,則|4|=。

20.（本題滿分H分）

設人=：,3=:,當為何值時，存在矩陣。使得，并求所有矩陣G

UVb）

21.（本題滿分11分）

2、

設二次型/(*，w,*3)=2(qX]+ax+a,x)2+(6內+bx+Z?x)2,記a=a,

2232233B=b2

A

（1）證明二次型F對應的矩陣為2a/+陰T；

（2）若a*正交且均為單位向量，證明F在正交變換下的標準形為2），；+必。

2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學試題

0ab0

b

(5)行列式：°[(）（數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三）

Oca0

c00d

(A){ad-be)2(B)-{ad-be)2

(C)a2d2-b2c2(D)b2c2-erd2

（6）設名,%,為3維向量，則對任意常數(shù)A,/,向量組%+攵％，%+"線性無關是向量組