高等數(shù)學(xué)第七章矢量代數(shù)與空間解析幾何

-1-

第七章矢量代數(shù)與空間解析幾何

一、本章主要教學(xué)內(nèi)容'重點(diǎn)和難點(diǎn)

主要教學(xué)內(nèi)容：

1.空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)間的距離。矢量（向量）的概念及其幾何表示。矢量的線性運(yùn)

算（矢量加法、減法及數(shù)乘矢量），零矢量與單位矢量。矢量的代數(shù)表示（坐標(biāo)式與分解式），

用坐標(biāo)式作線性運(yùn)算及計(jì)算矢量的模與方向余弦。兩矢量的數(shù)量積與矢量積（點(diǎn)乘與叉乘），

矢量間的夾角公式，矢量的投影，矢量垂直與平行（共線）的條件。三矢量的混合積及其幾何

意義，三矢量共面的條件。

2.曲面方程的概念，常用的曲面（球面、柱面、錐面及旋轉(zhuǎn)面）的方程?？臻g曲線的

一般方程與參數(shù)方程，兩曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影的曲線方程。平面方程與直線方程

的幾種常用形式，有關(guān)平面與直線的一些基本問題（相交、夾角、距離、投影等）。

3.從方程研究曲面形狀的平面截割法和曲面對(duì)稱性的確定法，二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及

其圖形。

重點(diǎn)：

1.矢量的概念及其幾何表示與代數(shù)表示。矢量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與矢量積的概念及

運(yùn)算法則。兩矢量垂直與平行（共線）的條件?；旌戏e的概念、性質(zhì)及其坐標(biāo)表達(dá)式，三矢量

共面的條件。

2.曲面方程的概念，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的方程。

空間兩曲面的交線在坐標(biāo)平面上投影曲線方程和求法。平面方程與直線方程的幾種常用形式

及它們的求法。求解平面與直線的一些基本問題的公式和方法。

3.從方程研究曲面形狀的平面截割法和曲面對(duì)稱性的確定法。二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及

其圖形及這些方程所表示的曲面并能畫出它們的圖形。

難點(diǎn):

1.矢量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與矢量積，兩矢量垂直與平行（共線）的條件，混合積，三矢量共

面的條件。

2.曲面方程的概念，空間兩曲面的交線在坐標(biāo)平面上投影曲線方程和求法。平面方程

與直線方程的幾種常用形式及它們的求法。

3.二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形及這些方程所表示的曲面并能畫出它們的圖形。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

1.空間直角坐標(biāo)系

2.矢量概念,矢量的線性運(yùn)算

3.平面方程

矢量代數(shù)和空間解析幾何

4.直線方程

5.空間曲線方程和曲面方程

6.常用的二次曲面方程

-2-

三、概念、定理的理解和要點(diǎn)

3.1.空間直角坐標(biāo)系

1?點(diǎn)的空間坐標(biāo)：〃的坐標(biāo)，記為〃（4,0,C）.

2.空間兩點(diǎn)間的距離公式：|加|知2|=J（.一%）2+（為一%）2+（22—4）2.

3.12.向量、向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示

2.1向量的概念

數(shù)量或標(biāo)量：這種量只有大小而沒有方向，例如質(zhì)量、時(shí)間、溫度、面積等；向量或矢

量：這種量既有大小又有方向，例如力、力矩、位移、速度、加速度等；

向量的模：向量的大小.向量AB、a的?？煞謩e記為,⑷、同；

單位向量.模為1的向量；

零向量：模為零的向量記作。或0.零向量沒有確定的方向，也可以認(rèn)為它的方向是

任意的.

向量a與6方向相同，且同=例，則稱a和6相等，記作a—b.

兩向量a與6的夾角：設(shè)向量a與力用有向線段表示，將它們平移使始點(diǎn)重合，此兩

有向線段之間的夾角。（規(guī)定《萬(wàn)）稱為向量a與6的夾角.

兩向量a與6平行：當(dāng)6=0時(shí)，向量a與。方向相同；當(dāng)6=72■時(shí)，向量a與力方向

相反.a與6方向相同或相反時(shí)稱，兩向量a與6平行，記為ab.

7T

兩向量a與6垂直：當(dāng)。=一時(shí)，稱向量a與6垂直，記為。1分.

2

3.13向量的線性運(yùn)算

1,向量的加減法

定義9.1設(shè)有兩向量4和b,將〃平移使其始點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合，則以a的始點(diǎn)為始

點(diǎn)，以A的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量c（見圖9-6）,稱為向量4與6的和向量，

記作a+b,BPc=a+b.

由向量加法定義不難證明向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：

（1）交換律a+Z>=b+a；

（2）結(jié)合律（a+6）+c=a+（6+c）.

3.14向■的數(shù)乘運(yùn)算

定義9.2實(shí)數(shù)4與向量a的乘積定義為一個(gè)向量，此向量稱為4與a的數(shù)乘，記作

-3-

幾。.它的模等于風(fēng)向；它的方向規(guī)定為：當(dāng)4>0時(shí)與“同向，當(dāng)幾<0時(shí)與a反向?當(dāng)

4=0或。=0時(shí)，Aa=0.

特殊地，當(dāng)義=±1時(shí)，有l(wèi)a=a,(-l)a=-a.

可以證明向量與數(shù)的乘積符合以下運(yùn)算規(guī)律：

(1)結(jié)合律=//(/Izz)=(/!//)?；

(2)分配律(4+“)a，

2(a+))=Aa+勸.

3.15、向量的坐標(biāo)表示

將嵬+W+zA:記為{x,y,z},即OP={x,y,z},(9.1)

并稱{蒼y,z}為向量0P的坐標(biāo)，稱(9.1)式為向量0P的坐標(biāo)表示.

設(shè)4>1，乂,馬)，8(工2，%，22)是空間中兩點(diǎn)，則。4={百,如21},OB={x2,y2,z2],

即AB={x2-x},y2-yvz2-zi],

利用向量的坐標(biāo)表示，很容易進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.設(shè)

。={%，%4}，方={么也，也},

a+b={ax+bx,ay+by,a:+b:},a-b={ax-bx,ay-by,az-bz),

4a={；l4，；lav,/l4}(2為實(shí)數(shù)).|4=&+y2+z2.

XX

cosa=-：=,=,

\ra\y]x2+y2+z2

cyy

〈cos夕=「=,——,

lalylx2+y2+z2

zz

cos/==I

0|?|M+:+z?

cos2a+cos2p+cos2/=1,a0=^-ra={cosa,cos/3,cos/}?

3.向量的數(shù)量積與向量積

3.1向量的數(shù)量積

定義9.3兩向量a和8的模與它們夾角的余弦之乘積：同網(wǎng)COS。，稱為a和b的數(shù)

-4-

量積(又稱點(diǎn)積或內(nèi)積)，記作即。巧=同網(wǎng)cos6>.

uabn讀作%點(diǎn)乘

由數(shù)量積的定義可以證明數(shù)量積滿足以下運(yùn)算律：

⑴交換律ab=ba；

(2)分配律a?S+c)=a/+a?c；

(3)結(jié)合律(而yh=A(aH)=,

還可得到：設(shè)a={x[9yvzi],b={x2,y2,z2]f則

zz

ab=x[x2+y[已+\2，

cose==-?+*)[+穌；

同網(wǎng)J%：+城+Z：?收+W+Z；

ab—+y]y2+z]z2=0.

3.2、向量的向量積

定義9.4設(shè)向量4與8的夾角為e,稱滿足下列條件的向量為。與力的向量積(又

稱叉積或外積)，記作ax》：

(1)它的模：|"4=同6恒118,

⑵它的方向既垂直于a,又垂直于"使a、氏axb依次構(gòu)成右手系

由向量積的定義可以證明向量積滿足以下運(yùn)算律：

⑴反交換律axb=-bx,即ax》與方xa模相等但方向相反；

(2)分配律a*(〃+c)=ax〃+axc；

(3)結(jié)合律(癡)x)=2(第b=玄a.

由定義還可得到：

(1)axa=0；

(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b,a，的充要條件是@x6=0,即aaxb=0.

ijk

axb=X[y=(ylz2-zly2)i+(zix2-x,z2)j+(xiy2-ylx2)k,

x2y2z2

由abaxb=0進(jìn)而可推得，a五=2■=2.

&y2Z2

數(shù)值(axb)-c稱為三向量a、b、c的混合積，可以證明它具有以下性質(zhì)：

(1)(。><))-。的絕對(duì)值就是以。、b、c為棱的平行六面體的體積.

⑵混合積具有輪換性，即

-5-

(axb)?c=(bxc)?a=(cxa>b.

由性質(zhì)⑴可得，a、b、c共面的充要條件是(ax5>c=0.

4.平面方程和空間直線方程

4.1.平面的點(diǎn)法式方程：A(x-/)+3(y-%)+C(z-Zo)=O.

4.2.平面的一般方程Ax+By+Cz+D=O.

4.3.截距式方程，—+—+—=1.6、c分別稱為平面在x、y,z軸上的截距

abc

4.4.兩平面的平行與垂直

設(shè)有平面%:Ax+gy+Gz+p=o4={A，4，G}

7T2：^x+B2y+C2z+D2=0,n,={A,JB}

兩平面相互平行的條件為劣="=邑

A,B2C2

兩平面相互垂直的條件為A4+4為+GG=o.

+Gz+A=0;

4.5.空間直線的一般式方程:

A^x-i-B2y^-C2z^-D2=0.

4.6.空間直線的點(diǎn)向式方程二11=2二嵬=￡Z&；

Imn

x=%o+It,

4.7.直線的參數(shù)方程.<>=%+加，

z=z0+nt.

5.曲面與空間曲線

5.1、曲面方程：若曲面S與三元方程R(x,y,分

5.2、空間曲線的一般方程［2""zX：

工(羽y,z)=0

x=x(t)

5.3、參數(shù)方程<y=y(f)

z=z?)

x=Reoscot;

5.4.圓柱螺線.<y=Rsin而；(0<r<+oo)

z-vt

-6-

5.5v柱面方程

方程尸(x,y)=()所表示的圖形，是母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線是直內(nèi)平面上的曲線:

產(chǎn)(x,y)=0.

類似地，方程G(x,z)=0和H(y,z)=0的圖形分別為母線平行于y軸和x軸的柱面.

5.6、旋轉(zhuǎn)曲面

設(shè))，Oz平面上的曲線C的方程為/(y,z)=O,將此曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，即得到一個(gè)以

z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面以式/(士次行,z)=0即為旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

類似地，yOz平面上的曲線C：/(y,z)=O繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為

/(y,±^x2+z2)=O.

222

5.7橢球面：由方程,+a+氣=1(。>0/>0,c>0)所表示的曲面稱為橢球面.

22

5.8.橢圓拋物面：由方程z==+[(?>0,/?>())所表示的曲面稱為橢圓拋物面.

ab"

222

xvz

5.9單葉雙曲面：-2+—2=1(。>0,〃>0,c>0),

222

5.10雙葉雙曲面:----=-1(c>0),

29

Xy

5.11雙曲拋物面:zy(a>0,h>0),

四、解題方法、題例與典型錯(cuò)誤分析

1.空間直角坐標(biāo)系

例1在y軸上求一點(diǎn)八使之與點(diǎn)A(2,—1,3)和3(4,1,2)的距離相等.

解因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(0,y,0),按題意有=|依

即y]22+(y+\)2+32=742+(y-l)2+22,

解得因7此所求點(diǎn)的為尸((),7,,()).

44

2.向量、向量的線性運(yùn)算和向量的坐標(biāo)表示

例2設(shè)4123),5(—1,3,5),求A5,卜耳，A3。和A3的三個(gè)方向角.

解AB=QB—04={—1,3,5}—{1,2,3}={-2,1,2},

-7-

2j_2

網(wǎng)=J(-2)2+儼+22=3,——AB-

3

三個(gè)方向角：a=arccos——\,/3=arccos-,y=arccos—

例3向量〃和)軸、z軸的正向夾角分別為￡=6()。、7=150。，且模網(wǎng)=6,求向

量b的另一個(gè)方向角a和坐標(biāo)分解式.

解cosa=1-cos2[3-cos2/=1--=0,所以a=90。，

x=MJcosa=6x0=0,y=問cos(3=6x—=3,z=網(wǎng)cosy=6x

由是向量〃的坐標(biāo)分解式為b=xi+yj+zk=3j—3%k.

3.向量的數(shù)量積與向量積

例4已知”={2,-1,3},)={3,1,4},求⑴a電，⑵"a—"%

解(1)a-Z>=2x3+(-l)xl+3x4=17.

(2)由于a2=22+(-l)2+32=14,必=32+12+42=26,

因止匕b2a-a2b=26{2,-1,3}-14{3,1,4}={10,^K),22}.

例5已知空間三點(diǎn)4(2,1,—2),3(1,1,—1),C(1,2,—2),求NACB.

解CA={2-1,42,——?=彳)一),

CB={1-1,1-2,-1-(-2)}={0,-1,1},

|CA|=V2,|CB|=>/2,

C4-CB={l,-l,O}-{O,-l,l}=lxO+(-l)x(-l)+()xl=l,

則cosZACB=尸產(chǎn)I因此4ACB=土.

|C4||CB|V2-A/223

例6設(shè)“={2,-1,3},〃={3,1,4},求"尻

解

ijk

-13232-1

ax〃=2-13=i-j+k=-7i+j+5k=

-8-

例7已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(l,2,3),B(—2,1,2),C(2,0,4),

求三角形的面積.

解AB={-3,-1,-1),AC={1,-2,1},

-1-1-3-1-3

ABxAC-3-1-1k=-3i+2j+lk,

-21111

1-21

V62

三角形的面積SABC^^ABXAC\

2

例8設(shè)4=｛內(nèi),乂，4｝,占=｛孫％，22｝，。=｛毛,%;3｝，求(axb)c

V

/1z.y

解axby

>2z.%

)2二H：

yZ1王4y

(axb)-c=<?｛不，為0｝

ZZ2

必2“必

%Z3

XZ|X4%M

%+Z34

%Z2X2Z2々%

%Z2

由行列式性質(zhì)(互換行列式任意兩行元素的位置，行列式值變號(hào))可得

七為Z3石X4

%,4%Z2

W%Z2■Vs%Z3

vZ|

所以有(axZ>)-c%Z2

%Z3

例9判別A(2,-1,-1),S(l,1,2),C(-1,3,4),0(3,0,2)四點(diǎn)是否在共面?

解只要判別三個(gè)向量A8、AC,AO是否共面即可.由

AB={-1,2,3},AC={-3,4,5},AD={1,1,3)得

-123

45-354

ABxAC]AD=-345=(-1)+30.

13131

113

因此A、B、C、。四點(diǎn)共面.

-9-

4.平面方程和空間直線方程

例10求經(jīng)過點(diǎn)尸(1,一2,3)且以"=｛2,0,—1｝為法向的平面方程.

解由平面的點(diǎn)法式方程(9.7),得所求的平面方程為

2(x-l)+0(y+2)+(—l)(z-3)=0,

即2x——z+1=.

例11求經(jīng)過空間三點(diǎn)A(l,0,-1),8(2,1,2),。(一1,1,1)的平面方程.

解先求出平面的一個(gè)法向量.由于向量AB=｛1』,3｝,AC=｛—2,1,2｝是所求平面上

兩個(gè)不平行的向量，因此，與這兩個(gè)向量同時(shí)垂直的向量48xAC即是所求平面的法向

ijk

n=ABxAC=113=-i-Sj+3k

-212

再取點(diǎn)A(l,0,-1),由點(diǎn)法式方程(9.7)可得所求的平面方程為：

(-l)(x-l)+(-8)(y-O)+3(z+l)=O,

即x+8y—3z—4=0.

例I12求經(jīng)過點(diǎn)P(l,-1,2)且平行于平面2x—3y+z+l=0的平面方程.

解向量｛2,—3,1｝是平面2》一3丁+2+1=0的一個(gè)法向.由于所求平面平行于平面

2x—3y+z+l=0,所以｛2,—3,1｝也是所求平面的一個(gè)法向.由點(diǎn)法式方程，得所求的平

面方程為2(x—l)+(—3)(y+l)+(z-2)=0,

即2x-3y+z-7=0.

例13設(shè)一平面與三坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)P(3,0,0)、Q(0,2,0)、7?(0,0,4),求此平面

的方程.

解設(shè)此平面方程為Ax+3)，+Cz+O=0,由于點(diǎn)都在平面上，因此有

'3A+D=Q;

<28+。=0;

4。+￡>=0,

即4=一今，B=—g,一日?將此代入井+By+Cz+D=0,并除。(由于

不同時(shí)為0,故。*0)得平面方程：-+^-+-=1.

324

-10-

例14求平面Ax+B），+Cz+O=0外一點(diǎn)P（Xo，%，Zo）到該平面的距離?

解如圖9-1,過P作平面的垂線，設(shè)垂足為Q.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A/（x,y,z）,則點(diǎn)P

到平面的距離為：

陷=PM-PQ'=|PM-n0|,

由于n°---民?}

由丁“一Ff—/，，，'

川VA2+B2+C2

）{A,B,C}

于是ffz-z。卜腦前胃

|A(x-Xo)+B(y-yo)+C(z-zo)|\Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cza\

VA2+B2+C2VA2+B2+C2

痔:智丁”（因?yàn)椤?

例15求經(jīng)過點(diǎn)4（1,一2,1）和點(diǎn)5（—1,0,1）,且垂直于平面x-y+2z=2的平面方程.

解由已知分析可得，所求平面的法向既垂直于向量AB,又垂直于平面x-y+2z=2

的法向,故可取ABx%作為所求平面的法向〃.由A和8的坐標(biāo)可得

ijk

AB={—2,2,。，故有〃=A8x〃o=-220=4i+4j,

1-12

取平面經(jīng)過的點(diǎn)8（-1,0,1）,由點(diǎn)法式方程（9.7）,可得所求平面方程為

4（x+l）+4y=0,

即x+y+l=0.

例16求經(jīng)過點(diǎn)P（l,-2,3）且垂直于平面2x—y+z=1的直線方程.

解由已知，可取平面2%一丁+2=1的法向{2,—1,1}為直線的方向向量.

由直線的點(diǎn)向式方程，所求直線方程為—Y—1=-v+^2=—7—3.

2-11

例17求過點(diǎn)M（X［，X，Z1）、〃2（和%，22）的直線方程?

解取直線的方向向量為5=加|〃2={*2一—X，Z2—J,

-11-

由直線的點(diǎn)向式方程，可得所求直線方程為二HL=上二21=三L,

工2-XV2fZ「Z\

此方程稱為直線的兩點(diǎn)式方程.

例118將直線一般方程［2"-)+z=2；化為對(duì)稱式方程及參數(shù)方程.

x-2y-3z=1

解此直線可以看作平面2x—y+z=2與平面x—2y—3z=l的交線，它同時(shí)垂直這兩

個(gè)平面的法向量n,={2,—1,1}和〃2={1,-2,-3),因此可取n,xn2作為直線的方向向量s：

s=ntxn2=2-11=5i+7j-3k.

1-2-3

21一）'=2,解得彳=1,'=0,

再在直線上求一點(diǎn).在直線一般方程中，令z=0,得《

x-2y=\,

即(1,0,0)是直線上的一點(diǎn).直線的對(duì)稱式方程為—

57-3

x=1+57,

而參數(shù)方程為y=7t,

z=—3f.

5.曲面與空間曲線

例19建立以。(毛,為，?。)為球心，R為半徑的球面方程.

解設(shè)M(x,y,z)是球面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到C的距離1Mq為R,由此得到方摩%18

2

^(x-x0)~+(y-^0)"+(z-z0)=R,

即(x-/)2+(y-y0)2+(z-z0)2=&.

由于球面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上述方程，而不在球面上的點(diǎn)到點(diǎn)C的距離不為R故而它

的坐標(biāo)不滿足上述方程，因此，上述方程即為以C(x0,%,Z。)為球心、R為半徑的球面方程.

特別地，以原點(diǎn)0(0,0,0)為球心，R為半徑的球面方程為V+y2+z2=R2.

例20方程X2+丁+22-2%+4卜一1=0表示什么曲面？

解原方程通過配方后即為(x—l)2+(y+2)2+z2=6,

由此可知，此方程表示以(1,-2,0)為圓心，逐為半徑的球面.

例21求到空間兩點(diǎn)A(2,-1,3)和3(4,1,2)距離相等的點(diǎn)的軌跡.

-12-

解設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是所求軌跡上的一點(diǎn)，貝即

7(x-2)2+(y+l)2+(z-3)2=7(x-4)2+(y-l)2+(z-2)2,

化簡(jiǎn)得4x+4y-2z—7=().

這是一個(gè)平面方程，可知所求的軌跡是一個(gè)平面.稱此平面為線段A3的垂直平分面.

例I22求yOz平面上的拋物線z=V繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解所求曲面方程為z=(±7x2+y2J",

即z=x2+y2.這個(gè)曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面.(見圖9-2)

z=y-t

x=0

圖9-2圖9-3

例23求xOy平面上的曲線三+==1繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程.

解所求曲面方程為

這個(gè)曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.(見圖9-3)

例24求yOz平面上的直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所成

的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解旋轉(zhuǎn)曲面的方程為z=a

z=a

曲圖9-4

-13-

面

稱

為

圓

錐

面

其

中

a=cota

2

a

為

圓

錐

頂

角

見

圖

9

4

)

例25考察球面x2+y2+z2^2與旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2交線所表示的曲線.

解交線方程為

x2+y2+z2=2;

z-x2+y2,

由此方程組可解得z=l,即曲線應(yīng)在平面Z=1上.由z=l,曲線方程可等價(jià)地表示

為

-14-

x2+j2+z2=2;

z=l,

或

x2+y2=1;

z=1,

即曲線也是球面為2+y2+z2=2與平面z=l的交線，

或看作柱面尤2+y2=l與平面z=l的交線.因此它是

平面Z=1上的一個(gè)單位圓，如圖9-5所示.

fY~=2，

例25中，將曲線方程《"，一’中的Z消去，得柱面方程X2+y2=l,我們稱

[z=x-by

(Y2+V2+Z2=2*fY2+y2=].

此柱面為曲線｛L；'在xOy平面上的投影柱面.而稱曲線《)一’為曲線

[z=x-+y[z=0,

x+NJZ=2;在xOy平面上的投影曲線.

z=x+y

F.(x,y,z)=0

一般地，將空間曲線1"中的Z消去，得到的柱面方程G(x,y)=0便是

F2(x,y,z)=0

曲線r投影到xOy平面上的投影柱面方程，而|G(%，)')=°；則是曲線「在xOy平面上的投

z=0

影曲線方程.類似地可求出曲線「投影到zOx和)Cz平面上的投影柱面方程和投影曲線方

程.

五、本章練習(xí)題及復(fù)習(xí)題

5.1練習(xí)題

第一節(jié)二階、三階行列式及線性方程組

1.按第一行展開法計(jì)算下列行列式：

221111131

(1)505(2)abc2.解方程x41=0.

523a2h2c2x20-2

3x+5y=19,

3.用克拉默法則解線性方程組\

2x+3y=12.

第二節(jié)矢量概念及矢量的線性運(yùn)算

1.若已知矢量〃和6,畫出下列矢量：

-15-

(1)Q+人，(2)〃+Q,(3)a-h,(4)h-a.

2.若已知矢量。和b,畫出下列矢量：

(1)3〃，(2)—b,(3)3。H—b?

22

3.設(shè)平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為M

并設(shè)，AB=nt,AD=n＞試用矢量相，〃表示矢量

AC,BD,M4,MB,MC,MD.

4.設(shè)北〃是兩個(gè)非零矢量，試求它們夾角的平分線上的單位矢量.

(提示：取以，根為鄰邊的平行四邊形，調(diào)整其鄰邊使其成為菱形).

第三節(jié)空間直角坐標(biāo)條與矢量的金標(biāo)表達(dá)式

1.求空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)(1,3,2),M2(2,-l,3)間的距離.

2.已知兩點(diǎn)(1,J5,4),M2(2,0,3),求矢量加1知2的模、方向余弦和方向角.

3.設(shè)a,尸,尸是一個(gè)矢量的方向角，證明sin2a+sin23+設(shè)n2y=2.

4.設(shè)有三個(gè)力+3f2^2i-2j+3k,力=3i—攵作用在同一物體上，求合

力大小和方向余弦.

5.已知兩點(diǎn)A(3,-2,7)和5(5,0,5),試求方向與A3一致，模為4的矢量c的坐標(biāo)表達(dá)式.

6.設(shè)有兩點(diǎn)A(3,-1,2),3(4,2,-5),試求⑴線段A8的

中點(diǎn)M的坐標(biāo)，(2)線段AB的三等分點(diǎn)耳，￡的坐標(biāo).

第四節(jié)兩矢量的數(shù)量積與矢量積

1.設(shè)矢量p=a+2b,q=2a—3b,其中同=1]4=2/?/的夾角為《，試求：

⑴pq,(2)P，q的模,(3)p與q夾角的余弦.

2.已知a,b,c兩兩成60°角,且同=4,|同=2,同=6,

求卜+6+c|.

3.己知矢量a=3i—/+4左，b-i+j—2k,c-3j+k,

試求：(l)a-b,(2)a-c,(3)(2a)?S-3c).

4.已知A(2,2,2),B(3,3,2),C(3,2,3),求矢量AB與AC的夾角。，以及AB在AC上的投

影.

5.己知同=1]4=2"川勺夾角為試求：卜

6.已知矢量。=j—J+2A,b=4i+2j+k,

試求：(l)axb,(2)(3a+2/?)*a.

7.試求與兩矢量。=21+2/+左、Z?=-i+5J+3左都垂直的單位矢量.

-16-

8.設(shè)一三角形的三頂點(diǎn)為A(2,2,2),3(4,3』),C(3,5,2),求該三角形的面積.

第五節(jié)矢量的混合積與二重矢積

1.已知矢量a=31+攵，b——i+4j+2k,c=3j—2k,

試求：(l)a-(/?xc),(2)ax(》xc),(3)以a、b、c為棱邊的平行六面體的體積.

2.求以A(l,l,l),8(3,6,8),C(5,10,3),D(l,-1,7)為頂點(diǎn)的四面體的體積.

3.證明A(1,1,O),3(4,4,5),C(11,9,8),￡>(8,6,3)四點(diǎn)在同一平面上.

4.設(shè)a+/?+c=O,證明：axb=bxc=cxa.

第六節(jié)平面與直線方程

1.求滿足下列條件的平面方程：

(1)過點(diǎn)〃(1,3,—2)且平行于平面2%+3了-2+5=0,

⑵過點(diǎn)M(l，2,3)和過點(diǎn)“2(2,4,2)且垂直于平面3x-y+4z+2=0,

(3)過三點(diǎn)A(0,l,2),8(-3,5,T)和C(—2,4,l).

2.求滿足下列條件的直線方程：

(1)過點(diǎn)M(l,-2,0)且平行于直線工一=號(hào)一=-J,

(2)過點(diǎn)(2,1,T)且同時(shí)垂直于矢量a=6i+3/+左和b=2i+4/+5Z,

(3)過兩點(diǎn)Al,(1,-1,2)，A/2(2,-l,7).

3.求通過直線點(diǎn)二二口=江2=出且平行于直線/,：2=[=三的平面方程.

'2342112

4.求過點(diǎn)M(1,O,-2)且與平面2x+y—l=0及x-4y+2z-3=0都平行的直線方程.

2x—y+3z—1=0,

5,將直線的一般方程《,化為對(duì)稱式方程和參數(shù)式方程.

5x+4y-z-7=0

6.求直線婦=2/=：與平面x+2y+2z+6=()的交點(diǎn).

7.求過直線14”一丁+32-6=0,且垂直于平面2%一3；+52—5=0的平面方程.

x+5y—z+10=0,

8.求點(diǎn)P(1,T,5)在直線1'一一’上的投影點(diǎn)的坐標(biāo).

x+2z=0

9.求點(diǎn)〃(一1,2,0)在平面上x+y+3z+5=0的投影點(diǎn)的坐標(biāo).

10.試求通過直線/+*+z=0,并與平面》一分一8z+]2=o構(gòu)成工角的平面方程.

x-z+4=04

-17-

第七節(jié)曲面方程與,空間曲線方程

1.求下列球面方程

(1)一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(5,4,2)和(1,-2,2),

(2)球心在(6,—8,1)且與。z軸相切.

2.指出下列方程所表示的曲面名稱，并畫出其圖形：

(1)./+z2=2y,(2).x+z=2,(3).f=4z.

22

3試求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以平面z=2上的橢圓二+上=1為準(zhǔn)線的錐面方程，并畫出其圖形.

259

4.試求平面上的曲線/+2x=0,分別繞Ox軸和Oy軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)

曲面方程，并畫出其圖形.

5.試求通過兩曲面V+y2+4z2=l和V=y2+z2的交線/,且母線平行于Oz軸的柱面

方程，及/在。町平面上的投影曲線方程.

6.求下列曲線在平面上的投影曲線方程：

x2+(y-2)2+(z-l)2=25,\x2+y2=z,

⑴〈，，,(2)J

x+y-+z-=16,[z=3.

3x+2y—4z—5—0,

7.試求直線L：＜在Oxy坐標(biāo)平面上投影直線方程.

6x—y-2z+4=0

8.試求下列空間曲線的參數(shù)方程:

z=x2+y2,x2+y2+z2-a

(1)〈

z=4,x-y=

第八節(jié)二次曲面

1.指出下列方程所表示的曲面名稱，并畫出其圖形.

2222

(1)+——I---=1,(2)36x~+9y~—4z=36,(3)x2+-.....=0.

4949

222

2.寫出曲面方-或+彳=1分別被平面x=2,y=(),z=2的截割后所截得的曲線方程.

3.畫出下列各組曲面所圍成的立體圖形.

(l).x+y+-|=l,x=0,y=0,z=0,⑵.z=x2+y2,x=0,y=0,z=0,x+y=l,

(3).x2+y2+(z-7?)2=T?2,%2+y2=z2(z>0),(4)x2+y2=2-z,z=0,

(5).f=1—z,%?+=],y-Z+2=0.

5.2復(fù)習(xí)題

一.單項(xiàng)選擇題

1.下列陳述正確的是().

-18-

A.因?yàn)閍,h是單位矢量，必有a=hB.3i>j

C.若a-b=a?c,則必有b=cD.若,一耳=,+.，則必有a_LZ?.

2.設(shè)a,4,7是一個(gè)矢量的方向角，則有（）.

A.a+J3+y=7rB.sin2a+sin2J34-sin2/=2

C.。+4+7=24D.。,尸,/可以是任意數(shù).

3.己知M=1,W=5且a?/?=—3,則,xZ?|=（）.

A.4B.3C.5D.-4.

、rt士,hrX—1V—5Z+8X—y=6,.,,IAr.r-t

4.設(shè)直線￡[：--=-----=-----與直線右r：，則4與，的夾角是（

1-21[2y+z=3,

A.-B.-C.萬(wàn)D.

64y2

二.填空題：

1.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)xvO,y>0,z>0,且到元軸，y軸，z軸的距離

分別是5,3石,2V13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是，

2.已知向量。=3i—，+2人的終點(diǎn)與M(l,0,-1)重合，則a的起點(diǎn)坐標(biāo)是

3.過點(diǎn)P(3,0,2)且與平面x—2y+5z+9=0平行的平面方程是

x—2y+z—2,

4.過點(diǎn)。(1,2,-1)且與直線1"平行的直線方程是____________

3x+y-z=1

三.計(jì)算題

1.設(shè)有如圖所示的長(zhǎng)方體。4BC-OEFG,

試求：

(1)0。在6G上的投影，(2)AACE的面積,

(3)四面體8EFG的體積.

2.設(shè)a=2i-j—2k,b=6i—3j+2k,試求:

-19-

(1)a-b,(2)〃x。，(3)(2a+0)?(a—。)

(4)(2a—〃)x(a+3b).

3.求點(diǎn)M(2,3,0)到直線—=^—=—

32-1

的距離.

4.求過點(diǎn)陷(2,—1,3)和點(diǎn)用2(3,L2)，且垂直于平面3x-.y+4z+2=0的平面方程.

一v+3z—1—0

5.將直線的一般方程\?'化為對(duì)稱式方程和參數(shù)方程.

x+2y-3z-8=0

四.證明題

5x-3y+2z-5=0,

1.證明直線4)落在平面4%—3y+7z-7=上.

2x-y-z-l=0

*2.原點(diǎn)到平面￡+上+.=1的距離為d,則有等式

abc

5.3參考答案

第一節(jié)二階、三階行列式及線性方程組

222

1.(1)10，(2)a(c—b)+b(a—c)+c(b—a).2.xx-2,x2=A.3.x=3,y=2

第二節(jié)矢量概念及矢量的線性運(yùn)算

3.AC=